昆式曲面的定义及构建方法
第8章 曲面建模
8.3.8 偏置曲面
偏置曲面用于创建原有曲面的偏置平面，即沿指定平面的法向偏置点来生成用户所需 的曲面。其主要用于从一个或多个已有的面生成曲面，已有面称之为基面，指定的距 离称为偏置距离。 创建偏置曲面，执行“插入”|“偏置\缩放”|“偏置曲面”命令（或者单击“曲面” 工具栏中的“偏置平面”按钮），打开“偏置平面”对话框，如图8-57所示。 偏置曲面操作比较简单，选取基面后，设置偏置距离，单击“确定”按钮便完成偏置 曲面操作。 举例介绍用“偏置曲面”创建曲面的操作步骤如下。
8.3.4 扫掠
扫掠是使用轮廓曲线沿空间路径扫掠而成，其中扫掠路径称为引导线（最 多3根），轮廓线称为截面线。引导线和截面线均可以由多段曲线组成， 但引导线必须一阶导数连续。 该方法是所有曲面建模中最复杂、最强大的一种，在工业设计设计中使用 广泛。 创建扫掠曲面，执行“插入”|“扫掠”|“扫掠”命令（或者单击“曲面” 工具栏中的“扫掠”按钮），打开“扫掠”对话框，如图8-19所示。
“从极点创建曲面”使用方法与“通过点构造曲面”命令相同， 但这个命令可以通过极点更好的控制曲面的外形。在逆向工程中， 由测量仪扫描获得的成行排列的点，经过数据交换输入到NX中， 然后利用“从极点”操作创建曲面。 单击“曲面”工具栏中的“从极点”按钮 ，系统弹出“从极点” 对话框，如图8-8所示。
8.3.3 通过曲线网格
该方法是指用主曲线和交叉曲线创建曲面的一种方法。其中主曲线是一组同方向的截 面线串，而交叉曲线是另一组大致垂直于主曲线的截面线。通常把第一组曲线线串称 为主曲线，把第二组曲线线串称为交叉曲线。由于没有对齐选项，在生成曲面，主曲 线上的尖角不会生成锐边。“通过曲线网格”曲面建模有以下几个特点。 生成曲面或体与主曲线和交叉曲线相关联。 生成曲面为双多次三项式，即曲面在行与列两个方向均为3次。 主曲线环状封闭，可重复选择第一条交叉线作为最后一条交叉线，可形成封闭实体。 选择主曲线时，点可以作为第一条截面线和最后一条截面线的可选对象。
昆式曲面详解
第六节、曲面的构建教学所需课时：2课时教学场地：数控电脑室授课班级：04模具（1）学习方法：以课程讲授与上机操作练习相结合。
以软件使用功能介绍的课程教学与课程设计强化训练相结合。
教学目的：使学生正确理解和掌握昆氏曲面的构建原理及构建方法。
教学重点：掌握昆氏曲面的构建原理。
教学难点：昆氏曲面缀面数的计算及串联方法。
新课引入：前面学习过立体构图基本概念，三维坐标系、构图面、工作深度、图层、颜色、视角、三维线架构建以及直纹曲面，扫描曲面，举升曲面，牵引曲面，旋转曲面的构建。
这就为我们学习昆氏曲面造型提供了先决条件，在这个基础上学习昆氏曲面造型会有事半功倍的学习效果。
教学过程：昆氏曲面：昆氏曲面是有四个边界或者四个以上的边界曲线熔接许多缀面而形成的曲面。
该选项从一个格点曲线创建一个曲面,为了创建昆氏曲面,必须使用昆氏串联,一个典型串联选择只能用在该功能。
有两种类型串联，分别是自动和手动串联。
在[主功能表]--[绘图]--[曲面]--[昆氏曲面]后出现“自动昆氏串连对话框”，昆氏曲面有两种创建方法。
（1）、手动串联当系统提示是否使用自动昆氏串联，回答“否”时，表示要手动串联,按提示默认切削方向数目和截断方向数目都是一个单位。
要了解手动串联，首先必须了解昆氏曲面的缀面。
