南京市玄武区数学一模试卷及答案
玄武区2013年中考第一次模拟数 学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．如果向北走3 km 记作＋3 km ，那么向南走5 km 记作A ．－5 kmB ．－2 kmC ．＋5 kmD ．＋8 km 2．下列计算正确的是A ．a 3＋a 3＝a 6B ．a 6÷a 3＝a 2C ．(a 2)3＝a 8D ．a 2·a 3＝a 5 3．下列调查中，适合采用普查方式的是 A ．调查市场上婴幼儿奶粉的质量情况 B ．调查黄浦江水质情况C ．调查某个班级对青奥会吉祥物的知晓率D ．调查《直播南京》栏目在南京市的收视率4．如图，若△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称，BB'交MN 于点O ，则下列说法中不一定．．．正确的是 A ．AC ＝A'C' B ．AB ∥B'C' C ．AA'⊥MN D ．BO ＝B'O5．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5 C．最大值－6 D ．最小值－6 6．某优质袋装大米有A 、B 、C 三种包装，分别装有5千克、10千克、15千克大米，每袋售价分别为35元、65元、90元，每袋包装费用(含包装袋成本)分别为4元、5元、6元．超市销售A、B 、C 三种包装的大米各60千克，获得利润最大的是A ．A 种包装的大米B ．B 种包装的大米C ．C 种包装的大米D ．三种包装的大米都相同二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上） 7．计算：2＋8＝ ▲ ．8．如图，若a ∥b ，∠1＝60°，则∠2＝ ▲ °．9．据新浪报道，新浪微博在2012年末约拥有503000000个注册用户，将503000000用科学记数法表示为 ▲ ． 10．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 ▲ ．11．一个周长20 cm 的菱形，有一个内角为60°，其较短的对角线长为 ▲ cm ．12 13a①y ＝x 2＋3x ＋3；④y ＝－(x －3)＋3．14．若有一列数依次为：23，48，815，1624，3235……，则第n 个数可以表示为 ▲ ．15．如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，可知该无盖长方体的容积为▲ ．16CD 与弦AB 长度的差为 ▲ （用含有R ABC A'B'C'MN O（第4题）（第12题）54°81° 34.2演算步骤）17．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜－5，x 2－12＜x －23．18．（8分）先化简，再求值：(x 2x －2－4x －2)÷x 2＋4x ＋4x －2，其中x 是方程x 2－2x ＝0的根．19．（8分）3月的南京，“春如四季”．如图所示为3月22日至27日间，我市每日最高气温与最低气温的变化情况．（1）最低气温的中位数是 ▲ ℃；3月24日的温差是 ▲ ℃；（2）分别求出3月（320．（721．（8分）如图，在DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE （2）若AB ＝DB 22．（8AB ＝6，点A 的横坐标为2，反比例函数y ＝18x 的图像经过点（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A 、C 所在直线的函数关系式． （3）请直接写出AD 长 ▲ ． 23．（8ABC 绕着格点O 顺时针旋转90°． （1）画出△ABC 旋转后的△A'B'C'； （2）求点C 旋转过程中所经过的路径长； （3）点B'到线段A'C'的距离为 ▲ ．24．（7分）一辆汽车开往距离出发地180时后以原来速度的1.5度．25．（10分）小明设计了一个“简易量角器”30°，CA ＝30 cm ，在AB边上有一系列点P 1，P 2，P 3…P 8，使得∠P 1CA ＝10°，∠P 2CA ＝20°，∠P 3CA ＝30°，…∠P 8CA ＝80°． （1）求P 3A 的长（结果保留根号）；（2）求P 5A 的长（结果精确到1 cm ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，3≈1.7）； （3）小明发现P 1，P 2，P 3…P 8这些点中，相邻两点距离都不相同．．．．，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．26．（9分）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率．例如，对于函数y ＝3x ＋1，当自变量x 增加13，故函数y ＝3x＋1的平均变化率为3．（1）①列车已行驶的路程s （km ）与行驶的时间300t ，该函数的平均变化率是▲ ；其蕴含的实际意义是 ▲ ；②飞机着陆后滑行的距离y （m y ＝－1.5x 2＋60x ，求该函数的平均变化率；（2）通过比较（1）中不同函数的平均变化率，你有什么发现；（3）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过第一象限内的三点A 、B 、C ，过点A 、B 、C 作x 轴的垂（第25题）线，垂足分别为D、E、F，AM⊥BE，垂足为M，BN⊥CF，垂足为N，DE＝EF，试探究△AMB与△BNC面积的大小关系，并说明理由．27．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使得∠CDB＝∠CAB，DB＝CB．（1）请用尺规作图的方法确定点D；（2）连接CD，与AB交于点E，求∠（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点r为半径的⊙O与⊙A相切（第26题）2次以上，请直接写出r应满足的条件．A（第27题）玄武区2013年中考第一次模拟数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共12分） 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．3 28．609．5.03×108 10．两个锐角互余的三角形是直角三角形 11．5 12．513．①③ 14．2nn (n ＋2)15．616．R三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：解不等式①，得x ＜－3．解不等式②，得x ＜－1．所以，原不等式组的解集为x ＜－3．……………………………………6分18．（本题8分）解：(x 2x －2－4x －2)÷x 2＋4x ＋4x －2＝x 2－4x －2·x －2 x 2＋4x ＋4 ＝(x ＋2)( x －2)x －2·x －2(x ＋2)2＝x －2x ＋2．……………………………………………………………………4分 x 2－2x ＝0． 原方程可变形为 x (x －2)＝0． x ＝0或x －2＝0 ∴x 1＝0，x 2＝2．∵当x ＝2时，原分式无意义，∴x ＝1． ……………………………………………………………………7分 当x ＝1时，x －2x ＋2＝－13．…………………………………………………………………8分19．（本题8分）（1）6.5；14； …………………………………………………………………2分（2）最高气温平均数：16×(18＋12＋15＋12＋11＋16)＝14℃；最低气温平均数：16×(7＋8＋1＋6＋6＋8)＝6℃； ……………………4分（3）s 最高气温＝16×[(18－14)2＋(12－14)2＋(15－14)2＋(12－14)2＋(11－14)2＋(16－14)2]＝193；s 最低气温＝16×[(7－6)2＋(8－6)2＋(1－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2]＝173；∵s 最高气温＞s 最低气温，∴数据更稳定的是最低气温．……………………………………………8分解：甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA ）、（AAB ）、（ABA ）、（ABB ）、（BAA ）、（BAB ）、（BBA ）、（BBB ），共有8种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A ）的结果有2种，所以P(A )＝28＝14．…………7分21．（本题8分）证明：（1）在□ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ．∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ．∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠CDB ，∴∠ABE ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ．∴∠ABE ＝∠CDF ． 在△ABE 和△CDF 中，∵∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF ． ………………………………………………4分（2）∵AB ＝DB ，BE 平分∠ABD ，∴BE ⊥AD ，即∠DEB ＝90°．∵AB ＝DB ，AB ＝CD ，∴DB ＝CD ．∵DF 平分∠CDB ，∴DF ⊥BC ，即∠BFD ＝90°． 在□ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠EDF ＋∠DEB ＝180°． ∴∠EDF ＝90°．∴四边形DFBE 是矩形． …………………………………………8分22．（本题8分）解：（1）∵点A 在反比例函数y ＝18x的图像上，∴y ＝182＝9，∴点A 的坐标是（2，9）．……………………………………………3分 （2）∵BC 平行于x 轴，且AB ＝6，∴点B 纵坐标为9－6＝3，点C 纵坐标为3．∵点C 在反比例函数y ＝18x 的图像上，∴x ＝183＝6，∴点D 的坐标是（6，3）．设经过点A 、C 所在直线的函数关系式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎨⎧9＝2k ＋b ，3＝6k ＋b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝12．∴y ＝kx ＋b ∴经过点A 、C 所在直线的函数关系式为y ＝－32x ＋12．…………7分（3）4．………………………………………………………………………8分甲 丙 乙ABCDE F（第21题）（1）3分（2旋转过程中所经过的路径长为：90π5180＝52π．…………………6分（38分24．（本题 解：设前一小时的行驶速度为x km/h ．根据题意，得1＋180－x 1.5x ＝180x －4060．解得 x ＝60．经检验，x ＝60是原方程的根．答：出发后第一小时内的行驶速度是60 km/h ．…………………………7分25．（本题10分）解：（1）连接P 3C ．∵∠P 3CA ＝∠A ，∴P 3C ＝P 3A ．又∵∠P 3CB ＝∠BCA －∠P 3CA ＝60°，且∠B ＝∠BCA －∠A ＝60°， ∴∠P 3CB ＝∠B ，∴P 3C ＝P 3B ， ∴P 3A ＝P 3B ＝12AB ．在Rt △ABC 中，cos ∠A ＝ACAB ，∴AB ＝ACcos ∠A＝203 cm ．∴P 3A ＝12AB ＝103 cm ． ……………………………………………3分（2）连接P 5C ，作P 5D ⊥CA ，垂足为D ．由题意得，∠P 5CA ＝50°，设CD ＝x cm ．在Rt △P 5DC 中，tan ∠P 5CD ＝P 5DCD，∴P 5D ＝CD ·tan ∠P 5CD ＝1.2x ．在Rt △P 5DA 中，tan ∠A ＝P 5D DA ，∴DA ＝P 5Dtan ∠A ＝1.23x ．∵CA ＝30 cm ，∴CD ＋DA ＝30 cm ． ∴x ＋1.23x ＝30．∴x ＝301＋653．在Rt △P 5DA 中，sin ∠A ＝P 5D P 5A ，∴P 5A ＝P 5Dsin ∠A ＝2.4x ．∴P 5A ＝2.4×301＋653≈24 cm ．………………………………………7分 （3）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°．当P 1，P 2，P 3…P 8在斜边上时． ∵∠B ＝90°－∠A ＝45°， ∴∠B ＝∠A ，∴AC ＝BC ． 在△P 1CA 和△P 8CB 中，∵∠P 1CA ＝∠P 8CB ，AC ＝BC ，∠A ＝∠B ，∴△P1CA≌△P8CB．∴P1A＝P8B．同理可得P2A＝P7B，P3A＝P6B，P4A＝P5B．则P1P2＝P8P7，P2P3＝P7P6，P3P4＝P6P5．在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．（回答“当P1，P2，P3…P8在直角边上时，P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不同相”，得1分，根据等腰三角形轴对称性直接得出结论，得2分）………………………………………………………10分26．（本题9分）解：（1）①300；列车的速度．②该函数的变化率为：－1.5(x＋1)2＋60(x＋1)－[－1.5x2＋60x]＝－3x＋58.5．…………4分（2）一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量．（仅从匀速和变速角度出发，得1分）………………………………………………6分（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x轴，∴∠ADE＝∠DEM＝∠EMA＝90°，∴四边形ADEM为矩形，∴AM＝DE．同理可得BN＝EF．∵DE＝EF，∴AM＝BN．设DE＝EF＝n(n＞0)，当x增加n时y增加了w．则w＝a(x＋n)2＋b(x＋n)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2anx＋an2＋bn∵该二次函数开口向上，∴a＞0．又∵n＞0，∴2an＞0．∴w随x的增大而增大．即BM＜CN．∵S△AMB＝12AM·BM，S△BNC＝12BN·CN，∴S△AMB＜S△BNC．……………………………………………………9分27．（本题9分）解：（1）如图，点D为所求．（不写作法不扣分）…………………………3分（2）∵DB＝CB，∴∠又∵∠CDB＝∠∵∠CAB＋∠CBA90°．即∠BEC＝90°．6分（3）当0＜r＜2当r＝2时，⊙O当r＝8时，⊙O当r＞8时，⊙O9分。
初中数学 江苏省南京市玄武区中考模拟数学一模考试题考试卷及答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:计算(a2)3÷(a2)2的结果是A．a B．a2C．a3D．a4试题2:南京地铁3号线全长约40000米，将40000用科学记数法表示为A．0.4×105B．4×104C．4×105D．40×103试题3:数据1，1，4，3，3的中位数是A．4 B．3.5 C．3 D．2.5试题4:已知点A、B在一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0试题5:如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是A．∠1＋∠5＋∠4＝180°B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180°D．∠1＋∠6＝∠2试题6:如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（0，4）、（－3，0），点E、F分别为AB、BO的中点，分别连接AF、EO，交点为P，点P坐标为A．（－，）B．（－，2）C．（－1，）D．（－1，2）试题7:使有意义的x的取值范围是．试题8:若半径为1的⊙O1与半径为2的⊙O2外切，则O1O2＝．试题9:把方程x2＋6x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式后，h＝，k＝▲．试题10:计算16.8×＋7.6×的结果是．试题11:调查机构对某地区1000名20~30岁年龄段观众周五综艺节目的收视选择进行了调查，相关统计图如下，请根据图中信息，估计该地区20000名20~30岁年龄段观众选择观看《最强大脑》的人数约为人．试题12:根据如图所示的部分函数图象，可得不等式ax＋b＞mx＋n的解集为▲．试题13:若一个圆锥的主视图是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积为cm2．试题14:如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形AB CD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为▲．试题15:某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图所示．这种工艺品的销售量为件（用含x的代数式表示）．试题16:如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1︰2︰3，则折痕对应的刻度有▲种可能．试题17:解不等式组试题18:先化简，再求值：其中x满足方程x2＋4x－5＝0．试题19:小红去买水果，5kg苹果和3kg香蕉应付52元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付44元．那么在单价没有弄反的情况下，购买6kg苹果和5kg香蕉应付多少元？请你运用方程的知识解决这个问题．试题20:（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母），求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为．试题21:如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．试题22:如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图②，说明你这样画的理由．试题23:图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．试题24:某市出租车按里程计费标准为：不超过3公里部分，计费11元，超过3公里部分，按每公里2.4元计费．现在在此基础上，如果车速不超过12公里/小时，那么再加收0.48元/分钟，这项费用叫做“双计费”．图中三段折线表示某时间段内，一辆出租车的计费总额y（元）与行驶时间x（分钟）的函数关系（出租车在每段上均匀速行驶）．（1）写出AB段表示的实际意义；（2）求出线段BC所表示的y与x的函数关系式；（3）是否可以确定在CD段该辆出租车的计费过程中产生了“双计费”的费用？请说明你的理由．试题25:在一次聚餐中，小明发现用圆形铁盘加热食物时，铁盘边缘部分的食物先熟，中间部分的食物后熟，说明铁盘不同位置的温度有差异．针对这一现象，他收集了如下统计图表：表一正多边形铁盘温度方差表图一正多边形铁盘温度分布统计图（部分）正多边形边数边缘温度方差整体温度方差4 2.304.736 0.343.058 0.102.6010 0.052.5212 0.022.51无穷多：圆0.002.30（1）表一中，随着正多边形边数的增加，边缘温度方差如何变化？边缘温度最稳定的是哪一种形状的铁盘？（2）图一中，最有可能表示圆形铁盘温度分布的曲线序号是．（3）已知各正多边形（包含圆）的面积相等．图一中点A、B的数值对应曲线的端点，点O表示正多边形中心．观察图一，下列说法正确的有．（填写正确选项的序号）a．可以看出，曲线②表示的整体温度比曲线③表示的整体温度稳定．b．OA与OB长度不同，其意义是不同正多边形的顶点距各自中心的距离不同．c．曲线②表示的铁盘的边数比曲线①表示的铁盘的边数少．d．如果曲线①代表正四边形，且OA2︰OB2＝3︰4，那么曲线②可以代表正六边形．试题26:在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP＝∠B；（2）如图②，AC＝8，BC＝6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．试题27:在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝ax＋b的图象与二次函数y＝ax2＋bx的图象交于点A、B．其中a、b均为非零实数．（1）当a＝b＝1时，求AB的长；（2）当a＞0时，请用含a、b的代数式表示△AOB的面积；（3）当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点B作x轴的垂线，垂足为B′．若二次函数y＝ax2＋bx的图象的顶点在反比例函数y＝的图象上，请用含a的代数式表示△BB′A的面积．试题1答案:B试题2答案:B试题3答案:C试题4答案:D试题5答案:D试题6答案:C试题7答案:x≥－1；试题8答案:3试题9答案:3；6试题10答案:7试题11答案:6800试题12答案:x＜4试题13答案:6π试题14答案:π试题15答案:(60＋x )试题16答案:4试题17答案:解：解不等式①，得x＜2．解不等式②，得x≥－1．所以，不等式组的解集是－1≤x＜2．试题18答案:解：由x2＋4x－5＝0．解得x1＝1，x2＝－5．所以试题19答案:解：设苹果单价为x元/kg，香蕉单价为y元/千克．根据题意，得则 6x＋5y＝68（元）．答：购买6kg苹果和5kg香蕉应付68元．试题20答案:（1）解：空格1 空格2 空格3A B CA C BB A CB C AC A BC B A如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C（记为事件A）的结果有一种，所以P(A)＝．（2）．试题21答案:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝AD，FC＝BC．∴AE＝CF．在△AEB与△CFD中∴△AEB≌△CFD．（2）解：∵四边形EBFD是菱形，∴BE＝DE．∴∠EBD＝∠EDB．∵AE＝DE，∴BE＝AE．∴∠A＝∠ABE．∵∠EBD＋∠EDB＋∠A＋∠ABE＝180°，∴∠AB D＝∠ABE＋∠EBD＝×180°＝90°．试题22答案:解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．（2）∵AD是直径，∴＝．又∵AB＝AC，∴＝．∴＝，所以PD平分∠BPC．试题23答案:解：（1）当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°－∠ANB－∠B＝90°．在Rt△NMB中，sin∠B＝，∴BN＝＝＝12cm．∴CN＝CB－BN＝AN－BN＝(20－12)cm．（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°在Rt△BEM中，cos∠B＝，∴BE＝MB cos∠B＝(AN－AM) cos∠B＝6cm．∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝12cm．∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°．试题24答案:解：（1）出租车行驶了6分钟，不超过3公里，收费11元．（2）设当6≤x≤11时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b．由图象，当x＝6时，y＝11，当x＝11时，y＝17．解得：∴y与x的函数关系式为：y＝1.2x＋3.8．（3）不能确定．①若产生了“双计费”，5分钟费用增加5×0.48＝2.4(元)，出租车在第11到16分钟以12公里/小时的速度，行驶了×5＝1(千米)，费用增加2.4元，车费总额增加4.8元，符合题意．②若没有产生“双计费”，出租车在第11到16分钟以24公里/小时的速度，5分钟行驶了2千米，费用增加2×2.4＝4.8(元)，符合题意．试题25答案:解：（1）边缘温度方差越来越小，边缘温度最稳定的是圆形铁盘．（2）序号是③；（3）b，d ．试题26答案:解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，∴BC与⊙O相切．∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC＝BP．∴∠BCP＝∠BPC＝．∵∠ACP＋∠BCP＝90°，∴∠ACP＝90°－∠BCP＝90°－＝∠B．即2∠ACP＝∠B．（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝＝10．如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切．连接OP、AO．∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB．设OC＝x，则OP＝x，OB＝BC－OC＝6－x．∵AC＝AP，∴PB＝AB－AP＝2．在△OPB中，∠OPB＝90°，OP2＋BP2＝OB2，即x2＋22＝(6－x)2，解得x＝．在△ACO中，∠ACO＝90°，AC2＋OC2＝AO2，AO＝＝．∵AC＝AP，OC＝OP，∴AO垂直平分CP．∴CP＝2＝．由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长．综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．试题27答案:解：（1）当a＝b＝1时，一次函数为y＝x＋1，二次函数为y＝x2＋x．由x＋1＝x2＋x，解得x1＝1，x2＝－1，可得 y1＝2，y2＝－0．∴点A，B的坐标为（1，2）或（－1，0）．∴AB＝＝2．（2）由ax＋b＝ax2＋bx得ax2＋(b－a)x－b＝0，解得：x1＝－，x2＝1．不妨设A（－，0），B（1，a＋b）．当b＞0时，S△AOB＝×(a＋b)＝；当b＝0时，△AOB不存在．当－a＜b＜0时，S△AOB＝×(a＋b)＝－；当b＝－a时，△AOB不存在．当b＜－a时，S△AOB＝×(－a－b)＝；（3）y＝ax2＋bx＝a2－，抛物线的顶点坐标为：．∵抛物线的顶点在双曲线y＝上，∴－＝，即－b3＝－8a3．∴b＝2a．∴A（－2，0），B（1，3a），∴AB′＝3， BB′＝．∴S△ABB′＝AB′·BB′．当a＞0时, S△ABB′＝AB′·BB′＝．当a＜0时,S△ABB′＝AB′·BB′＝－．。
