数理金融练习题
数理金融 习题
1. 假设你必须将 w 投资于两只证券：一只无风险债券和一只风险证券。
投资期为1年。
无风险债券的收益率确定为 fr 。
风险证券的收益率为r ，它的均值为r,而方差为2σ。
假设你的目标就是最大化你的二次效用函数的期望值：21()2E W aW -,其中W 为未来的财富。
(a) 求解最优组合。
(b) 讨论最优组合如何依赖于债券和股票的期望收益率 fr 和r，股票收益率的方差2σ。
2. 假设有四个等概率的可能状态。
状态空间是1234{,,,}w w w w Ω=。
考虑风险资产 A 和B ，它们的收益率如下：在随机占优的意义上，你能为它们排序吗？3. 如果现在投资3000元，第二年末投资1000元，在第四年末将累积为5000元，问利率是多少，采用复利计算。
4.如果年利率在刚开始的3年里为10%，随后的2年里为8%，再随后的1年里为6%，则刚开始的1000元投资在这6年里所获得利息总和为多少元。
5. 小王于1992年5月1日出生，自出生起，他母亲每年为他在银行存1000元，每年的存款日为1月1日，直至他上大学为止，共存了18次。
小王在2010年8月1日获大学录取通知书是将存款全部取出作为学费，设每年年利率为5%，则小王可取得的存款为多少？(2010年1月1日至2010年8月1日按单利计算)6.一张面值为1000元的3年期零息债券的价格是多少？利率为7%。
7. 一张4年期的面值为1000元的债券，年付票息率为10%，到期时按面值赎回，市场利率为8%，则该债券的价格是多少？8. 5年期面值为1000元的债券的票息率和市场利率均为8%，票息每年支付一次，到期以面值赎回，计算久期和修正久期。
9. 10年期的债券，发行价与面值相同，久期为7，凸度为50，如果该债券的收益率上升0.1%，则对债券的价格影响为多少？ 10. 市场上发行甲、乙、丙三种股票，它们在0时刻的发行价分别为每股10元，11元，12元。
在1时刻可以上市交易。
数理金融练习
三、期货与套期保值
3某公司在3个月后购买100万加仑的航空燃料油，在3个月内每加仑航空 燃料油价格变化的标准差为0.032，公司选择购买热油期货合约的方法 进行套期保值，在3个月内热油期货价格变化的标准差为0.040，且3个 月内航空燃料油价格的变化与3个月内热油期货价格变化之间的相关系 数为0.8，一张热油期货合约是42,000加仑，那么公司应购买多少张热油 合约？
资本资产定价模型练习
8.在2007年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率约为5％。假定
一贝塔值为1的资产组合市场要求的期望收益率为12％，根据资本资产定
价模型和证券市场线：
①市场资产组合的预期收益率是多少？
②贝塔值
为0的股票的预期收益率是多少？
③假定投资者正
考虑买入一股股票，价格为40美元，该股票预计来年派发红利3美元。
①无风险资产收益率为12％/年，
②风
险资产收益产组合的标准差为30％，那么收益率是多少？
资本资产定价模型练习
3.A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收
益之间的相关系数。根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：
名称
A
B
C
股票A
+1.0
股票B
+0.9
+1.0
股票C
+0.1
-0.4
+1.0
①平均投资于A、B；②平均投资于A、C；③平均投资于B、C；④全部
投资于C。
4.如果rf 6%，E rM 14%，E rP ＝18％的资产组合的值等于多少？
资本资产定价模型练习
5.一证券的市场价格为50美元，期望收益率为14％，无风险利率为6％， 市场风险溢价为8.5％。如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其 他变量保持不变），该证券的市场价格是多少？假定该股票预期会永远 支付一固定红利。 6.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，一股股票今天的售价为50 美元，在年末将支付每股6美元的红利，贝塔值为1.2。预期在年末该股 票售价是多少？ 7.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，投资者购入一企业，其预 期的永久现金流为1000美元，但因有风险而不确定。如果投资者认为企 业的贝塔值是0.5，当贝塔值实际为1时，投资者愿意支付的金额比该企 业实际价值高多少？
数理金融练习题
数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。
数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。
它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。
在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。
1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。
随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。
在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。
随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。
此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。
2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。
请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。
解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。
根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。
《数理金融》习题参考答案
《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。
题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。
题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。
那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。
因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。
假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。
