苏教版高中数学高考二轮复习专题：与圆相关的范围与最值问题

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a b a2 b2
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本专题主要来研究与圆相关ห้องสมุดไป่ตู้范围与最值问题的处理方法
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与圆相关的范围与最值问题
苏教版高三数学
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作业：
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专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)

1.直线l ：y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】－1≤a ≤3【解析】圆方程为(x －a )2＋y 2＝2a ＋4，则a >－2，又直线l 过定点(0,1)，故只需点(0,1)在圆内或圆上，即－1≤a ≤3，综上，实数a 的取值范围是－1≤a ≤3.2.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．【答案】2－1<r <2＋1.3.若对圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥6.【解析】设直线l 1：3x －4y ＋a ＝0，直线l 2：3x －4y －9＝0，则|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5(dP －l 1＋dP －l 2)，因为|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x 无关，所以，圆M 恰完全在直线l 1和直线l 2所夹带状区域内，所以，直线l 1：3x －4y ＋a ＝0在圆M 的上方，dM －l 1＝|－1＋a |5＝a －15≥1，所以，a ≥6.4.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为________．【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝kx －r ，与x 2＋y 2＝r 2联立解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1)r k 2＋1)，而C (rk ，0)，由OC ＝BC 得(r k )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1)r k 2＋1]2即k ＝±3.学&科网【考向分析】直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容．对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想．对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键.（一）直线与圆基本问题盘点例1. 直线tx ＋y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|OA →＋OB →|>|AB →|，则实数t 的范围________．【答案】－142<t <－52或52<t <142.变式1若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边△P AB 的一边AB 为圆C 一条弦，则PC 的最大值为________．【答案】4【解析】由△P AB 为等腰三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记AH ＝BH ＝x ，PH ＝y ，PC ＝t ，则CH ＝3x ，满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)t ＝3x ＋y求PC 的最小值．记直线l ：y ＝－3x ＋t ，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)相切时，则t 取最大值，求得t max ＝4，即PC 的最大值为4.（二）圆与圆的位置关系应用例2. 设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．【答案】12≤m ≤2＋ 2.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．【答案】－13<c <13.【解析】圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，解得：－13<c <13.变式2 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________．【答案】－1≤x 0≤2.【解析】数形结合法：设P (x 0,1－y 0)，由题意可得|CP |≤3，即(x 0－2)2＋(－1－x 0)2≤3，解之得－1≤x 0≤2. （三）阿波罗尼斯圆问题梳理例3. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围________．【答案】[1,5]．【解析】可判断出直线l 与圆M 相离，故点A 在圆外，由于圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则设直线AE ，AF 为过点 A 作圆M 的两条切线，切点分别为E ，F ，则∠EAF ≥∠MAN ＝60°，故∠MAC ≥30°且r ＝2，则CA ≤4，设A (a,6－a )，所以(a －1)2＋(5－a )2≤4，解得a ∈[1,5]．学科*网变式1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________．【答案】2 2.变式2 已知点A (－2,0)，B (4,0)，圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋b )2＝16，点P 是圆C 上任意一点，若P APB为定值，则b ＝________. 【答案】0【解析】设P (x ，y )，P APB＝k ，则(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此2b ＝0，故4＋8k 21－k 2＝8，4－16k 21－k 2＝b 2，解得b ＝0.1．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．【答案】[－1,1]．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N ，设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，所以OM ≤ 2.因为M 为(x 0,1)，所以x 20＋1≤2，解得－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1,1]．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则a 的取值范围________．【答案】⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.【解析】到直线l ：3x ＋4y ＋3＝0的点组成的轨迹为直线l 1：3x ＋4y －2＝0或直线l 2：3x ＋4y ＋8＝0，又圆C 圆心在直线y ＝x 上，且与两轴相切，由于圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则直线l 1或l 2与圆C 相交，于是当a >0时，r ＝a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y －2＝0相交，则d ＝|7a －2|5<a ，得a ∈(16，1)，当a <0时，r ＝－a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y ＋8＝0相交，则d ＝|7a ＋8|5<a ，则a ∈⎝⎛⎭⎫－4，23，综上a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.学科#网3．△ABC 中，BC ＝22，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是________．【答案】[7,11]．【解析】＋＋＝3－(＋)，由于⊥，且AB ＝2，设＋＝，则点M 的轨迹为以O 为圆心半径r ＝2的圆，记3＝＝(6,35)，于是|＋＋|＝|－|＝MQ ，即圆上一点M 到定点Q (6,35)的距离，其取值范围是[OQ －r ，OQ ＋r ]，即[7,11]．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．【答案】2555.【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.2．若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】0≤m ≤10.【解析】因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得：|－3＋4×2－m |5≤1，化简得|m －5|≤5即0≤m ≤10.3．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【答案】(x －1)2＋y 2＝2.【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1,0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 4.在平面直角坐标系xOy 中，A (2,0)，O 是坐标原点，若在直线x ＋y ＋m ＝0上总存在点P ，使得P A ＝3PO ，则实数m 的取值范围是________．【答案】1－6≤m ≤1＋ 6.5. 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN 的长．【答案】（1）(4－73，4＋73)（2）2【解析】(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程是y ＝x ＋1.故圆心C在l 上，所以MN 的长为2.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．【答案】a ＝－1【解析】圆心C (1，a )，半径r ＝4，因为△ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 2.7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】⎣⎡⎦⎤0，125.8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．【答案】0≤k ≤43.【解析】将圆C 的方程整理为标准方程得：(x －4)2＋y 2＝1，所以圆心(4,0)，半径r ＝1，因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需圆C ′(x －4)2＋y 2＝4与y ＝kx －2有公共点，即|4k －2|k 2＋1≤2，解得：0≤k ≤43.9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O为坐标原点)，则实数k ＝________. 【答案】0【解析】设AB 的中点为D ，有＝＋＝2，因为||＝2||＝2，所以||＝1，故|0－0＋1|k 2＋1＝1解得k ＝0. 学#科网10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】－203<b <4.11. 已知A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．【答案】4【解析】由A (0,1)，C (t,0)，得l ：y ＝－1tx ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x ，－1t x ＋1.又AD ≤2BD ，故x 2＋x 2t 2≤2(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－x t 2，化简得⎝⎛⎭⎫3＋3t 2x 2－⎝⎛⎭⎫8＋8t x ＋8≥0对任意x 恒成立，则⎝⎛⎭⎫8＋8t 2－4×8×⎝⎛⎭⎫3＋3t 2≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.12.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为________．【解析】如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy . 设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以，y 2＝－(1－k 2)x 2＋2lx －l 21－k 2＝－(1－k 2)(x －l 1－k 2)2＋k 2l 21－k 21－k 2≤k 2l 2(1－k 2)2，于是，y max ＝kl 1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22(1－k 2)，所以，(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 22(1－k 2).。

