方程与不等式整理(知识点配题完整版)
高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B3、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C4、不等式|5x−x2|<6的解集为（）A．{x|x<2,或x>3}B．{x|−1<x<2,或3<x<6} C．{x|−1<x<6}D．{x|2<x<3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x2−5x−6<0 x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．6、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B7、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.故选：A.8、已知实数a,b,c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是（）A．a+1b <b+1aB．2a+ba+2b<abC．ba−c>ab−cD．√ca3<√cb3答案：B分析：对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断解：对于A，因为a>b>0，所以1a <1b，所以a+1b>b+1a，所以A错误，对于B ，因为a >b >0，所以2a+b a+2b −a b =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<a b−c =1，所以C 错误，对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b 3=−1，所以D 错误，故选：B9、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（）A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根，∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0，解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去).故选：A.10、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得，a=2−1b 代入得2ab+1a=2(2b−1)+b2b−1，令2b−1=t，根据基本不等式可求得答案.解：因为a+1b =2，所以a=2−1b>0，所以0<b<2，所以2ab+1a =2(2−1b)b+b2b−1=2(2b−1)+b2b−1，令2b−1=t，则b=t+12，且−1<t<3，所以2ab+1a =2t+t+12t=2t+12t+12≥2√2t⋅12t+12=52，当且仅当2t=12t，即t=12，b=34,a=23时，取等号，所以2ab+1a 的最小值是52.故选：A.填空题11、已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0，则a的取值范围是________答案：a≥−2+2√2或a≤−2−2√2分析：先由已知条件，得到−a=b+c,bc=1−a，对bc的正负进行分类讨论，利用基本不等式得到关于a 的不等式，解出a的范围.①当b>0,c>0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴−a=b+c,bc=1−a,可得：−a>0,1−a>0，可得：a<0，∴−a=b+c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：a≤−2−2√2；②当b<0,c<0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0,∴a=(−b)+(−c),bc=1−a，可得：a>0,1−a>0，可得0<a<1.∴a=−b−c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：−2+2√2≤a<1；③当bc=0时，不妨取c=0,由已知可得：a=1,b=−1，此时a=1；④当bc <0时，∵a +b +c =0,a +bc −1=0，∴a =−(b +c ),a =1−bc >1.综上可得：a 的取值范围是a ≥−2+2√2或a ≤−2−2√2.所以答案是：a ≥−2+2√2或a ≤−2−2√212、已知x >0,y >0且12x+1+1y+1=1，则x +y 的最小值为___________.答案：√2分析：令a =2x +1，b =y +1，将已知条件简化为1a +1b =1；将x +y 用a,b 表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．解：令a =2x +1，b =y +1，因为x >0,y >0，所以a >1,b >1，则x =a−12，y =b −1，所以1a +1b =1,所以x +y =a−12+b −1=a 2+b −32=(a 2+b)(1a +1b )−32=12+1+b a +a 2b −32=b a +a 2b ≥2√b a ×a 2b =√2，当且仅当{b a =a 2b 1a +1b =1 ，即b =2+√22，a =√2+1，即x =y =√22时取“=”， 所以x +y 的最小值为√2.所以答案是：√2.13、已知正数a,b 满足a +3b +3a +4b =18，则a +3b 的最大值是___________.答案：9+3√6分析：设t =a +3b ，表达出t (18−t )，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可. 设t =a +3b ，则3a +4b =18−t ，所以t (18−t )=(a +3b )(3a +4b )=15+9b a +4a b ≥15+2√9b a ⋅4a b =27，当且仅当2a =3b 时取等号.所以t2−18t+27⩽0，解得9−3√6⩽t⩽9+3√6，即a+3b的最大值9+3√6，当且仅当2a=3b，即a=3+√6，b=2+2√6时取等号.3所以答案是：9+3√614、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果.∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].15、若关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为___________．答案：(5，6]分析：不等式化为(x−m)(x−2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.x2−(m+2)x+2m<0可化为(x−m)(x−2)<0，该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m⩽6；所以答案是：(5，6]．16、正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.答案：[9,+∞)分析：由题得ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3，解不等式ab−2√ab−3≥0即得解.∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，所以ab−2√ab−3≥0，所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，所以√ab≥3或√ab≤−1，所以ab≥9.所以答案是：[9,+∞)小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17、函数y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为______.答案：4分析：利用基本不等式直接求解即可因为x>−1，所以x+1>0，所以y=x+1+4x+1≥2√(x+1)⋅4x+1=4，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取等号，所以y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为4，所以答案是：418、函数y=2√x2+1的最小值是___________. 答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19、已知x、y为两个正实数，且mx+y ≤1x+1y恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：(−∞,4]分析：由参变量分离法可得m≤(x+y)(1x +1y)，利用基本不等式求出(x+y)(1x+1y)的最小值，由此可得出实数m的取值范围.因为x、y为两个正实数，由mx+y ≤1x+1y可得m≤(x+y)(1x+1y)，因为(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y时，等号成立.所以，m≤4，因此，实数m的取值范围是(−∞,4].所以答案是：(−∞,4].20、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．答案：{m|m≥9或m≤1}分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.所以答案是：{m|m≥9或m≤1}解答题21、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m−1) x+2m+6=0.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根.答案：(1)m<−1(2)−75<m<−54(3)m≤−1分析：设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．依题意有f(2)<0，即4+4(m−1)+2m+6<0，得m<−1．（2）设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．依题意有{f(0)=2m+6>0 f(1)=4m+5<0f(4)=10m+14>0，解得−75<m<−54．（3）设y=f(x)=x2+2(m−1)x+2m+6．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0 f(0)>02(m−1)−2>0，即{m≤−1或m≥5m>−3m<1.∴−3<m≤−1．②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m=02(m−1)<0，∴m=−3．综上所述，得m≤−1．22、已知a>0，b>0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
