北大材料力学第四五章 弯曲内力应力PPT课件
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学 第四五章弯曲内力应力
a
13 RB qa 6 5 R A qa 6
Q
5/6 qa2
M
1/6
13/72
7/6
3/6
4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q A
a a
3qa 2
m qa2
B
C
qa 2
2a
qa
3qa 2
qa 2
a
qa 2
qa2 2
qa2
q A
P=qa
B A
q
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
11 2 qa 8
y E E
A
y(
E
y )dA
E
A
y 2 dA M
令 EI z
I z y 2 dA
A
M
抗弯刚度
M 或 EI z
1
My Iz
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
例5-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
中 性 轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
中性层与横截面的交线。
2
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x 的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
材料力学第4章第5章
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL2 8
竖放
max
M max WZ
M max WZ
qL2 82 bh 6
6MPa
横放
max
qL2 8 2 12MPa hb 6
例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝ 32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝ 96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。 y 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
B
F
Fa
纯弯曲：梁受力弯曲 后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称 为纯弯曲。
F
AC段： 剪力弯曲 CB段： 纯弯曲 pure bending
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向
m n
m
n
直线、变形后变成弧线，且 凹边纤维缩短、凸边纤维伸 长。 2、变形前垂直于纵向线的 横向线,变形后仍为直线，且 仍与弯曲了的纵向线正交， 但两条横向线间相对转动了 一个角度。
d
y
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
d
o
y
dx
m
dx
n
z
y
1）几何方程
2）物理方程
3）静力平衡方程
中性轴 z 是形心轴
纯弯曲梁横截面正应力公式 1）几何方程 2）物理方程 2）静力平衡方程 对应力公式的讨论
抗弯截面系数
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
材料力学第四章弯曲内力优秀课件
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
x
2 3
2
，( 0
x3
2)
x 3、根据方程画内力图
x3 1
M
(x3)
2 1
1 2
1 .5 ( kN .m )
27
§5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
FA
q
FB 1、支反力：
2、内力方程
FA
FB
ql 2
xL
A
M
1 FS(x)2qlqx M(x)1qlx1qx2
2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。
（1）当分布力的方向向上时 ——剪力图为斜向上的斜直线；
q 0, Fs 图：
弯矩图为下凸的二次曲线。
M图： M
31
（2）当分布力的方向向下时 ——剪力图为斜向下的斜直线；
Fs图：
q 0,
弯矩图为上凸的二次曲线。
M(x)
M图：
F B
距A端x处截面上内力。 解：①求外力
F x0, F AX 0 m A 0 , F Bl YF a 0 F y 0 ,F A Y F F B Y 0
FAY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
FBYF l ,aFAYF(lla)
11
②求内力
m FAX A
FAY
x
m
A Fs
C
FAY
Fs
M C
FBY
解：1、支反力
A
x1
C x2
D
B x3
Y0, FAYFBY2120 MB0, 12123FAY40
1m 1m
2m
FAY2(kN); FBY2(kN) 2、写出内力方程
材料力学弯曲内力课件
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
23
2. 列剪力方程和弯矩方程
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx qx2 0 x l
22
3. 作剪力图和弯矩图
24
例4-5 已知:简支梁如图 。求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。
RAx x
RA Fs
80 kN
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
RC
x
40 kN
x
120 kN.m
M
160 kN.m
39
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Fs Fs
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
19
2、 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的
横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函 数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置 的变化规律。显示这种变化规律的图形则分 别称为剪力图和弯矩图。
研究CB梁， 受力如图
12
研究CB梁， 受力如图
MC 0
20 103 N m 3 m 2.5 m 5103 N m FBy 5 m 0
《材料力学》第四章 弯曲内力.ppt
列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：（1）求支反力。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
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将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截 面的分布规律用图形表示
例如上面的受均布载荷的简支梁
03.12.2020
材料力学
QRAyqx
MRAyx12qx2