高二数学直线与圆中的范围,最值问题

高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。

直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。

一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。

通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。

我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。

在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。

我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。

这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。

除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。

在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。

通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。

我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。

在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。

我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。

在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。

在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。

通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。

第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。

在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。

2025高考数学必刷题第61讲、圆中的范围与最值(教师版)

第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6【答案】C 【解析】43yx --看作圆上的点(),P x y 到点()3,4A 的直线的斜率的相反数.当经过点()3,4A 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为()34y k x =-+，所以圆心到切线的距离等于半径，故2231k k -+=+6k =故当6k =时，切线斜率最小，此时43yx --最大，最大值为6-，故选：C例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点()P x y ，在圆22(1)1x y +-=上运动，则下列选项正确的是（）A ．12y x --的最大值为13，最小值为1;3-B ．12y x --C ．2x y +的最大值为11；D ．2x y +的最大值为2+2-【答案】BC 【解析】（1）设12y k x -=-，整理得210kx y k --+=，则k 表示点(,)P x y 与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k1=，解得k =所以12y x --3；（2）设2m x y =+，整理得20x y m +-=，则m 表示直线20x y m +-=在y 轴上的截距．当该直线与圆相切时，m 1=，解得1m =，2x y ∴+的最大值为1，最小值为1故选：BC.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为.【答案】3【解析】由于111(1)n n m m --=+--，故11n m -+表示(),P m n 和()1,1-连线的斜率，设()1,1M -，如图所示，当MP 与圆相切时，11n m -+取得最大值，设此时:1(1)MP y k x -=+，即10kx y k -++=，又圆心()1,1，半径为11=，解得k =故11n m -+故答案为：3.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．【解析】（1）圆C ：()()2222414450278x y x y x y +--+=⇒-+-=，如图所示，连接QC 交圆C 于AB 两点，当M 与A 重合时MQ 取得最小值，即QC r -=-=与B 重合时MQ 取得最大值即QC r +=，故最大值为（2）易知32MQ y k x -=+，由图形知当MQ 与圆C 相切时取得最值，如图所示.可设():23MQ l y k x =++，则C r ==2k =故最大值为2，最小值为2（3）设y x z -=，如图所示，z 即过点M 的直线y x z -=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C r ==，所以1z =或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点(,)P x y 是圆2212x y +=上的动点，则x y +的最大值是.【答案】【解析】由222()2()24x y x y +≤+=，则x y -≤+≤，当且仅当x y ==时等号成立，∴x y +的最大值是故答案为：例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则5)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为5故选：A例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(A ，2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距.如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b =，解得2b =-±，所以y x -的最大值为2-2-，故y x -的最大值与最小值之和为4-.故选：C ．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ,B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ,B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最大值为【答案】16+/16【解析】由题可知2AB =,PA PB不妨设：()()()0,0,2,0,,A B P x y 所以有222PA x y =+，()2222PB x y =-+因为PA PB得()222232x y x y +=-+，整理得()2233x y -+=，得()2233y x =--，显然20y ≥，得()2330x --≥，解得：33x ≤≤有22PA PB +=()22222x y x y ++-+()()2222233x x x ⎡⎤=+-+--⎣⎦88x =-因为33x ≤≤+，所以当3x =22PA PB +有最大值为(83816-=+故答案为：16+例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M 为圆22414450：+--+=C x y x y 上任意一点，且()2,3Q -．(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若(),M m n ，求231++m n 的最大值和最小值；(3)若(),M m n ，求2246++-m n m n 的最大值和最小值．【解析】（1）因为()494214345240+-⨯--⨯+=>，即Q 在圆C 外，圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C，半径R =QC ==，因为QC R MQ QC R -≤≤+，即-≤≤+MQ所以MQ的最大值为（2）圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C ，半径R =令231=++t m n 可得2310++-=m n t ，即圆和直线2310++-=m n t 总有公共点求t的最大值和最小值，≤2626-≤≤+t 所以231++m n 的最大值为26+，最小值为26-（3）()()2222462313++-=++--m n m n m n ，令()()22223=++-t m n ，当20,30m n +=-=即2,3m n =-=时()()222237320--+-=>，此时点()2,3-在圆外，所以0t >，求2246++-m n m n 的最大值和最小值转化为求圆()()22223++-=m n t 与圆()()22278：-+-=C m m 总有公共点求213-t 的最大值和最小值，而=当两圆外切时+=t t =，此时2138135-=-=-t ，当两圆内切时，两圆心的距离>，所以只能圆C 在圆()()22223++-=mn t 的内部，所以-=t t =，此时213721359-=-=t ，所以2246++-m n m n 的最大值为59，最小值为5-．例9．（2024·高一课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，求()()2211x y +－－的最小值及取得最小值时点P 的坐标．