统计学第六章 相关分析
第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章相关及回归分析方式
第六章 相关与回归分析方式第一部份 习题一、单项选择题1.单位产品本钱与其产量的相关；单位产品本钱与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。
A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关2.样本相关系数r 的取值范围( )。
∞＜r ＜+∞≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤101y x ββ=+上，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A.r ＝0B.r ＝1C.r ＝-1D.|r|＝14.相关分析与回归分析，在是不是需要确信自变量和因变量的问题上( )。
A.前者无需确信，后者需要确信 B.前者需要确信，后者无需确信5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的紧密程度是( )。
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。
7.下面的几个式子中，错误的选项是( )。
8.以下关系中，属于正相关关系的有( )。
9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。
10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。
A.都是随机的B.都不是随机的11.相关关系的要紧特点是( )。
B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着必然的关系，但它们不是确信的关系12.相关分析是研究( )。
13.现象之间彼此依存关系的程度越低，那么相关系数( )。
01y x ββ=+中，假设10β<，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A. r=0B. r=1C. 0＜r ＜1D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，说明( )。
A.现象之间完全无关B.相关程度较小16.已知x 与y 两变量间存在线性相关关系，且210,8,7,100xy xy n σσσ===-=，那么x 与y 之间存在着( )。
17.计算估量标准误差的依据是( )。
A.因变量的数列B.因变量的总变差18.两个变量间的相关关系称为( )。
心理统计学_06相关分析与回归分析
分析
2016年7月5日8时47分
多元线性回归方程
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 bn xn y
式中： b0为常数项，b1、b2、…、bn称为y对应于x1、 x2、…、xn的偏回归系数。
2016年7月5日8时47分
线性回归模型的适用条件
线性趋势：自变量与因变量之间的关系是线性的，可 通过散点图来判断。 独立性：因变量y的取值相互独立，它们之间没有联系， 即残差之间要相互独立，不存在自相关，否则应采用 自回归模型来分析。 正态性：对自变量的任何一个线性组合，因变量y均服 从正态分布，也即残差要服从正态分布。 方差齐性：对自变量的任何一个线性组合，因变量y的 方差均相同，也即要求残差的方差齐性。
积距相关
积距相关 积距相关
2016年7月5日8时47分
相关分析概述
检验假设：
H0：ρ=0
H1：ρ≠0
相关类型：
积距相关： 等级相关： 质与量相关： 品质相关： 偏相关：
调用Bivariate过程 调用Bivariate过程 调用Crosstabs过程 调用Crosstabs过程 调用Partial过程
必须绘制散点图：
2016年7月5日8时47分
Pearson积距相关
计算公式：
rxy
X X Y Y X X
2
Y Y
2
检验统计量：
t r n2 1 r
2
~ t df n 2
SPSS数据文件结构 SPSS菜单操作 SPSS输出结果解读
医学统计学——相关分析
函数关系是一一对应的确定性关系，比较 容易分析和测度，可是在现实中，变量之间的 关系往往并不那么简单。
相关关系的种类
按相关的程 度
完全相关 不完全相关 不相关
相关关系的种类
按相关方向
正相关
负相关
相关关系的种类
按相关的形 式
线性相关 非线性相关
相关关系的种类
按变量多少
单相关
复相关
偏相关
各类相关关系的表现形态图
Pearson简单相关系数用来衡量定距变量 间的线性关系。如 间的线性相关关系。
计算公式如下。 Pearson简单相关系数计算公式为
例1 相关系数计算表
产品产量 生产费用
年份 （千吨） （千元） x 2
x
y
y2
xy
1997 1.2
相关分析
1
相关分析的基本概念
2
二元定距变量的相关分析
3
二元定序变量的相关分析
4
偏相关分析
5
距离相关分析
描述变量之间线性相关程度的强弱，并用 适当的统计指标表示出来的过程为相关分析。 可根据研究的目的不同，或变量的类型不同， 采用不同的相关分析方法。本章介绍常用的相 关分析方法：二元定距变量的相关分析、二元 定序变量的相关分析、偏相关分析和距离相关 分析。
相关分析的基本概念
任何事物的变化都与其他事物是相互联系 和相互影响的，用于描述事物数量特征的变量 之间自然也存在一定的关系。变量之间的关系 归纳起来可以分为两种类型，即函数关系和统 计关系。