因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。
题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。
这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。
该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。
数理金融
（1）证券的持有期回报 t 00p0pt t tt p p d r H PR p -+==其中，表示当前的价格，表示未来时刻的价格,d 表示股息收入（红利）（2）预期回报()()()()()()()ssE r p s r s p s r s p s r s s=∑⎰或其中，为各种情形概率，为各种情形下的总收益率，各种情形的集合为（3）证券的风险22()[()()]sp s r s E r σ-∑＝例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如下三种可能，求其期望收益和方差。
(1)(1401004)/10044%r =-+=效用函数：2()0.005U E r A σ=- 例如：对于风险资产A ，其效用为2()0.00510%0.00544002%2()2%f U E r A U E r σ=-=-⋅⋅===它等价于收益（效用）为％的无风险资产夏普比率：对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，除可以采用计算其确定性等价收益U 来比较外，还可以采用夏普比率（Shape rate ）。
()E r C V σ＝它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值。
例：假设未来两年某种证券的收益率为18%，5%和－20%，他们是等可能的，则其预期收益率和风险？夏普比率？22222()()()=(18%5%20%)/30.01()[()()]=[(0.180.07)(0.050.07)(0.20.07)]/30.02487()0.8445ssE r p s r s p s r s E r E r C V σσ=+-==--+-+--===∑∑对于包含n 个资产的组合p ，其总收益的期望值和方差分别为：1n222Ti 11,1,111112121w w...=(,,...,),=(,,...,),r n r w np i ii nnnpiii j ij i j ij i j i j i j n T Tn n nnn p i ir w r w w w w w w w w r r r σσσσσσσσ===≠===+==∑⎡⎤⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑Twrw r=＝其中，为组合的收益，组合中包含种证券，每种证券的收益为，它在组合中的权重是例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值的方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭Tw r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)pσ⎡⎤⎛⎫=∑=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 例2：假设某组合包含n 种股票。
数理金融复习题(含答案)
12.基于单因子模型，无风险证券的回报率为 4% ，一个具有单位因子 敏感度的投资组合期望回报率为 7% ．考虑具有下述特征的三种证券 的一个投资组合：
证券
因子敏感度
比例
A B C
1.5 3.0 2.0
0.10 0.20 0.70
根据套利定价理论，该组合的均衡期望回报率是多少？
解：由题意：
E ( Rw ) r f 7% 4% 3%
E ( R A ) r f b A 4% 1.5 3% 8.5% E ( R B ) r f bB 4% 3.0 3% 13% E ( Rc ) r f bc 4% 2.0 3% 10%
证券组合回报率为：
E ( R ) E ( R A ) A E ( RB ) B E ( RC ) C 0.1 8.5% 0.2 13% 0.7 10% 10.45%
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
1. 什么是一阶随机占优？一阶随机占优的充要条件是什么？
答： 如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 A 的偏好胜过对资产 B 的偏好， 我们 称资产 A 一阶随机占优于资产 B，记为 A B 。
FSD
设 FA ( x ) 、 其定义域为[a,b]， 则A B FB ( x) 分别是资产 A 的收益率 R A 和 R B 的分布函数，
1 1000, P 2 V1 (2) 1 800, P 2 ， Cov( X 1 , X M ) 0.045 ， var( X M ) 0.3.
r 0.10 ， E ( X M ) 0.20
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。
第二学期数理金融期末试卷
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）2.本试卷共1页.满分100分.3.考试时间120分钟.4.考试方式：闭卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D %2．无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型，贝塔值为的证券X 的期望收益率为A B 0.144 C D3．无风险收益率为，市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ，贝塔值为.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()axu x e,则其绝对风险厌恶函数()Ax3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅，假设你是风险厌恶者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 20;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2.装 订 线 内 不 要 答 题13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（B ）注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
