行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线）所得对应线段的比相等.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——平行线分线段成比例定理若1l ∥2l ∥3l ，则;;AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF===. 例1 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3,则BF 等于 .【知识要点2】——平行线分线段成比例定理推论如果BC ∥DE ，则AD AE AB AC =;AD AE BD CE =;BD CE AB AC=. 例2 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC,若AD:AB=3：4 ，AE=6，则AC= .【随堂练习三】一、判断题1.三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）2.一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）3.如图1，321////l l l ，则BFAE DF CE BD AC ==（ ） 4.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDE EC AE DB AD ==（ ） 二、选择题图1 图21.如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BCDE DB AD = 2.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．123.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164.如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3图65.如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） A. 0.5 B. 2 C.32 D. 23 三、填空题 1.如图8， 则 ＝________， ＝________；2.如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________.3.如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝ . EG ＝________；4.如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________； DB ＝________.21//l l DE AD AC AB 图7 E D C B A 图3 B AC F DE 图4 图5 图11 图10 图9 图8四、解答题1.如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ， 若AB=6cm ，求AP 的值.2.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB3.如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．4.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD ＝ AD ·FD5.已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点，且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.OP NMC B A。
相似三角形平行线分线段成比例定理讲解
BD FH AB EF
左下 右下 (左上 右上)
D
AB EF AD EH
左上 右上 (左全 右全)
b E l1 F l2
H l4
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ，请指出成比例的线段.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
从图中抽象出基本图形：
A
D
F
E
G
B
C
D
C
F
A
B
E
A
3、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—BD ＝ —AACE— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB ( ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC( )B
C
4、填空题:
ED
如图:DE∥BC,AE=2,AC=5,
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段是否成 比例？
A
A
D
E
B
C
B
CD
E
A型
X型
结论3：平行线分线段成比例定理推论
平行于三角形一边的直线截其它两边（或