R Ay
ql 2
M 1 ql2 8
03.12.2020
y
q
A
xl
Q
M
材料力学
x
B
x x
（1）列剪力方程和弯矩方程
Y 0,Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
03.12.2020
材料力学
MRAyx12qx2
QRAyqx
MRAyx12qx2
y
q
A
xl
x
B
可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩 为一条曲线——抛物线
由对称性，可以求得
ql R Ay 2
弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有
x l
03.12.2020
2
M 1 ql2 8 材料力学
4、剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
4-1 梁弯曲的概念
P
q
M
RA
RB
产生弯曲变形的杆称为梁
梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形
03.12.2020
材料力学
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面
当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。
Y 0
R By
MA 0
RAyRByP0
RBylPl/20
03.12.2020
RBy P/ 2
R 材料力学 Ay
P/
2
再以悬臂梁为例
假设该悬臂梁承受均布载荷 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力A
l
Ry
B
x
X 0
Y 0
Rx 0 Ry ql 0
Ry ql
MA 0
03.12.2020
RAx A
B
x
xm
RAy
RAx
a P1 Q M
RB 对截面中心建立力矩平衡方程
RAy
Y 0 RAyP1Q0
03.12.2020
QRAyP1
M0 M P 1 x a R A x y 0
材料力学
M R Ax yP 1x a
说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。
2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 平衡方程。
l
MA
ql 2
0
材料力学
MA
1 2
ql2
4-3 梁的内力
# 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
1、剪力和弯矩
与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：
剪力和弯矩
y
考察弯曲梁的某个横截面
在截面形心建立直角坐标
系 剪力与截面平行，用Q表示
一端固定铰支座
活动铰支座位于梁中 某个位置
4、求支座反力的平衡方程
求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
X 0 , Y 0 , M 0
举例说明
y
P
A
R Ax R Ay
l/2
l
左边固定铰支座，有两个约束反力
B
x
右边活动铰支座，1个约束反力
X 0
RAx 0
名称
图示法
反力
未知反力数
滑动铰支
固定铰支
固定端
03.12.2020
Ry
Rx Ry
M Rx
Ry
材料力学
1 (Ry) 2 (Rx，Ry) 3 (M， Rx，Ry)
3、梁的类型
根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型
简支梁
悬臂梁
一端固定铰支座 一端活动铰支座
外伸梁
03.12.2020
一端固定 一端自由
材料力学
第四章
梁的弯曲内力
03.12.2020
材料力学
梁的弯曲是材料力学 部分最重要的内容
弯曲变形是工程构件 最常见的基本变形
03.12.2020
材料力学
工程实际中的弯曲问题
P
PPP
PPP
03.12.2020
P
材料力学
本单元主要内容
❖ 梁弯曲的概念
❖ 梁的载荷与支座反力
❖ 梁的内力
❖ 梁的应力
❖ 梁的强度条件
因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
03.12.2020
材料力学
4-2 梁的载荷与支座反力
1、梁的载荷
# 集中力 # 均布载荷 # 集中力矩
正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；
集中力矩逆时针为正、顺时针为负。
03.12.2020
材料力学
2、梁的支座反力
梁的支承方法及反力
3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。
03.12.2020
材料力学
举例：
y
求图示简支梁 x 截面的弯矩 A 在x 处截开，取左半部分分析
画出外力、约束反力、弯矩
q
xl
x 截面剪力、力矩平衡方程
Y 0 RAyqxQ0
QRAyqx
q qx M
RAy Q
x
B
M0
Mqx2 xRAyx0
Mx
z
Q
弯矩作用面在纵向对称面内
方向沿Z 轴方向 用M 表示
03.12.2020
材料力学
2、剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
负
QQ
对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负
弯矩正负号
M
MM
M
正
负
03.12使.20梁20 下凹为正，向上凸材为料力负学
3、截面法求剪力和弯矩
y a P1
m
P2
0
得M Px
（2）画剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
例4-4 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用， 作此梁的剪力图和弯矩图。
(1) 求支座反力
Y0 , M A0
Pb Pa
R ,R
A
l
B
l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
AC段:
Q R Pb
1
Al
(0 < x < a)
l
CB段：
Pa Q2 l
(axl)
集中力使剪力图突变
M03.122.2020Plb(l x)
集中力使弯矩图折曲
(axl)
材料力学
（1）求支座反力
MA0, M0RBl0 MB 0, RAlM0 0
RB
M0 l
RA
M0 l
（2）列剪力方程和弯矩方程
03.12.2020
材料力学
AC段:
Q1
RA
M0 l
03.12.2020
MRxPbx
1
A
l
材料力学
(0xa)
CB段：
QRPP bPPa
2
A
l
l
(axl)
MRxP(xa)PbxP(xa)
2
A
l
Pb(lx) l
(axl)
03.12.2020
材料力学
(3) 画剪力图和弯矩图
AC段:
Q R Pb (0 < x < a)
1
Al
MRxPbx (0xa)
1
A
03.12.2020
材料力学
AC段:
M1
RAx
M0 l
x P x 2
M1
RAx
M0 l
x
(0xa)
CB段:
Q2 RAM l0
M2
RAxM0
M0 l
xM0
(axl)
集中力偶不使剪力图变化
（3）画剪力图和弯矩图
M
Mb 0
03.12.2020
max
l
材料力学
集中力偶使弯矩图突变
（1）求支座反力
由MB0和MA0可得 RAM l0 P 2, RBM l0 P 2
（2）列写弯矩方程