【解析】因为()()22211x y +=－－，可看作定点()M 1,1与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点()M 1,1到直线10x y ＝++的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为229d 2==；此时直线PM 与直线10x y ＝++垂直，所以直线PM 的方程为11y x -=-，即y x =，由10x y y x++⎧⎨=⎩＝得12y x ==-，即11P ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故()()2211x y +－－的最小值为92，此时点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.变式2．（2024·高二课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】()()2211x y +－－转化为直线10x y ++＝上的点(),x y 到点()1,1的距离的平方，又点()1,1到直线10x y ++＝的距离最小，过点()1,1且与直线10x y ++＝垂直的直线为y x =因此两直线联立，10x y y x ++=⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：上任意一的最大值为2/2【解析】圆224440C x y x y +--+=：即22(2)(2)4x y -+-=，故圆心(2,2)C ，半径为2r =，C 上的点M 到点(1,1)-的距离，22=，2.变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1B ．3C ．3D ．22【答案】A【解析】因为R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，所以22222114+842,0,8+201616x b x b b x b x ⎛⎫-≥+-≠∴--≥ ⎪⎝⎭ ，所以22218+2016b x x b →→--≥对任意x 都恒成立，所以4222211164+||8||0,(||8)0,||=8||=4422b b b b b →→→→→∆=-≤∴-≤∴∴，.不妨设=(2,0)(,),24,2,a b m n m m →→=∴=∴=，又2||=44+16,b n n →∴=∴=±，.当2,b →=（，设(,)c x y →=，所以=(2,),2(22,22)a c x y b c x y →→→→⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(2)(22)(2)6x x y y --+-=，所以223(42x y -+=（，所以c →对应的点的轨迹是以3(22为圆心，以2为半径的圆，所以a c →→-可以看成是(,)x y 到(2,0)的距离，所以a c →→-的最小值为2211=-=.当2,b →=-（时，同理可得a c →→-的最小值为1.故选：A变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A --(1,3),B -(2,1)C -，点P 在圆221x y +=上运动，则222||||2||PA PB PC ++的最大值为（）A ．22B ．26C ．30D ．32【答案】C【解析】设点P a b （，）,点P 在圆221x y +=上运动,满足221a b +=,且1[]1a b ∈-、，,222||||2||PA PB PC ++222222=(+1)+(+1)+(+1)+(-3)2(-2)+2(+1)a b a b a b +224410412a ab =-+++4422a =-+264a=-当1a =-时,222||||2||PA PB PC ++取得最大值是30;故选:C .题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点()1,0A -，()0,2B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最大值为，最小值为.【答案】242【解析】因为两点()1,0A -，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：112x y+=-，即220x y -+=，AB 圆()2211x y -+=，其圆心为()1,0，半径1r =，圆心()1,0到直线220x y -+=的距离1d ==>，点P 到直线AB 的距离最大值为d r +=d r -=所以PAB 面积的最大值12PAB 面积的最小值154=252.故答案为：2；42.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（）A ．8B ．C ．D ．2+【答案】A【解析】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心坐标为(2,6)C ，半径为2，因为过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，所以有MA MB =，,MA CA MB CB ⊥⊥，因此有MA MB ==要想四边形CAMB 周长最小，只需MC 最小，即当MC l ⊥时，此时MC ==2MA MB ===，即最小值为22228⨯+⨯=，故选：A例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l ：1y x =+与圆E ：222210x y x y ++--=相交于不同两点A ，C ，位于直线l 异侧两点B ，D 都在圆E 上运动，则四边形ABCD 面积的最大值为（）AB ．CD ．【答案】A【解析】圆E ：222210x y x y ++--=可以化为标准方程22(1)(1)3x y ++-=，则其圆心为()1,1-，半径r =则直线l 与圆心的距离2d ==，故由勾股定理可得半弦长为2AC ===所以AC =又B ，D 两点位于直线l 异侧且都在圆E 上运动，所以四边形ABCD 的面积可以看作是ABC 和ACD 的面积之和，则当BD 为弦AC 的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积12S AC BD =⨯=故选：A .变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为【解析】由圆222x y +=，得到圆心(0,0)C ，半径r =由题意可得：PA PB =，PA CA ⊥，PB CB ⊥，122|||||2PACB PAC S S PA AC PA ∴==⨯⋅= ，在Rt PAC △中，由勾股定理可得：2222||||||2PA PC r PC =-=-，当||PC 最小时，||PA 最小，此时所求的面积也最小，点P 是直线250x y --=上的动点，当PC l ⊥时，||PC 有最小值d ||PA =∴所求四边形PACB =变式7．（2024·高二课时练习）已知()0,2A -，()2,0B ，点P 为圆2228130+--+=x y x y 上任意一点，则PAB 面积的最大值为（）A ．5B ．5-C ．52D ．5+【答案】D【解析】圆2228130+--+=x y x y 的圆心(1,4)C ，半径2r =，直线AB 的方程为：2y x =-，于是点C 到直线AB ：20x y --=的距离2d ==，而点P 在圆C 上，因此点P 到直线AB 距离的最大值为22+，又AB ==所以PAB 面积的最大值为1(2)522S =⨯+=+.故选：D题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M 为椭圆2211615x y +=上任意一点，,A B 是圆22(1)1x y -+=上两点，且2AB =，则MA MB ⋅的最大值是.【答案】24【解析】设圆的圆心为N ，则()1,0N ，椭圆的右焦点坐标也为()1,0N ，且AB 是圆N 的一条直径，因此()()()()MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA ⋅=+⋅+=+⋅- 2221MN NA MN =-=- ，因为点N 是椭圆的右焦点，点M 在椭圆上，所以a c MN a c -≤≤+ ，所以35MN ≤≤，即824MA MB ≤⋅≤ ，所以MA MB ⋅的最大值为24.故答案为：24.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a y r r -+=>相切于点()01,M y -，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为．【答案】36+【解析】圆()()222:0C x a y r r -+=>的圆心的为(),0a ，因为直线l 与圆C 相切于点()01,M y -则021=-y a所以()()222,121r a a r =⎪++-=⎩得2440a a -+=，所以2a =，r =，所以直线方程为4y x =+，圆的方程为()22218x y -+=，所以()4,0A -，()1,3M -，AM 的中点53,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()()22221144⋅=+⋅+=-≤+- PA PM PQ QA PQ QM PQ AM QC r AM因为==QC，==AM 所以()222221123644＝+-++-=+ QC r AM QC r QC r AM故36⋅≤+ PA PM PA PM ⋅的最大值为36+故答案为：36+例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点()()1,0,1,0A B -，点P 为圆22:68170+--+=C x y x y 上的动点，则AB AP ⋅的最大值为.