两边的延长线），所得的对应线段成比例。
A
几何语言： 在△ABC中，如果DE∥BC，那么：
D
E
AD AE , AB AC （上比全，全比上） B
5份
∴
BD BA
=
BM BC
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。
高二数学行线分线段成比例定理
为什么不让玩9码
[名词解释]俄狄浦斯情结（05年十月已考） [单选]类风湿关节炎病人活动期关节的护理，下列哪项是正确的（）A.进行关节锻炼B.防止脊柱挺直C.注意保暖，必要时加盖厚棉被D.四肢关节应保持伸直位E.卧床休息，注意体位姿势 [问答题,案例分析题]阅读下列说明，回答问题1至问题3【说明】某学校见到其他学校都陆续建立了多媒体网站作为学校的一个窗口，也想自己建立一个，就请一个计算机公司帮助建立。在公司人员和学校负责人讨论需求时，学校负责人并不能清晰表达，只能简要表达要满足学校教学和办公需求 [多选]有下列哪些情形之一的，要约不得撤销？（）A、要约人确定了承诺期限B、要约人明示要约不可撤销C、受要约人有理由认为邀约是不可撤销的D、受要约人有理由认为要约是不可撤销的，并已经为履行合同作了准备工作 [单选]在Windows环境下，除个别特殊设置以外，通常所说的“双击”都是指双击鼠标的（）。A、左键B、右键C、左键和右键D、传感器 [单选]根据支付结算制度的规定，下列存款账户中，不可以用于办理现金支取的是（）。A.证券交易结算资金专用存款账户B.临时存款账户C.基本存款账户D.异地从事临时经营活动的单位开立的账户 [填空题]测量工作必须遵循的基本原则之一，就是在布局上应从（）。 [单选]卵泡发育的过程中，不包括以下哪项？（）A.成熟卵泡B.窦前卵泡C.窦状卵泡D.闭锁卵泡E.原始卵泡 [单选]发生运输收入事故时，应保护好现场，并立即电告收入管理部门和（）部门，及时组织破案。A.有关B.公安C.财务D.主管 [问答题,简答题]什么是凝结水过冷度？ [单选]不能提示羊膜腔感染的检查项目是（）A.羊水涂片计数白细胞>100个／mlB.羊水中发现胎粪污染C.羊水测定白介素6>17μg/LD.C-反应蛋白>8mg/LE.羊水涂片查见细菌 [单选]一般情况下问卷应在多长时间内完成，否则会影响应答的效率（）A.20分钟B.30分钟C.40分钟D.50分钟E.1小时 [单选,A2型题,A1/A2型题]病原体不断侵入血流并在血中繁殖产生毒素，表现出严重中毒症状时，应诊断为（）A.毒血症B.败血症C.菌血症D.脓毒血症E.变应性亚败血症 [单选]关于借贷记账法的说法，错误的是（）。A.是以"借""贷"作为记账符号，反映各项会计要素增减变动情况的一种记账方法B.账户的基本结构：右方为借方，左方为贷方C.记账规则：有借必有贷，借贷必相等D.一个企业全部账户本期借方发生额合计等于全部账户本期贷 [单选]葡萄糖以下列哪种方式通过胎盘？（）A.简单扩散B.易化扩散C.主动转运D.被动转运E.胞吞作用 [单选]风湿性心脏病二尖瓣狭窄除心尖区听到舒张期隆隆样杂音外，另一具有诊断意义的体征是（）.A.心尖区粗糙的收缩期吹风样杂音B.肺动脉瓣区第二心音亢进和分裂C.胸骨右缘第2肋间收缩期杂音并向颈部传导D.心尖区舒张期震颤E.胸骨左缘第3～4肋间闻及舒张期吹风样杂音 [单选]某食堂发生以呕吐为主要症状的食物中毒，在餐具和厨房炊具中没有培养出肠道致病菌，但在炊事人员的手上查出了化脓性感染灶。该致病菌可能是金黄色葡萄球菌。若该病例如上所述，可选用治疗的药物是()A．头孢克罗B．青霉素C．哌拉西林/舒巴坦D．苯唑西林E．亚胺培南 [单选]下列税务代理情形中，委托方不能单方终止代理行为的是（）。A：注册税务师延时提供服务B：税务师事务所解散C：税务师事务所因经营不善破产D：注册税务师未按代理协议的约定提供服务 [单选]女性，20岁，反复发作喘息、呼吸困难、咳嗽2年。体检：双肺散在哮鸣音，心脏无异常。下列检查结果中有助于明确诊断的是（）A.最大呼气流量显著降低B.一秒钟用力呼气容积降低C.最大呼气中段流量降低D.支气管舒张试验阳性E.X线胸片显示肺纹理稍多 [填空题]乙炔装置AR425分析仪的测量范围是（）。 [单选]对心室颤动最可靠有效的方法是（）A.静脉注射利多卡因B.静脉注射胺碘酮C.电除颤D.静脉注射美托洛尔E.静脉注射普罗帕酮 [单选]下列关于会计报表的编制要求，表述不正确的是（）。A.在编制报表时，应保证内容完整，不得漏填B.会计报表之间，本期报表与上期报表之间的数字应允许不一致C.账簿记录是编制会计报表的主要依据，在编制会计报表前，要做好对账和结账工作，在保证账证、账账、账实相符的前提下 [单选]将信托分为民事信托和商事信托的依据是（）。A.信托利益归属的不同B.受托人身份的不同C.信托设立目的的不同D.委托人人数的不同 [问答题]一架装载如下的飞机的地板的最小承载限制是多少？货盘尺寸－长116.8宽87.7货盘重量－137磅系留装置－49磅货物重量－12，262.4磅 [单选]一件发明专利申请的权利要求为：“一种治疗心脏病的药物，其特征在于，包括：（1）活性成分X；（2）活性成分Y；（3）着色剂M；和（4）调味剂N。”在其申请日前公开的下列哪些治疗心脏病的药物破坏该权利要求的新颖性？（）A.由活性成分X和Y组成的药物B.由活性成分X、活性成 [判断题]锉削软材料时，应选用齿距较小的锉刀进行工作。