方程和不等式总结与经典例题
方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。
在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。
一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac≥0)。
（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1= ,x2= ；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当Δ<0时，方程没有实数根。
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=- , x1x2= 。
（注意两根的和是的相反数）。
以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。
5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。
不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：二、例题分析：例1.解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。
注意除以负数时，改变不等号的方向。
解：解不等式3(x-2)+8>2x ，得x>-2解不等式 ≥x- ,得 x ≤-1。
所以不等式组的解集是 -2<x ≤-1。
它在数轴上表示如右图所示。
例2.解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。
说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。
解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。
解不等式≥，得x≥-2。
所以不等式组的解集是：-2≤x<1。
方程与不等式总结与经典例题
方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。
在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。
一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac≥0)。
（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1= ,x2= ；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当Δ<0时，方程没有实数根。
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=- , x1x2= 。
（注意两根的和是的相反数）。
以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。
5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。
不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：二、例题分析： 例1.解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。
注意除以负数时，改变不等号的方向。
解：解不等式3(x-2)+8>2x ，得x>-2解不等式 ≥x- ,得 x ≤-1。
所以不等式组的解集是 -2<x ≤-1。
它在数轴上表示如右图所示。
例2.解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。
说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。
解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。
解不等式≥，得x≥-2。
所以不等式组的解集是：-2≤x<1。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。
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方程与不等式知识点配题1.解二元一次方程组14．解方程组：2,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩2．方程组⎩⎨⎧=+=-422y x y x 的解是 A ．⎩⎨⎧==21y x B ．⎩⎨⎧==13y x C ．⎩⎨⎧-==20y x D ．⎩⎨⎧==02y x16．已知⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解, 求5)4()(4+-+-b a b b a a 的值.14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．2.解不等式（组）15．（本题满分5分）求不等式组⎩⎨⎧---≤-x x x x 15234)2(2＜的整数解．14．求满足不等式组63213x x x -≥⎧⎪+⎨->-⎪⎩0，．的整数解.14． 解不等式()x x ≤--122，并把它的解集在数轴上表示出来．14．解不等式组：12(2)3.x x x -⎧⎨+⎩≥0， ＞14．解不等式组： 480,521 1.x x +>⎧⎨-->⎩（）14．解不等式组： ()20213 1.x x x ->⎧⎨+≥-⎩，14．解不等式组 并求它的所有的非负整数14．解不等式组251345x x +>-⎧⎨⎩≤，并写出它的整数解.14．解不等式1312523-+≥-x x ，并把解集表示在数轴上．①②⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，14. 解不等式组 ⎩⎨⎧-≥+->+;54x 4x ,1x 12x 并把解集在数轴上表示出来．9. 不等式 512422x x ->+的解集为________________. 14．解不等式312+-）（x ＜x 5，并把它的解集在数轴上表示出来.14．解不等式2(2)x +≤4(1)6x -+，并把它的解集在数轴上表示出来．14.解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234x x x x10．不等式组211,1(6)2x x x -⎧⎪⎨-⎪⎩≥＞的解集是 ．2-1-2103.解一元二次方程14．用配方法解方程：01632=--x x ．14．用配方法解方程：0242=--x x4.解分式方程14．解分式方程211x x x +=-．14.解分式方程：21213=++-x x x14. 解分式方程312212x x x -=++．15．（本题满分5分）解方程：542332x x x +=--14．解分式方程123482---=-x x x ．16．解分式方程：32322x x x -=+-．15．解分式方程：21124x x x -=--．14．解方程：x x 211=-14．解方程：6123x x x +=-+.14．解方程：53412-=+x x .14．解方程：211x x x+=-．14．解分式方程：451+=x x14. 解方程2x 1x 2142x 3++=-+．14．解方程：2132+=+-a a a5.一元二次方程根与判别式23．已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的整数根（a 为正整数）．23．已知：1x 、2x 分别为关于x 的一元二次方程 2220mx x m ++-=的两个实数根．（1） 设1x 、2x 均为两个不相等的非零整数根，求m 的整数值；（2）利用图象求关于m 的方程1210x x m ++-=的解．6．如果关于x 的一元二次方程0122=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）．A. 1<kB. 1<k 且0≠kC. 1>kD. 1≤k 且0≠k23． 已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x ⑴求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根； ⑵若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； ⑶在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．7． 若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是A ．a ＜2且a ≠0 Ｂ．a ＞2 Ｃ．a ＜2且a ≠1 Ｄ．a ＜－223．已知关于x 的方程（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2=0． （1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线y =（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．23.已知：关于x 的一元二次方程02)21(22=-++-k x k x 有两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）当k 为负整数时，抛物线2)21(22-++-=k x k x y与x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；（3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点A ，过A 作x 轴的平行 线与抛物线交于点B ，连接OB ，将抛物线向上平移n 个单位， 使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB 的内部（不包括 △OAB 的边界），求n 的取值范围.23．已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧， 且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能 够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线 y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.23．