华东理工复变函数与积分变化1-2次作业答案

华东理工大学
复变函数与积分变换作业（第1册）
班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________
第一次作业
教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念
1．填空题：
（1）
3
5arctan 2,234,25
23,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i
（3）)31(2
1
i +-
(4) 13,1=-=y x 。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

(1)31i +;
解：32)3
sin 3(cos 2)2321(231π
π
πi e i i
i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解：)
22(2
sin
2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕ
πϕ
ϕπϕπϕϕ
ϕ-=-+-=+-i e i i
(3)3
2)
3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φ
φ
φφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e
e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +
3．求复数
1
1
+-z z 的实部与虚部 解：2
|
1|)
1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=
z z z z z z z z z w 2
22|
1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=
z z
i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-=
z z z w ，2
|1|Im 2Im +=z z
w
4. 求方程083
=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(3
3
1
==-=+k e
z k i π
即原方程有如下三个解：
31,2,31i i --+
5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则2
3223222
3
22
1
)(2z z z z z z z --+=+=
得2232
3||a z z =-221|)||(|z z -=，同样，
22
212123||a z z z z =-=-
所以.||||212321
z z z z z z -=-=-
6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.
2
12z z ++2
21z z -22
122()z z =+.
并说明此等式的几何意义.
证明： 左式=(21
z z +)(21z z +)+(21z z +)(2
1z z -)
=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(2
1z z -)
=2121221121212211
z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=2(2
221z z z z ⋅+⋅)=2(
2
2
21z z +)
7．求下列各式的值:
(1)5
)3(i -;
解：5
)3(i -=6556
5
32)2()223(
2ππ
i i e e i --==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-+-
ππ (2)3
1)1(i -； 解: 3
1
)1(i -.2,1,0,2)2()22
1(
23
)24
(
63
14
3
1===⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
=+--k e
e i k i i ππ
π
可知3
1)1(i -的3个值分别是
)12
sin
12
(cos
2262
6
π
π
πi e
i -=-；
)127sin 127(cos
2262
76
πππi e
i += )4
5sin 45(cos
2264
56
πππ
i e
i += （3）求61- 解：6
1-=.5,4,3,2,1,0,)(6
/)21(6
12-=++k e e
k i k i ππ
π可知61-的6个值分别是
2
23,1,2
236
526
i ei e i e
i i i +-
==+=πππ
2
23,,2
234
112
36
7i e
i e
i e
i i i -=
-=--=πππ (4)
()(
)()()100
100
100100
505051
1+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ⎤⎤⎫⎫⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦
8．化简2
)
1()1(--+n n
i i 解：原式12
2
2211)1(+-=-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+-=n i n n
i ie i i i π
第二次作业
教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3复变函数
1. 填空题
(1)连接点i +1与i 41--的直线断的参数方程为10)52(1≤≤--++=t t
i i z
(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为a ，短轴为b 的椭圆的参数方程为
π20sin cos ≤≤+=t t ib t a z
2．指出下列各题中点z 的轨迹，并作图. (1)12≥-i z ;
中心在i 2-半径为1的圆周及其外部。

(2）1)2Re(-=+z . 直线3-=x (3)413=+++z z
以-3与-1为焦点，长轴为4的椭圆 (4)4
)arg(π
=
-i z
以i 为起点的射线1+=x y
(5) 12
3
≥--z z
直线2
5
=
x 及其右半平面 3．指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指出是有界区域还是无界区域，多连通还是单连通的。

(1)
11<--z
a a
z ;
解：z a a z -<-12
)1)(1())((z a z a a z a z --<--
0)1)(1(2
2<--a z
1<a 时，表示单位圆的内部，有界单连通域。

1>a 时，表示单位圆的外部，无界单连通域，1=a 不表示任何区域。

(2)4)2()2(≤--+-z i z i z z
圆9)1()2(2
2=++-y x 及其内部区域，有界，单连通区域。

(3)141+<-z z 中心在1517-=z ，半径为15
8
的圆外部区域，无界，多连通 (4)
2
)2arg(6
π
π
<
+<i z 且.2>z
解：i y x i z )2(2++=+x y 2tan +=
⇒θx
y i z 2
arctan
)2arg(+=+⇒ ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
<-+<<<<++<><<+<>⇒2
2arctan 6,0,02
2arctan 6,0,02
2arctan 6,0ππππ
ππππx y y x x y y x x y x 332>+⇒x y 且有422222>+⇒>+=y x y x z 以i 2-为顶点，两边分别与正实轴成角度
6π与2
π的角形域内部，且以原点为圆心，半径为2的圆外部分，无界单连通区域。

4．设 t 是实参数，指出下列曲线表示什么图形
(1)t
i t z +=;
;1,1
=⎪⎩
⎪⎨⎧==⇔+=+=xy t y t x t i t iy x z 即为双曲线
(2)it
it
be
ae z -+=。

1)
()(2
2
22=-++b a y b a x ，为椭圆。

5．已知函 数z
w 1
=
，求以下曲线的像曲线. (1)42
2
=+y x ; 解：,,,112
2222222y x y v y x x u y x y i y x x iy x z w +-=+=+-+=+==
41
1)(2
2222222
2
=+=++=+y
x y x y x v u ，是w 平面上一圆周。

(2)1=x ； 解：由,1=x 知,1,112
2y y v y u +-=+=
从而
u y v u =+=+22211 此为2
2
2
)2
1()2
1
(=+-v u ，是平面上一圆周。

（3）x y =；
x i i x w 21)1(1-=+=
，则，x
v x u 21
,21-==，像曲线为v u -=。