方差与标准差(1)
数理统计_方差与标准差
心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。
而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。
集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能讲明一组数据的全貌。
数据除典型情况之外，还有变异性的特点。
关于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。
第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。
作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。
它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。
方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。
它是度量数据分散程度的一个特别重要的统计特征数。
标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。
假设用σ表示，那么是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体咨询题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。
符号不同，其含义不完全一样，这一点瞧读者能够给予充分的注重。
一、方差与标准差的计算(一)未分组的数据求方差与标准差全然公式是：〔3—la〕〔3—1b〕表3—1讲明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代进公式3—1a与3—1b求方差与标准差。
具体结果如下：S2(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，假设计算方差与标准差可用下式：(3—3a)(3—3b)式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估量平均数Xc为各分组区间的组中值f为各组区间的次数N=Σf为总次数或各组次数和i为组距。
下面以表1—8数据为例，讲明分组数据求方差与标准差的步骤:表3—2次数分布表求方差与标准差具体步骤：①设估量平均数AM，任选一区间的Xc充任；②求d⑧用f乘d，并计算Σfd；④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；⑤代进公式计算。
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都是用来描述数据的分散程度，但是它们之间存在一些区别。
本文将从定义、计算方法、意义等方面对标准差和方差进行比较，帮助读者更好地理解它们之间的区别。
首先，我们来看一下标准差和方差的定义。
方差是指每个数据与平均值之差的平方的平均值，它衡量的是数据与平均值之间的离散程度。
而标准差则是方差的平方根，它的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此更容易理解数据的离散程度。
其次，我们来比较一下它们的计算方法。
计算方差的步骤是，首先计算每个数据与平均值的差，然后将这些差的平方求和，最后再除以数据的个数。
而计算标准差则是在计算出方差的基础上，再对方差进行平方根运算。
可以看出，计算标准差需要多一步对方差的平方根运算，相对来说稍微复杂一些。
接着，我们来谈一下它们的意义。
方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的，但是由于标准差的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此在实际应用中更为常见。
例如，在财务领域中，标准差常用来衡量资产收益的波动程度，而在生物学中，标准差常用来衡量样本数据的离散程度。
最后，我们需要注意的是，在实际应用中，我们应该根据具体的情况选择使用方差还是标准差。
如果我们只是想衡量数据的离散程度，那么使用方差就可以满足需求。
但是如果我们需要将离散程度与原始数据的计量单位联系起来，那么就应该使用标准差。
总的来说，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标。
它们之间的区别在于计算方法和意义的不同，我们在实际应用中需要根据具体的情况选择使用哪一个指标。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准差和方差之间的区别，从而更好地应用于实际工作中。
方差和标准差的区别
方差和标准差的区别方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都是用来衡量数据的离散程度，但是它们之间存在着一些区别。
在统计学中，了解方差和标准差的区别对于正确理解数据分布的特征至关重要。
首先，我们先来了解一下方差的概念。
方差是指每个数据与平均值之间的差值的平方的平均数。
方差越大，代表数据的离散程度越大，反之则表示数据的离散程度越小。
方差的计算公式为，方差=Σ（Xi-μ）^2/n，其中Xi代表每个数据，μ代表平均值，n代表数据的个数。
方差的单位是原数据的单位的平方。
接下来，我们来看一下标准差的概念。
标准差是方差的平方根，它用来衡量数据的离散程度，是最常用的衡量数据离散程度的指标之一。
标准差的计算公式为，标准差=√方差，它的单位和原数据的单位是一样的。
在实际应用中，方差和标准差都有各自的优势和不足。
方差对数据的极端值非常敏感，当数据中存在离群值时，方差会受到极端值的影响而变大。
而标准差则相对稳定一些，因为它是方差的平方根，对数据的极端值不太敏感。
因此，在处理含有离群值的数据时，通常会选择使用标准差来衡量数据的离散程度。
另外，方差和标准差在解释数据的离散程度时，具有一定的相对性。
方差的数值大小和原始数据的数值大小有关，因为方差是原始数据与均值的差值的平方的平均数，所以当原始数据的数值较大时，方差的数值也会变大。
而标准差则是方差的平方根，它的数值大小和原始数据的数值大小没有直接的关系，因此可以更好地比较不同数据集的离散程度。
总的来说，方差和标准差都是衡量数据离散程度的重要指标，它们都可以反映数据的波动情况。
但是在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择使用哪个指标。
如果数据中存在离群值，通常会选择使用标准差来衡量数据的离散程度；如果需要比较不同数据集的离散程度，通常会选择使用方差来进行比较。
在数据分析和统计推断中，正确理解和使用方差和标准差是非常重要的，它们可以帮助我们更好地理解和解释数据的特征，为决策提供更可靠的依据。
方差和标准差
例1:计算下面一组数据的方差(结果 精确到0.1): 5 3 4 2 4 3 3 5 4 3
例2:某农场种植甲、乙两种不同品种的水 1 稻,6年中各年的平均每 15 公顷产量如下(单 位:kg): 甲:450 458 450 425 455 462
乙:446
476
473
429
432
444
问哪一个品种水稻的产量比较稳定?