2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及答案解析
2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约3.16亿人．用科学记数法表示3.16亿是（）A．3.16×107B．31.6×107C．3.16×108D．0.316×109 2．（2分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a8÷a2＝a4C．a2•a3＝a6D．（2ab）3＝6a3b33．（2分）若式子1﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35°B．52.5°C．70°D．72°5．（2分）已知x＝﹣3，下列结论错误的是（）A．x是负数B．x﹣是27的立方根C．x2是无理数D．x+3是7的算术平方根6．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD 剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）﹣2的相反数是；的倒数是．8．（2分）分解因式（a﹣b）（a+4b）﹣3ab的结果是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，作点P关于x轴的对称点，得到点P1，再将点P1向右平移3个单位，得到点P2（1，﹣1），则点P的坐标为．12．（2分）圆锥的母线长为5，底面圆的面积为9π，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______°．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为．14．（2分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，设CD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数表达式为．15．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为°．16．（2分）已知P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点：①y＝x+1；②y＝（x＞0）；③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0）；④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0）其中，使不等式|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|总成立的函数有．（填正确的序号）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cos60°；（2）解方程＝+1．18．（8分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．19．（8分）如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F．（1）求证△ABD≌△BCE；（2）求证AE2＝EF•EB．20．（8分）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）．（1）填表：平均数中位数方差8环环环2（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩．A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大21．（7分）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是．22．（7分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为．23．（7分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）24．（8分）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）慢车的速度为km/min；（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；（3）请根据题意补全图象．25．（8分）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．26．（8分）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为；（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．（11分）旋转的思考【探索发现】（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．（ⅰ）请证明小美所发现的结论．（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．【问题解决】（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为．（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）【拓展研究】（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为．2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：316亿＝3.16000000＝3.16×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】A、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；B、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；C、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可．【解答】解：A、原式＝a6，符合题意；B、原式＝a6，不合题意；C、原式＝a5，不合题意；D、原式＝8a3b3，不合题意；故选：A．【点评】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：由题可知：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．4．【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．5．【分析】根据无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义解答即可．【解答】解：x＝﹣3，A、x一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意；B、x﹣是﹣27的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；C、x2是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；D、x+3是7的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．6．【分析】过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝xcm，A'P＝y cm，圆的直径为dcm，利用对边之间的关系可得x与y的关系，再利用A字型相似也可求出x与y的关系，进而可求出x，d，从而得出结论．【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝xcm，A'P＝y cm，圆的直径为dcm，由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半径为：cm．故选：A．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣2的相反数是2；的倒数是2，故答案为：2，2．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：原式＝a2+4ab﹣ab﹣4b2﹣3ab＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．9．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣m，∵2x1＝x2，∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1，∴x2＝﹣2，∴﹣m＝x1•x2＝2，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是能熟练应根与系数的关系．11．【分析】直接利用平移的性质得出P1坐标，再利用关于x轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：∵将点P1向右平移3个单位，得到点P2（1，﹣1），∴P1（﹣2，﹣1），∵点P关于x轴的对称点，得到点P1，∴点P的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键．12．【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到6π＝，然后解方程即可．【解答】解：底面圆的面积为9π，∴圆的半径为3，∴底面圆的周长为6π，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得6π＝，解得n＝216，所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为216．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出∴＝（）2＝，根据反比例函数系数k的几何意义得出＝，解得方程即可求得k＝﹣4．【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．∵OA⊥OB，∴∠AOE+∠BOF＝90°，∵∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠BOF，∵∠AEO＝∠OFB＝90°，∴△AEO∽△OFB，∴＝（）2＝，∴＝∴|k|＝4，∴k＜0，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y＝（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．14．【分析】连接BC，交OD于点E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠OEB∠CED＝90°，根据勾股定理得出OE＝2﹣x2，根据题意推出OE是△ABC 的中位线，根据三角形中位线性质即可得解．【解答】解：连接BC，交OD于点E，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AC，OA＝OB，∴∠OEB＝∠CED＝∠ACB＝90°，CE＝BE，∴CE2＝CD2﹣DE2，BE2＝OB2﹣OE2，∴CD2﹣DE2＝OB2﹣OE2，∵CD＝x，OB＝OD＝2，∴x2﹣DE2＝22﹣（2﹣DE）2，∴DE＝x2，∴OE＝2﹣x2，∵OA＝OB，CE＝BE，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE，∵AC＝y，∴y＝4﹣x2，故答案为：y＝4﹣x2．【点评】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理，熟记勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键．15．【分析】连接OA，OB1，OC1，根据正五边形的性质得到∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，根据圆周角定理得到∠AFC1＝AOC1＝72°，根据等腰三角形的性质得到∠GAF＝30°，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB1，OC1，∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案为：78．【点评】本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．【分析】将m，m+1，m+2代入函数表达式，根据题意求得y1、y2、y3，比较大小，逐项判断即可．【解答】解：P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）是下列函数图象上的点，①y＝x+1，则y1＝m+1．y2＝m+1+1＝m+2．y3＝m+2+1＝m+3，∵|m+1﹣（m+2）|＝1，|m+3﹣（m+2）|＝1，∴|y1﹣y2|＝|y3﹣y2|，故①不合题意；②y＝（x＞0），则y1＝．y2＝．y3＝，∵|﹣|＝，|﹣|＝，∴|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，故②不合题意；③y＝x2﹣3x﹣2（x＞0），则y1＝m2﹣3m﹣2．y2＝（m+1）2﹣3（m+1）﹣2＝m2﹣m﹣4．y3＝（m+2）2﹣3（m+2）﹣2＝m2+m﹣4，∵|m2﹣3m﹣2﹣（m2﹣m﹣4）|＝|﹣2m+2|，|m2+m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）|＝|2m|，∵m＞0，当﹣2m+2＞2m时，即0＜m＜时，|y1﹣y2|＞|y3﹣y2|，故③不合题意④y＝﹣x2﹣3x+2（x＞0），则y1＝﹣m2﹣3m+2．y2＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）+2＝﹣m2﹣5m﹣2．y3＝﹣（m+2）2﹣3（m+2）+2＝﹣m2﹣7m﹣8，∵|﹣m2﹣3m+2+m2+5m+2|＝|2m+4|，|﹣m2﹣7m﹣8+m2+5m+2|＝|2m+6|，∵m＞0，∴2m+6＞2m+4＞0，∴|y1﹣y2|＜|y3﹣y2|，故④正确，符合题意．故答案为：④．【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，分别求得求得y1、y2、y3的值是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cos60°＝﹣2+1﹣2×＝﹣2+1﹣1＝﹣2；（2）＝+1，两边都乘以3（x+1）得：3x＝2x+3x+3，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，3（x+1）≠0，∴x＝﹣是原分式方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝2﹣时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．19．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，然后利用SAS证明△ABD≌△BCE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ABC＝∠BAC，∠CBE＝∠BAF，从而可得∠ABE＝∠EAF，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△ABE∽△FAE，再利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，∵△ABD≌△BCE，∴∠CBE＝∠BAF，∴∠ABE＝∠EAF，∵∠AEF＝∠BEA，∴△ABE∽△FAE，∴＝，∴AE2＝EF•EB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据中位数、方差的计算方法分别计算即可；（2）数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；（3）根据平均数，方差的意义即可求解．【解答】解：（1）小明成绩的方差c＝×[（3﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2×5+（8﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝3.8，把小明的成绩从小到大排列为3，6，8，8，9，9，9，9，9，10，则中位数＝9（环），故答案为：9，3.8；（2）不能较好的反映，理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，平均成绩＝（8×10+9）÷11＝（环），∴平均数变大，由小明的成绩得方差会变小，故答案为：C．【点评】此题考查平均数、中位数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．21．【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，∴两次摸出的球都是红球的概率为＝．（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC，AB∥DC．根据线段中点的定义得到BE＝AB，DF＝DC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）连接EF，根据平行四边形的性质得到DE＝BF，根据线段中点的定义得到EN＝DN＝BM＝FM＝BF，求得EM＝BF，根据勾股定理得到EF＝＝8，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：连接EF，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，∵M，N分别是BF，DE的中点，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，故答案为：96．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．23．【分析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM ＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM ＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM ⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）根据图象即可得出A点坐标即可得出慢车的速度；（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由A、B的坐标即可求解；（3）根据快车与慢车速度，进而作出图象即可．【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，∴慢车的速度为：10÷20＝（km/min），故答案为：；（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，解得：，∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20（20≤x≤30）；（3）快车的速度为：＝1（km/min），快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），慢车到达乙地用时40÷+5＝85（min），补全图象如图：【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．25．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA＝90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD＝∠CAD，进而证明∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．【解答】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．26．【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；（2）利用△MNP是等腰直角三角形，可得出m2+2m＝﹣1，求出m的值即可；（3）分别求出y1，y2，y3，利用y1•y2•y3＜0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0．∴x1＝m，x2＝m+2．∴该方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），令x＝0，得y＝m2+2m，∴P（0，m2+2m）．由题意得，△MNP是等腰直角三角形，∴m2+2m＝﹣1，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；②当有3个点在x轴下方时，∵m+2﹣m＝2＜3，∴此种情况不存在；综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），∵y1•y2•y3＜0，∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，∵（m﹣1）2≥0，∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，∴2＜m＜3；当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．27．【分析】（1）（i）证明△ABB′∽△ACC′可得结论；（ii）证明AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，可得结论；（2）（i）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．解直角三角形求出CC′，再证明△BMB′∽△MCC′，推出＝，可得结论；（ii）连接BM．在BM的上方作∠DBM＝∠MBC，直线BD即为所求；（3）如图⑤中，连接MB，MB′．证明∠CPB＝45°，因为BC＝＝＝5＝定值，推出点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．求出OB，OP，可得结论．【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，∴＝．∵∠BAB′＝∠CAC′，∴△ABB′∽△ACC′．∴＝；（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∠B＝∠B′∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，∴△ABD≌△AB′D′（AAS），∴AD＝AD′，∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，∴B′C′是⊙A的切线．故答案为：∠B＝∠B′，AD＝AD′；（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．∵AB＝AM＝，∠A＝90°，∴BM＝AB＝，∵MC＝MC′＝，tan C′＝＝，∴MH＝1，HC′＝CH＝2，∴CC′＝2CH＝4，由旋转变换的性质可知，MB＝MB′，∠BMB′＝∠CMC′，∴△BMB′∽△MCC′，∴＝，∴＝，∴BB′＝4．故答案为：4；（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．（3）如图⑤中，连接MB，MB′．∵△MBB′∽△MCC′，∴∠MB′B＝∠MC′C，∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，∴∠MC′C+∠PBM＝180°，∴∠BMC′+∠CPB＝180°，∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，∴∠A′MB＝45°，∴∠BMC′＝135°，∴∠CPB′＝45°，∵BC＝＝＝5＝定值，∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．∴∠BOC＝2∠CPB＝90°，∴OB＝OC＝OP＝，∵PB≤OB+OP＝5，∴BP的最大值为5．故答案为：5．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第三个问题的突破点是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考压轴题．。