数理金融复习题
1. ※假设组合的收益为r p ，组合中包含n 种证券，每种证券的收益为r i ，它在组合中的权重是w i ，则组合的投资收益的期望和方差为11nnp i i i i i i Er E w r w Er ===∑∑（）＝（）,n 222i 11,1,1nnnpiii j ij ijiji j i j i j w w w w w σσσσ==≠==+=∑∑∑∑＝例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭T w r 22T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.750.01(0.18)0.024475p σ⎡⎤⎛⎫=∑⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=例：假设某组合包含n 种股票。
投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n ，每种股票的收益也是占总收益的1/n 。
设若投资一种股票，其期望收益为r ，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。
11w r (,...,)T p r r r n n r ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭22T2222221...011w w (,...,)0111(,...,)p n n n n n nσσσσσσσ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪=∑⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭++= =＝ 2. ※解马克维茨的均值-方差（Mean-variance ）模型:21min 2..1Tp wT pT s t r σ=∑==w w w r w 1解:构造拉格朗日函数1212,,1()(1)2T T T p w L r λλλλ=∑+-+-w w w r w 1 由于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件1212(1)0 (2)10 (3)T p T LLr Lλλλλ∂=∑--=∂∂=-=∂∂=-=∂w r 10w w r w 1 由(1)得到12λλ∑=+w r 11112λλ--⇒=∑+∑w r 1 (4) (4)代入(2)可得111211121112()()()T T p T T T T r λλλλλλ------==∑+∑=∑+∑=∑+∑w r r 1r r r 1rr r 1r(5)把（4）代入（3）111211121() T T TTλλλλ----==∑+∑=∑+∑w 1r 11r 111（6）为简化，定义11T T a --∑=∑r r r r 11T T b --∑=∑1r r 1 11T T c --∑=∑11112d ac b -将（5）和（6）改写为 12121p r a bb cλλλλ=+⎧⎨=+⎩ 解得12p pcr b cr bd ac bλ--==- 22p pa br a br d ac bλ--==- 可解得给定收益条件下的最优权重向量为11p p cr b a br d d----=∑+∑w r 13. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。
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一、选择1. 假设债券A(0)=100元；A(1)=110元，股票S(0)=80元，100(1),60S ⎧⎨=⎩上涨和下跌概率分别为0.8和0.2。
假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，那么该资产组合收益的数学期望()V E K 为（ D ）。
A 、 0.11B 、0.14C 、0.13D 、0.122.下面关于贝塔因子(β)的描述，说法正确的是( A )A.、若某股票的β>1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C 、若某股票的0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3. 两风险资产的对应权重为12(,)ωω，风险分别为2212(,),σσ相关系数为12,ρ则其组合的风险可表示为（ D ）。
A 、22211221212122v σσωσωωωρσσ=++ B 、22211221212122v σωσωσωωρσ=++ C 、22222112212122v σωσωσωωσσ=++ D 、2222211221212122v σωσωσωωρσσ=++ 4. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的是（ A ）。
①0.8ρ=- 1ρ=-A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④ 5. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的是（B ）(1)(2) μ0.5ρ=- 1ρ=(3) μ (4) μσ σA 、(1) (2) (3)B 、(1) (3) (4)C 、(1) (2) (4)D 、(2) (3) (4) 6. 本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足( C )A V1>V2B V1≠V2C V1=V2D V1<V2 7、给定资产组合或单个证券(收益率用 v K 表示)的贝塔因子v β，下列表达式正确的是（ B ） A(,)V M v MCov K K βσ=B 2(,)V M v M Cov K K βσ=C (,)V M v VCov K K βσ=D 2(,)V M v VCov K K βσ=8、设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，则市场风险溢价为（ ），一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率为（ D ）。
A 、0.04 0.17 B 、0.04 0.15 C 、0.08 0.15 D 、0.08 0.179、若某投资者是希望财富越多越好且对风险持厌恶态度，用()U W 表示该投资者对财富W 的效用函数，则下列说法正确的是（ C ）。
A ．'()0,()0U W U W >>B ．'''()0,()0U W U W >>C ．'''()0,()0U W U W ><D ．'''()0,()0U W U W <>10、考虑效用函数()aW U W be -=，a 和b 是常数。