例如上面的受均布载荷的简支梁
03.12.2020
材料力学
QRAyqx
MRAyx12qx2
R Ay
ql 2
M 1 ql2 8
03.12.2020
y
q
A
xl
Q
M
材料力学
x
B
x x
（1）列剪力方程和弯矩方程
Y 0,Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
03.12.2020
材料力学
MRAyx12qx2
QRAyqx
MRAyx12qx2
y
q
A
xl
x
B
可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩 为一条曲线——抛物线
由对称性，可以求得
ql R Ay 2
弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有
x l
03.12.2020
2
M 1 ql2 8 材料力学
4、剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
4-1 梁弯曲的概念
P
q
M
RA
RB
产生弯曲变形的杆称为梁
梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形
03.12.2020
材料力学
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面
当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。
Y 0
R By
MA 0
RAyRByP0
RBylPl/20
03.12.2020
RBy P/ 2
R 材料力学 Ay
P/
2
再以悬臂梁为例
假设该悬臂梁承受均布载荷 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力A
l
Ry
B
x
X 0
Y 0
Rx 0 Ry ql 0
Ry ql
MA 0
03.12.2020
RAx A
B
x
xm
RAy
RAx
a P1 Q M
RB 对截面中心建立力矩平衡方程
RAy
Y 0 RAyP1Q0
03.12.2020
QRAyP1
M0 M P 1 x a R A x y 0
材料力学
M R Ax yP 1x a
说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。
2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 平衡方程。
l
MA
ql 2
0
材料力学
MA
1 2
ql2
4-3 梁的内力
# 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
1、剪力和弯矩
与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：
剪力和弯矩
y
考察弯曲梁的某个横截面
在截面形心建立直角坐标
系 剪力与截面平行，用Q表示
一端固定铰支座
活动铰支座位于梁中 某个位置
4、求支座反力的平衡方程
求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
X 0 , Y 0 , M 0
举例说明
y
P
A
R Ax R Ay
l/2
l
左边固定铰支座，有两个约束反力
B
x
右边活动铰支座，1个约束反力
X 0
RAx 0
名称
图示法
反力
未知反力数
滑动铰支
固定铰支
固定端
03.12.2020
Ry
Rx Ry
M Rx
Ry
材料力学
1 (Ry) 2 (Rx，Ry) 3 (M， Rx，Ry)
3、梁的类型
根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型
简支梁
悬臂梁
一端固定铰支座 一端活动铰支座
外伸梁
03.12.2020
一端固定 一端自由
材料力学
第四章
梁的弯曲内力
03.12.2020
材料力学
梁的弯曲是材料力学 部分最重要的内容
弯曲变形是工程构件 最常见的基本变形
03.12.2020
材料力学
工程实际中的弯曲问题
P
PPP
PPP
03.12.2020
P
材料力学
本单元主要内容
❖ 梁弯曲的概念
❖ 梁的载荷与支座反力
❖ 梁的内力
❖ 梁的应力
❖ 梁的强度条件
因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
03.12.2020
材料力学
4-2 梁的载荷与支座反力
1、梁的载荷
# 集中力 # 均布载荷 # 集中力矩
正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；
集中力矩逆时针为正、顺时针为负。
03.12.2020
材料力学
2、梁的支座反力
梁的支承方法及反力
3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。
03.12.2020
材料力学
举例：
y
求图示简支梁 x 截面的弯矩 A 在x 处截开，取左半部分分析
画出外力、约束反力、弯矩
q
xl
x 截面剪力、力矩平衡方程
Y 0 RAyqxQ0
QRAyqx
q qx M
RAy Q
x
B
M0
Mqx2 xRAyx0
Mx
z
Q
弯矩作用面在纵向对称面内
方向沿Z 轴方向 用M 表示
03.12.2020
材料力学
2、剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
负
对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负
弯矩正负号
M
MM
M
正
负
03.12使.20梁20 下凹为正，向上凸材为料力负学
3、截面法求剪力和弯矩
y a P1
m
P2
0
得M Px
（2）画剪力图和弯矩图
03.12.2020
材料力学
例4-4 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用， 作此梁的剪力图和弯矩图。
(1) 求支座反力
Y0 , M A0
Pb Pa
R ,R
A
l
B
l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
AC段:
Q R Pb
1
Al
(0 < x < a)
l
CB段：
Pa Q2 l
(axl)
集中力使剪力图突变
M03.122.2020Plb(l x)
集中力使弯矩图折曲
(axl)
材料力学
（1）求支座反力
MA0, M0RBl0 MB 0, RAlM0 0
RB
M0 l
RA
M0 l
（2）列剪力方程和弯矩方程
03.12.2020
材料力学
AC段:
Q1
RA
M0 l
03.12.2020
MRxPbx
1
A
l
材料力学
(0xa)
CB段：
QRPP bPPa
2
A
l
l
(axl)
MRxP(xa)PbxP(xa)
2
A
l
Pb(lx) l
(axl)
03.12.2020
材料力学
(3) 画剪力图和弯矩图
AC段:
Q R Pb (0 < x < a)
1
Al
MRxPbx (0xa)
1
A
03.12.2020
材料力学
AC段:
M1
RAx
M0 l
x P x 2
M1
RAx
M0 l
x
(0xa)
CB段:
Q2 RAM l0
M2
RAxM0
M0 l
xM0
(axl)
集中力偶不使剪力图变化
（3）画剪力图和弯矩图
M
Mb 0
03.12.2020
max
l
材料力学
集中力偶使弯矩图突变
（1）求支座反力
由MB0和MA0可得 RAM l0 P 2, RBM l0 P 2
（2）列写弯矩方程