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列因素中能使冠状动脉血流量增多的是（）。A.主动脉舒张压降低B.心室收缩压下降C.心室舒张期延长D.左心室收缩力降低E.冠状动脉痉挛 [单选]关节穿刺的适应证不包括（）。A.急性化脓性关节炎B.急性晶体性关节炎C.骨关节炎D.急性外伤性关节炎E.顽固性关节病的关节灌洗 [单选,A2型题,A1/A2型题]生理性红细胞沉降率增快可见于（）A.细菌感染B.肺结核C.女性月经期D.大手术E.旷巨球蛋白血症 [单选,A1型题]尿道损伤后，有排尿困难，导尿管能插入膀胱，应将导尿管留置多久（）A.10～14天B.1天C.3～4周D.5天E.5～6周 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于正常妇女双合诊检查的描述，正确的是（）A.双手同时放入阴道检查B.均有宫颈抬举痛C.可触到输卵管D.子宫固定E.一般触不到卵巢 [单选]涡轮螺旋桨式发动机的当量轴马力（ESPH）用于度量（）.A.涡轮进气道温度B.轴马力和喷气推力C.螺旋桨推力 [单选]疑为子宫内膜不规则脱落，取内膜活检的理想时间是（）。A.月经第1日B.月经第5日C.月经干净后3日D.月经来潮前12hE.月经来潮12h内 [单选,案例分析题]赵某，男，38岁。工龄为10年，为矿石厂工人，焙烧工人，近一年，逐渐出现易兴奋，震颤，口腔炎，牙龈炎症状，来院检查，血汞0.5μmol/L，尿汞0.3μmol/L。其解毒剂为（）。A.谷胱甘肽B.喷替酸钙钠C.纳洛酮D.二巯丙磺钠E.二巯丁二酸 [问答题,简答题]override与重载的区别 [单选]滑膜关节在X线片上哪项难以见到()A．关节间隙B．骨性关节面C．关节软骨D．关节囊及韧带E．关节内外脂肪层 [填空题]安全生产的“三同步”是指安全生产与经济建设、（）、（）、同步发展、同步实施。 [填空题]出窑废气中NOX浓度的高低主要取决于窑内气体中（）、（）及气体在高温区内（）三个因素。 [多选]下面哪些协议是数据链路层协议（）A.PPPB.HDLCC.IPXD.IEEE802.3 [单选]下列关于隧道衬砌裂缝病害防治的说法错误的是（）。A.设计时应根据围岩级别选取衬砌形式及衬砌厚度B.钢筋保护层必须保证不小于3cmC.混凝土宜采用较大的水灰比，降低骨灰比D.混凝土温度的变化速度不宜大于5°C/h
比例性质与平行线分线段成比例定理PPT讲稿
图6-1-3
【解析】根据两点之间最短， 只需求出AD的长，分别延长AD、 BC相交于E点，由CD∥AB得CD/AB=CE/BE 2/8=CE/(CE+8) CE=8/3. 根据勾股定理得DE=10/3，AE=40/3 AD=10
米.即小鸟至少飞了10米.
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，P是BC上一点， PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P 点在BC边上移动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值， 并说明理由.
cm.
3
➢ 课时训练
3.(2004·贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯光
下
()
A.小明的影子比小强的影子长
D
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
➢ 课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,
E、F分别是AB、CD的中点，EF
五、中考要求
(1)会利用比例性质求比例中项、第四比例项 及代数式的值.
(2)会求比例尺.
(3)能灵活运用平行线分线段成比例定理及推论 证明线段成比例，并会利用推论的逆定理证明 两直线平行.
➢ 课前热身
1．(2003·南京市)在比例尺是1∶38000的南京交通游
览图上，玄武湖隧道长约7cm它的实际长度约为 ( )
➢ 课时训练
6.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项 c= cm. 6
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3，AE交BD于点F，
人教版高中数学选修4-1《1.2 平行线分线段成比例定理》
名师点评
对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化：如果 已知 a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比 AB DE CB FE 例，如 ＝ ， ＝ 等． AC DF CA FD 上 上 上 上 对于平行线分线段成比例定理， 可以归纳为 ＝ ， ＝ ， 下 下 全 全 左 左 ＝ 等，便于记忆． 右 右
2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
成比例 ． 边的延长线)所得的对应线段__________
AD AE (2)符号语言表示：如图所示，若 a∥b∥c，则 AB ＝AC.