假定投资者的偏好是越多越好，并且厌恶风险，a 和b 的符号是（ C ）A. a <0，b>0B. a>0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<011、在单因素模型中，单个资产或组合的总风险及非系统风险分别记为22,i ei σσ，系统风险记为i β，市场组合的系统风险记为,M β则下列式子正确的是（ C ）A ．222i i M ei σβσσ=+ B ．222i M M ei σβσσ=+ C ．2222i i M ei σβσσ=+ D ．2222i M M ei σβσσ=+12、假设U 某个体的效用函数且二阶连续可导，则下列说法正确的是（ B ）A.个体风险厌恶等价于"0U >B.个体风险喜好等价于"0U >C.个体风险厌恶等价于"=0UD.个体风险喜好等价于"0U <14、日元对美元的即期汇率是120日元兑1美元，一年期的期货价格是115日元兑1美元。
假设利率平价成立，如果日本一年期利率为4%，那么美国的一年期利率应是（ B ）A ．5%B ．8.52%C ．4.17%D ．3.83% 二、填空1、权重为12,w w 的两种资产的收益率分别为1K ，2K ，那么它们的组合收益率为1122w K w K + 。
2、写出证券市场线的方程： ()v f v m f r r μβμ=+-。
3、已知 则风险中性概率 为 2/3 。
4、已知 设证券A 的Beta 系数 ， ，则证券A 的期望收益为 14% 。
12%,7%,M F r μ== 1.4A β=*p 0.2,0.1,0.1,u d r ==-=2A σ=5、在完备市场中，期望收益和同期无风险利率分别用 表示，M 表示市场组合，则资本市场线的方程是 m fv f vMr r μμσσ-=+ 。
6、一个公司的股票刚刚支付了0.5元的股利，并预期直到无穷期的股利增长率是10%。
如果投资者的预期收益率是14%，股票的现价应该是 13. 75 。
8、已知市场组合某时段的期望收益率和标准差分别是10%和28%，同期无风险利率为3%，则该时段的风险价格为 25% 。
11、设第t 年的远期利率为,,1t t f - t 年期的即期利率为t s ，则远期利率和即期利率之间的关系式满足 t t t t t t S f S )1()1()1(111+=++---， 。
三、计算2、设在二叉树模型中，股票的初始价格为S(0)=120美元，u=0.2,d=-0.1,r=0.1.施权价X=120美元，在时间2到期。
假设在时间2支付红利14美元。
求相应欧式看涨期和权美式看涨期权的价格。
依题意得，风险中性概率为2*3r du dp --== ………………… （2分）根据股票价格的二叉树模型得股票的价格S(n)在时间0，1，2分别为： n 0 1 2158.8 144S(n) 120 115.6 108 83.2 ……………………………………………………………………（4分）相应地，欧式看涨期权在时间0，1，2的价值分别为： n 0 1 2 38.8,Fr μMFMr V F Vr μσμσ-=+23.52E u C =()E C n (0)E C =14.25 0E d C =0 0其中121[38.80]23.5210.133E u C =⨯+⨯=+ ………………………（6分） 同理可得 121(0)[23.520]14.2510.133E C =⨯+⨯=+ ……………（10分）相应地，美式看涨期权在时间0，1，2的价值分别为： n 0 1 2 38.8 u A C()A C n (0)A C 0d A C 0在时间1，期权的持有者可以选择立刻施权或者等到时间2。
在价格为u S 时，立刻施权的回报为24，而不施权选择等待(按照欧式期权计算)的价值也为23.52，故24u A C =。
……………………………………………………… （13分）类似地，在价格为d S 时，立刻施权的回报为0，而不施权选择等待(按照欧式期权计算)的价值为也为0，故0.d A C =……………………………（16分）仿此方法，可知若在时间0立刻施权，其回报为0，而不施权选择等待(按欧式期权计算)的价值为121(240)14.551.133⨯⨯+⨯≈美元。
…………………（19分）故(0)14.55A C =美元。
……………………………………………（20分）3、假设资产的收益由下面的双因素模型描述：i i i i i I b I b a R ε+++=2211假设观察到以下三个组合：（1）求出描述均衡收益的平面的方程。
（2）利用（1）的结果，说明如果有一个组合D 具有下列观察到的性质，就存在套利机会：R ——D =15% b D1=2 b D2=1解：（1）依题意可得：1212120.1230.50.13430.20.1230.5,a I I a I I a I I =++⎧⎪=++⎨⎪=+-⎩………………………………………………5分解得：120.1,0.01,0.02.a I I === ………………………………………………3分 所以均衡收益的平面方程为：12()0.10.010.02.i i i E R b b =++…………………2分 （2）若组合D 满足均衡收益的平面方程，则理论预期收益为()0.10.0120.0210.14,D E R =+⨯+⨯= …………………………………2分而观测到的期望收益为15%，高于理论预期，说明价格被低估了，可以买进该股票。
4、假设下列资产是按照证券市场线准确定价的。
请推导出证券市场线的方程；并求贝塔为2时资产的期望收益率是多少？16%,R = 10.5β= 以及 212%,R = 2 1.5β=解：依题意可设证券市场线的方程为()(()),i f i M f E R R E R R β=+- 将已知信息代入得0.060.5(())0.12 1.5(()),f M f f M f R E R R R E R R =+-=+-解得0.03,()0.06.f M f R E R R =-= 故证券市场线的方程为()0.030.06.i i E R β=+将2β=代入上式可得()0.030.0620.15.E R =+⨯=四、分析题1、在含有多个风险证券及无风险证券的市场中，投资者采用马科维兹模型进行决策，请问风险厌恶型投资者如何根据效用函数确定最优投资组合？首先，在σμ-坐标系中，根据马科维兹资产组合理论，确定含多个风险证券的有效边界C ，实为双曲线右半支的上半部分，然后过无风险利率 (0,)F r 点做C 的切线，切点即为市场组合，记为M ，此时射线F r M 为含多个风险证券及一个无风险证券的投资组合的有效边界。
最后根据投资者的效用函数，得到相应的效用无差异曲线族U ，该曲线族U 必有一条与射线F r M 相切，记切点为P 。
则P 点为风险厌恶的投资者的最优投资组合。
2、某年8月3日,B 公司股票的市场价格为每股20美元。
于是，该公司决定 于一周后以这一价格增发50万股股票，以筹措1000万美元的资本，用于扩充生产规模。
然而，若一周后股市下跌，则该公司发行同样多的股票，只能筹到较少的资本。
因此，该公司决定用同年9月份到期的标准普尔500指数期货作套期保值。