2020-2021年高二数学选修第三章数系的扩充与复数的引入 新课标 人教版
第3章 数系的扩充与复数的引入
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合课件新人教A版选修2_2
真题放送
9(2018·天津高考)i 是虚数单位,复数 6+7i = ___________________.
综合应用
应用4 已知2z+|z|=2+6i,求z.
提示:设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程组求解.
解:设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程,
得 2(x+yi) + ������2 + ������2 = 2+6i,即(2x+ ������2 + ������2)+2yi=2+6i.
8(2017·全国Ⅰ高考)设有下面四个命题 p1:若复数 z 满足 1������∈R,则 z∈R; p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R; p3:若复数 z1,z2 满足 z1z2∈R,则������1 = ������2; p4:若复数 z∈R,则������∈R.
其中的真命题为( )
(a+1,1-a)在第二象限,所以
������ + 1-������
1 >
< 0, 0,
解得a<-1.故选
B.
答案:B
真题放送
7(2017·山东高考)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·������ = 4, 则a=( ) A.1 或-1 B. 7或 − 7 C. − 3 D. 3 解析:由 z=a+ 3i, 得z·������ = |������|2=a2+3=4,所以 a2=1,a=±1,选 A. 答案:A
本章整合
-1-
知识建构
专题一 专题二 专题三
综合应用
专题一 复数的有关概念 1.复数的实部与虚部:若复数z=a+bi(a,b∈R),则其实部与虚部分 别为a,b. 2.纯虚数:对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,z是纯虚数. 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,称它们互 为共轭复数,z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为������ = ������ − ������i, 且有������������ = |������|2=|������|2. 4.复数的模:对于复数 z=a+bi(a,b∈R),其模|z|= ������2 + ������2.
【名师推荐资料】2020-2021学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新人教A版选修1-2(精品)
第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
2020秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.2 .pptx
【做一做 1-1】 已知复数 z=i,则复平面内 z 对应的点 Z 的坐标 为( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0)
D.(1,1)
解析:复数 z=i 的实部为 0,虚部为 1,所以对应点的坐标为(0,1).
故选 A.
答案:A
-4-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】 若������������ = (0, −3), 则������������对应的复数为( )
平行直线x=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线).满足不等式 |b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y=±2之间的长条带状
(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.故满足条件的点 所组成的图形是以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴
的正方形内部的点,但不包括边界,如图①所示.
-18-
-11-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思复数的几何意义包含两种情况: (1)复数与复平面内点的对应:复数的实部、虚部分别是该点的横
坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标 问题.
(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的 坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
因此,复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的 (实数 0 与零向量对应),即
复数 z=a+bi
平面向量������������
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见,我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量������������,
数系的扩充与复数的引入
知识精要
复 数 ： 我 们 把 集 合 C = { a + b i a , b ∈ R }中 的 数 ， 即 形 如 a + b i（ a , b ∈ R ） 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 i叫 做 虚 数 单 位 ， 全 体 复 数 的 集 合 C叫 做 复 数 集 合 。 (1)i2 = −1, 复数集C和实数集R 之间有 (2)i可以与实数一起进行四则运算， (2)i可以与实数一起进行四则运算， 什么关系？ 并且加乘运算律不变。 答：R ⊆ C，即R是C的真子集。
欢迎指导！ 欢迎指导！ 谢谢！ 谢谢！
例 3 如果（x + y ) + ( y − 1)i = (2 x + 3 y ) + (2 y + 1)i， 求实数x, y的值.
解：由复数相等的定义（条件），得 x + y = 2x + 3 y, x = 4, 解得 y −1 = 2 y +1, y = −2.