【答案】8+【解析】圆的标准方程为：()()22348x y -+-=，圆心为()3,4，半径为R =，cos ∠⋅=⋅⋅AB AP AB AP PAB ，当点P 动到S 点时，cos ∠⋅ AP PAB 取得最大值，即为AS 在AB上的投影，(cos 2138AB AP AB AP PAB AB AT ∠⋅=⋅⋅=⋅=⨯++=+又故答案为：8+变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）．A ．[]4,20-B ．[]1,5-C ．[]0,20D ．[]4,20【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由数量积的几何意义可知：AP AB ⋅ 等于AB 与AP 在AB上的投影的乘积，故当AP 在AB上的投影最大时，数量积最大，此时点P 在以C 为圆心的圆的最上端2P 处，此时投影为5AM AB r =+=，故数量积为4520⨯=，故当AP 在AB上的投影最小时，数量积最小，此时点P 在以D 为圆心的圆的最下端1P 处，此时投影为1AN r -=-=-，故数量积为()414⨯-=-,故[]4,20AP AB ⋅∈-，故选：A变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8].B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【答案】A【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在A B方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP在A B方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos6014AN AB BC '=++= ，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯=则AP AB ⋅的取值范围是[2,8].故选：A变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】记圆心为O ，则,PM PO OM PN PO ON =+=+uuu ruuu ruuur uuu ruuu ruuu r，因为,ON OM互为相反向量，所以()()()221PM PN PO OM PO ON PO PO ON OM ON OM PO ⋅=++=+++⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r －，因为正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为正六边形的中心，所以当P 与正六边形顶点重合时，PO有最大值2，当P 在正六边形边上的中点处时，PO 有最小值，此时PO uuu r所以[]212,3PM PN PO ⋅=∈uuu r uu u r uu u r －.故选：B题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P 在圆M ：()()22424x y -+-=上，点()2,0A ，()0,2B ，则PBA ∠最小和最大时分别为（）A ．0°和60°B ．15°和75°C ．30°和90°D ．45°和135°【答案】B 【解析】如图所示，当PB 与圆相切时对应PBA ∠的最大和最小，设最小时切于1P ，最大时切于2P ，由1112,4,MP BM MP BP ==⊥，可得11sin 2MBP ∠=，所以130MBP ∠= ，同理得230MBP ∠=由点()2,0A ，()0,2B ，可知45ABO ∠= ，所以190453015ABP ∠=--= ，215303075ABP ∠=++= .故选：B.例17．（2024·高二单元测试）已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是.【答案】[]1,1-【解析】如图圆()1,0C ，P 在直线10x y -+=上，若圆存在点Q ，使得30CPQ ∠= ，当P 在直线10x y -+=上运动，极端情况，PQ 与圆C 相切，30CPQ ∠= .在RT CPQ △中，1C Q =，所以2CP =.所以以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点.符合条件的点在线段1PP 之间.所以()22101214x y x y x y -+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩或10x y =-⎧⎨=⎩.故0x 的取值范围为[]1,1-.故答案为：[]1,1-例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-为（）A ．1B ．2CD【答案】C【解析】点(),A x y 在圆()2221x y +-=上，)B,cos 2cos OA OB OB AOB AOB OA ⋅==∠=∠，如图，当OA 与圆相切时，A O B ∠取得最小值6π≤3,22A ⎫⎪⎪⎝⎭.故选：C变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【解析】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且A B ≤2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，所以当ANB ∠最大时，tan AN B ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2C D ．【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为1，动圆M 经过坐标原点，可得1M O =,即22+=1x y ，()()22222+=222x y x y xy x y ++≤+=，当且仅当==2x y 时取等号，即+x y ≤，则圆心M 故选：C变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆()()22:125C x y -+-=，圆C '是以圆221x y +=上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C 与圆C '交于A ，B 两点，则sin A C B ∠的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】在A B C 中，AC BC =．如图所示：当公共弦AB 最大，即AB 为圆C '的直径时，A CB ∠最大，又AC AB >可得ACB ∠为锐角，即sin A C B ∠取得最大值．此时2223cos 25AC BC AB ACB AC BC+-∠==⋅，则4sin 5ACB ∠=．故选：D题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q 分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为.【答案】3【解析】作出点A 关于直线0x y +=的对称点A '，如图：设点00(,)A x y '，则有000021002022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0020x y =-⎧⎨=⎩，即(2,0)A '-，而C (2，0)由圆的性质知：圆外点P 与圆C 上点Q 距离||PQ 满足||||1PQ PC ≥-(当且仅当Q 是线段PC 与圆C 的交点时取“=”)，连接A C '交直线0x y +=于点O ，P 为直线0x y +=上任意一点，连,,PA PA PC '(线段PC 交圆C 于点Q )，则min (||||)||||1||||1||13PA PQ PA PC PA PC A C ''+=+-=+-≥-=，当且仅当点P 在线段A C '上，即与点O 重合时取“=”，所以PA PQ +的最小值为3.故答案为：3例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为.【答案】8+8+,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，O A B为等边三角形，则OM ==，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++=的最大距离为=(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(2＝8+故答案为：8+例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为.【答案】15【解析】注意到()()1122,,MA x y MB x y ==，，则1212cos 2x x y y MA MB MA MB AMB +=⋅=⋅⋅∠=- ，又2MA MB ==，则o 120AMB =∠，又由垂径定理可知，o 60AMP ∠=，则o2cos 601MP ==.故P 点轨迹是以M 为圆心，半径为1的圆.注意到0034105x y +-=，表示P 到直线34100x y +-=距离的5倍，又圆上一点到34100x y +-=13=，则003410x y +-的最大值为15.故答案为：15变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,x x y y 满足2222112211x y x y +=+=，，121212x x y y +=的最大值为.+【解析】设圆22:1O x y +=，直线:10l x y +-=，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则11(,)M x y ，22(,)N x y 都在圆221x y +=上，∵||1MN =，1OM ON ==，∴△MON 是等边三角形，∴60M O N ∠=︒．