当一个变量x取一定值时，另一变量y可以 按照确定的函数公式取一个确定的值，记为 y = f(x)，则称y是x的函数，也就时说y与x 两变量之间存在函数关系。又如，某种商品在 其价格不变的情况下，销售额和销售量之间的 关系就是一种函数关系：销售额=价格×销售 量。
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
统计学中的相关分析
统计学中的相关分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而相关分析是其中一个重要的分析方法。
相关分析是用来量化两个或更多变量之间关系强度的技术，它可以帮助我们理解和预测现象之间的相关性。
本文将介绍相关分析的基本概念、应用以及在实际问题中的运用。
一、相关分析的概念相关分析是统计学中用来确定两个或多个变量之间关系强度的方法。
关系强度通过相关系数来度量，相关系数的取值范围为-1到1。
相关系数为正值表示两个变量是正相关的，即随着一个变量的增加，另一个变量也会增加；相关系数为负值表示两个变量是负相关的，即随着一个变量的增加，另一个变量会减少；相关系数为零表示两个变量之间没有线性关系。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系，并进行进一步的预测和分析。
二、相关分析的应用相关分析在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见领域的相关分析应用示例：1. 经济学领域：相关分析可以帮助经济学家确定不同经济指标之间的关系，如通货膨胀率与失业率之间的相关性，利率与投资之间的相关性等。
这些关系可以用来预测经济发展趋势，为经济政策制定提供参考依据。
2. 医学研究：相关分析在医学研究中的应用非常广泛。
例如，研究人员可以使用相关分析来确定吸烟与肺癌之间的关系，体重与心血管疾病之间的关系等。
这些关系可以帮助医生们更好地了解疾病的发展机制，并提供有效的预防和治疗方案。
3. 市场调查：相关分析可以用来确定市场调查数据中不同变量之间的关系。
例如，一家公司可以使用相关分析来确定广告投资与销售额之间的关系，从而确定最佳的广告投放策略。
相关分析还可以帮助市场调查人员找到潜在的目标客户群体，以提升市场营销效果。
三、相关分析的实际案例为了更好地理解相关分析的应用，我们将通过一个实际案例来说明其具体操作。
假设一个电商公司想要研究用户购买行为与广告点击率之间的关系。
他们分析了一段时间内的用户购买记录和广告点击数据，并进行了相关分析。
他们计算了购买金额和广告点击率之间的相关系数，并得到了一个正值0.75。
第六章 相关关系(0-1)
第六讲相关关系课时安排：6课时教学课型：理论课，课堂同步练习教学目的要求：理解相关分析的意义与条件；熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法；熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法；能应用各种相关解决实际问题。
教学重点与教学难点：重点——积差相关的意义与应用；难点——各种相关方法的选择应用教学方法、手段、媒介：讲授、教材、板书、多媒体教学过程与教学内容：第一节相关与相关系数 (2)第二节积差相关 (8)第三节等级相关 (14)第四节质与量的相关 (22)第五节品质相关——φ相关 (25)本章小结 (28)学习目标：1．理解相关分析的意义与条件2．熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法（重点）3．熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法（难点）4．能应用各种相关解决实际问题问题导入：在学校、社会及家庭教育中，人们常常会遇到一些涉及事物关系的问题，譬如学生品德与家庭教育的关系，个体的智力水平高低与成绩的关系，学生身高与体重的关系，各科成绩之间的关系，人的兴趣爱好与学科成绩的关系，一般能力与特殊能力的关系，智力与创造力的关系，教育经费投入与教学效果的关系等等。
对这些问题的解释需要借助相关分析的方法进行说明。
客观世界涉及事物关系的问题比比皆是。
然而，我们在前几章所处理的数据均属单—变量范围的，即分析一种变量及其取值的分布情况与特征，属单变量的分析。
而涉及事物的关系的时候，至少要有两个变量，分析或研究两个或两个以上变量之间相互关系的量数称相关量数。
第一节 相关与相关系数一、事物的关系与相关量数事物或现象之间的关系大致可分为三种类型：一是因果关系：这种关系说明的是事物之间互相依存、互为因果的关系，是事物之间存在的一种必然关系，即一种引起与被引起的关系，因在前果在后的顺序是不能颠倒的。
二是函数关系（共变关系）：这是事物之间的一种共变关系，其特点是函数与反函数可以互换位置。
统计学中的相关分析与回归分析
统计学中的相关分析与回归分析统计学中的相关分析与回归分析是两种重要的数据分析方法。
它们帮助研究人员理解和解释变量之间的关系，并预测未来的趋势。
在本文中，我们将深入探讨相关分析和回归分析的定义、应用和原理。
第一部分：相关分析相关分析是用来衡量和评估两个或更多变量之间相互关系的统计方法。
通过相关系数来量化这种关系的强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到+1之间，其中-1表示完全负相关，+1表示完全正相关，0表示没有相关性。
相关分析通常用于发现变量之间的线性关系。
例如，研究人员想要了解身高和体重之间的关系。
通过相关分析，他们可以确定是否存在正相关关系，即身高越高，体重越重。
相关分析还可以帮助确定不同变量对某一结果变量的影响程度。