昆氏缀面边界布置在铣削方向和截面方向曲线的格栅上，铣削方向曲线位于行上，它平行于进刀方向，截面曲线位于列上，垂直于进刀方向，选择起点铣削方向，再选择与其相对应的另一条边界，注意方向一致。
从起点端选择截面方向，选择与其相对应的另一条边界（方向一致）。
出现提示：连接完毕。
{执行}再{执行}。
手动串连多个单位的昆氏曲面：要点是先要打断所有交点。
（2）、自动串连方法：系统提示选择两条左上角相交的边界曲线，再选取右下角的一条边界曲线。
设置参数后执行。
自动方式必须要满足有四条边的条件，而且一次只能做一个曲面。
（3）、缀面数的计算：a:P L=N c-1b:P C=N L-1c:P T=P L×P C式中：ＰＬ表示铣削方向缀面数ＰＣ表示截面方向缀面数ＰＴ表示缀面总数ＮＬ表示铣削方向外形数ＮＣ表示截面方向外形数封闭式外形第一个外形和最后一个外形相连接，开放式外形第一个外形和最后一个外形不连接。
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
4孔斯曲面-CAD
1第四讲第4章孔斯曲面航宇学院本章内容提要4.1 孔斯曲面定义4.2 孔斯曲面构造234.1 孔斯曲面定义前面讨论了一条自由曲线可以由一系列的曲线段连接而成,与此类似，一自由曲面也可以由一系列的曲面片拼合而成。
因此，曲面片是曲面的基础。
孔斯方法的基本思想是：把所要描述的曲面看作是由若干个曲面片光滑拼接而成。
每个曲面片一般用四条边界来定义。
45曲面片的数学表示形式及其性质：一个曲面片是以曲线为边界的点的集合，这些点的坐标(x,y,z)均可用双参数的单值函数表示如下：曲面上任一点的矢量表示为：(,)[(,),(,),(,) ]0u,v 1u v x u v y u v z u v ≤=≤r 0u,v (,)(,)(,)]1x x u v y y u v z z u v ≤≤=⎧⎪=⎨⎪=⎩r曲面参数化中的对应关系67下图所示为曲面片的一例v =0v =1v =v jr (u i ,v j )v u8下图所示为曲面片的一例v =0v =1v =v j r (u i ,v j )v u曲面:r =r (u,v)四条边界：r (u,0)、r (u,1)r (0,v) 、r (1,v)四个角点：r (0,0)、r (0,1)r (1,0) 、r (1,1)四个边界曲线上的切矢：r u (u,0)、r u (u,1)r v (0,v) 、r v (1,v)四个边界上的跨界切矢：r v (u ,0)、r v (u ,1) r u (0,v ) 、r u (1,v )Coons(孔斯)曲面是一种插值曲面，是由美国麻省理工学院的孔斯(Coons)1964年提出的。
Coons曲面的构造方法是：用四条边界构造曲面片，按一定的连续性要求将曲面片拼接起来，就可得到需要的一张曲面。
910根据给定的四条边界条件的不同，Coons 曲面分为三种类型：第一类为具有指定边界曲线的Coons 曲面片，或称为简单Coons 曲面片；第二类为具有指定边界曲线和跨界切矢(指u 向或v 向的边界曲线对另一参数v 或u 的一阶偏导数，如)Coons 曲面片；第三类为具有指定边界曲线、跨界切矢及跨界二阶导矢(指u 向或v 向的边界曲线对另一参数v 或u 的二阶偏导数，如)的Coons 曲面片。
曲面定义及其切空间
2 应用事例 3 建立路径
分
量 • 所有自变量维数比因变量维数低一维的向量值映照都可以称为 “曲面”. 可基于曲面向量值 映照的特殊性, 研究曲面的基本几何性质.
