平面直角坐标系概念,象限 点的坐标
平面直角坐标系中的点与坐标关系
平面直角坐标系中的点与坐标关系在平面直角坐标系中，我们可以用一对有序数对来表示一个点的位置。
这对有序数对就是坐标。
平面直角坐标系由横坐标轴（x轴）和纵坐标轴（y轴）组成，它们相互垂直于彼此，并在原点O交汇。
1. 坐标表示坐标表示是指用一对有序数对来表示一个点的位置。
例如，点A位于x轴上，它的坐标为(A, 0)，其中A是点的横坐标。
点B位于y轴上，它的坐标为(0,B)，其中B是点的纵坐标。
而对于其他点C，它的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx表示点C的横坐标，Cy表示点C的纵坐标。
2. 坐标系的象限平面直角坐标系被分为四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是位于x轴和y轴的右上方，第二象限是位于x轴的左上方，第三象限是位于x轴和y轴的左下方，而第四象限是位于x轴的右下方。
根据象限划分，点的坐标可以判别出它们所在的象限。
3. 点与线的位置关系对于一个平面直角坐标系中的点P(x, y)，我们可以通过比较其坐标与坐标轴上的值来确定它与坐标轴、坐标系中的线的位置关系。
- P点在x轴上当且仅当y=0；- P点在y轴上当且仅当x=0；- P点在x轴的上方当且仅当y>0；- P点在y轴的右侧当且仅当x>0；- P点在第一象限当且仅当x>0且y>0；- P点在第二象限当且仅当x<0且y>0；- P点在第三象限当且仅当x<0且y<0；- P点在第四象限当且仅当x>0且y<0。
4. 点到原点的距离在平面直角坐标系中，点P(x, y)到原点O的距离可以通过勾股定理来计算。
距离的公式为：d=√(x²+y²)。
5. 点的对称性在平面直角坐标系中，点P(x, y)的关于x轴的对称点为P'(x, -y)，关于y轴的对称点为P'(-x, y)，关于原点O的对称点为P'(-x, -y)。
利用对称性可以简化一些计算和问题的解决。
四个象限内点的坐标的符号特征
四个象限内点的坐标的符号特征第一部分：引言在平面直角坐标系中，我们经常会遇到四个象限内点的坐标，它们在数学和物理问题中有着重要的意义。
在本文中，我们将深入探讨四个象限内点的坐标的符号特征，并探讨这些符号特征背后的数学和物理含义。
第二部分：四个象限内点的坐标1. 第一象限：第一象限是指坐标系中x和y都为正的区域。
第一象限内的点坐标都具有正的x和y值。
2. 第二象限：第二象限是指坐标系中x为负，y为正的区域。
第二象限内的点坐标具有负的x值和正的y值。
3. 第三象限：第三象限是指坐标系中x和y都为负的区域。
第三象限内的点坐标都具有负的x和y值。
4. 第四象限：第四象限是指坐标系中x为正，y为负的区域。
第四象限内的点坐标具有正的x值和负的y值。
第三部分：符号特征的数学和物理含义这些符号特征在数学和物理问题中有着重要的意义。
在数学中，我们可以通过象限来确定函数值的正负性，进而推导不等式的解集。
在物理中，四个象限内的点的符号特征可以帮助我们确定向量的方向和大小，对于描述物体运动、力的作用等问题有着重要的应用。
第四部分：个人观点和理解我个人认为，四个象限内点的坐标的符号特征是数学和物理中基础而重要的概念。
它们在解决问题和推导结论中发挥着不可替代的作用，对于深入理解数学和物理问题有着重要的帮助。
总结：通过本文的讨论，我们深入探讨了四个象限内点的坐标的符号特征，并解释了这些符号特征在数学和物理中的重要意义。
希望通过阅读本文，您能够更全面、深刻和灵活地理解这一主题。
：在数学中，四个象限内点的坐标的符号特征不仅对于解决函数值的正负性和推导不等式的解集具有重要意义，还可应用于解决图形的对称性和方程的根的问题。
在代数和几何问题中，我们常常需要判断图形、函数或者方程的性质，而四个象限内点的坐标的符号特征可以为我们提供方便快捷的判断标准。
另外，在物理中，四个象限内点的坐标的符号特征也具有重要的应用。
以向量为例，它不仅可以描述物体的运动状态，还可以表示力的作用方向和大小。
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案一. 教材分析《4.2 平面直角坐标系》是浙教版数学八年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
通过学习，学生能熟练运用平面直角坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、一次函数和二次函数等基础知识，对数学图形有一定的认识。
但部分学生在坐标与图形的对应关系方面可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过直观的教学手段，帮助他们更好地理解平面直角坐标系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平面直角坐标系的定义，了解各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
2.过程与方法：通过观察、实践，培养学生运用坐标系解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生在解决实际问题中体会数学的重要性。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
2.难点：坐标与图形之间的对应关系，以及运用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，让学生感受坐标系的存在和作用。
2.直观演示法：利用教具和多媒体手段，直观展示坐标系的特点和规律。
3.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究坐标系的性质，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教具：平面直角坐标系模型、多媒体设备。
2.学具：练习本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中熟悉的场景，如商场购物、电影院等，引导学生思考如何用数学工具表示这些场景中的位置。