第二部分：回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测和解释变量之间关系的方法。
它可以用来预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
回归分析可分为简单回归和多元回归两种类型。
简单回归分析适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要预测一个人的体重，他们可以使用身高作为自变量。
通过建立线性回归模型，他们可以得到身高对体重的影响，从而预测一个人的体重。
多元回归分析适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
例如，研究人员想要了解影响一个城市房价的因素，他们可以考虑多个自变量，如房屋面积、地理位置、房龄等。
通过建立多元回归模型，他们可以确定每个因素对房价的影响程度，并进行预测。
第三部分：相关分析与回归分析的应用相关分析和回归分析在各个领域都有广泛的应用。
在医学研究中，相关分析可以帮助确定两个疾病之间的关联性，并为疾病的预防和治疗提供依据。
回归分析可以用来预测患者的生存率或疾病的发展趋势。
在经济学中，相关分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP 与通货膨胀率之间的关系。
回归分析可以用来预测经济增长率，并评估政治和经济因素对经济发展的影响。
在市场营销中，相关分析可以帮助企业了解产品销售和广告投放之间的关系，并制定有效的市场推广策略。
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第一节 相关分析的意义和任务 联系与相互影响是普遍的现象
事物相互间关系的质的解释：
自然的、社会的、经济的、心理的… 事物相互间关系的量的分析：
受教 工作 预防 疾病 两变量或多变量间的数量关系。 育的 后的 疾病 的发 水平 收入 支出 病率
问题的提出：
确定性关系 出租汽车费用与行驶里程： 函数关系 总费用=行驶里程 每公里单价
4、按相关关系情况分
单向因果关系：两个变量之间，只能是自变量X值决 定或影响因变量Y值，而不能是因变量Y 决定或影响
自变量X。
•如父母的身高影响孩子的身高 互为因果关系：两变量之间，自变量X与因变量Y相 关，且互相影响对方，均可被定为自变量 •如物价变动与工资变动
5、根据相关密切程度分
完全相关：两种现象中一个现象的数量变化，另一
3
4 4 5 5 6 6 6
520
640 740 600 800 700 760 900
x 60 x 5(年) y 8520 y 710(元) n 12 n 12
11 12
合计
8 9
60
840 1080
8520
首先，判断每个相关点是正相关，负相关还是零相 如果 时，对应 ,, 说明这个点属于正相关 说明这个点属于正相 如果 或 时， y y (x x)( y y ) 的乘积为正数，为负数 x x y ( x x )( y y ) 0 x y y x x 所以，根据 如果 时，对应 , 说明这个点属于负 x x yy y 关，以两个平均值为标准来判断 如果 时 , 对应 , 说明这个点属于 x x y 或为零，可以判断各相关点是属于正相关、负相关 说明这个点属于零相关。 。此时 关。此时 为正数。 也为正数。 ( x( xx )( xy )( y y)y y ) 相关。此时 为负数。 ( x x )( y ) 或零相关。 负相关。此时 ( x x)( y y) 也为负数。
的规律，总有唯一确定的值与之对应。
函数关系可以用数学表达式来反映 函数关系的例子：
圆的面积（S）与半径之间的关系可表示为：
S R
2
显著一 一
对应关 系
（二）随机性的相关关系：
不存在一一
对应的依存关系。
变量间确实存在、但数量上不固定的相互
依存关系。这种关系不能用函数关系精确表达；
即变量 x 取某个值时，与之相关的变量 y 的取值可能有若干个（一个变量的取值不能由另
家庭编号
月收入
单位：元
1
2500
2
1500 1200
3
3000 2800
4
6200 4200
5
8800 6000
6
2000 1800
7
9200 6500
8
9
10
7500 5300
4000 1800 3600 1500
消费支出 2000
排列整理后的相关表：
月收入 消费支出 1500 1200 1800 1500 2000 1800 2500 2000 3000 2800 4000 3600 6200 7500 8800 4200 5300 6000 9200 6500
可见，随着家庭月收入的提高，居民的消费支 出也有相应提高的趋势，两者之间存在明显的正相关
关系。
（二）相关图（也称散点图）
一般以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表
变量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形
式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。
消 费 支 出
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10000
因变量数列的标准差
自变量数列的标准差
对协方差的理解
协方差：两个变量与其均值离差乘 积的平均数，是相互关系的一种度量。
(x x )(y y ) 1 (x x )(y y ) n n
σ
2 xy
序号 1 2
机床使用 年限X
2 2
年维修费 Y
400 540
3