2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（）A．0.161×107B．1.61×107C．1.61×106D．16.1×1052．（2分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．2a4•a5＝2a9C．（2a4）5＝32a9D．a8÷a2＝a43．（2分）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣34．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a+b+c＞0B．b﹣a＞c﹣b C．ab＞ac D．5．（2分）已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2+1，则m＝．11．（2分）方程的解是．12．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为．13．（2分）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为m．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为．15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，G是BD的中点，连接EG并延长，与CB的延长线交于点F，且BF＝AE．求证CA＝CB．20．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定．（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分．（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议．21．（7分）如表，从A市到B市的飞机航班中，每天有三趟去程航班，两趟返程航班．甲、乙两人计划从A市出发，分别随机选择航班，同一天往返A、B两市．（1）在去程航班中，求甲、乙两人恰好选择相同航班的概率；（2）在往返航班中，若甲已选定往返航班，则乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．航线航班号起落时间A市→B市MU28117：50﹣9：45 CA86028：00﹣10：00 CA18208：45﹣10：40B市→A市MU283218：05﹣20：20 CA860120：10﹣22：0022．（8分）在▱ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是．23．（7分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB 为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．25．（9分）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以80km/h的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量Q （kw•h）与时间t（h）的函数关系如图①所示．（1）该电动汽车每小时的充电量为kw•h；（2）求线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式；（3）在图②中，画出小美离家的距离S（km）与t的函数图象．26．（8分）在△ABC中，BA＝BC，D是BC边上的动点，经过点A的⊙O与BC边相切于点D，与AB，AC边分别交于点E，F，连接AD．（1）如图①，连接DF，求证△CDA∽△CFD；（2）如图②，AD是⊙O的直径，连接EF，若，AC＝2，求EF的长．27．（11分）在△ABC中，∠C＝2∠B．（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：c2﹣ab﹣b2＝0．小明的思路如图①，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD．小红的思路如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与AB，BC分别交于点D，E，连接CD．在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．（2）如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB＝m，AC＝n．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）（3）若△ABC有一条边的长度为4，设，△ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1610000＝1.61×106，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、2a4•a5＝2a9，故B符合题意；C、（2a4）5＝32a20，故C不符合题意；D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】由20.25＜21＜25，可知4＜＜5然后作答即可．【解答】解：∵16＜21＜25，∴＜＜，即4＜＜5，∵4.52＝20.25，∴﹣5＜﹣＜﹣4.5∴与﹣最接近的整数为﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．4．【分析】由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，由此判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，A、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴a+b+c＞0，故选项A不符合题意；B、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣a＞c﹣b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴ab＞ac，故选项C不符合题意；D、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，从数轴上获取已知条件是解题的关键．5．【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为x＝，故可排除A、B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．【解答】解：∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），∴图象关于x＝对称，∴可排除A、B．∵m+1＞m，4＞1，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴D错误，C正确．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解答此题的关键．6．【分析】根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处，则∠ABC＝90°，AC是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c，进而求解即可．【解答】解：根据题意图形如下：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵AB+BC＞AC，∴此时当AC最大时，AB+BC才能取得最大值，AC为直径时，AC＝200，AB2+BC2＝AC2，∵（a﹣c）2≥0，∴a2﹣2ab+c2≥0，∴a2+c2≥2ac，即2ac≤2002，∴2ac+2002≤2002+2002，即：2ac+2002≤2×2002，∴（a+c）2≤2×2002，∵a，c为正数，∴a+c≤200，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0时式子有意义，即x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．8．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣2＝；故答案为：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．10．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再代入所给的条件运算即可．【解答】解：由题意得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝x1x2+1，∴﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．11．【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），2x+2+x2﹣1＝x2﹣x，2x+x2﹣x2+x＝﹣2+1，3x＝﹣1，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD＝＝1，据此可计算＝2+1＝3，继而可得k值．出S△BOD【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA，∵平行四边形ACOB的面积是4，＝2，∴S△AOB∵A在反比例函数y＝的图象上，＝＝1，∴S△AOD＝2+1＝3，∴S△BOD＝2×3＝6．∴k＝2S△BOD故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．13．【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），∴OC＝（2.5﹣r）m，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，即该门洞的半径为1.3m，故答案为：1.3．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．14．【分析】根据菱形的性质证明cos∠EAD＝cos∠CEF，列式得AD＝3DE，然后根据勾股定理求出DE，即可解决问题．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣∠C＝∠CEF，∴cos∠EAD＝cos∠CEF，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴AD＝3DE，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2﹣DE2＝AE2，∴（3DE）2﹣DE2＝32，∴DE＝，∴AD＝3DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是得到AD＝3DE．15．【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．16．【分析】当AP⊥BC时，AP取得最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得AE，利用已知条件得到PD＝PE，设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，利用相似三角形的判定与性质剪刀剪开得出结论．【解答】解：当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝3，∠BAE＝∠CAE，∴AE＝＝4．∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PF，∵PE2＝PD•PF，∴PE2＝PD2，∴PD＝PE．设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，∴△ADP∽△AEB，∴，∴，∴x＝．∴AP＝4﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关运算的法则．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x≥﹣2；由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．19．【分析】由AAS可证△DEG≌△BFG，可得BF＝DE＝AE，由等腰三角形三角形的性质和平行线的性质可得∠A＝∠ABC，即可求解．【解答】证明：∵G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DE∥BC，∴∠DEG＝∠BFG，∠ADE＝∠ABC，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴BF＝DE，又∵AE＝BF，∴DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∴∠A＝∠ABC，∴CA＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．【分析】（1）根据统计图数据判断即可；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确；②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确；所以正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④；（2）＝84.7（分），答：B款汽车的平均得分为84.7分；（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）．【点评】本题考查了中位数，扇形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．21．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人恰好选择相同航班的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据题意列出乙选择的往返航班的所有结果，由题意知乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将去程航班的三个航班分别记为a，b，c，列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）c（c，a）（c，b）（c，c）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择相同航班的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择相同航班的概率为＝．（2）将返程航班的两个航班分别记为d，e，乙选择的往返航班的所有情况列表如下：d ea（a，d）（a，e）b（b，d）（b，e）c（c，d）（c，e）共有6种等可能的结果．∵甲已选定往返航班，∴乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，∴乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；（2）根据矩形的性质得出AC＝MN，进而利用BD＝2MN＝2AC解答即可．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）解：连接AC，∵四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN，∵BD＝3MN，∴BD＝3AC，故答案为：BD＝3AC．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法．23．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝x m，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．25．【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为100kw•h；（2）求出汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），可知到达景点时汽车剩余电量为70（kw•h），再用待定系数法可得线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）求出S与t的函数图象过（0，0），（1，80），（1.5，80），（3，200），（4，200），（6.5，0），再描点画出图象即可．【解答】解：（1）∵＝100（kw•h），∴电动汽车每小时的充电量为100kw•h；故答案为：100；（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，∴汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），∴到达景点时汽车剩余电量为100﹣20×（3﹣1.5）＝70（kw•h），设线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝kt+b，则，解得，∴线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）根据题意，小美在景区游玩了6.5﹣2[1+（3﹣1.5）]﹣（1.5﹣1）＝1（小时），∴当t＝4时，小美游玩结束开始返回，∴当0≤t≤1时，S＝80t，图象过（0，0），（1，80），当1＜t≤1.5时，S＝80，图象过（1.5，80），当1.5＜t≤3时，S＝80+80（t﹣1.5）＝80t﹣40，图象过（3，200），当3＜t≤4时，S＝200；图象过（4，200），当4＜t≤6.5时，S＝200﹣80（t﹣4）＝﹣80t+520，图象过（6.5，0），画出图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．26．【分析】（1）连接DF、OD、OF，则∠ODF＝∠OFD＝90°﹣∠DOF，由切线的性质得∠ODC＝90°，则∠FDC＝90°﹣∠ODF＝∠DOF，而∠DAC＝∠DOF，所以∠DAC＝∠FDC，而∠C＝∠C，即可证明△CDA∽△CFD；（2）连接DF、EF，由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，且AB＝BC＝，AC＝2，得（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，求得CD＝，则AD2＝AC2﹣CD2＝，再证明△DAF∽△CAD，得＝，求得AF＝，再证明∠AEF＝∠BAC，所以EF＝AF＝．【解答】（1）证明：如图①，连接DF、OD、OF，则OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝（180°﹣∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵⊙O与BC边相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠FDC＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（90°﹣∠DOF）＝∠DOF，∵∠DAC＝∠DOF，∴∠DAC＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CFD．（2）解：如图②，连接DF、EF，∵AB是⊙O的直径，⊙O与BC边相切于点D，∴∠AFD＝90°，BC⊥AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，解得CD＝，∴AD2＝AC2﹣CD2＝22﹣＝，∵∠ADF＝∠C＝90°﹣∠CAD，∠DAF＝∠CAD，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴AF＝＝＝，∵∠AEF＝∠ADF＝∠C＝∠BAC，∴EF＝AF＝，∴EF的长是．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．27．【分析】（1）选择小明的思路：首先证得△ACD∽△BAD，推导出，即AD2＝CD•BD，代入即可得证；选择小红的思路：首先证得△ACD∽△ABC，进而得到，代入数据即可得证；（2）作CD＝n；以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．据此作图即可；（3）设AC＝x，则AB＝kx，首先推导出k＞1；依据（1）中：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，推导出AC＝，解得BC＝，l＝4k+4；②当BC＝4时，代入得（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，推导出l＝+4；③当AC＝4时，则AB＝4k，解得：BC＝4k2﹣4，推导出l＝4k2+4k．【解答】（1）证明：选择小明的思路：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠ACB＝2∠CAD＝2∠D．∵∠ACB＝2∠B，∴∠CAD＝∠D＝∠B．又∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD．∴，∴AD2＝CD•BD，∵BC＝a，CD＝AC＝b，AD＝AB＝c，∴c2＝b（a+b），即c2﹣ab﹣b2＝0；选择小红的思路：由翻折可知，∠B＝∠DCB，BD＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝2∠DCB．∴∠ACD＝∠DCB＝∠B．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴，，∵AD+BD＝AB，∴，即a2﹣ab﹣b2＝0；（2）解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．①作CD＝n；②以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；③以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．（3）解：∵，设AC＝x，则AB＝kx，∵∠C＝2∠B，∴AB＞AC，即kx＞x，∴k＞1；由（1）知：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，即kx＝4，∴x＝，即AC＝，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：42﹣•BC﹣（）2＝0，解得：BC＝，∴l＝AB+AC+BC＝++4＝4k+4，∴l＞8；②当BC＝4时，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，∴l＝AB+AC+BC＝4++＝+4，∴l＞4；③当AC＝4时，则AB＝4k，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（4k）2﹣4BC﹣42＝0，解得：BC＝4k2﹣4，∴l＝AB+AC+BC＝4k+4+4k2﹣4＝4k2+4k，∴l＞8；综上，当AB＝4时，l＝4k+4，此时l＞8；当BC＝4时，l＝+4，此时l＞4；当AC＝4时，l＝4k2+4k，此时l＞8．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的周长公式的应用，利用周长公式得出结论是解答本题的关键。
2020年南京市玄武区一模试卷(答案)