M 和N 到直线:10l x y +-=的距离和||||MM NN '+'，由图形得只有当M 、N 都在直线l 的下方时，该距离之和才会取得最大值．取M 、N 的中点G ，过G 作G G l '⊥，垂足为G '，则||||2||MM NN GG '+'='，∵MON △为等边三角形，G 为M N 的中点，∴OG =，则G 在圆2234x y +=上运动，则当MN ∥l 时，G 到直线10x y +-=距离的最大值为3222+，∴||||2||MM NN GG '+'='的最大值为3223222⎛⎫⨯+=+⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：32+变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=3PN +的最小值为26【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，33OM OP OP OS ==，M O P PO S ∠=∠，M O P PO S ∴ ，3PS ∴，3PN PS PN SN ∴+=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+=.变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D 【答案】A【解析】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24O D AC C P O C ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △P C D ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A ，B 是曲线||1x -(0,1)C ，则||||CA CB +的最大值与最小值的比值是（）A ．3B ．5C D 【答案】B【解析】||1x -1x -=由1x -=()()22114x y -+-=.因为10x -=≥，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，()()22114x y ++-=；当1x ≥时，()()22114x y -+-=.所以方程1x -=()()22:114P x y ++-=的左半部分和圆()()22:114Q x y -+-=的右半部分.根据圆的性质知：当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，CA CB +取得最大值，且最大值为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，CACB +取得最小值，且最小值为故CA CB+5=.故选：B.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在R t A B C △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在A B C 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为．【答案】2【解析】因为()0,AMC π∠∈，3cos 5AMC ∠=-，所以4sin 5AMC ∠==.在AMC 中，由正弦定理得：2sin ACR AMC=∠（R 为AMC 的外接圆半径），所以2245R =，解得：54R =.如图所示：设AMC 的外接圆的圆心为O ，建立如图示的坐标系.设E 为AC 的中点，所以1A E C E ==，34OE ===.所以点M 的轨迹为：222516x y +=，可写出5cos 45sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）.因为点M 在A B C 内部，所以55cos ,sin 44M θθ⎛⎫⎪⎝⎭（其中θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈）.所以2222225511553cos 1sin cos 1sin 444444MB MA θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++--++-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2251153sin sin 4444θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭75sin θ=-因为θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈，所以3sin 15θ<≤，所以当sin 1θ=时22752MB MA -=-=最小.故答案为：2变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】如图所示，圆22(6)(5)9x y -++=的圆心为()6,5A -，半径为3，圆221x y +=关于直线2y x =-的对称圆为圆B ，其中设圆心B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=-⎩，故圆B 的圆心为()2,2-，半径为1，由于此时圆心A 与圆心B 的距离为：()[]22625(2)5AB =-+---=，大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时E 点的对称点为1E ，且1PE PE =，所以1PF PE PF PE -=-，在P 点运动过程中，当P ，B ，A ，1E ，F 五点共线时，且1E 在圆B左侧，点F 在圆A 右侧时，1PF PE -最大，最大值为111539E F E B BA AF =++=++=故选：D.题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，90,4,2A B AD AB BC ==︒===，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足AM mAB nAD =+，则m n +的最大值为（）A ．2B ．3C ．52-D 【答案】D 【解析】如图，以A 为原点建立直角坐标系，设CD 中点为E ，易得(0,0),(2,0),(2,2),(0,4)A B C D ，则CD 中点()1,3E，CD =，故以CD 为直径的圆的方程为()()22132x y -+-=，过E 作x 轴平行线交y 轴于Q ，交半圆于P ，则45DEQ PEC ∠=∠=，设PEM θ∠=，则()(1,3sin )45135M θθθ-<<，又()()(1,3sin )(2,0)0,42,4AM mAB nAD m n m n θθ=+=+==，故21,43m n θθ==，则5)4m n θϕ+=+，其中sin ϕϕ显然当()sin 1θϕ+=时，m n +取最大值54+.故选：D.例23．（2024·全国·高三专题练习）已知()0,0O ，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为（）A ．4B ．5C．D【答案】B 【解析】设点(),Q Q Q x y，因为14cos 4sin Q Q x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()(22116Q Q x y -+=，∴Q点的轨迹是以(M 为圆心，4为半径的圆，又直线OP 的方程为OP l：0x -=，2OP ==，圆心M 到直线OP 的距离1d ==，所以Q 到直线OP 的距离最大值为145d r +=+=则OPQ △面积的最大值为12552S =⨯⨯=.故选：B .例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点()0,4A -，点()2,0,B P 为圆22:4O x y +=上一动点，则PBPA的最大值是（）A ．3B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】因为点P 为圆22:4O x y +=上一动点，故设(2cos ,2sin ),[0,2π]P θθθ∈，则PB PA =令1cos 54sin t θθ-+=，则(54sin )1cos t θθ=+-，即4sin co 15s t t θθ+=-15,(sin )sin )t θθϕϕ+=-∴+其中ϕ为辅助角，1tan 4t ϕ=，则1≤，整理得2109100,09t t t -≤∴≤≤，故PB PA=3，故选：A变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点(的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ≤<，则MN 的最小值为．【答案】7【解析】如下图所示，连接OA 、OB ，则OA NA ⊥、OB NB ⊥，所以四边形NAOB 对角互补，则N 、A 、O 、B 四点在以ON 为直径的圆上.设()00N x y ，，则该圆的圆心为0022x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，又该圆和圆C 的交点弦即为AB ，故AB 直线所在的方程为222222000016224x y x y x y x y +⎛⎫⎛⎫+----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得0016x x y y +=，又因为点(在直线AB 上，故0016x +=，即N 点的轨迹为160x -=，又因为M 的坐标为()cos ,sin (002)θθπ≤<，因为22cos sin 1θθ+=，所以M 在圆221x y +=上运动，故MN的最小值为()00，到直线160x +-=的距离减去半径，17=，即MN 的最小值为7.故答案为：7。