通过分析，引入平面直角坐标系的概念。
2.呈现（10分钟）展示平面直角坐标系模型，让学生直观地了解坐标系的组成。
同时，讲解坐标轴上的点的坐标特征，如原点、正方向等。
3.操练（10分钟）让学生在练习本上绘制一个简单的平面直角坐标系，并标注出各象限内的点。
平面直角坐标系象限
按照上述对话，你能
找到音乐喷泉吗？
中山北路西边50 m记作－50 北京西路北边30 m记作＋30
(－50，30)
y
30
20
10
-50-40 -30-20-10 O 10 x
平面直角坐标系
•定义：平面上有公共原点且互相垂直的
两条数轴构成平面直角坐标系．
y
•正方向：向右与向上的方向
1
•水平方向的数轴：x轴或横轴
（3）若P(a,b)在第三象限，则a__<__0，b__<_0;
（4）若P(a,b)在第四象限，则a__>__0，b__<_0;
（5）若P(a,b)在x轴上，则b_=__0; （6）若P(a,b)在y轴上，则a_=___0;
y
Ⅱ
Ⅰ
（ －, ＋） （ ＋, ＋）
o
x
（ －, －）（ ＋, －）
Ⅲ
Ⅳ
【例1】在直角坐标系中，描出下列各点 的位置： A(4，1)，B(－1，4)，C(－4，－2)， D(3，－2)，E(0，1)，F(－4，0)．
平面直角坐标系
•几点说明：
y
4点、的四坐个标象的限符内号的：(－，＋) 1
-1 O (－，－)-1
(＋，＋)
1
x
(＋，－)
5、坐标平面内的点与有序实数对一一对 应．
重要结论：
各象限的点及坐标轴上的点的坐标特点：
（1）若P(a,b)在第一象限，则a__>__0，b__>_0;
（2）若P(a,b)在第二象限，则a__<__0，b__>_0;
5.2 平面直角坐标系 ——有关概念
数轴上的点的坐标：
在数轴上，每一个点的位置都能用一 个实数来表示，这个实数称为这个点在数 轴上的坐标。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
平面直角坐标系 点的分布 象限
平面直角坐标系点的分布象限【摘要】平面直角坐标系是数学中重要的概念，它将二维空间划分为四个象限。
在第一象限，所有坐标均为正数；第二象限为负x轴正y轴；第三象限为负数坐标；第四象限为正x轴负y轴。
在特殊情况下，点可能位于坐标轴上。
象限在几何学中具有重要作用，可帮助确定点的位置。
判断点所在象限的方法是根据坐标的正负情况进行判断。
经典案例分析如确定一个点的坐标，便可通过象限的概念来判断点所在的具体位置。
通过本文的介绍，读者可以更好地理解平面直角坐标系中点的分布情况及象限的概念，为进一步学习数学几何学提供基础。
【关键词】平面直角坐标系、点的分布、象限、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限、特殊情况、象限的作用、点的象限判断方法、经典案例分析1. 引言1.1 平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是二维空间中一种常用的坐标系统，用来描述点在平面上的位置。
在平面直角坐标系中，以两条相互垂直的直线（通常水平和垂直）为基准，确定了一个平面。
这两条直线分别称为x轴和y 轴，它们的交点被称为原点，通常用O表示。
对于平面直角坐标系中的任意一个点，可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x表示该点在x轴上的坐标，y表示该点在y轴上的坐标。
根据这个有序对，就可以确定该点在平面上的位置。
平面直角坐标系中的点的分布具有一些特点，比如第一象限中的点都具有正的x坐标和y坐标，第二象限中的点具有负的x坐标和正的y坐标，依此类推。
象限的概念是用来描述平面直角坐标系中点的位置关系的重要概念，它将平面分成四个部分，每个部分称为一个象限。
通过平面直角坐标系，我们可以方便地描述点在平面上的位置，以及进行各种几何、代数等计算。
在接下来的正文和结论中，我们将进一步探讨象限的特点、作用以及点的象限判断方法。
1.2 点的分布特点点的分布特点是指在平面直角坐标系中，点的坐标位置具有一定规律性和特征。
根据坐标轴的划分，点的位置可以分布在四个象限中，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
《平面直角坐标系》位置与坐标
坐标•平面直角坐标系的基本概念•点的坐标表示与转换•直线与曲线的坐标表示•位置与坐标的应用实例•平面直角坐标系的扩展与深化目录定义平面直角坐标系是过点O作互相垂直的两条数轴，在平面上建立了点与有序实数对之间的一一对应关系。
坐标系的作用用坐标表示点在平面上的位置，用方程表示图形。
平面直角坐标系的定义x轴和y轴，它们是构成平面直角坐标系的两个基本元素。
坐标轴原点象限坐标轴上的交点，是平面直角坐标系的基准点。
将平面分为四个区域，每个区域称为一个象限。
03坐标系中的基本元素0201方向根据x轴和y轴的方向来确定点的位置。
距离点到原点的距离称为该点的模长，表示为|x|或|y|。
坐标系中的方向和距离在平面直角坐标系中，点用一对有序数对表示，称为坐标。
第一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标。
例如，点(2,3)表示该点位于横轴上第二单位，纵轴上第三单位的位置。
直角坐标系在极坐标系中，点用长度和角度表示。
长度表示点到原点的距离，角度表示点与极轴之间的夹角。
例如，点(3,45)表示该点到原点的距离为3，与极轴之间的夹角为45度。
极坐标系点的坐标表示方法直角坐标系与极坐标系的转换极坐标系可以转换为直角坐标系，反之亦然。
具体转换公式为：x=ρcosθ,y=ρsinθ和ρ²=x²+y²,tanθ=y/x(x≠0)。
不同坐标系之间的转换除了直角坐标系和极坐标系之间的转换，还可以将其他坐标系转换为直角坐标系或极坐标系。
例如，对于球坐标系，可以通过将球坐标系中的r(半径)、φ(经度)、θ(纬度)转换为相应的直角坐标系中的x、y、z。
平移变换平移变换分为左右平移和上下平移。
具体变换公式为：x'=x+h,y'=y+k和x=x'-h,y=y'-k。