练习： 练习：P52，1，2. ， ， P55，1，2. ， ，
三、本章知识结构框图
数系扩充 复数引入 复数的概念
复数代数形式的 四则运算
四、课时安排
3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时
§3.1 数系的扩充与复数的概念 本节要点
数系的扩充 复数的概念 复数的代数表示及复数相等的定义 复数的几何意义
教学情境设计
方程
x 2 + 1 = 0 在实数集中有解么？
答 ：无解
你能设想 一种方法， 使这个方 程有解么？
联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们可以考虑将实数系扩大。
数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。简要讲述数系扩 充的历史，人们为了计数，创造了自然数，1，2，3，…我们看到的自然 界中事物的个数都是自然数，如一支钢笔，三本书，后来人们为了方便将 0归入自然数。为了公平分配物质，引入了分数，如一个苹果平均分给三 个人，每个人得到多少苹果？为了表示各种具有相反意义的量以及满足记 数法的需要，人类引进了负数．如今天最低温度为零下3度，最高温度为8 度，就用到了负数。边长为1的正方形对角线之长不是分数，5开方开不尽， 不能用分数来表示，于是无理数出现了。数系扩充发展到了实数集了，这 是我们以前学到的非常熟悉的数集。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2的全部内容。
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
答案： C
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z2＝________. 解析： 2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝212－i＋1＋2i＋i2 ＝1－i＋2i＝1＋i.
答案： 1＋i
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)(1＋2i)·(3－4i)＝3－4i＋6i－8i2
＝11＋2i.
(3)1－2－2i3i＝1－2＋2ii＝1－2＋2ii11＋＋
2i 2i
＝
2＋2i＋i＋ 1－ 2i2
2i2＝1＋3i 2＝i.
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
共轭复数
设z1，z2为共轭复数，且(z1＋z2)2－3z1z2i＝4－6i， 求z1和z2.
[思路点拨]
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(4)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
A．A C．C
B．B D．D
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
3.1.1_数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
把实数 a与新引入的数i相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果 记作a + bi.
加法和乘 法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,把这些数都添 加到数集 A中去.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1Hale Waihona Puke 1无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
数集扩充到有实数集
毕达哥拉斯 (约公元前560——480年）
数集扩充到实数集
负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽（公 元250年前后）第一给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
这样的数都可以看作是a + bi(a,b∈R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后
得到的新数集应该是C = a + bi|a,b∈R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b∈R 中的数,即形
如a + bia,b∈R的数叫做复数(complex number),
其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集(set of complex numbers).
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入本章整合 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合新人教A版选修2-2的全部内容。
—2知识网络专题探究专题一 复数的实部与虚部定义的区分对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ），其中a 和b 分别叫做复数z 的实部和虚部,一定要记清楚b i 并不是虚部．如2＋i 的实部为2，虚部为1,而不是i 。
【例1】复数错误!＋错误!的虚部是( ）A ．15i B ．错误! C ．－错误!i D ．－错误!解析:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!i ，故虚部为错误!。
答案：B专题二 纯虚数概念的理解对于复数z ＝a ＋b i(a ,b ∈R )，当a ＝0，且b ≠0时，叫做纯虚数，特别要注意记清“a ＝0"这一必备的前提条件．【例2】若复数(a 2－3a ＋2）＋(a －1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( ）A．1 B．2C．1或2 D．－1解析：由纯虚数的定义,可得错误!解得a＝2.答案：B专题三复数的几何意义1．复数的几何意义及应用（1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面：①复数z与复平面内的点Z及向量OZ的一一对应关系；②复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系;③复数z－z0模的几何意义．（2)复数几何意义的应用：①求复数问题转化为解析几何的求解问题；②复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；③利用｜z－z0｜判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z｜的最值．2．复数几何意义中数形结合的思想方法复数的实质是有序实数对，也就是复平面内点的坐标．如果复数按照某种条件变化，那么复平面上的对应点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹,这种数形的有机结合，成为复数问题转化为几何问题的重要途径之一．【例3】复数z＝错误!在复平面上对应的点位于( ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：化简复数z，z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以复数z对应复平面内的点的坐标为错误!，位于第一象限．故选A．答案:A【例4】在复平面内,点P，Q分别对应复数z1,z2，且z2＝2z1＋3－4i,|z1|＝1，则点Q的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析:∵z2＝2z1＋3－4i,∴2z1＝z2－(3－4i）．∵｜z1|＝1，∴｜2z1|＝2,∴|z2－(3－4i)｜＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以（3,－4)为圆心，2为半径的圆．故选B．答案：B【例5】已知等腰梯形OABC的顶点O，A，B在复平面上对应的复数分别为0，1＋2i，－2＋6i，OA CB∥，求顶点C所对应的复数z.提示：根据题意，画出图形，由OA CB∥，四边形OABC为等腰梯形，知||=||OC AB，从而可建立方程组求得点C的坐标，即得点C所对应的复数z。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高二数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 新课
标 人教版
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1.是复数为纯虚数的（ ）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
2.设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．复数z 满足，那么＝（ ）
A ．2＋i
B ．2－i
C ．1＋2i
D ．1－2i
5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23 C.2 D.－23
6.集合｛Z ︱Z ＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）
A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2｝
D.｛0，2，－2，2，－2｝
7.设O 是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
8、复数，则在复平面内的点位于第（ ）象限。
A ．一 B.二 C.三 D .四
9.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）
10.设i 为虚数单位，则的值为（ ）
A ．4 B.－4 C.4i D.－4i
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
）
11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .
12.复数的实部为 ，虚部为 。
13.已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则的面积为 。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
15.（本小题满分12分）
已知复数z=(2+)).当实数m 取什么值时,复数z 是:
（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
2025100)21(])11()21[(16i
i i
i i +-+-+⋅+、计算 （本小题满分13分）
17．（本小题满分13分）
设∈++-=m i z m m ,)12(14R ，若z 对应的点在直线上。
求m 的值。
18．（本小题满分14分）
已知关于的方程组⎩⎨⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(,
)3()12(有实数，求的值。
19. （本小题满分14分）
=-=-+=121211
1已知13,68.若,求的值。
z i z i z z z z
20（本小题满分13分）
若复数，求实数使。
（其中为的共轭复数）
第三章 数系的扩充与复数的引入
1.解析：B
2.解析：D 点拨：。
3.解析：B 点拨：原式＝＝
4.解析：B 点拨：化简得
5.解析：D 点拨：，由因为实部与虚部互为相反数，即，解得。
6.解析：A 点拨：根据成周期性变化可知。
7.解析：B 点拨：
8.解析：D 点拨：
9.解析：C 点拨：需要，即。
10.解析：B 点拨：=－4
11.解析：， 点拨：
12.解析：1， 点拨：
13.解析： 点拨：设代入解得，故
14.解析：1 点拨：
.
)23()232()
1(2)1(3)2(,15222i m m m m i i m m i z z R m +-+--=--+-+=∈可以表示为
复数、解：由于
.
,20),23(232)4(.,2
1,
023,0232)3(.
,12,
023)2(.
222222对应的复数四象限角平分线上的点是为复平面内第二、时或即当为纯虚数时即当为虚数时且即当为零时，即z m m m m m m z m m m m m z m m m m z m ==+--=---=⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--≠≠≠+-=
16．解：2025100)2
1(])11()21[(i i i i
i +-+-+⋅+
117、解：因为复数41(21),对应的点为（41,2),在直线30上，得413(21)0，即43240，
也就是(24)(21)0，
解得2m m m m m m m m
m m z i m R x y m +=-++∈--=--+=-⋅-=-+== (21)(3),18、解：(2)(4)
9821,由第一个等式得1(3),x i y y i x ay x y b i i x y y -+=--+--+=--==--⎧⎨⎩⎧⎨⎩
⎪⎩⎪⎨⎧==.
4,25y x 解得
将上述结果代入第二个等式中得
⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=+-=+--+.
2,1,
8410,945.
89)410(45b a b a i i b a 解得由两复数相等得 .5
225411250.50
1125011251)103504()101503(111.50
45038611,86.1031013111,3119122211i i z i i i z z z i i z i z i i z i z +-=+-=+-=-=-+-=-=+=-=-=+=-=-=得则得又由得、解：由 20.解析：由，可知，代入得： ，即
则，解得或。