专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。

苏教版高中数学高考二轮复习专题：与圆相关的定点、定值问题

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苏教版高中数学高考二轮复习专题：与圆相关的定点、定值问题(共24张 PPT)
与圆相关的定点、定值问题
苏教版高三数学
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本专题主要来研究与圆相关的定点、定值问题的处理方法
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作业：
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比较变量前的系数
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2025高考数学必刷题第61讲、圆中的范围与最值(学生版)

与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案

与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。

高中数学必修二专题2与圆的代数结构有关的最值

3
3，最小值为－2－2
3
3 .
命题角度 4 利用对称性求最值
[2014·北京高考]已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆 C 上存在点 P，使得∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝ 90°，连接 OP，易知|OP|＝1|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为|OC|
＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是取(2－得最3)2大＝7值－和4 3最. 小值(如图)．又因为圆心到原点的距离为 2－
＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上． (1)求 x＋y 的最大值和最小值； (2)求yx的最大值和最小值．
(2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程．
解 (1)解法一：设顶点 C(x，y)，因为 AC⊥BC，且 A、B、C 三点不共线，所以 x≠3 且 x≠－1. 又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，所以x＋y 1·x－y 3＝－1，即 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)．
题、中档题，且主要有以下几个命题角度.
命题角度 1 斜率型最值问题
典例 3
[2015·邵阳模拟]已知实数 x，y 满足方程 x2
＋ y2 － 4x ＋ 1 ＝ 0 ，则 y 的最大值为 ___3_____ ，最小值为