张
3
谢 则称其为曲面在点 xΣ 处的法向量. 稿 定义 1.2 (切空间). 在曲面 Σ(xΣ) 的正则点处, 切向量 {gi}mi=1 张成的空间称为切空间, 记
作 TxΣ.
所有的切向量和法向量 {gi}mi=1 ∪ {n} 构成 Rm+1 空间中一个基, 可称为曲面上局部协变基.
讲 按对偶关系, 一定唯一存在曲面上局部逆变基{gα}mα=+11, 满足
λ→0∈R
Σ(xΣ
+ λii) − Σ(xΣ) λ
=
∂
∂x... iΣ Σ m+1
(xΣ
)
∈
Rm+1
∂xiΣ
麟 称为曲面 Σ(xΣ) 在 xΣ 点处沿坐标线 xiΣ 的切向量.
1.2 曲面切空间
锡 使得 DΣ(xΣ) 为列满秩的点称为正则点. 向量 n(xΣ) ∈ Rm+1 如果满足 |n(xΣ)|Rm+1 = 1, (n(xΣ), gi(xΣ))Rm+1 = 0, i = 1, · · · , m,
2
曲面定义及其切空间
谢锡麟
x1Σ
xmΣ
Γ
xΣ
(λ)
=
xΣ (λ)
=
...
(λ)
X m+1
xmΣ
Σ
xiΣ
Γx
O
x1Σ
DxΣ O
a
λ
λ b
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 c k 类曲面。
c 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0)
1
r r r ( u , v ) ( u , v ), r ( u , v ) ( u , v ) 为 u 0 0 0 0 v 0 0 0 0 u v 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面
的正常点。
和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
第一节 曲面的概念
1、1 简单曲面及其参数表示
一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分 成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。
三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 r r 由定义，曲面的法方向为 N u v 单位法向量为 2、法线的方程
ru rv n ru rv
0
r ( u , v ) ( r r ) 则法线的方程为 R u v
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
举升、直纹、昆氏曲面
三维绘图
直纹曲面的创建 举升曲面的创建 昆氏曲面的创建
引言
Mastercam的应用领域，主要是针对加工。 在模具业，加工对象常是一些面，尤其是曲面。 3D曲面是在3D线框模型的基础上获得，3D模型 都是用2D绘图完成。 曲面是生成加工程序的前提因素。
曲面的定义
曲面在Mastercam中是用数学的方程式来表示 的，在曲面的造型中一个大的曲面是由一些小的 缀面所组成，它们之间进行圆滑熔接，从而形成 一个大的曲面。使用曲面造型可以很好的表达和 描述物体的形状。
构建曲面的实例
构建曲面的实例
学习重点
了解曲面的基本概念 曲面的边界轮廓、缀面、截面、公差、切削方向、截断 方向等。 曲面构造形式 几何图形曲面、自由曲面、编辑\补正曲面。 曲面的创建方法 牵引曲面，旋转曲面，实体曲面，昆氏曲面直纹曲面， 举升曲面，扫描曲面，补正曲面，修整延伸曲面，曲面 倒圆角，曲面熔接等。
曲面的创建方式
主要包含3大类构造方式： 几何图形曲面：牵引、旋转 自由曲面：昆氏、举升、直纹 编辑、补正曲面：倒圆、融接、修整\延伸等 曲面属性(三种)： NURBS 参数式 曲线式