已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx . （1）求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数 点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值.23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点； (3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ， 抛物线221y x px q =+++顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．23．已知：关于x 的方程()()01342=---+m x m x 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）抛物线C ：()()1342-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点．若1-≤m 且直线1l :12--=x my 经过点A ,求抛物 线C 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，直线1l :12--=x my 绕着点A 旋转得 到直线2l ：b kx y +=，设直线2l 与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点M （M 不与点A 重合），当23≤AD MA 时，求k 的取值范围．18. 已知：关于x 的一元二次方程kx 2－(4k+1)x+3k+3=0 (k 是整 数)．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1<x 2），设y= x 2－x 1，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数 解析式；若不是，请说明理由.8．已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别 为a x =1，b x =2（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中， 当0<y 时，x 的取值范围是A ．a x <B ．b x >C ．b x a <<D ．a x <或b x >23.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围； （3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．23. 已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2=++）（ (1)若此方程有实根,求m 的取值范围;(2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根;(3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-m x y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围.7.关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A. B. C. D.121>m 121<m 121->m 121-<m23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点P个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+ 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围.23．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数． （1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．23．已知m 为整数，方程221x mx +-=0的两个根都大于-1且小于32， 当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．16．已知关于x 的一元二次方程 (m +1)x 2+ 2mx + m - 3 = 0 有两个不相等 的实数根.(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最小奇数时，求方程的根.16．已知方程4x 2+12x+k=0有两个相等的实数根，求k 的值和方程的解．23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=．（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．23．已知：关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0.⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数；⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数)0(≠=k xk y 上的一点（-1,3），①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 的解析式； ②利用函数图象求不等式0>-kx xk 的解集.18．列方程或方程组解应用题：在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的A 、B 两种户型．已知所有A 户型窗户改造的总费用为54万元，所有B 户型窗户改造的总费用为48万元，且B 户型窗户的每户改造费用比A 户型窗户的每户改造费用便宜500元．问A 、B 两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？21. （本题满分5分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军 在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段 对话:17．在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元.求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小王购买洗衣机除财政补贴外实际付款多少元通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.18．列方程或方程组解应用题：为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．18．列方程或方程组解应用题：三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，问现在平均每天植树多少棵？18. 列方程（组）解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.17．2012年3月30日，对于北京球迷来说是一个美妙的夜晚:在篮球比赛中，北京篮球队战胜了广东篮球队，最终夺得了男篮总冠军；在足球比赛中，北京国安队战胜了天津泰达队.据统计两场比赛大约共有60000人到达现场观看比赛，其中观看足球比赛的人数比观看篮球比赛的人数的2倍还多6000人，求观看篮球和足球比赛的观众大约各有多少人？17. 列方程或方程租应用题:北京到石家庄的铁路里程约为280km , 2012年底京石高铁即将通车，其上运行的新型动车速度可比目前的普通列车提高1.8倍, 届时从北京到石家庄乘坐高铁新型动车将比现在乘坐普通列车少用一个半小时即可到达，求目前普通列车的运行速度．19．列方程解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？18.列方程或方程组解应用题:食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？18．列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60 m、50 m的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m 的一横两纵的甬道．（1）用含x的代数式表示草坪的总面积S ；（2）当甬道总面积为矩形总面积的4.10%时，求甬道的宽．18. 列方程或方程组解应用题某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车 的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30 分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的 是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x x C ．30528002800=-x x D ．30280052800=-xx 18．某纺织厂有纺织工人300名，为增产创收，该纺织厂又增设了制衣车间，准备将这300名纺织工人合理分配到纺织车间和制衣车间．现在知道工人每人每天平均能织布30米或制4件成衣，每件成衣用布1.5米，若使生产出的布匹刚好制成成衣，求应有多少人去生产成衣？18．列方程解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？18．列方程（组）解应用题：李明同学喜欢自行车和长跑两项运动，在某次训练中，他骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5000米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．18．某小型超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了200元，第二批用了550元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．求第一批购进水果多少千克？17. 列方程或方程组解应用题:某石化工程公司第一工程队承包了铺设一段输油管道的工程，原计划用9天时间完成；实际施工时，每天比原计划平均多铺设50米，结果只用了7天就完成了全部任务. 求实际施工时，平均每天铺设多少米？这段输油管道有多长？17. 列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．18．列方程（组）解应用题：夏季里某一天，离供电局30千米远的郊区发生供电故障，抢修队接到通知后，立即前去抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1．5倍，求这两种车的速度．。