苏教版高中数学必修二高考一轮理与圆有关的定点、定值、最值与范围问题一轮复习基础到提升含精细解析含答案

与圆有关的定点、定值、最值与范围问题分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________．解析法一点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．解析如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cosθ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6. 答案 64．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－b 22且b ∈[－2，2]．点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝a 2＋b －12＝12b 2－2b ＋2，因此当b ＝－2时，d 取最大值，此时d max ＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由PA ＝PB 易知四边形PACB 的面积＝12(PA ＋PB )＝PA ，故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小．由于PA ＝PC 2－1，故PC 最小时PA 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足，PC ＝|3＋4＋8|5＝3，PA ＝PC 2－1＝22，所以四边形PACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 26．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．解析设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1，分别令x ＝0，y＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 2＋1y 20＝x 20＋y 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 2二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； (2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152.则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12，得x 0＋62＋y 20x 0－s 2＋y 0－t2＝12，整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0. ①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎪⎨⎪⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．分层训练B 级创新能力提升1．(2012·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－22．(2012·苏州调研)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB最小时，直线l 的方程为________．解析因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝03．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案 (2，2)4．(2013·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为a －22＋b －22表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以a －22＋b －22的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 55．(2013·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解 (1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)· (x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ →的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2. 同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k2. 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －1－k x A －1x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．6. (2012·福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． ∵MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。