综合练习卷 数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．±3，2 8．x ≠1 9．a (x －1)(x －2) 10．－ 2 11．－ 312．94 13．60(1－x )2＝48 14．43π＋2 3 15．108 16．3±1三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题8分）解：解不等式①，得x ≤2． ……………………………… 2分 解不等式②，得x ＞－1． ……………………………… 4分 所以，不等式组的解集是－1＜x ≤2． ……………………………… 6分… 8分18．（本题7分）解：原式＝m ＋1m ÷1－m 2m＝m ＋1m ·m(1－m )(1＋m )＝11－m ． ………………………………………………………………… 5分当m ＝1－5时，原式＝11－1＋5＝1 5＝55． ………………… 7分19．（本题8分） 解：（1），40% ． …………………………………… 4分 （2）评价角度不唯一，以下答案供参考：两人训练成绩的平均数都是15s ，说明两人成绩整体实力相当；甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定． ………………………………… 8分 （甲跑进15s 以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更有可能创造好成绩） 20．（本题7分）解：（1）14． ………………… 2分（2在班号连续的两个班级”（记为事件A ）的结果有6种，所以P (A )＝616＝38． ……7分21．（本题7分）解：（1）设甲的速度为2x km/h ，乙的速度为3x km/h ． 因为20 min ＝13 h ，由题意得82x ＋13＝143x ，解得x ＝2， 经检验x ＝2是原方程的解，即2x ＝4，3x ＝6答：甲的速度为4 km/h ，乙的速度为6 km/h ． ………….7分 22．（本题8分）（1）证明：延长AH 交DC 于点P ，延长CF 交AB 于点Q ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ． ∴AQ ∥CP ，又AH ∥CF ，即AP ∥CQ∴四边形APCQ 是平行四边形， ∴∠HAE ＝∠FCG ， ∵E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝12AB ，CG ＝12CD ，即AE ＝CG ．在△AHE 和△CFG 中，AE ＝CG ，∠HAE ＝∠FCG ，AH ＝FC ．∴△AHE ≌△CFG ． ………………………… 4分 （2）证明： 连接FH 、EG ∵AH ∥CF ，∴∠AHF ＝∠HFC ．由（1）知：∠AHE ＝∠CFG ，HE ＝FG ，∴∠AHF －∠AHE ＝∠HFC －∠CFG ，即∠EHF ＝∠GFH ． ∴HE ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．由（1）知：AE ＝DG ，AB ∥CD ，∴四边形ADGE 是平行四边形， ∴AD ＝EG ．又∵AD ＝FH ，∴EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形． ……………………… 8分 23．（本题8分） 解：（1）解：当m ＝2时，y 1＝2x ＋2．∵y 1＞y 2，∴2x ＋2＞－x ＋1解得x ＞－13…………………………………… 3分（2）－2 …………………………………… 5分（3）y ＝y 1·y 2＝(2x ＋m )(－x ＋1)令y ＝0，(2x ＋m ）(－x ＋1)＝0，解得x 1＝－m2，x 2＝1；A B C D E F G H（第22题） P QA 53°D CBE1（第24F当－m2＝1，即m ＝－2时，该方程有两个相等的实数根，则函数图像与x 轴有一个交点；当－m2≠1，即m ≠－2时，该方程有两个不相等的实数根，则函数图像与x 轴有两个交点． …………………………………… 8分（另解：令y ＝0，(2x ＋m )(－x ＋1)＝0即2x 2＋(m －2)x －m=0，∵a ＝2，b ＝m －2，c ＝－m ，∴b 2－4ac ＝(m －2)2＋8m ＝(m ＋2)2．当m ＝－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＝0，则该方程有两个相等的实数根，所以函数图像与x轴有一个交点；当m ≠－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＞0，则该方程有两个不相等的实数根，所以函数图像与x 轴有两个交点．）24．（本题7分）解：由题可得，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ．设AD ＝AC ＝x m ．在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠DAF ＝53°． ∴sin ∠DAF ＝DF AD， ∴DF ＝AD sin ∠DAF ＝x sin53°． 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝18°， ∴sin C ＝AB AC， ∴AB ＝AC sin C ＝x sin18°． 在矩形AFEB 中，AB ＝EF ＝x sin18°． ∵DE ＝DF ＋EF ，∴11＝x sin53°＋x sin18°． 解得x ＝11sin53°＋sin18°≈错误!＝10．因此，吊臂的长为10 m ． ……………………………………………………………… 7分25．（本题9分） 解：（1）当x ＝80时，y ＝300－10×(80－60)＝100. ∴点B 的坐标为（80，100）．设线段BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ，b 为常数） ∵图像过点（80，100）、（110，250），∴⎩⎪⎨⎪⎧100＝80k ＋b ， 250＝110k ＋b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5，b ＝－300． ∴y ＝5x －300 ……………………………… 3分 （2）设获得的利润为W 元．由题意知AB 对应的函数表达式为y ＝300－10(x －60)＝－10x ＋900当60≤x ≤80时，W ＝(x －50)(－10x ＋900)＝－10(x －70)2＋4000．所以，当x ＝70时，W 的值最大，最大值为4000．当80≤x ≤110时，W ＝(x －50)(5x －300)－300(x －80)＝5(x －85)2＋2875． 因为5＞0，开口向上，当80≤x ≤85时，W 随x 的增大而减小，即W ≤3000；当85≤x ≤110时，W 随x 的增大而增大，即W ≤6000． 因此，当x ＝110时，W 的值最大，最大值为6000．综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润是6000元．…………… 7分（3） 100 …………… 9分26．（本题9分）解：（1）∵四边形EFGH 是⊙O 的内接四边形，∴∠EFA ＝∠EHG ． ∵∠EGH 和∠EDH 都是 ⌒EH 所对的圆周角， ∴∠EGH ＝∠EDH∵DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠EFA ＝∠B ，∠EDH ＝∠B ∴∠EGH ＝∠EHG ＝∠B ， ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B∴∠C ＝∠EHG ，∠B ＝∠EGH ，∴△EGH ∽△ABC ． ………………… 3分 （2）①连接DG ．∵∠CHE ＋∠BHG ＋∠EHG ＝180°，∠CHE ＋∠CEH ＋∠C ＝180°， ∴∠CEH ＝∠BHG ．在△CEH 和△BHG 中，∠CEH ＝∠BHG ，∠C ＝∠B ，∴△CEH ∽△BHG ．∴EH HG ＝CH BG．由（1）知EH HG ＝AC BC ＝1510＝32，∴CH BG ＝32，∵BG ＝2，∴CH ＝3．∵四边形EGDH 是⊙O 的内接四边形，∴∠GDB ＝∠GEH ．又∠EHG ＝∠B ，∴△EHG ∽△DBG ．∴EH BD ＝HG BG，∴EH HG ＝BD BG ＝32．∴BD ＝3 ∴DH ＝BC －BD －CH ＝10－3－3＝4． …………… 7分② 103……………………………………9分27．（本题10分）解：（1）连接AP ．∵点P 是△ABC 的内心， ∴CP 平分∠ACB ，AP 平分∠CAB ．∴∠ACD ＝∠BCD ，∠CAP ＝∠BAP ． ∵∠APD 是△CAP 的一个外角，∴∠APD ＝∠ACD ＋∠CAP ＝∠BCD ＋∠BAP ． 在⊙O 中，∠BCD ＝∠BAD ．∴∠APD ＝∠BAD ＋∠BAP ＝∠PAD ．∴DA ＝DP ……………………… 3分 （2）5－2 5 ……………………… 5分（3）BD（第26题）C如图，△ABC即为所求．……………………… 7分（4）当x＝821，40，1021，48时，此时能作出1个三角形；当821＜x＜48且x≠40，1021时，此时能作出2个三角形．…… 10分。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×1053．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是1006．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝．8．﹣（）﹣2＝．9．实数，，﹣7，中，无理数有．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．参考答案一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，合计12分．）1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先估算出≈1.732，所以﹣≈﹣1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答．解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：它的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是100【分析】分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8．﹣（）﹣2＝﹣12．【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣3﹣9＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9．实数，，﹣7，中，无理数有．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：是分数，属于有理数；﹣7，是整数，属于有理数；无理数有：．故答案为：【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝1．【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，从而得到△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求解．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．故答案为：16【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明出三角形的周长等于AC与BC的和是解题的关键．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶．【分析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题，解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有，解得，∴y＝5x+115，当x＝7时，y＝150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为150．【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．【分析】利用判别式，根据不等式即可解决问题；解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案为k≥﹣且k≠0．【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为﹣1009．【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣（n﹣1），n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝＝2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据﹣3＜x＜1求出x的值，代入原式进行计算即可．解：原式＝•＝•＝，∵x是整数且﹣3＜x＜1，并且x≠±1，﹣2∴取x＝0，∴原式＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．【分析】先由矩形的性质得AD∥BE，AD＝BC，再证明△ADF≌△ECF（AAS），然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是40；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），故答案为：40人；（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）条形统计图补充为：（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×＝100（人）．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．【分析】（1）先根据平行的性质得到∠ADB＝∠CDB，然后结合BC＝CD，可得∠ADB ＝∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；（2）证明AF＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADB＝∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD＝∠BED＝90°又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AD＝ED；（2）解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFD＝∠EDF．∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD．又∵AD＝ED，∴AF＝DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是菱形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，答：B到水平桌面OM的距离为45cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．解：（1）列表如下：1﹣234（1，4）（﹣2，4）（3，4）﹣5（1，﹣5）（﹣2，﹣5）（3，﹣5）6（1，6）（﹣2，6）（3，6）（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．解：（1）根据题意得：，解得18≤x≤20，∵x是正整数，∴x＝18、19、20，共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）根据题意得：y＝：700x+900（30﹣x）＝﹣200x+27000，∵﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝18时，y有最大值，y最大＝﹣200×18+27000＝23400元．答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODM＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），求得BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，根据圆周角定理得到∠BOM＝∠C，于是得到结论；（2）①由于tan∠DON＝＝，求得∠DON＝60°，根据圆周角定理得到∠C＝30°，求得AB＝BC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DN为⊙O的切线，∴∠ODM＝∠ABC＝90°，在Rt△BOM与Rt△DOM中，，∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，∵∠C＝，∴∠BOM＝∠C，∴OM∥AC，∵BO＝OC，∴BM＝AM，∴AM＝DM；（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN＝，∴tan∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∴∠C＝30°，∵BC＝2OC＝2，∴AB＝BC＝，∴△ABC的面积为AB•BC＝×2＝；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，理由：∵四边形COMD为平行四边形，∴DN∥BC，∴∠DON＝∠NDO＝90°，∴∠C＝DON＝45°，故答案为：，45°．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（﹣1，4）；（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC＝3，DC＝，AD＝2，可得△ACD为直角三角形，若CF＝，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断∠DAC＝∠OCB，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点F的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，在Rt△OBC中，tan，∴∠CAD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是DG＝BE；②直线DG与直线BE之间的位置关系是DG⊥BE；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(附答案解析
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数−√3表示的点最接近的是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D2.根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”.预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为()A. 1.3×106B. 130×104C. 13×105D. 1.3×1053.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是()A.B.C.D.4.如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数()A. 28°B. 22°C. 32°D. 38°5. 某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110.下列说法不正确的是( ) A. 众数是110 B. 中位数是110 C. 平均数是100 D. 中位数是100 6. 抛物线y =(x −1)2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是( )A. y =−(x −1)2+3B. y =(x +1)2+3C. y =(x −1)2−3D. y =−(x −1)2−3二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 分解因式：x 4−16=______． 8.√−273−(13)−2=______．9. 实数227，√3，−7，√36中，无理数有______．10. 已知2+√3是关于x 的方程x 2−4x +m =0的一个根，则m =______． 11. 如图，在△ABC 中，AC =10，BC =6，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BCE 的周长是______．12. 日期1234数量(瓶)120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为______瓶．13. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，分别以点A 和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC =3，AB =5，则DE 等于______．14. 关于x 的一元二次方程kx 2+3x −1=0有实数根，则k 的取值范围是______． 15. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D作DE ⊥AM ，垂足为E.若DE =DC =1，AE =2EM ，则BM 的长为 ． 16. 已知整数a 1，a 2，a 3，a 4…满足下列条件：a 1=0，a 2=−|a 1+1|，a 3=−|a 2+2|，a 4=−|a 3+3|，…，依此类推，则a 2019的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17. 计算：4√12−√8+√27×√13−(√3)018.先化简，再求值：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是整数且−3<x<1．19.如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E.求证：BC=EC．20.进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：(1)这次学校抽查的学生人数是______；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．(1)求证：AD=ED；(2)如果AF//CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O−A−B−C表示支架，支架的一部分O−A−B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO=7cm，∠BAO=160°，BC//OM，CD=8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置(如图3所示)，此时C′D′⊥OM，AD′//OM，AD′=16cm，求点B到水平桌面OM的距离，(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm)23.在甲口袋中有三个球分别标有数码1，−2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数(1)用树状图或列表法表示所有可能的结果；(2)求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．25.如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC=1．(1)求证：AM=MD；(2)填空：①若DN=√3，则△ABC的面积为______；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为______．26.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；①如图1，设k =AF AD ，当k 为何值时，CF =12AD ？②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．27. 如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是______； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是______；(2)探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD =2AB ，AG =2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．(3)应用：在(2)的情况下，连接BG 、DE ，若AE =1，AB =2，求BG 2+DE 2的值(直接写出结果)．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先估算出√3≈1.732，所以−√3≈−1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，即可解答．【解答】解：∵√3≈1.732，∴−√3≈−1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，∴与数−√3表示的点最接近的是点B．故选：B．2.【答案】A【解析】解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：它的俯视图是：故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4.【答案】B【解析】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠AEC=∠ABC−∠1=22°，∵GH//EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选：B．延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6.【答案】D【解析】解：∵y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y=−(x−1)2−3．故选：D．抛物线y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．7.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)【解析】解：x4−16=(x2+4)(x2−4)=(x2+4)(x+2)(x−2)．故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8.【答案】−12【解析】解：原式=−3−9=−12．故答案为：−12．直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9.【答案】√3【解析】解：22是分数，属于有理数；−7，√36=6是整数，属于有理数；7无理数有：√3．数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 10.【答案】1【解析】解：把x =2+√3代入方程得(2+√3)2−4(2+√3)+m =0， 解得m =1． 故答案为1．把x =2+√3代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11.【答案】16【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质有关知识． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE =BE ，从而得到△BCE 的周长=AC +BC ，然后代入数据计算即可求解． 【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AE =BE ，∵AC =10，BC =6，∴△BCE 的周长=BC +BE +CE =BC +AE +CE =BC +AC =10+6=16． 故答案为16． 12.【答案】150【解析】解：这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，则有{k +b =1202k +b =125，解得{k =5b =115，∴y =5x +115，当x =7时，y =150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶， 故答案为150．