161二次根式的定义和性质课件
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二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
二次根式及其性质PPT课件
• 干扰素是一种抗病毒、抗肿瘤的药物。将人的干 扰素的cDNA在大肠杆菌中进行表达，产生的干 扰素的抗病毒活性为106 U/mg，只相当于天然 产品的十分之一，虽然在大肠杆菌中合成的β-干 扰素量很多，但多数是以无活性的二聚体形式存 在。为什么会这样？如何改变这种状况？研究发 现，β-干扰素蛋白质中有3个半胱氨酸（第17位、 31位和141位），推测可能是有一个或几个半胱 氨酸形成了不正确的二硫键。研究人员将第17位 的半胱氨酸，通过基因定点突变改变成丝氨酸， 结果使大肠杆菌中生产的β-干扰素的抗病性活性 提高到108 U/mg，并且比天然β-干扰素的贮存 稳定性高很多。
12.5 二次根式及其性质
➢ 要点、考点聚焦 ➢ 课前热身 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
➢ 要点、考点聚焦
1.二次根式的定义 (1)式子 (aa≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中a ，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式( )a2=a(a≥0).
2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 ab= a •(ab≥0，b≥0).
4.在函数 y
1 x 4
中，自变量x的取值范围是( C )
A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
➢ 课前热身
5.化简
5
5 5
1
5
6.直接写出下列各题的计算结果：
(1) ( 1 2 ) 2 = 1 ； (2) ( 16 ) ( 9 ) 12 ；
(3) 502 142 = 48 ； (4)(3+ 10 )2002·(3 10 )2003=3 10 .
【例3】 求代数式的值.
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
最新人教版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
(2) 2 a 3 2 (4) 5a
3 (1) a-1 0， a 1. (2) 2a 3 0， a . 2
(3) a
(3) a 0， a 0.
(4) 5 a＞0， a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
问题1 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，它们表示一些 5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0. 问题2 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，分别从形式上 5
和被开方数上看有什么共同特点？ ①含有“ ” ②被开方数a ≥0
a C D
2 2.式子 3x 6 有意义的条件是
（ A ） D.x≤2
A.x＞2
3.若
B.x≥2
C.x＜2
95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
B.8个 C.9个 D.10个
A.7个
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
a 1
是
不是
当m>0时被开 方数是负数
不是
xy＜0
(4) -m
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二 次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值． 【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值． 【答案】－1
二次根式(第一课时二次根式的概念)(课件)(共17张PPT)八年级数学下册(人教版)
−1 2 ≥0
−1 2 =0
=1
又∵
−2≥0 ∴
−2= 0 ∴ =2
= 5
− 5 ≥0
− 5 =0
∴2 + 2 = 2 ∴△ABC为直角三角形，故选：D．
C．钝角三角形
D．直角三角形
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢~
⑹ − (＜)
⑺ 2 + 2 + 2
⑻ ( − 5)2
课堂测试
2.求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
⑴ +5
⑵ −4
1）由a+5 ≥0，得a ≥-5，当a ≥-5时， + 5 在实数范围内有意义。
2）由a-4 ≥0，得a ≥ 4 ，当a ≥ 4时， − 4 在实数范围内有意义。
课堂测试
3．下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A． + 2
B． − 2
C． 2 − 2
D． 2 + 2 + 2
【答案】D
【详解】
A、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
B、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；
(3) 一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间 t ( 单位：s ) 与开始
落下时离地面的高度 h ( 单位：m ) 满足关系h=5t2，如果用含有h 的式子
表示 t，那么 t
ℎ
5
为_________
探索与思考
、 、 、
被开方数和根指数有什么特点？
1.根指数为 2 ;
2.被开方数是非负数 .
16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.