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出 10株苗,测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 乙: 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 13 11 15 19 6 8 10 11 16
问哪种小麦长得比较整齐?
思考：求数据方差的一般步骤是什么？
1、求数据的平均数； 2、利用方差公式求方差。
S2=
1 n
[ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
2.方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据 偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方 差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差.
S=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n
机床乙
以40为基 准
40.0 40.0 0 0
39.9 40.0 39.9 40.2 40.0 - 0.1 0 - 0.1 0.2 0
40.1 40.0 39.9 0.1 0 - 0.1
1 X乙 =40.0+ [0.0+0.0+(-0.1)+ +(-0.1)]=40.0(mm） 10
+(xn-x)2 ]
下课了!
极差--方差--标准差1
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如下表所示．
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?
链接1
通常，如果一组数 据与其平均值的离 散程度较小，我们 就说它比较稳定．
请同学们进一步思 考，什么样的数能 反映一组数据与其 平均值的离散程度？
从表和图中可以看到，小兵的测试成绩 与平均值的偏差较大，而小明的较小．那 么如何加以说明呢？
那么，你能提出一个可行的方案吗？
请在下表的红色格子中写上新的计算方案， 并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试， 小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩 更稳定?
我们可以用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
3.观察下面的图，指出其中谁的标准差较大， 并说说为什么．
反映数据离散程度的指标是什么？
在一次数学测试中，甲、乙两班的 平均成绩相同，甲班成绩的方差为 42，乙班成绩的方差为35，这样的 结果说明两个班的数学学习状况各 有什么特点？
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定． 方差反映的是一组数据与平均值 的离散程度或一组数据的稳定程度．
2 可以看出S
的数量单位与原数据的 不一致，因此在实际应用时常常将 求出的方差再开平方，这就是 标准差（standard deviation）， 用符号表示为
复习回忆:
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征? 答 一组数据中的最大值减去最小 值所得的差叫做这组数据的极差，极 差反映的是这组数据的变化范围或变 化幅度．
八年级数学 10.3方差与标准差(1)课件(改) 青岛版
2
名同学测试成绩的标准差是多少（精确到0 这10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到 . 1 分）?
１、关于两组数据波动大小的比较，正确的 关于两组数据波动大小的比较， 是（Ｂ ） Ａ．极差较小的数据波动较小 Ａ．极差较小的数据波动较小 Ｂ．方差较小的数据波动较小 Ｂ．方差较小的数据波动较小 Ｃ．平均数较小的数据波动较小 Ｃ．平均数较小的数据波动较小 Ｄ．中位数较小的数据波动较小 Ｄ．中位数较小的数据波动较小
(5 − 4) 2 + (4 − 4) 2 + (5 − 4) 2 + L + (5 − 4) 2 2 s = 10
=1.2
也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差: 也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差
数据x 数据 i 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 平均数 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90） ） （ ） （ ） （ ） +（95-90）= 0 （ ）
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和： 乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90） ） （ ） （ ） （ ） +（90-90）= 0 （ ）
x
1 ( + +x +L +x ) x2 n 3 n) －n· n x1
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和： 甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 ） （ ） （ ） +（90-90）2+（95-90）2 = 50 （ ） （ ）
标准方差和标准差
标准方差和标准差标准方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量一组数据的离散程度的。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来评估数据的稳定性和波动程度。
接下来，我将详细介绍标准方差和标准差的概念、计算方法以及实际应用。
首先，让我们来了解一下标准方差和标准差的定义。
标准方差是指一组数据与其均值之间的偏离程度的平方的平均值，它的计算公式为，σ²=Σ(x-μ)²/n，其中σ²表示标准方差，x表示每个数据点，μ表示数据的均值，n表示数据的个数。
而标准差则是标准方差的平方根，它的计算公式为，σ=√(Σ(x-μ)²/n)。
标准方差和标准差的数值越大，代表数据的离散程度越大，反之则代表数据的离散程度越小。
接下来，我们来看一下如何计算标准方差和标准差。
首先，我们需要计算出数据的均值，然后将每个数据点与均值之差的平方求和，再除以数据的个数，最后再取平方根即可得到标准差。
在实际操作中，我们可以利用统计软件或Excel等工具来进行计算，也可以手动计算。
不管采用何种方法，都需要确保计算过程准确无误。
标准方差和标准差在实际应用中有着广泛的用途。
首先，它们可以用来评估数据的稳定性。
通过计算数据的标准方差或标准差，我们可以了解数据的波动程度，从而判断数据的稳定性。
其次，它们可以用来比较不同数据集之间的离散程度。
通过比较不同数据集的标准方差或标准差，我们可以找出哪组数据的波动程度更大，从而进行更准确的数据分析。
总之，标准方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据。