这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，利用待定系数法即可解决问题，本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】158【解析】解：在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC =√52−32=4， 连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直平分线， 根据性质得出AE =BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC 2+CE 2=AE 2， 222解得：AE=258，在Rt△ADE中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE2+(52)2=(258)2，解得：DE=158．故答案为：158．根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14.【答案】k≥−94且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥−94，且k≠0，故答案为k≥−94且k≠0．利用判别式，根据不等式即可解决问题；本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15.【答案】2√55【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM= AD，BM=AE，所以BC=AD=3EM，BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD//BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，{∠AMB=∠DAE∠B=∠DEA=90°AB=DE，∴△ABM≌△DEA(AAS)，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2，解得：x=√55，∴BM=2√55；故答案为2√55．16.【答案】−1009【解析】解：a1=0，a2=−|a1+1|=−|0+1|=−1，a3=−|a2+2|=−|−1+2|=−1，a4=−|a3+3|=−|−1+3|=−2，a5=−|a4+4|=−|−2+4|=−2，…，所以，n是奇数时，a n=−12(n−1)，n是偶数时，a n=−n2，a2019=−12(2019−1)=−1009．故答案为：−1009根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于−12(n−1)，n是偶数时，结果等于−n2，然后把n的值代入进行计算即可得解．此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．17.【答案】解：原式=2√2−2√2+3−1=2．【解析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：原式=3x+4−2(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x+2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x−1x+1，∵x是整数且−3<x<1，并且x≠±1，−2∴取x=0，∴原式=0−10+1=−1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据−3<x<1求出x的值，代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF=CF，∴在△ADF和△ECF中，{∠ADF=∠ECF ∠DAF=∠CEF DF=CF∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴AD=EC，而AD=BC∴BC=EC．【解析】先由矩形的性质得AD//BE，AD=BC，再证明△ADF≌△ECF(AAS)，然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20.【答案】(1)40(2)C项目的人数为40−12−14−4=10(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000×440=100(人)．【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)，故答案为：40人；(2)见答案(3)见答案【分析】(1)利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；(2)计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；(3)用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21.【答案】证明：(1)∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴AD=ED；(2)解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF//CD，∴∠AFD=∠EDF．∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD．又∵AD=ED，∴AF=DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形．【解析】(1)先根据平行的性质得到∠ADB=∠CDB，然后结合BC=CD，可得∠ADB=∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；(2)证明AF=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22.【答案】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，∴C′H=D′E=16+x，∵∠BC′H=45°，∴BH=C′H=16+x，∴BE=16+x+8=24+x，∵∠BAO=160°，∴∠BAE=70°，∴tan70°=BEAE =24+xx=10.36，解得：x=13.5，∴BE=37.5，∴BG=BE+EG=BE+AO=37.5+7=44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【解析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，解直角三角形即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23.【答案】解：(1)列表如下：1−234(1,4)(−2,4)(3,4)−5(1,−5)(−2,−5)(3,−5)6(1,6)(−2,6)(3,6)(2)由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为49．【解析】(1)利用列表法可得所有等可能结果；(2)从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24.【答案】解：(1)根据题意得：{5x +3(30−x)≤1304x +6(30−x)≤144，解得18≤x ≤20，∵x 是正整数，∴x =18、19、20，共有三种方案：方案一：A 产品18件，B 产品12件，方案二：A 产品19件，B 产品11件，方案三：A 产品20件，B 产品10件；(2)根据题意得：y =：700x +900(30−x)=−200x +27000，∵−200<0，∴y 随x 的增大而减小，∴x =18时，y 有最大值，y 最大=−200×18+27000=23400元．答：利润最大的方案是方案一：A 产品18件，B 产品12件，最大利润为23400元．【解析】(1)根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；(2)根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25.【答案】2√3345°【解析】(1)证明：连接OD ，∵DN 为⊙O 的切线，∴∠ODM =∠ABC =90°，在Rt △BOM 与Rt △DOM 中，{OD =OB OM =OM， ∴Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，∴BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，∵∠C =12∠DOB ，∴∠BOM =∠C ，∴OM//AC ，∵BO =OC ，∴BM =AM ，∴AM =DM ；(2)解：①∵OD =OC =1，DN =√3，∴tan ∠DON =DN OD =√3，∴∠DON =60°，∴∠C =30°，∵BC =2OC =2，∴AB =√33BC =2√33， ∴△ABC 的面积为12×AB ⋅BC =12×2√33×2=2√33；②当四边形COMD 为平行四边形时，∠C 的度数为45°，理由：∵四边形COMD 为平行四边形，∴DN//BC ，∴∠DON =∠NDO =90°，∴∠C =12∠DON =45°， 故答案为：2√33，45°． (1)连接OD ，根据切线的性质得到∠ODM =∠ABC =90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，求得BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，根据圆周角定理得到∠BOM =∠C ，于是得到结论；(2)①由于tan ∠DON =DN OD =√3，求得∠DON =60°，根据圆周角定理得到∠C =30°，求得AB =√33BC =2√33，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3过点A(−3,0)，B(1,0)，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0，解得：{a =−1b =−2， ∴抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4∴顶点D 的坐标为(−1,4)；(2)①∵在Rt △AOC 中，OA =3，OC =3，∴AC 2=OA 2+OC 2=18，∵D(−1,4)，C(0,3)，A(−3,0)，∴CD 2=12+12=2∴AD 2=22+42=20∴AC 2+CD 2=AD 2∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD =90°．∵CF =12AD ，∴F 为AD 的中点，∴AF AD =12，∴k =12．②在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =DC AC =√23√2=13， 在Rt △OBC 中，tan∠OCB =OB OC =13，∴∠ACD =∠OCB ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°，∴∠FAO =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 时，△AOF∽△CBA ，∴OF//BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =0b =3，解得：{k =−3b =3， ∴直线BC 的解析式为y =−3x +3，∴直线OF 的解析式为y =−3x ，设直线AD 的解析式为y =mx +n ，∴{−k +b =4−3k +b =0，解得：{k =2b =6， ∴直线AD 的解析式为y =2x +6， ∴{y =2x +6y =−3x ，解得：{x =−65y =185， ∴F(−65,185). 当∠AOF =∠CAB =45°时，△AOF∽△CAB ，∵∠CAB =45°，∴OF ⊥AC ，∴直线OF 的解析式为y =−x ，∴{y =−x y =2x +6，解得：{x =−2y =2， ∴F(−2,2)．综合以上可得F 点的坐标为(−65,185)或(−2,2)．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(−1,4)；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC =3√2，DC =√2，AD =2√5，可得△ACD 为直角三角形，若CF =12AD ，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值；②由条件可判断∠DAC =∠OBC ，则∠OAF =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 或∠AOF =∠CAB =45°时，可分别求出点F 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27.【答案】DG=BE DG⊥BE【解析】解：(1)①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△DAG中，{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG，∴△ABE≌△DAG(SAS)，∴BE=DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE=DG，BE⊥DG；(2)数量关系不成立，DG=2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD=∠DAG，∴∠BAE=∠DAG，∵AD=2AB，AG=2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG，BEDG =12，∴DG=2BE，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y．∵△AHG∽△ATE，∴GHET =AHAT=AGAE=2，∴GH=2x，AH=2y，∴4x2+4y2=4，∴x2+y2=1，∴BG2+DE2=(2x)2+(2y+2)2+x2+(4−y)2=5x2+5y2+20=25．(1)先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y.利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
江苏南京玄武区2022中考一模-数学
江苏南京玄武区2022中考一模-数学数 学注意事项：本试卷共6页，全卷满分120分，考试时刻为120分钟，考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题．．卷．相应位置．．．．上） 1．3的相反数是A ．3B ．－3C ．13D ．－ 132．下列运算正确的是 A ．3x 2·4x 2＝12x 2 B ．x 3·x 5＝x 15 C ．x 4÷x ＝x 3 D ．(x 5)2＝x 73．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，由此可知A ．甲比乙的成绩稳固B ．乙比甲的成绩稳固C ．甲乙两人的成绩一样稳固D ．无法确定谁的成绩更稳固 4．点M （－3，2）关于x 轴对称的点的坐标是A ．（－3，－2）B ．（－3，2）C ．（3，－2）D ．（3，2）5．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为 A ． 3 B ．2 C ．3 D ．2 36．从某个方向观看一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD 为矩形，E 、F 分别是AB 、DC 的中点．若AD ＝8，AB ＝6，则那个正六棱柱的侧面积为 A ．48 3 B ．96 C ．144 D ．96 3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直截了当填写在答题．．卷．相应位置．．．．上） 7．在函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范畴是 ▲ ．8．如图，若将木条a 绕点O 旋转后与木条b 平行，则旋转角的最小值为 ▲ °． 9．如图，∠1＝∠2，添加一个条件 ▲ 使得△ADE ∽△ACB ．10．若两圆半径分别为3和5，且圆心距为8，则两圆位置关系为 ▲ ．A BD CE F （第6题）（第5题）11．在比例尺为1：20000的地图上，测得某水渠长度约为6cm ，事实上际长度约为 ▲ m（结果用科学记数法表示）．12．假如一个角的度数为31°42'，那么它的补角的度数为 ▲ °．13．在半径为500cm 的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB ＝800cm ，则油的最大深度为 ▲ cm ．14．若m 2－5m ＋2＝0，则2m 2－10m ＋2020＝ ▲ ．15．将面积为48π的半圆围成一个圆锥的侧面，则那个圆锥的高为 ▲ （结果保留根号）．16．依照数据变化规律，填写m 所对应的值．1 2 3 4 … m…144 72 48 36 … ▲ …三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）运算12＋||3－2＋2－1－sin30°．18．（6分）先化简(a 2－4a 2－4a ＋4－2a －2)÷a 2＋2a a －2，然后选取一个恰当．．的数值代入求值．19．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ≤0，x ＋12－1＜x 3．并写出它的正整数解．20．（8分）课外爱好小组为了解某段路上机动车的车速，抽查了一段时刻内若干辆车的车速（车速取整数，单位：千米/时）并制成如图所示的频数分布直方图．已知车速在41千米/时到50千米/时的车辆数占车辆总数的29． （1）在这段时刻中他们抽查的车有 ▲ 辆；（2）被抽查车辆的车速的中位数所在速度段（单位：千米/时）是（ ▲ ）A ．30.5~40.5B ．40.5~50.5C ．50.5~60.5D ．60.5~70.5 （3）补全频数分布直方图，并在图中画出频数折线图； （4）假如全天超速（车速大于60千米/时）的车有240辆，则当天的车流量约为多少辆？(千米/时) （第20题）O a b80° 65°（第8题）（第13题） （第9题） 1 2AD E B21．（7分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，E ，F 分别是BM 、CM 的中点．（1）求证：△AMB ≌△DMC ； （2）四边形MENF 是如何样的专门四边形？证明你的结论．22．（7分）某花圃用花盆培养某种花苗，通过实验发觉每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？ 23．（7分）如图，有A 、B 两个转盘，其中转盘A 被分成4等份，转盘B 被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为y ，从而确定点P 的坐标为P （x ，y ）．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P 的坐标； （2）运算点P 在函数y ＝6x 图象上的概率．24．（7分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF ＝3700米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机连续以相同的高度飞行300米到B 处，现在观测目标C 的俯角是50°，求这座山的高度CD ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．A B（第23题）M A C FD BE N （第21题）DF（第24题）25．（9分）已知二次函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ．（1）证明：不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有公共点；（2）若该函数的图像与y 轴交于点(0，3)，求出顶点坐标并画出该函数图像； （3）在（2）的条件下，观看图像，写出当y ＜0时x 的取值范畴．26．（8脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人动身x min 后距动身点的距离为y m ．图中折线表示小亮在整个训练中y 与x 的函数关系，其中A 点在x 轴上，M 点坐标为(2，0)． （1）A 点所表示的实际意义是 ▲ ；OMMA ＝ ▲ ；（2）求出AB 所在直线的函数关系式； （3）假如小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人动身后多长时刻第一次相遇？27．（7分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠DAB ＝∠ACB ． （1）判定直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠DAB ＝30°，AB ＝1，求弦AB 所对的弧长；（3）在（2）的条件下，点C 在优弧AB 上运动，是否存在点C ，使点O 到弦BC 的距离（第25题）为12，若有，请直截了当写出AC 的长；若没有，请说明理由．28．（10分）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大伙儿利用矩形进行图形变换的探究活动．（1）第一小组的同学发觉，在如图1－1的矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，Rt △ADC能够由Rt △ABC 通过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ▲ ．（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF （如图2－1）；再沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B'处（如图2－2），如此能得到∠B'GC 的大小，你明白∠B'GC 的大小是多少吗？请写出求解过程．（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC ，其中BA ＝BC ，将△ABC 沿着直线AC 的方向依次进行平移变换，每次均移动AC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI ，如图3－2．已知AH ＝AI ，AC 长为a ，现以AD 、AF 和AH 为三边构成一个新三角形，已知那个新三角形面积小于1515，请你关心该小组求出a 可能的最大整数值．（图3－1）A BCIE DG FHa （图3－2）（第27题）（备用图）E FA DB CG （图2－1）（图2－2）A BC D O （图1－1）（4）探究活动终止后，老师给大伙儿留下了一道探究题:如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与3的大小关系．B'（图4－1）2011—2020第二学期初三调研 数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共12分）题号 12 3 4 5 6 答案 BC B A CD 二、填空题（每小题2分，共20分）7．x ≥2 8．15 9．∠D ＝∠C （答案不唯独） 10．外切 11．1.2×103 12．148.3（写成148°18'扣1分） 13．200 14．2008 15．6 2 16．144m 三、解答题（本大题共12小题，共88分） 17．（本题6分）解：12＋||3－2＋2－1－sin30°＝23＋2－3＋12－12 ……………………………………………………4分＝3＋2 ……………………………………………………………………6分 18．（本题6分）解：(a 2－4a 2－4a ＋4－2a －2)÷a 2＋2a a －2 ＝[(a+2)(a －2) (a －2)2－2a －2]÷a (a ＋2)a －2…………………………………………3分＝aa －2·a －2a (a ＋2) …………………………………………………………4分 ＝1a ＋2………………………………………………………………………5分 代入除2，－2，0以外的数字，并运算正确……………………………6分19．（本题6分）解：解不等式①得：x ≥－1． …………………………………………………2分 解不等式②得：x ＜3． ……………………………………………………4分因此，不等式组的解集是：－1≤x ＜3……………………………………5分 不等式组的正整数解是1，2………………………………………………6分20．（本题8分）解：（1）45 ………………………………………………………………………2分 （2）C …………………………………………………………………………4分 （3）在⊙O 中，∵∠DAB ＝∠ACB ，且∠ACB ＝∠AMB ，∴∠DAB ＋∠MAB ＝90°，即AO ⊥AD ，……………………………1分 又∵直线AD 通过半径OA 的外端点A ，∴直线AD 与⊙O 相切． ……………………………………………2分（2）连接AO 、BO ．在⊙O 中，∵∠DAB ＝∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°． ∵AO ＝BO ，∴△ABO 为等边三角形，∴AO ＝BO ＝AB ＝1AB ︵＝60π1180＝π3，或者AB ︵＝300π1180＝5π3（算出一个得2分，两个得3分）…5分（3）2或1（写出一个得1分） ………………………………………7分28．（本题10分） 解：（1）将△ABC 绕点O 旋转180°后可得到△ADC …………………………2分（缺旋转中心或旋转角各扣1分）（2）连接BB'，由题意得EF 垂直平分BC ，故BB'＝B'C ，由翻折可得，B'C ＝BC ，∴△BB'C 为等边三角形．∴∠B'CB ＝60°，（或由三角函数FC ：B'C ＝1：2求出∠B'CB ＝60°也能够．）∴∠B'CG ＝30°，∴∠B'GC ＝60°………………………………………5分（3）分别取CE 、EG 、GI 的中点P 、Q 、R ，连接DP 、FQ 、HR 、AD 、AF 、AH ，∵△ABC 中，BA ＝BC ，依照平移变换的性质，△CDE 、△EFG 和△GHI 差不多上等腰三角形，∴DP ⊥CE ，FQ ⊥EG ，HR ⊥GI ．在Rt △AHR 中，AH ＝AI ＝4a ，AH 2＝HR 2＋AR 2，HR 2＝154a 2，则DP 2＝FQ 2＝HR 2＝154a 2，AD 2＝AP 2＋DP 2＝6a 2，AF 2＝AQ 2＋FQ 2＝10a 2， 新三角形三边长为4a 、6a 、10a ．∵AH 2＝AD 2＋AF 2 ∴新三角形为直角三角形．其面积为126a 10a ＝15a 2．∵15a 2＜1515 ∴a 2＜15（或通过转换得新三角形三边确实是AD 、DI 、AI ，即求△GAI 的面积或利用△HAI 与△HGI 相似，求△HAI 的面积也能够）∴a 的最大整数值为3．………………………………………………8分D BCIE DGFHaPR（4）将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝2，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝2．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝2，又因为QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三点共线．因为S△QOP＝3，因此S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'＝S△AOB'＋S△B'PR＋S△PQA＜ 3 …………10分。