特别提醒
实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意 正确识别图形，如图(1)和图(2)所示．
(3)当截得的对应线段成比例， 且比值为 1 时， 则截得的线段 相等， 因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩 充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例， 平行线等分线段定理是证明线段相等的依据， 而平行线分线段成 比例定理是证明线段成比例的途径．
问题探究 1：如图，直线 l1、l2 被三个平行平面 α、β、γ 所 截，直线 l1 与它们的交点分别为 A、B、C，直线 l2 与它们的交点 AB DE 分别为 D、E、F.BC与 EF 相等吗？ 提示：相等． 证明如下：(1)如果 l1 与 l2 相交于点 G(图①)，那么 l1 与 l2 确 定一个平面 π，连接 AD，BE，CF，则 AD，BE，CF 均在平面 π AB DE 上， 且 AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知， ＝ . BC EF
如图所示，在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，过 O 作 AB 的平行线，与 AD、BC 分别交于 E、F 两点，与 CD 的延长线交于点 K.求证：KO2＝KE· KF.
平行线分线段成比例定理(一).
=
右上 右下
；
左上 左全
=
右上 右全
；
左下 左全
=
右下 右全
例3．如图，已知：DE∥BC，AB=15，AC=9， BD=4.求AE 的长.
A
B D
C E
例3．如图，已知：DE∥BC，AB=15，AC=9， BD=4.求AE 的长.
A
15
B D C E
例3．如图，已知：DE∥BC，AB=15，AC=9， BD=4.求AE 的长.
l1
l2
l3
应用线段的对应关系以及比例 的性质,我们还可以得到：
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例.
A C E G
l1
l2
D
H
l3
A C
E
G
D
H
在你画的图形中， = 的 AD EH 说法正确吗?
AC
GH
左上
左上
左下
左上
左下
右上
左上
左下
右上
右下
左上
左下
结
A C D E G H
2．思想方法：
A B C D E F G H A
C
E
G
l1 l2
D
H
l3
特殊
一般
2．思想方法：
例1的数字形式 具体
例2的字母形式 抽象
2．思想方法：
A
A C E G
E G H
l
1
C D
H
l2 l3
D
基本图形 具体
变式图形 抽象
2．思想方法：
基本图形
变式图形
思 考 题
成比例线段与平行线分线段成比例
初中数学成比例线段与平行线分线段成比例编稿老师董志臣一校杨雪二校黄楠审核郑建彬一、考点突破1. 理解并掌握比例的基本性质，成比例线段的定义。
2. 理解平行线分线段成比例的定理及其证明。
3. 应用相关知识解决问题。
二、重难点提示重点：成比例线段及平行线分线段成比例定理的理解。
难点：应用比例性质及平行线分线段成比例定理解决问题。
1. 成比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
【注意顺序问题】A. 当题目给出a、b、c、d为成比例线段时，表示有先后顺序之分：为（）；B. 当题目问a、b、c、d是否为成比例线段时说明没有先后顺序，只要按照一定的顺序，满足比值相等就行。
2. 常用的比例性质：①基本性质：若则ad=bc，可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a②合比性质：若则；③反比性质：若则；④等比性质：若=…=＝k, 则 (b+d+…+n≠0)。
3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例题1（青浦区一模）已知：线段a、b、c，且==。
（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27，求a、b、c的值。
思路分析：（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案。
答案：解：（1）∵=，∴=，∴=；（2）设===k则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12。
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课上练习:填空(单击)
A
D
E 已知:三角形ABC,D.E是AB
B
C与AC上的点,且DE平行于BC
如果AD=6,AE=4,BD = 3,
则EC=(
),AC=( )
答:EC=2,AC=6
下 返回 一
张
课上练习:计课算 上练习:
A C
B E
已知:AB平行CD,AD与 BC相交于点E,BE=3 ,
EC=4, AD=14. 求AE和ED的长.
课前热身(单击)
de
A
D
a • 已知:
B
E
b • 直线 a平行b平
行c,直线d和直
C
F
线e是截线 .则:
c
• AB:BC=
• AB:AC=
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试一试(1) (单击) 想一 想
?
ed
A
(D)
B
E
a
•
如果把直线e向左 移动,使其与d的
b 交点在b上,那么
刚才的比例是否
C
F
c 成立?
总结
返回
平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例.
D
上 返回 一
张
(单击)
ed
D
A
B
(E)
C
F
想一 想
?
a
• 如果继续把直线e向左 b 移动,使其与d的交点
在c上,那么刚才的比例 是否仍然成立?
c
总结
返回
平行于三角形一边的直线截其他两边延长线所得的对应线段成比例.
总结:(单击)
• 平行于三角形一边的直线截其他 • 两边(或两边延长线)所得的对应 • 线段成比例.