通过对标准方差和标准差的深入理解，我们可以更准确地评估数据的离散程度，从而为数据分析和决策提供更可靠的依据。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准方差和标准差的概念和应用。
标准方差和标准差
标准方差和标准差标准方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，我们经常会遇到这两个概念，因此有必要对它们进行深入的了解和分析。
首先，我们来介绍一下标准方差。
标准方差是一组数据离均值的平均距离的平方的平均值，用来衡量数据的离散程度。
标准方差越大，说明数据的离散程度越大，反之则越小。
标准方差的计算公式为，标准方差=√(Σ(xi-μ)²/n)，其中Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，n代表数据的个数。
通过计算标准方差，我们可以更直观地了解数据的分布情况，从而更好地进行数据分析和应用。
接下来，我们来介绍一下标准差。
标准差是标准方差的平方根，它也是用来衡量数据的离散程度的指标。
标准差的计算公式为，标准差=√(Σ(xi-μ)²/n)，其中Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，n代表数据的个数。
标准差和标准方差一样，都是用来描述数据的离散程度的，只是计算方法略有不同。
在实际应用中，标准差常常被用来衡量数据的波动程度，从而帮助我们更好地进行风险评估和决策分析。
在实际应用中，标准方差和标准差都有着广泛的应用。
比如在金融领域，我们经常会用标准差来衡量资产的风险程度；在质量管理中，我们也会用标准差来衡量产品质量的稳定程度。
因此，对于这两个概念的深入理解和熟练运用，对于我们的工作和生活都具有重要的意义。
总之，标准方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
通过对这两个概念的深入了解和分析，我们可以更好地进行数据分析和应用，从而更好地指导我们的工作和生活。
希望本文能够帮助大家更好地理解和应用标准方差和标准差这两个概念，从而更好地提高工作和生活的效率和质量。
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这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察图14-1（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．
2．方差概念
教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小．通常，采用的是下面的做法：
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．
课堂练习教材P．（l）、（2）
三、课堂小结：
知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差．方差与标准差这两个概念既有联系又有区别．
这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解．
讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达
方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根
知道为什么要引入方差和标准差
思考方差和标准差该如何计算呢?
学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两组分别计算这两组数据的平均数
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米
为什么要这样定义方差？
为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？
认真观察,注意模仿
学生自己动手计算
记忆,并会计算
板书设计
情境创设
1、
2、
例1：……
……
……
例2：……
……
……
习题：……
……
……
作业布置
课后随笔
例1已知两组数据：
分别计算这两组数据的方差．
解：根据公式②（取a=10），有
4．标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根
并把它叫做这组数据的标准差．它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．
教师引导学生分析方差与标准差的别与联系：
计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的一致，有时用它比较方便．
教师说明，在表示各数据与其平均数的偏离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消.
教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）．为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
板演计算过程
出示例题，让学生模仿计算过程进行计算
求平均数时激发学生用简化公式计算．找一名好学生到黑板计算
在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做的更好．
教师范解
从0.026＞0．008知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大．
这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践．不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识．
课时编号
备课时间
课题
2.2方差与标准差(1)
教学目标
1、使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．
2、培养学生的计算能力．
3、培养学生观察问题、分析问题的能力．培养学生的发散思维能力
教学重点
方差概念
教学难点
方差概念
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
一、新课引入：
前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算．
对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两组分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．
教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．
通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准备．
对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小．衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差．
二、新课讲解：
请同学们看下面的问题：
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）
上面表中的数据如图所示
教师引导学生观察表格中的数据和图14-1，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做的好呢？