年南京市玄武区中考数学一模试题(北师大版,含答案)-
—第二学期九年级数学测试卷（一）题 号 一二三四五六七八总分得 分 复核人一、选择题（每小题2分，共24分）1.3-的绝对值是------------------------------------------------------（ ）A . 3-B . 31-C . 3D . 31 2.比2-大1的数是-----------------------------------------------------（ ）A . 3B . 1-C . 3-D . 1 3.计算62x x ÷的结果是-------------------------------------------------（ ）A . 4xB . 8xC . 3xD . 12x4.年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球。
已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ） A .3.84×410千米B . 3.84×610千米C . 3.84×510千米D .38.4×410千米5.4的平方根是--------------------------------------------------------（ ）A . 2B . 2-C . 2±D . 166. 若干桶方便面摆放在桌子上，实物图片左边所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有---------------------------------------------------（ ）（A ）5桶 （B ） 6桶 （C ）9桶 （D ）12桶 7.二次函数1)3(22--=x y 的图象的顶点坐（ ）A .（3 ，1）B .（-3 ，1）C .（-3 ，-1）D .（3 ，-1）表1 表 2B'A CB A'第12题8.下图是四个边长相等的正方形，其中阴影部分面积较大的是--------------------------（ ）9.已知，在△ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，则A sin 的值为--------------------（ ） A .45 B . 43 C . 35 D . 3410.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB =50°，则∠OAC 的度数是---（ ）A .15°B .25°C .30°D .40° 11.如图，双曲线xy 6-=的一个分支为--------------------------------------------------------（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④第9题 第10题 第11题 12.如图，一块含有30°角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A 'B 'C '的位置.若BC 的长为15cm ，那么AC 边从开始到结束所扫过的图形的面积为--------------------（ ）A .300πcm 2B . 225πcm 2C .32D . 100πcm 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 13.分解因式：=-39m m ____ ___.14.表1给出了直线1l 上部分点（x ，y ）的坐标值，表1给出了直线2l 上部分点（x ，y ）的坐标值，x2-0 2 4 y 3-1 1- 4-那么直线1l 和直线2l 交点横坐标为 .15.用配方法将函数1422--=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式 . 16.在比例尺为1∶40000的地图上，某经济开发区的面积为225cm ， 那么，该经济开发区的实际面积为 2km ．17.如图，用一块直径为2a 的圆桌布平铺在对角线为2a 的正方形桌面上， 若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为 . 三、（18-21小题每小题5分，22题6分，共21分） 18.23()224x x x x x x -÷-+- 19.解方程：21323--=+-x x x20.解不等式组253(2),1.23x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩，并写出不等式组的正整数解．x2- 0 24 y 5- 3- 1-121. 小丽在观察某建筑物AB ．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB 在阳光下的投影．（2）已知小丽的身高为m 65.1，在同一时刻测得小丽和建筑物AB 的投影长分别为m 2.1和8m ，求建筑物AB 的高．四、（每小题6分，共18分）22.有黑白两种小球各若干只，且同色小球的质量均相同，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，若每只砝码的质量均为5克，则每只黑球和白球的质量各是多少克？AB 图723.甲、乙、丙三人今年参加中考，希望考上心目中理想的学校A或B，如果三人都能如愿以偿．(1)求甲、乙、丙三名学生被同一所学校录取的概率；(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在被A学校录取的概率．24.已知：如图，将平行四边形ABCD折叠，使对角顶点A、C重合，折痕为EF.⑴求证：△AOE≌△COF；⑵连接AF、CE，试判断四边形AFCE形状，并说明理由.北五、（25题6分，26题8分，共14分）25. 江中有一小岛C ，一条船由东向西沿直线航行，在A 处测得小岛C 在北偏东60°方向，船前进100米到达B 处，测得小岛C 在北偏东45°方向，若该岛周围120米的范围内有浅滩，如果该船继续前进，这是否有被浅滩阻碍的危险？（其中3≈1.73）26.我区中学为了解学生参加课外体育活动情况，采取抽样的方法，从球类、田径、棋类、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？ （2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线图．（4）若该校有2000名学生，请你估算出该校参加“球类”运动的 学生人数。
江苏省南京市玄武区2022年中考数学一模试卷(含解析)
江苏省南京市玄武区2022年中考数学一模试卷一、选择题1．截止2月28日17时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾15.7亿元，将数据15.7亿用科学记数法表示为〔〕A．15.7×108B．1.57×109C．1.57×1010D．0.157×10112．计算〔﹣ab2〕3的结果是〔〕A．ab6B．﹣ab6C．a3b6D．﹣a3b63．不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的选项是〔〕A．B．C．D．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体是〔〕A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥5．某工厂现在平均每天比原方案多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原方案生产450台机器所需时间相同．设原方案每天生产x台机器，那么可列方程为〔〕A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A〔1，0〕、B〔0，﹣1〕、C〔﹣1，0〕、D〔0，1〕，点P〔0，2〕绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，那么点P2022的坐标为〔〕A．〔0，2〕B．〔﹣2，2〕C．〔﹣2，2022〕D．〔2022，0〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕7．二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是．8．方程﹣＝0的解为．9．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是．10．计算的结果是．11．设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，那么m＝．12．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，那么其侧面积为．13．如图，点A在反比例函数y＝〔x＞0〕的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x 轴，垂足为B，连接AC、BC．假设△ABC的面积为2，那么k的值为．14．如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，假设AG＝5，BG＝3，那么＝．15．如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是的三等分点，连接DE，那么∠AED＝°．16．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是．三、解答题〔共11题，共88分〕17．计算：〔1〕tan45°﹣﹣〔〕﹣1+〔3.14﹣π〕0；〔2〕〔m﹣n〕〔m2+mn+n2〕．18．先化简，再求值：÷〔a+1﹣〕，其中a＝﹣2．19．为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某社区积极响应党的号召，鼓励共产党员踊跃捐款．为了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了局部党员的捐款金额进行统计，数据整理成如图尚不完整的统计表和统计图．某社区抽样党员捐款金额统计表组别捐款金额〔元〕人数A x≤100 2B100＜x≤200 10C200＜x≤300D300＜x≤400 14E x＞400 4〔1〕一共抽取了名党员，捐款金额的中位数在中〔填组别〕；〔2〕补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为°；〔3〕该社区共有1000名党员，请估计捐款金额超过300元的党员有多少名？20．如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF．21．如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．〔1〕随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是；〔2〕同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；〔3〕假设这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置〔硬币随A杯一起移动〕，那么经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为．A.B.C.D.22．甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离〔米〕与乙行驶的时间x〔分钟〕之间的关系如图，请根据图象答复以下问题．〔1〕M、N两地之间的距离为米，甲的速度为米/分钟．〔2〕求线段BD所表示的y与x之间的函数表达式．〔3〕直接写出当x取何值时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．23．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机奉劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．〔参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．〕24．在⊙O中，AB和CD是弦，且AB＝CD，请用无刻度直尺完成以下作图．〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕如图①，在上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等．〔2〕如图②，E是⊙O上一点，且BE∥CD，BE＝CD，在上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．25．二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣1〔m为常数〕．〔1〕假设该函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值．〔2〕将该函数图象沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图象．①那么新函数的表达式为，并证明新函数图象始终经过一个定点；②点A〔﹣2，﹣1〕、B〔2，﹣1〕，假设新函数图象与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．26．如图，在⊙O中，AB为直径，过点A的直线l与⊙O相交于点C，D是弦CA延长线上一点，∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，G是的中点，过点G作MN ∥AE，与AF、EB的延长线分别交于点M、N．〔1〕求证：MN是⊙O的切线；〔2〕假设AE＝24，AM＝18，①求⊙O的半径；②连接MC，那么tan∠MCD的值为．27．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．【操作感知】〔1〕根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；【初步探究】〔2〕求证：CD2+CE2＝4r2；〔3〕当r＝8时，那么CD2+CE2+FG2的最大值为；【深入研究】〔4〕直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为．参考答案一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分〕1．截止2月28日17时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾15.7亿元，将数据15.7亿用科学记数法表示为〔〕A．15.7×108B．1.57×109C．1.57×1010D．0.157×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于15.7亿＝1570000000有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．解：15.7亿＝1570000000＝1.57×109．应选：B．2．计算〔﹣ab2〕3的结果是〔〕A．ab6B．﹣ab6C．a3b6D．﹣a3b6【分析】根据积的乘方法那么先展开得出〔﹣a〕3×〔b2〕3，再求出结果即可．解：〔﹣ab2〕3＝﹣a3b6．应选：D．3．不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式根本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：3﹣x≤2x，﹣x﹣2x≤﹣3，﹣3x≤﹣3，x≥1，应选：B．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体是〔〕A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．解：由三视图知，该几何体是三棱柱，应选：B．5．某工厂现在平均每天比原方案多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原方案生产450台机器所需时间相同．设原方案每天生产x台机器，那么可列方程为〔〕A．B．C．D．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原方案生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原方案生产450台时间．解：设原方案每天生产x台机器，那么现在可生产〔x+50〕台．依题意得：＝．应选：C．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A〔1，0〕、B〔0，﹣1〕、C〔﹣1，0〕、D〔0，1〕，点P〔0，2〕绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，那么点P2022的坐标为〔〕A．〔0，2〕B．〔﹣2，2〕C．〔﹣2，2022〕D．〔2022，0〕【分析】通过前几个点坐标确定周期，即可判断P2022在周期内所处位置．解：结合图象确定前几个点的坐标为：P1〔2，﹣2〕、P2〔﹣2，0〕、P3〔0，0〕、P4〔0，2〕、P5〔2，﹣2〕……发现周期为 4，∴2022÷4＝505，故P2022是周期内的第四个，同P4坐标．应选：A．二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕7．二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是x≤2 ．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．解：依题意有2﹣x≥0，解得x≤2．故答案为：x≤2．8．方程﹣＝0的解为x＝﹣3 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：3x+3﹣2x＝0，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．故答案为：x＝﹣3．9．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是2〔x﹣1〕2．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：2x2﹣4x+2，＝2〔x2﹣2x+1〕，＝2〔x﹣1〕2．故答案为：2〔x﹣1〕2．10．计算的结果是2．【分析】根据二次根式的运算法那么即可求出答案．解：原式＝＝2，故答案为：211．设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，那么m＝﹣1 ．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，代入x1+x2＝x1x2﹣1，即可求出m 的值．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，∵x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，∵x1+x2＝x1x2﹣1，∴﹣2＝m﹣1，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，那么其侧面积为12πcm．【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．解：∵底面圆的半径为2cm，∴底面周长为4πcm，∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴＝4π，解得：r＝6，∴侧面积为×4π×6＝12πcm，故答案为：12πcm．13．如图，点A在反比例函数y＝〔x＞0〕的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x 轴，垂足为B，连接AC、BC．假设△ABC的面积为2，那么k的值为 4 ．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝2，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝2，∵k＞0，∴k＝4．故答案为4．14．如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，假设AG＝5，BG＝3，那么＝．【分析】过B作BP⊥AG于P，那么∠BPG＝90°，∠AGB＝60°，解直角三角形即可得到结论．解：过B作BP⊥AG于P，那么∠BPG＝90°，∠AGB＝60°，∵BG＝AL＝3，AG＝5，∴LG＝2，PG＝，BP＝，∴AP＝5﹣＝，∴AB═＝，∴＝〔〕2＝〔〕2＝，故答案为：．15．如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是的三等分点，连接DE，那么∠AED＝54 °．【分析】连接BD，如图，设∠BDE的度数为x，由于点E、F恰好是的三等分点，那么根据圆周角定理得到∠EBD＝2x，∠BCD＝6x，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CBD＝∠CDB＝90°﹣3x，接着根据平行线的性质得2x＝90°﹣3x，解得x＝18°，然后利用三角形外角性质计算∠AED的度数．解：连接BD，如图设∠BDE的度数为x，∵点E、F恰好是的三等分点，∴∠EBD＝2x，∠BCD＝6x，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝〔180°﹣∠BCD〕＝〔180°﹣6x〕＝90°﹣3x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，即2x＝90°﹣3x，解得x＝18°，∴∠AED＝∠EBD+∠BDE＝2x+x＝3x＝54°．故答案为54°．16．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是2＜a＜4 ．【分析】由条件∠C＝60°，根据正弦定理用a表示出sin A，由∠C的度数及正弦函数的图象可知满足题意的△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围，进而求出a的取值范围．解：由正弦定理得：＝，即＝，再sin A＝，由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得2＜a＜4．故答案为：2＜a＜4．三、解答题〔共11题，共88分〕17．计算：〔1〕tan45°﹣﹣〔〕﹣1+〔3.14﹣π〕0；〔2〕〔m﹣n〕〔m2+mn+n2〕．【分析】〔1〕分别根据特殊角的三角函数值，数的开平方，负指数、零指数幂的运算法那么，分别计算出各数，再根据实数混合运算的法那么进行计算即可．〔2〕根据多项式的乘法进行计算即可．解：〔1〕原式＝1﹣﹣2+1＝1﹣3﹣2+1＝﹣3；〔2〕原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3．18．先化简，再求值：÷〔a+1﹣〕，其中a＝﹣2．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答此题．解：÷〔a+1﹣〕＝＝＝＝，当a＝﹣2时，原式＝＝．19．为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某社区积极响应党的号召，鼓励共产党员踊跃捐款．为了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了局部党员的捐款金额进行统计，数据整理成如图尚不完整的统计表和统计图．某社区抽样党员捐款金额统计表组别捐款金额〔元〕人数A x≤100 2B100＜x≤200 10C200＜x≤300D300＜x≤400 14E x＞400 4〔1〕一共抽取了50 名党员，捐款金额的中位数在C中〔填组别〕；〔2〕补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为72 °；〔3〕该社区共有1000名党员，请估计捐款金额超过300元的党员有多少名？【分析】〔1〕根据D组人数统计百分比求出总人数即可．