1、举升\直纹
两者操作相类似，都是需要几个截面轮廓。以上下 三个圆弧截面轮廓为例。区别是举升曲面作圆滑过 渡，而直纹曲面作硬过渡。（举例） 操作步骤： 绘图—曲面----举升\直纹再按顺序点选曲面依 次通过的几个截面轮廓—执行 注意： （1）曲面外形的选取要注意起始位置要一致。 （2）选取的箭头方向要一致。如果选取外形方 向不一致，会导致曲面产生扭曲。
基本概念
3.切削方向和截断方向 当设置好一个方向为切削方向后，则另一个方向为截 断方向。在一般情况下，定义一个开放模式的切削方向和 截断方向，其切削方向和截断方向可以任意替换。在定义 一个闭合的模式的切削方向和截断方向时，通常为了便于 分析定义切削方向为闭合的环绕方向，定义与之相交的方 向为截断方向。
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昆式曲面的定义
昆氏曲面是由一个或多个用四条边界曲线定义的网格通过熔接的方式而形成的。
昆式曲面已广泛用于汽车、轮船和飞机机身以及各种模具和模型的设计和造型中，在这里，一定要诠释边界的含义，其边界是广义的，既可以短到成为一个点，也可以长到有多条边界组成，如三角形也可以看成四边形，其中一个点实际上也成其一边，只不过这条边短至一个点，再如五边形，也可以看成四边形，只不过其中的一条边是由两条边组成，由此类推，所有的图形都可以看成是由四条边界组成的。
三.昆式曲面的具体构建要点
构建构建昆式曲面有两种方式，即自动串连方式和手动串连方式。
1.自动串联方式
选择何种构建方式，通常要根据曲面的线框情况来确定，按照昆式曲面的定义，可以把昆式曲面的线框形式分成由单个的四条边界组成和多个的四条边界组成两种情形，如果提供的线框是由单个的四条边界，且四条边界按首尾连接的方式连成一封闭图形，那么采用自动串联的方式来生成昆式曲面较为简单，关键要点：一是在出现提示时，忽略“左上角”字眼，只要任意选择四条边界构成的四个交点中的任意一点，按顺时针方向选择
两条曲线，保证该处的箭头相对即可；二是在出现提示
时，同样，操作时可忽视“右下角”字
眼，只需按顺时针选择最后一条边界，但要注意在选取时，鼠标的位置要靠近第三个交点。
如图1为单个四条边界组成的线框，因此采用自动串联方式生成昆式曲面。
操作步骤如下：
1）绘制如图1所示的线框
图1
2）执行昆式曲面构建命令
(1)
选择命令Create / Surface / Coons ，在系统弹出的对话框中
选择Yes 。
(2)主菜单上方提
示：
选择左上角相交的曲线，按提示选择任一交点处
相交的两条曲线Curve1和Curve2即可。
(3)主菜单上方提示：
选择右下角一
条曲线，按提示选择最后一条边界curve3即可。
(4)设置曲面公差、曲面类型和曲面熔接方式。
Blending 熔接方式有四种，Linear 用于曲面较平坦的线性熔接方式；Parabolic 用于曲面有较大曲率变化的抛物线熔接方式；Cubic 用于曲面有较大曲率变化的三次式熔接方式；Cubic with slope matching 三次式曲线配合曲率变化的熔接方式，这种方式构建的曲面连接方式最好，生成的曲面也最平滑。
(5) 单击Do it ，执行操作，生成如图3所示昆式曲面。
图3
2.手动串联方式
如果线框为单个或多个四个多边形边界构成的，即为网格状的四边形时，通常采用手动串连方式来生成昆式曲面。
采用手动串联生成昆式曲面之前先要定义切削方向（Along ）
、截断方向
（Across ）和计算切削方向和截断方向的网格数。
因此手动构建昆式曲面关键在于一个是切削方向和截断方向的确定；二是网格数的计算。
1)切削和截断方向的确定
网格状的线框又可分为开放式的网格线框（如图4）和封闭式网格线框（如图5），两者的区别在于外形边界是否重合。
图4 开放式边界
图5 封闭式边界