4 5 6 7 8 9 10
0
为正
2
4
6
为负 8
10
x5
其次，根据离差乘积总和
会有几种情况出现：
( x x)( y y)
判断两现象属于哪一种相关形式。
1、所有点全是正相关，则加总的结果为正数。
2、所有点全是负相关，则加总的结果为负数。
3、所有的点既有正相关，又有负相关（也可以由 零相关）。加总的结果正数和负数会发生抵消。抵 消的结果如为正数，则为正相关，如为负数，则为 负相关。
因素。对于这些横截面比较中的不可比问题，在分析
和比较时应做相应的剔除。另外，在观察历史情况的 变化时要注意，恩格尔系数反映的是一种长期的趋势， 而不是逐年下降的绝对倾向。它是在熨平短期的波动 中求得长期的趋势。
一、函数关系与相关关系的概念
（一）确定性的函数关系： ；另一种是相关关系。
客观现象总是普遍联系和相互依存的。它们之间
二、相关关系的种类
按影响因素多少分： 单相关：两个变量间相关
复相关（多重相关、和偏相关）
按表现形态分： 直线相关
曲线相关
按相关关系的方向分： 正相关
负相关
按相关密切程度分：
完全相关 不完全相关 不相关 单向依存关系 互为因果关系
按变量之间的依存关系分：
1、按相关关系涉及的因素（自变量）多少分为： 单相关：（也称一元相关）两变量之间的相关关系
家庭月收入
二、相关系数的测定
相关系数 ：在直线相关条件下，说明两个变量 之间相互关系密切程度的统计指标。若相关系数是 根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，用
（一）相关系数测定——积差法
r x y
2 xy
；如是根据样本数据计算的，则称为样本相关系
数, 用 公式：
r
自变量数列和因变量数列的协方差
现象的数量变化而确定。即函数关系
如S = R2
函数关系是相关关系的一个特例
不相关：两种现象的数量各自独立，互不影响。
如家庭收入多少与孩子多少之间不存在相关关系
•股票价格的高低与气温的高低是不相关的。
4 Y 2
0
-2
-4 -4 -2 0 2
X 4
不完全相关：两种现象之间的关系，介于完全相关
一个变量惟一地确定）
相关关系的例子：
现象不存在 间一一对应 原材料消耗额与产量、单位产品消耗、与产量 的依存关系 价格之间的的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量 (y) 与施肥量 (x1) 、降雨量 (x2) 、 温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度之间的关系(x) 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 投资额与国民收入的关系等等都属于相关关系 ……
恩格尔定律是根据经验数据提出的，它 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数， 是在假定其他一切变量都是常数的前提下才 是表示生活水平高低的一个指标。其计算公式如 适用的，因此在考察食物支出在收入中所占 下： 比例的变动问题时，还应当考虑城市化程度、 食物支出金额 食品加工、饮食业和食物本身结构变化等因 恩格尔系数＝─────── 素都会影响家庭的食物支出增加。只有达到 总支出金额 相当高的平均食物消费水平时，收入的进一 除食物支出外，衣着、住房、日用必需品等 步增加才不对食物支出发生重要的影响。 的支出，也同样在不断增长的家庭收入或总支出
再次，从离差乘积总和中消除项数多少的 影响。
离差乘积总和 ( x x)( y y) 受项数多少的影响 。项数多，数值可能大；项数少，数值可能小。
最后，从协方差中消除消除变量值大小和 离差值大小的影响
协方差是用绝对数表现的平均值。其数值大小和
变量值本身数值的大小有关系。也就是和离差数值大
第八章
相关分析与回归分析
相关分析的意义和任务 简单线性相关分析 回归分析 估计标准误差
第一节
※ 第二节 ※ 第三节
第四节
学习目的与要求
学习目的：通过本章学习，了解现象的 相关关系以及相关与回归的关系。掌握 相关系数的计算方法，掌握一元线性回 归分析,了解常规曲线分析的基本方法。 学习要求：课前预习，课后复习，上课 认真听讲，有疑问随时提出，及时完成 课后练习。
1200 1000 800 600
相关图中的两 条线代表平均 线，由这两条 线，即可对于 每个点作出判 断。
Ⅳ ( x x )( y y )Ⅰ( x x )( y y )
为负 为正
y 710
400 200 0
Ⅲ ( x x )( y y )Ⅱ ( x x )( y y )
正线性相关
三、相关分析的主要内容
（一）确定现象之间有无关系及相关关系的表现形式 （二）确定相关关系的密切程度 1、 定性认识：受判断者的经验、学识、能力等
因素的影响
2、 编制相关表和相关图 （三）选择合适的数学模型 （四）测定变量估计值的可靠程度 （五）对相关系数进行假设检验
第二节 简单线性相关分析 一、相关图和相关表
非确定性关系 相关关系 家庭收入与恩格尔系数： 家庭收入高，则恩格尔系数低。
G KP
19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消
费结构的变化得出一个规律： 一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中） 用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收 入的增加，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物
3、按相关方向分为：
正相关：两个变量的变动方向大体上相同时，即