〔2〕根据C组人数画出条形图，再根据圆心角＝360°×百分比计算即可．〔3〕利用样本估计总体的思想思考问题即可．解：〔1〕总人数＝14÷28%＝50〔名〕，C组人数＝50﹣2﹣10﹣14﹣4＝20〔名〕，捐款金额的中位数在C组．故答案为：50；C．〔2〕条形图如下图：B组对应扇形的圆心角度数为360°×＝72°，故答案为72．〔3〕估计捐款金额超过300元的党员有：1000×＝360 〔名〕，答：估计捐款金额超过300元的党员有360名．20．如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF．【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，BC＝AD，对角相等可得∠B＝∠D，然后求出DF＝BE，再利用“边角边〞证明两三角形全等．【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，∵AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣CE，即DF＝BE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕．21．如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．〔1〕随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是；〔2〕同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；〔3〕假设这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置〔硬币随A杯一起移动〕，那么经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为B．A.B.C.D.【分析】〔1〕根据其中一个杯子里有一枚硬币，共3个杯子，可直接得出随机翻开一个杯子，出现硬币的概率；〔2〕根据题意画出树形图，求出所有情况数，和出现硬币的情况数，再根据概率公式计算即可；〔3〕先求出第一次交换后的情况数，再求出第二次交换后的情况数，从而求出所有情况数和硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数，最后根据概率公式计算即可．解：〔1〕随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是；故答案为：；〔2〕根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中出现硬币的情况数有4种，那么出现硬币的概率是：＝；〔3〕根据题意得：第一次交换后情况是：BAC、CBA、ACB，把BAC再交换一次的情况数：ABC、CAB、BCA，把CBA再交换一次的情况数：BCA、ABC、CAB，把ACB再交换一次的情况数：CAB、BCA、ABC，共有9种情况数，硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数有3种，那么硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为＝．故答案为：B．22．甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离〔米〕与乙行驶的时间x〔分钟〕之间的关系如图，请根据图象答复以下问题．〔1〕M、N两地之间的距离为6400 米，甲的速度为200 米/分钟．〔2〕求线段BD所表示的y与x之间的函数表达式．〔3〕直接写出当x取何值时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．【分析】〔1〕根据题意结合图象解答即可；〔2〕先求出点D的坐标，再运用待定系数法解答即可；〔3〕分情况讨论①乙在休息前，根据两人的速度列方程解答即可；②乙在休息时，把y ＝3200代入〔2〕的结论计算即可．【解答】〔1〕由图象可知，M、N两地之间的距离为6400米，乙的速度为3200÷10＝320〔米/分钟〕，甲的速度为320÷1.6＝200〔米/分钟〕．故答案为：6400；200．〔2〕甲车走完全程需6400÷200＝32 分钟．32﹣30＝2 分钟，∴D点纵坐标为 2×20＝400．∴D〔0，400〕，∵B〔30，6400〕，设BD：y＝kx+b〔k≠0〕，，解得，∴线段BD的解析式为：y＝200x+400〔 0≤x≤30 〕．〔3〕根据题意得：320x＝200x+400或400+200x＝3200，解得x＝或x＝14．答：当x＝或x＝14时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．23．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机奉劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．〔参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．〕【分析】过点E作EM⊥DC于M．设BM＝x米．那么AC＝BC＝EM〔60+x〕米．DM＝〔10+x〕米，得出tan∠D＝＝，解出x即可得出答案．解：如图，过点E作EM⊥DC于M．∵AE∥CD．∴∠ABC＝∠BAE＝45°．∵BC⊥AC，EM⊥DC，∴AC∥EM，∴四边形AEMC为矩形．∴CM＝AE＝60 米．设BM＝x米．那么AC＝BC＝EM〔60+x〕米．DM＝〔10+x〕米．在 Rt△EDM中，∵∠D＝37°．∴tan∠D＝＝，解得：x＝120，∴AC＝60+x＝60+120＝180 〔米〕．∴飞机高度为180米．答：无人机飞行的高度AC为180米．24．在⊙O中，AB和CD是弦，且AB＝CD，请用无刻度直尺完成以下作图．〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕如图①，在上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等．〔2〕如图②，E是⊙O上一点，且BE∥CD，BE＝CD，在上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．【分析】〔1〕根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等；〔2〕根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．解：〔1〕如图①，点P即为所求；〔2〕如图②，点Q即为所求．25．二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣1〔m为常数〕．〔1〕假设该函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值．〔2〕将该函数图象沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图象．①那么新函数的表达式为y＝﹣x2+2mx﹣1 ，并证明新函数图象始终经过一个定点；②点A〔﹣2，﹣1〕、B〔2，﹣1〕，假设新函数图象与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．【分析】〔1〕△＝〔﹣2m〕2﹣4〔2m2﹣1〕＝0，即可求解；〔2〕①翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2mx﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，即可求解；②当m＞0时，如上图实线局部，新函数图象与线段AB只有一个公共点，那么函数不过点B，即m＞1；当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，即可求解．解：〔1〕∵△＝〔﹣2m〕2﹣4〔2m2﹣1〕＝0，∴m＝±1，即函数图象与x轴只有一个公共点时，m的值为±1；〔2〕①∵y＝x2﹣2mx+2m2﹣1＝〔x﹣m〕2+m2﹣1，顶点坐标为〔m，m2﹣1〕，∴翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣〔x﹣m〕2+m2﹣1＝﹣x2+2mx﹣1，故答案为：y＝﹣x2+2mx﹣1；当x＝0时，y＝﹣1，故新函数过定点〔0，﹣1〕；②设定点为C〔0，﹣1〕，而点A〔﹣2，﹣1〕、B〔2，﹣1〕，即点A、B、C在同一直线上，新抛物线的对称轴为x＝m，当m＞0时，如上图实线局部，新函数图象与线段AB只有一个公共点，那么函数不过点B，即m＞1，当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1．26．如图，在⊙O中，AB为直径，过点A的直线l与⊙O相交于点C，D是弦CA延长线上一点，∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，G是的中点，过点G作MN ∥AE，与AF、EB的延长线分别交于点M、N．〔1〕求证：MN是⊙O的切线；〔2〕假设AE＝24，AM＝18，①求⊙O的半径；②连接MC，那么tan∠MCD的值为．【分析】〔1〕如图1，连接GO、GA，先根据角平分线的定义证明∠MAE＝〔∠BAC+∠BAD〕＝90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA＝∠FAG，那么OG∥AM，所以∠MGO ＝180﹣∠M＝90，从而得结论；〔2〕①延长GO交AE于点P，证明四边形MGPA为矩形，得GP＝MA＝18，∠GPA＝90°，设OA＝OG＝r，那么OP＝18﹣r，根据勾股定理列方程解出即可；②如图3，过M作MH⊥l，连接BC，延长NE交l于I，连接GO交延长交AE于P，tan∠MAH＝tan∠ABE＝tan∠BIA＝，BI＝2BE＝20，根据三角函数计算MH，AH，CI的长，最后计算MH和HC的长，代入tan∠MCD＝，可得结论．【解答】〔1〕证明：如图1，连接GO、GA，∵∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，∴∠MAE＝〔∠BAC+∠BAD〕＝90°，∵MN∥AE，∴∠M＝180﹣∠MAE＝90°，∵G是的中点，∴＝，∴∠FAG＝∠BAG，∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠BAG，∴∠OGA＝∠FAG，∴OG∥AM，∴∠MGO＝180﹣∠M＝90，∵G为半径的外端，∴MN是⊙O的切线；〔2〕解：①如图2，连接GO交延长交AE于点P，∵∠MGO＝∠M＝∠MAE＝90°，∴四边形MGPA为矩形，∴GP＝MA＝18，∠GPA＝90°，即OP⊥AE，∴AP＝AE＝12，设OA＝OG＝r，那么OP＝18﹣r，在 Rt△OAP中，∵OA2＝OP2+AP2，∴r2＝〔18﹣r〕2+122，解得：r＝13，答：⊙O的半径是13；②如图3，过M作MH⊥l，连接BC，延长NE交l于I，连接GO交延长交AE于P，由①知：OG＝13，PG＝18，∴OP＝5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠AEI＝90°，∵∠BAE＝∠EAC，∴∠ABE＝∠AIB，∵AM∥NI，∴∠MAH＝∠BIA＝∠ABE，∴tan∠MAH＝tan∠ABE＝tan∠BIA＝，BI＝2BE＝20，∵cos∠AMH＝，sin∠AMH＝，sin∠CBI＝＝，∴MH＝＝，AH＝＝，CI＝20×＝，∴AC＝AI﹣CI＝26﹣＝，∴HC＝AH+AC＝+＝，∴tan∠MCD＝＝．故答案为：．27．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．【操作感知】〔1〕根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；【初步探究】〔2〕求证：CD2+CE2＝4r2；〔3〕当r＝8时，那么CD2+CE2+FG2的最大值为448 ；【深入研究】〔4〕直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为．【分析】〔1〕根据要求画出图形即可〔如图①所示〕．〔2〕如图②中，连接DE．利用勾股定理即可解决问题．〔3〕因为CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半径为定值 8，所以弦心距越小那么弦FG越长，圆心O在以C为圆心8为半径的圆上，当CO⊥AB时，O到AB距离最短，此时FG最大，由此即可解决问题．〔4〕首先确定r的范围．圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大，当半径比拟小时，O 在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大，当圆心在CH上，圆正好经过点A时，设O0A＝O0C＝r，在Rt△AO0H中，那么有r2＝〔12﹣r〕2+92，解得r＝，当r＞时，假设O还在CH 上，那么A点在圆内，圆不与AB边相交，推出此时圆心应该是在AC中垂线上，推出6＜r≤时，O在CH上，≤r≤时，O在AC中垂线上，那么CD2+CE2+FG2的值最大，推出O路径如以下图折线O1﹣O0﹣O2【解答】〔1〕解：如图①即为所求，〔2〕证明：如图②中，连接DE．∵∠DCE＝90°，∴DE为⊙O直径，即DE＝2r，∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，〔3〕解：如图③中，∵CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半径为定值 8，∴弦心距越小那么弦FG越长，圆心O在以C为圆心8为半径的圆上，当CO⊥AB时，O到AB距离最短，此时FG最大，∵•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝＝12，∵OC＝8，∴OH＝4，OH⊥FG，∴FH＝HG＝＝＝4，∴FG＝2FH＝8∴CD2+CE2+FG2的最大值＝162+〔8〕2＝448．故答案为448．〔4〕如图④中，当⊙O1与AB相切时，⊙O1的直径最小，最小值为12，此时r＝6，当圆心O2在AB上时，圆直径最大等于AB＝25，∴6≤r≤，∵圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大，当半径比拟小时，O在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大，当圆心在CH上，圆正好经过点A时，设O0A＝O0C＝r，在Rt△AO0H中，那么有r2＝〔12﹣r〕2+92，解得r＝，∴OH＝12﹣＝，当r＞时，假设O还在CH上，那么A点在圆内，圆不与AB边相交，∴此时圆心应该是在AC中垂线上，∴6＜r≤时，O在CH上，≤r≤时，O在AC中垂线上，那么CD2+CE2+FG2的值最大，∴O路径如以下图折线O1﹣O0﹣O2∵O1H＝6，O0H＝，∴O1O1＝6﹣＝，∵AO2＝，AH＝9，∴HO2＝﹣9＝，∴O0O2＝＝，∴O点路径长＝+＝．故答案为．。
2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试题(解析版)
2022~2023学年度第二学期九年级学情调研卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.南京文旅火爆“出圈”．据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44300000人次，将44300000用数学（玄武一模）科学记数法表示为（）A.80.44310⨯ B.64.4310⨯ C.74.4310⨯ D.84.4310⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】44300000用科学记数法表示应为：74.4310⨯故选：C【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解题关键2.下列运算正确的是（）A.246325a a a += B.236a a a ⋅= C.()32626a a = D.()23624a a -=【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可．【详解】解：A 、23a 与42a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B 、235a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；C 、()32628a a =，原式计算错误，不符合题意；D 、()23624a a -=，原式计算正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．3.最接近的是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据6.2579<<，得出2.53<<，即可进行解答．【详解】解：∵6.2579<<，∴2.53<<，最接近的是3，故选；B ．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法，会用夹逼法估算无理数．4.如图，,PA PB 是O 的切线，A ，B 为切点，过点A 作AC PB ∥交O 于点C ，连接BC ，若P α∠=，则PBC ∠的度数为（） A.1902α︒+ B.1902α︒- C.180α︒- D.11802α︒-【答案】A【解析】【分析】连接OA OB ，，根据切线的性质得出90OAP OBP ∠=∠=︒，根据四边形内角和为360︒，求得180AOB α∠=︒-，根据圆周角定理得出119022C AOB α∠=∠=︒-，然后根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，连接,OA OB ，∵PA PB ，是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵P α∠=，∴180180AOB P α∠=︒-∠=-，∵ AB AB=，∴119022C AOB α∠=∠=︒-，∵AC PB ∥∴1180902PBC C α∠=︒-∠=︒+，故选：A ．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5.如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a b a b -+，，下列结论中一定正确的是（）A.a b< B.11a b < C.22a b < D.a b b a<【答案】C【解析】【分析】由图可知：0a b a b <<-+，a b a b <-+，即可得b a b <0<<-，在结合不等式的性质，逐项判断即可作答．【详解】由图可知：0a b a b <<-+，a b a b <-+，∴a b <-，b a <，a b a b --<-，∴b a b <<-，a a -<，∴b a b <0<<-，∴b a <，110a b>>，即A 、B 项错误，∵0a b <<-，∴22a b <，即C 项正确，∵2222a b a b a b b a ab ab ab--=-=，又∵22a b <，0b <，0a >，∴0ab <，∴220a b a b b a ab--=>，∴a b b a>，即D 项错误，故选：D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，分式的减法等知识，数形结合是解题的关键．6.如图，点A ，B 在反比例函数k y x=（0x ＞）图像上，点A 的横坐标为1，连接,,OA OB AB ，若OA OB =，OAB 的面积为4，则k 的值为（）A .2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】过点A 作AM x ⊥轴，过点B 作BN x ⊥轴，设点()1A ，k ，点B 的坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据勾股定理列出方程，求出1,ON k BN ==，求出AONB S 四边形2111222k k =+-，从而得出AOB DBN AONB S S S =- 四边形211422k =-=，求出k 即可【详解】解：设点()1A ，k ，过点A 作AM x ⊥轴，过点B 作BN x ⊥轴，垂足分别为M ，N ，如图，则1,OM AM k ==，设点B 的坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则,k ON m BN m==，∵,OA OB =∴2222OM AM ON BN +=+，∴2221k k m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴()22421,k m m k +=+∴()422210m k m k -++=，∴()()22210m k m --=，解得，22m k =或21m =（舍去）∴m k =（负值舍去）∴点B 的坐标为(),1k ，∴1,ON k BN ==，∴AOM AONB AMNB S S S =+ 四边形梯形()1122OM AM BN AM MN =⋅++⋅()()11=11122k k k ⨯⨯++-2111222k k =+-，∴221111114222222AOB DBN AONB S S S k k =-=+--=-= 四边形，∴218,k -=∴29,k =∴3k =±，∵反比例函数k y x=（0x ＞）图像在第一象限，∴0,k >∴3,k =故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.2023的相反数是______，2023-的倒数是______．【答案】①.2023-②.12023-【解析】【分析】根据相反数与倒数的定义即可求解．【详解】解：2023的相反数是2023-，2023-的倒数是12023-，故答案为：2023-，12023-．【点睛】本题考查相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．8.若式子12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．【答案】2x ≠【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，20x -≠，解得，2x ≠．故答案为：2x ≠．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．9.分解因式2ax a -的结果是______．【答案】()()11a x x －＋【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式()21a x =-()()11a x x =+-故答案为：()()11a x x +-．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键．10.方程112x x x x -=-+的解是__________．【答案】14x =【解析】【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．【详解】解：112x x x x -=-+()()212,x x x ∴-=+22212,x x x x ∴-+=+41,x ∴=1.4x ∴=经检验：14x =是原方程的根．故答案为：14x =．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.11.设1x ，2x 是方程230x x m -+=的两个根，且12121x x x x +-=，则m ＝______．【答案】2【解析】【分析】由根与系数的关系可得12123x x x x m +==，，结合12121x x x x +-=可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵12x x ，是方程230x x m -+=的两个根，∴12123x x x x m +==，，∵121231x x x x m +-=-=，∴2m =．故答案为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212c b a ax x x x +=-=．12.沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为2cm ，母线长为6cm ，则该扇形的圆心角的度数为______°．【答案】120︒【解析】【分析】根据圆锥的底面圆的半径为2cm 得到扇形的弧长4cm π，再利用弧长公式即可解答．【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为2cm ，∴圆锥的底面圆周长为：4cm π，∴扇形的弧长4cm π，∵圆锥的母线长为6cm ，∴扇形的半径为6cm ，∴设扇形的圆心角为n ，∴π64180n π⨯=︒，∴120n =︒，故答案为120︒．【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．13.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在y 轴上，M ，N 分别是边OA OC ，的中点，若点M ，N 的纵坐标分别是3，2，则点B 的坐标是______．【答案】()【解析】【详解】过点CE x ⊥轴交与点E∵M ，N 分别是边OA OC ，的中点，且点M ，N 的纵坐标分别是3，2∴6OA =，点C 的纵坐标是4，即4CE =又∵菱形OABC∴6OC OA ==在Rt OEC 中，64OC CE ==，OE ==10BE BC CE =+=∴点B 的坐标()【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理求直角边，熟练掌握相关知识点是解题关键14.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接,OD ON ，则DON ∠＝______°．【答案】105【解析】【分析】连接OA OB ，，OE ，根据正六边形的性质可得，AOB DOE ，是等边三角形，再证明四边形OBCD 是菱形，以及AON 是等腰三角形，分别求出120,BOD ∠=︒60,AOB ∠=︒75AON ∠=°，从而可得出结论．