其中h、k分别表示左右平移和上下平移的距离。
旋转变换旋转变换以原点为旋转中心，分为逆时针旋转和顺时针旋转。
具体变换公式为：x'=xcosθ-ysinθ,y'=xsinθ+ycosθ。
平面直角坐标系与一次函数
平面直角坐标系与函数知识点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2.点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1.各象限内点的坐标的特征(1)点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x (2)点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x (3)点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x (4)点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2.坐标轴上的点的特征(1)点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数. (2)点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数. (3)点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征(1)点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等. (2)点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征(1)位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
(2)位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5.关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征(1)点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数. (2)点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数.(3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数.6.点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
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7.1.2平面直角坐标系教学设计
【教学目标】
1、认识平面直角坐标系的意义；
2、理解点的坐标的意义；
3、会用坐标表示点。
【重点】平面直角坐标系和点的坐标。
【难点】根据点的位置写出点的坐标。
【学情分析】
1、学生特点：七年级学生活泼、好动、积极向上，同时孩子气很浓！
2、生活经验：他们有一定的生活经验，对于本节课来说，学生有过类似的实践感受。
3、知识基础：有了上学期数轴的基础，对于本节课图形和数之间的联系有了一定的理解和感受。
【教学过程】
一、复习导入
什么是数轴？
数轴上的点可以用什么来表示？
可以用数来表示，我们把这个数叫做这个点的坐标。
课件展示点
A的坐标是－4，点B的坐标是2。
坐标为－4的点在数轴上的什么位置？
在A点处。
这就是说，知道了数轴上一个点的坐标，这个点的位置就确定了。
类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢?
二、探究新知
1、平面直角坐标系
我们知道，平面内的点的位置可以用有序数对来表示，为此，我们可以在平面内画出两条互相垂直、原点重合的数轴组成直角坐标系来表示。
水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐
标系的原点。
有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。
2、点的坐标
如图,由点A 分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足M 在x 轴上的坐标是3,垂足N 在y 轴上的坐标是4,我们说A 点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A 的坐标,记作A(3,4)。
类似地,请你根据课本66面图7.1-3,写出点B 、C 、D 的坐标. （注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后。
）
3、四个象限
建立了平面直角坐系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个部分,分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限。
三、合作交流
做一做：课本68页练习1题。
思考:1、原点O 的坐标是什么?x 轴和y 轴上的点的坐标有什么特点？ 原点O 的坐标是(0,0),x 轴上的点的纵坐标为0,y 轴上的点的横坐标为0。
2、各象限内的点的坐标有什么特点?
第一象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为正数;
（
第二象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为正数;
第三象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为负数;
第四象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为负数.
五、课堂练习
课件出示，由坐标描点
说出各象限坐标的特点
六、课堂小结
这节课你有哪些收获？
七、作业：课本69页第2，3题；。