如果线框为开放的网格线框，切削方向和截面方向可以互换。
当用户设置好了一个方向为切削方向时，另一个就为截面方向，如图4所示,图中A 方向和B 方向可以分别设定为切削方向和截面方向。
如为一封闭的网格线框，切削方向只能为闭合的环绕方向，与之相交的方向才为截断方向。
如图5,A 方向只能为切削方向，B 方向则为截断方向
2）昆式曲面网格数量的计算
如何确定切削和截断方向的网格数计算，计算方法以该方向被另一方向截成几部份来计算该方向的网格数。
采用手动串联方式构建昆式曲面，除了要确定切削方向和截断方向的位置，及正确计算每个方向的缀面数之外，构建过程还须注意以下几点：
（1）网格中的线与线之间必须打断，以保证被选中的图素都是每个网格中的边界；
（2）在选择切削方向和截面方向外形时，必须从同一起始点开始，且应保持连续性，先完成切削方向外形的选择，再到截断方向外形的选择，选择的方向要按照顺序进行，以保证箭头的指向一致，不能将两者交替选择或不按照顺序选择；最终要保证每一个四边形的边界都选完，才能保证曲面的构建；
（3）在很多情况下，点也是构建曲面的图素，选择时要注意此点所代替的边数，在选择点以边数重复选择，且在“单点”的选择模式下进行选择；
（4）在“单体”的选择模式下选择对象。
四．构建范例
范例一：如图六
图6
图形分析：该线框为开放式的网格线框，因此切削方向和截断方向是可以互换，假如以A 方向为切削方向，那么以该方向相交的B 方向即为截断方向，在构建之前，要把所有的边界打断，如图七所示。
图7
具体步骤如下：
1绘制如图六所示线框。
2绘制昆式曲面
(1)选择命令Create / Surface / Coons，选择No。
(2)提示区显示：切削方向的数量缀面，输入2。
(3)提示区显示：截面方向的数量缀面，输入2。
(4)主菜单显示：定义切削方向外形第1行的第一个，即按照A方向选择组成第一个切削外形方向的第一条边界，直至选完所有切削方向上的所有边界；
(6)主菜单显示：定义截面方向外形第1列的第一个，即按照B方向选择组成第一个截断方向的第一条边界，直至选完所有截断方向上的所有边界；
(8)主菜单提示：串连完成，单击Done执行操作。
(9)设置曲面公差、曲面类型和曲面熔接方式（与自动串连相同）后，单击
Do it，执行操作，完成结果如图八所示。
图8
范例二：根据图九所示线框模型，生成昆式曲面。
图9
图形分析：该线框是一封闭式的网格线框模型，因此切削方向只能为环绕的
五边形方向，与之相交的方向即为截断方向，如图九所示。
操作步骤如下：
1.绘制如图九所示线框模型。
2.绘制昆式曲面
（1）选择命令Create / Surface / Coons，选择No。
（2）提示区显示：切削方向的数量缀面，
输入5。
（3）提示区显示：截面方向的数量缀面，
输入2。
(4) 主菜单显示：定义切削方向外形第1
行的第一个，即选择组成第一个切削外形方向的第一条边界，直至选完所有切削
方向上的所有边界，注意，最后的一条边界为一个点，应在“单点”的选择模式下重复选择5次；
(5)主菜单显示：定义截面方向外形第1列的第一个，即选择组成第一个截断方向的第一条边界，直至选完所有截断方向上的所有边界，注意，对于封闭线框，截断方向的第一条边界也是最后一条必须再选择一次；
(6)主菜单提示：串连完成，单击Done执行操作。
(7)设置曲面公差、曲面类型和曲面熔接方式（与自动串连相同）后，单击Do it，执行操作，完成结果如图十所示。
图10
五．结论
要想成功的绘制昆式曲面，关键在几点：
一是：正确分析图形；
二是：正确选择切削方向和截断方向；
三是：正确计算切削和截断方向的缀面数；
四是：在选择图素时，应严格按照正确顺序进行，即先切削方向，再到截断方向，且必须保证起点和方向要一致。
只有这样，才能正确利用MasterCAM技术进行昆式曲面的绘制。