【详解】解：∵六边形ABCDE 是正六边形，∴,120,AB BC CD DE EF FA FAB ABC BCD =====∠=∠=∠=︒∵四边形ABMN 是正方形，∴,90,AB BM MN NA NAB ABM ===∠=∠=︒连接OA OB ，，OE ，如图，则AOB DOE ，是等边三角形，∴60,,,OAB ABO AOB OA OB AB OD ED ∠=∠=∠=︒===∴,OA AN OB CD BC CD =====1206060,OBC ∠=︒-︒=︒906030,OAN ∠=︒-︒=︒∴四边形OBCD 是菱形，()118030752AON ∠=︒-︒=︒，∴180********,BOD OBC ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴3603601206075105DON BOD AOB AON ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：105．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．15.已知函数()222y x m x m =-++（m 为常数），当22x ≤≤－时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m =______时，a 取得最大值．【答案】2【解析】【分析】先求出顶点坐标，再根据224m +≤，2224m +-<<，224m +≤-，进行分类讨论求出a 的取值范围，即可得出结果．【详解】解：∵函数()222y x m x m =-++的顶点坐标为：()222,48m m ⎛⎫-+ ⎪- ⎪⎝⎭，①当224m +≤，即6m ≥时，y 在2x =处取最小值，即()=822=4a m m m -++-+，∴2a ≤-，②当2224m +-<<，即106m -<<时，y 在2=4m x +处取最小值，即()22=8m a --，∵当106m -<<时，()202144m ≤-≤，∴()221808m --<-≤，即180a -<≤，③当224m +≤-，即10m ≤-时，y 在2x =-处取最小值，即()=822=312a m m m ++++，∴18a ≤-，综上所述，a 的最大值为0，此时2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16.如图，在ABCD Y 中，E 是边BC 的中点，连接AE ，若430BC BAE ∠︒＝，＝，则对角线BD 的取值范围为______．【答案】22BD ≤≤【解析】【分析】如图，过D 作DQ AE ∥，交BC 的延长线于Q ，证明4EQ AD ==，30CDQ BAE ∠=∠=︒，D 在DCQ 的外接圆O 上运动，且满足30CDQ ∠=︒，连接OC ，OQ ，可得260COQ CDQ ∠=∠=︒，证明OCQ △为等边三角形，可得2OC OQ CQ ===，直接24MD OC ==，过O 作OP CQ ⊥于P ，可得1CP PQ ==，OP =BO ===，当BD 过O 点，且D 在O 的右边时，BD 最长，当D 在O 的左边时，BD 最短，可得最长时为2+，最短时为：2-．【详解】解：如图，过D 作DQ AE ∥，交BC 的延长线于Q ，∴180EAD ADQ ∠+∠=︒，即180EAD ADC CDQ ∠+∠+∠=︒，∵ABCD Y ，4BC =，E 为BC 中点，∴AB CD ∥，AD BC ∥，AB CD =，4AD BC ==，2BE CE ==，∴四边形AEQD 为平行四边形，180BAE EAD ADC ∠+∠+∠=︒，∴4EQ AD ==，30CDQ BAE ∠=∠=︒，∴D 在DCQ 的外接圆O 上运动，且满足30CDQ ∠=︒，连接OC ，OQ ，∴260COQ CDQ ∠=∠=︒，∵OC OQ =，∴OCQ △为等边三角形，∴2OC OQ CQ ===，直接24MD OC ==，过O 作OP CQ ⊥于P ，∴1CP PQ ==，OP =∴BO ===，当BD 过O 点，且D 在O 的右边时，BD 最长，当D 在O 的左边时，BD最短，∴最长时为2+，最短时为：2-；∴22BD ≤≤．故答案为：22BD ≤≤．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，求解一点与圆上距离的最值，作出正确的辅助线是解本题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算:()13π24cos60----+︒（2）解不等式组：()51311213x x x x ⎧->+⎪⎨+≥-⎪⎩【答案】（1）1π2-；（2）24x <≤【解析】【分析】（1）先计算绝对值、负整数次幂、特殊角三角函数，再进行加减运算；（2）先计算两个不等式的解集，再求交集．【详解】（1）解：()13π24cos60----+︒11π3422⎛⎫=---+⨯ ⎪⎝⎭1π322=-++1π2=-（2）解：解不等式()5131x x ->+，得：2x >，解不等式1213x x +≥-，得：4x ≤，∴该不等式组的解集为24x <≤．【点睛】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握负整数次幂运算法则、特殊角的三角函数值，以及一元一次不等式组的求解步骤．18.先化简，再求值:2769122a a a a a a +++⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中3a =．【答案】33a a -+，1-【解析】【分析】根据分式的混合运算进行计算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：原式()()()21272223a a a a a a a -+⎛⎫++=-⋅ ⎪+++⎝⎭()()()233223a a a a a -++=⋅++33a a -=+；当3a =-时，原式1===-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．19.小丽从A 、B 、C 、D 四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩．（1）随机选择一个景点，恰好是A 景点的概率是______；（2）随机选择两个景点，求A ，B 景点至少有一个的概率．【答案】（1）14（2）56【解析】【分析】（1）根据概率公式直接可得结果；（2）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】小丽从A 、B 、C 、D 四个景点中，随机选择一个景点，恰好是A 景点的概率是14；故答案为：14．【小问2详解】列表如下AB C D AA B ， A C ， A D ，B B A， B C ， B D ，C C A， C B ， C D ，D D A ， D B ， D C，共有12种等可能结果，其中符合题意的有10种，则A ，B 景点至少有一个的概率为105=126．【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟求概率的方法练掌握是解题的关键．20.某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）完成表格；平均数/分中位数/分方差/分2甲8.8______0.56乙8.89______丙______80.96（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为2s ，则2s ______0.56．（填“<”或“>”或“=”）【答案】（1）9，0.96，8.8；（2）选甲更合适，理由见解析；（3）<【解析】【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案；（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；（3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案．【小问1详解】解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，∴甲得分的中位数为9，由乙得分的条形统计图可知，乙得分的方差为()()()()()22222178.898.898.8108.898.80.965⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，∴丙得分的平均数为[]1210388.85⨯+⨯=，故答案为：9，0.96，8.8；【小问2详解】解：选甲更合适．因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；【小问3详解】解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为()12699833++=，甲的方差2s 为222126262629980.233339⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦&，20.56s ∴<，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键．21.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD BE ，交于点P ，,PD PE B C ∠∠==，求证空白公式．【答案】见解析【解析】【分析】根据AAS 证明PBD PCE ≅ 可得PB PC =，从而可得BE CD =，再根据AAS ABE ACD @V V 即可得到结论【详解】证明：在PBD △和PCE 中，∵B C DPB EPC PD PE ∠=∠∠=∠=，，．∴PBD PCE ≅ ．∴PB PC =，∴PB PE PC PD +=+，即BE CD =．在ABE 和ACD 中，∵B C A A BE CD ∠=∠∠=∠=，，，∴ABE ACD @V V ．∴AB AC =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS HL ，，，，．22.如图，ABCD Y 的对角线AC BD ，相交于点O E ．是BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE CF ，．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若EF 平分AEC ∠，求证AB AC ⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO CO AD BC =∥，，再利用全等三角形的判定与性质得到EO FO =即可解答；（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得到平行四边形AECF 是菱形，再利用中位线定理及菱形的判定与性质得到AB AC ⊥．【小问1详解】证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO CO AD BC =∥，，∴FAO ECO ∠=∠，在AOF 和COE 中，FAO ECO AO CO AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AOF COE ASA ≌，∴EO FO =，∵AO CO EO FO ==，，∴四边形AECF 是平行四边形，【小问2详解】证明：∵EF 平分AEC ∠，∴AEF CEF ∠=∠，∵AD BC ∥，∴∠=∠AFE CEF ，∴AFE AEF ∠=∠，∴AE AF =，∴平行四边形AECF 是菱形，∴AC EF ⊥，∴90COE ∠=︒，∵E 是BC 的中点，O 是AC 的中点，∴OE 是ABC 的中位线，∴OE AB ∥，∴COE CAB ∠=∠，∴90CAB ∠=︒，∴AB AC ⊥．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行线的性质及角平分线的定义，中位线的定理，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23.已知函数221y x m x m =++-（m 为常数）．（1）若该函数图像与y 轴的交点在x 轴上方，求m 的取值范围；（2）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点．【答案】（1）1m >（2）见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y 轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论；．（2）证明0∆>即可；【小问1详解】令=0x ，则1y m =-．∵函数的图像与y 轴的交点在x 轴上方，∴10m >-，∴1m >；【小问2详解】令0y =，则2210x mx m ++-=．∵121a b m c m ===，，－，∴()()()22224241444213b ac m m m m m -=--=-+=-+．∵()2210m -≥，∴()22130m -+>．∴该方程有两个不相等的实数根．∴不论m 为何值，该函数图像与x 轴有两个不同的公共点．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y 轴交点的纵坐标．24.利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在M 处悬停，测得建筑物AB 顶端A 的仰角为42︒，底端B 的俯角为12.7︒.然后，在同一平面内，该无人机以5m/s 的速度沿着与水平线夹角为37︒方向斜向上匀速飞行，飞行4s 至N 处悬停，测得顶端A 的仰角为32︒，求建筑物AB 的高度．（参考数据：tan420.9tan12.70.225tan320.625sin370.6co s370.8tan370.75︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，，）【答案】90m【解析】【分析】过点N 作NC MC ⊥，垂足为C ，过点M 作MD AB ⊥，垂足为D ，过点N 作NE AB ⊥，垂足为E ，可得四边形EDCN 是矩形，利用锐角三角函数依次解Rt CMN 、Rt ADM △、Rt AEN △、Rt MDB △，即可求出建筑物AB 的高度．【详解】解:如图，过点N 作NC MC ⊥，垂足为C ，过点M 作MD AB ⊥，垂足为D ，过点N 作NE AB ⊥，垂足为E ，可知90MCN AEN ADM ∠∠∠︒＝＝＝，可得四边形EDCN 是矩形，从而DE NC =，EN DC =．在Rt CMN 中，37NMC ∠=︒，5420MN =⨯=，∵sin 37CN MN ︒=，cos37MC MN︒=，∴20sin3712CN =⨯︒=，20cos3716CM =⨯︒=．设DM x =，则16EN x =+，在Rt ADM △中，42AMD ∠=︒，∵tan 42AD MD︒=，∴tan420.9AD MD x =⋅︒=．在Rt AEN △中，32ANE ∠=︒，∵tan32AE EN︒=，∴()tan320.62516AE EN x =⋅︒=+．又∵AD AE ED =+，∴()0.90.6251612x x =++，∴80x =．∴0.972AD x ==．在Rt MDB △中，12.7BMD ∠=︒，80DM =，∴tan12.7BD MD︒=，∴tan12.7800.22518BD MD =⋅︒=⨯=．∵AB AD BD =+，∴721890AB =+=．∴建筑物AB 的高是90m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．25.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，过点A 作AE BC ∥交CD 的延长线于点E ，AE AB =，AD ED =，连接BD ．（1）求证AD BD =；（2）若1CD =，3DE =，求圆O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）364【解析】【分析】（1）根据平行线和圆内接四边形的性质，推出BAD E ∠=∠，再利用“SAS ”证明BAD AED ≌V V ，即可证明结论；（2）连接AC ，OA ，OB ，连接DO 并延长交AB 于点H ，根据全等三角形的性质，得到ABD DAE ∠=∠，再根据同弧所对的圆周角相等，得到ABD ACD ∠=∠，进而得到DAE ACD ∠=∠，证明ADE CAE ∽V V ，利用相似三角形的性质，求得AE AB ==然后证明DH 垂直平分AB ，得到DH AB ⊥，AH =，由勾股定理求得HD =r ，利用勾股定理列方程，求解即可求圆O 的半径．【小问1详解】证明：AE BC ∥，180E C ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 为O 的内接四边形，180C BAD ∴∠+∠=︒，BAD E ∴∠=∠，在BAD 和AED △中，AB AE BAD E AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAD AED ∴≌V V ，AD BD ∴=；【小问2详解】解：如图，连接AC ，OA ，OB ，连接DO 并延长交AB 于点H，BAD AED ≌Q V V ，ABD DAE ∴∠=∠，ABD ACD ∠=∠ ，DAE ACD ∴∠=∠，E E ∠=∠ ，ADE CAE ∴∽ ，DE AE AE CE∴=，1CD = ，3DE =，4CE CD DE ∴=+=，∴34AE AE =，AE ∴=，AB ∴=，OA OB = ，AD BD =，∴D 、O 在线段AB 的垂直平分线上，DH AB ∴⊥，12AH BH AB ===在Rt AHD △中，90AHD ∠=︒，3AD DE ==，HD ∴=设半径为r ，则OH r =，在Rt OHA V 中，222OH AH OA +=，)222r r ∴+=，解得：364r =，O ∴ 的半径为364．【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质等知识，灵活运用所需知识解决问题是解题关键．26.如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600m 的队伍AB ，排尾A 处的传令兵从甲地和队伍AB 沿同一直道同时出发．队伍AB 以1m/min v 的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以2m/min v 的速度赶赴排头B ，到达排头B 后立即返回排尾A ，再次接到命令，立即赶赴排头B ……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离1y （单位：m ）与出发时间x （单位：min ）之间的函数关系部分图象如图③所示．（1）1v =______m/min ，2=v ______m/min ；（2）求线段MN 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；（3）在图③中，画出排头B 离甲地的距离2y （单位：m ）与出发时间x 之间的函数图象【答案】（1）75；125（2）()112530001215y x x =-+≤≤（3）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B ，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A ，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可；（2）先求出M 、N 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（3）2y （单位：m ）与出发时间x 之间的函数图象过图中两个拐点（点M 和与点M 类似的那个点），由此画图即可．【小问1详解】解：()()()2121126001512600v v v v ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1275125v v =⎧⎨=⎩，故答案为：75；125；【小问2详解】解：125121500⨯=，∴点M 的坐标为()121500，，150012531125-⨯=，∴点N 的坐标为()151125，，线段MN 所表示的1y 与x 之间的函数表达式为1y kx b =+，∴121500151125k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴1253000k b =-⎧⎨=⎩，∴段MN 所表示的1y 与x 之间的函数表达式为()112530001215y x x =-+≤≤；【小问3详解】解：2y 与x 之间的函数图象如图所示．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．27.P 为ABC 内一点，连接PA PB PC ，，，在PAB PBC 、和PAC △中，如果存在两个三角形相似，那么称P 是ABC 的内相似点．【概念理解】（1）如图①，在ABC 中，7060A B ∠=︒∠=︒，，P 是ABC 的内相似点．直接写出BPC ∠的度数．【深入思考】（2）如图②，P 是ABC 内一点，连接2PA PB PC BPC BAC ∠=∠，，，，从下面①②③中选择一个作为条件，使P 是ABC 的内相似点，并给出证明．①BAP ACP ∠=∠；②APB APC ∠=∠；③2AP BP CP =⋅．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt ABC △中，90B A C ∠=︒∠>∠，．求作一点P ，使P 是ABC 的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．【答案】（1）120︒或130︒或140︒（2）选择①BAP ACP ∠∠＝，证明见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）分3种情况分别讨论求解即可；（2）选择一种情况，证明三角形相似即可；（3）画出图形，作简单说明即可．【小问1详解】解：∵7060BAC ABC ∠=︒∠=︒，，∴18050ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒，∴7060BAP PAC BAC ABP PBC ABC ∠+∠=∠=︒∠+∠=∠=︒，，50ACP BCP ACB ∠+∠=∠=︒，若PAB PBC ∽，则,PAB PBC PBA PCB ∠=∠∠=∠，APB BPC ∠=∠，则()22120PAB PBC PBA PCB PBC PBA ABC ∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴3601201202BPC APB ︒-︒∠=∠==︒，若PAC PCB ∽，则,PAC PCB PCA PBC ∠=∠∠=∠，APC BPC ∠=∠，则()22100PAC PCB PCA PBC PCA PCB ACB ∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴3601001302BPC APC ︒-︒∠=∠==︒，若PAB PCA △∽△，则,,PAB PCA PBA PAC ∠=∠∠=∠APB APC ∠=∠，则()22140PAB PCA PBA PAC PAB PAC BAC ∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴360140220APC APB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()360140BPC APC APB ∠=︒-∠+∠=︒，综上可知，BPC ∠的度数为120︒或130︒或140︒；【小问2详解】选择①BAP ACP ∠=∠，证明：如图②，延长AP 得到射线AD ．∵BPD BAP ABP ∠=∠+∠，CPD CAP ACP ∠=∠+∠，∴BPD CPD BAP ABP CAP ACP ∠+∠=∠+∠+∠+∠．∴BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠．又2BPC BAC ∠=∠，∴BAC ABP ACP ∠=∠+∠．又BAC BAP CAP BAP ACP ∠=∠+∠∠=∠，，∴ABP CAP ∠=∠．又BAP ACP ∠=∠，∴ABP CAP ∽，即P 是ABC 的内相似点．选择②APB APC ∠=∠，证明：如图②，延长AP 得到射线AD ．∵APB APC ∠=∠，∴180180APB APC ︒-∠=︒-∠，即BPD CPD ∠=∠．∵BPD CPD BPC ∠+∠=∠，∴2BPC BPD ∠=∠．又2BPC BAC ∠=∠，∴BPD BAC ∠=∠．∵BPD BAP ABP BAC BAP PAC ∠=∠+∠∠=∠+∠，，∴ABP PAC ∠=∠．又APB APC ∠=∠，∴ABP CAP ∽，即P 是ABC 的内相似点.选择③2AP BP CP =⋅，如图②，延长AP 得到射线AD∵2AP BP CP =⋅，∴AP BP CP AP=，∵BPD BAP ABP ∠=∠+∠，CPD CAP ACP ∠=∠+∠，∴BPD CPD BAP ABP CAP ACP ∠+∠=∠+∠+∠+∠．∴BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠．又2BPC BAC ∠=∠，∴BAC ABP ACP ∠=∠+∠．无法证明APB CPA ∠=∠或AP BP AB CP AP AC==，∴条件③无法证明P 是ABC 的内相似点；【小问3详解】方法不唯一．如图，作法如下：①作BC的垂直平分线1l，与AC交于点D；②作CD的垂直平分线2l，与1l交于点O；，与1l交于点E；③以O为圆心，OD为半径作O交于点P，点P即为所求．④连接AE，与O【点睛】此题考查了主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的相关性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。