(江苏专用)2021高考数学二轮复习专题四第3讲解析几何中的定点、定值与最值、范围问题学案理

第3讲解析几何中的定点、定值与最值、范围问题高考定位解析几何中的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进展求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.真题感悟(2021·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1，0)，F 2(1，0).设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点，故x 0>0，y 0>0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符. 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程：y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，①直线l 2的方程：y ＝－x 0－1y 0(x －1).② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1.又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1无解. 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫477，377.考点整合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等. (1)椭圆中的最值F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，那么有 ①OP ∈[b ，a ]； ②PF 1∈[a －c ，a ＋c ]； ③PF 1·PF 2∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，那么有 ①OP ≥a ； ②PF 1≥c －a .3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取适宜的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：假设涉及焦点，那么可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；假设是圆锥曲线上的点到直线的距离，那么可设出与直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，假设是在圆或椭圆上，那么可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一局部，那么需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2021·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆Ω：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点，过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？假设存在，求出λ值；假设不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解设B (x 0，y 0)，那么C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2，0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1〔x －2〕，x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2〔k 21－1〕1＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1〔x －2〕，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝2〔4k 21－1〕1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212〔k 21－1〕1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)证明设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，那么P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0，1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，那么k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－2〔16k 21－1〕16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 212〔1－4k 21〕1＋4k 21－2＝－14k 1，所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2〔16k 21－1〕16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 探究提高如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进展推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进展一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法. [考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2021·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，左焦点F (－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点.(1)求椭圆E 的方程；(2)假设M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3)设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC ·OD 为定值.解 (1)因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，那么B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.①因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0.② 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t ＞0)，所以s 2＝709.又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB2＝|s |，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝709.(3)设M (x 0，y 0)，那么l MA 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0(x －x 0)，假设k 不存在，显然不符合条件.令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，所以OC ·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 2－s 2y 20x 20－s 2. 因为s 2＋2t 2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2〔8－2y 20〕－〔8－2t 2〕y 208－2y 20－〔8－2t 2〕＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值. 探究提高定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值〞是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.【训练1】 (2021·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P . (ⅰ)假设AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值.解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝〔x 1＋1〕2＋〔y 1－0〕2＝〔my 1〕2＋y 21 ＝2〔m 2＋1〕＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2〔m 2＋1〕－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ⅱ)证明因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1. 由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2).同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1).因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22〔m 2＋1〕m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值. 热点二最值与范围问题[考法1] 求线段长度、三角形面积的最值【例2－1】 (2021·宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＋a 2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，那么b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k >0，那么M (0，4k )，可得MF 的斜率为k MF ＝－2k ，因为MF ⊥FN ，所以直线FN 的斜率k FN ＝－1k MF＝22k，所以直线FN 的方程为y ＝22k(x －22)，那么N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k .①当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M (0，2)，N (0，－4)，F (22，0)，因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.②联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x ＋4〕，x 216＋y 28＝1，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2，直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点.所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取等号.所以△APQ 的面积的最大值为8 2.探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用根本不等式求最值的形式.(2)假设得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用别离法求最值；假设分子次数低于分母，那么可分子、分母同除分子，利用根本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法). [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，AM ＝AN 时，求△AMN 的面积； (2)当2AM ＝AN 时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，那么由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由AM ＝AN 及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 〔3－tk 2〕3＋tk2，故AM ＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 〔1＋k 2〕3＋tk2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得AN ＝6k t 〔1＋k 2〕3k 2＋t. 由2AM ＝AN 得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 〔2k －1〕k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝〔k －2〕〔k 2＋1〕k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<kk 的取值范围是(32，2). 探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2】 (2021·苏、锡、常、镇模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.(1)假设圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程； (2)假设r ＝255.①求证：k 1k 2＝－14；②求OP ·OQ 的最大值.(1)解由题意可知c ＝a 2－b 2＝4－1＝3，那么椭圆C 右焦点的坐标为(3，0)，因为圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，且点M 是椭圆上一点，所以圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，±12，半径为12，所以圆M 的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14或(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14.(2)①证明因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以|k 1x 0－y 0|k 21＋1＝255，即(4－5x 20)k 21＋10x 0y 0k 1＋4－5y 20＝0，同理可得(4－5x 20)k 22＋10x 0y 0k 2＋4－5y 20＝0，所以k 1，k 2是方程(4－5x 20)k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y 20＝0的两个实根，所以k 1k 2＝4－5y 204－5x 20＝4－5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 204－5x 20＝－1＋54x 204－5x 20＝－14.②解设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 24＋y 2＝1，解得x 21＝41＋4k 21，y 21＝4k 211＋4k 21，同理可得x 22＝41＋4k 22，y 22＝4k 221＋4k 22，所以OP 2·OQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 21＋4k 211＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 22＋4k 221＋4k 22＝4〔1＋k 21〕1＋4k 21·4〔1＋k 22〕1＋4k 22＝4＋4k 211＋4k 21·1＋16k 211＋4k 21≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋20k 2122〔1＋4k 21〕2＝254(当且仅当k 1＝±12时取等号)，所以OP ·OQ 的最大值为52.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开场，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面别离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.(1)几何法：假设题目的条件和结论能明显表达几何特征和意义，那么考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用根本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、填空题F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，那么PF 1→·PF 2→的最大值是________.解析设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 12.(2021·苏、锡、常、镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：x ＋y ＋1＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，那么双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析双曲线的渐近线为y ＝b a x ，y ＝－b a x ，依题意有－b a ＞－1，即b ＜a ，e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＜ 2.又因为是双曲线，所以e 的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，假设BF 2＋AF 2的最大值为5，那么b 的值是________.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即2b2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案3xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，那么k 的取值范围为________.解析由可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆的方程联立，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0有交点，那么双曲线的离心率的最大值是______.解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2.因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2有交点，所以|2b |a 2＋b2≤2，整理得b 2≤a 2，从而c 2－a 2≤a 2，即c 2≤2a 2，所以e 2≤2.答案 26.(2021·无锡期末)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 216＋y 212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，那么PF 21PF 2的最小值为________.解析设椭圆的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，半焦距为c ，那么c ＝a 21－b 21＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝c a 1＝12，从而双曲线的离心率e ＝c a ＝1e 1＝2，可得a ＝1，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ，即PF 1＝PF 2＋2，故PF 21PF 2＝〔PF 2＋2〕2PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2＝PF 2＋4PF 2＋4，由双曲线的范围可得PF 2≥c －a ＝1，根据根本不等式可得PF 2＋4PF 2＋4≥2PF 2×4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝4PF 2，即PF 2＝2时取“＝〞，所以PF 21PF 2的最小值为8.答案 87.(2021·苏中四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0).当a ，b 任意变化时，a ＋bc的最大值是________. 解析双曲线中a ，b ，c 的关系是a 2＋b 2＝c 2，那么可设a ＝c cos θ，b ＝c sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，那么a ＋b c ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，当且仅当a ＝b ＝22c ，θ＝π4时取等号，故a ＋b c 的最大值为 2.答案28.(2021·扬州中学测试)过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作直线l 与该双曲线的右支交于点A ，假设l 与双曲线在左支存在另一个交点，那么线段AF 长度的取值范围为________. 解析结合双曲线图象易知，当直线ll 与x 轴重合时，线段AF 长度到达最小值1，当l 的斜率的绝对值逐渐增大时，AFF ，与其中一条渐近线平行的直线方程为y ＝3(x －2)，与双曲线方程联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－334，那么AF ＝32.当l 与一条渐近线趋近平行时，线段AF 长度趋近32(达不到)，所以1≤AF ＜32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 二、解答题9.(2021·苏北四市调考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 并延长分别交椭圆于点C ，D .(1)求椭圆的标准方程； (2)假设AF ＝FC ，求BF FD的值；(3)设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)假设AF ＝FC ，由椭圆对称性，知AC 垂直于x 轴，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，此时直线BF 的方程为3x －4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －3＝0，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝137(x ＝－1舍去)，故BF FD ＝1－〔－1〕137－1＝73. (3)设A (x 0，y 0)，那么B (－x 0，－y 0)，x 204＋y 203AF 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(15－6x 0)x 2＋(6x 20－24)x －15x 20＋24x 0＝0.因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以点C 的横坐标x C ＝8－5x 05－2x 0.又C (x C ，y C )在直线y ＝y 0x 0－1(x －1)上，所以y C ＝y 0x 0－1(x C －1)＝－3y 05－2x 0.同理，点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋5x 05＋2x 0，3y 05＋2x 0.所以k 2＝3y 05＋2x 0－－3y 05－2x 08＋5x 05＋2x 0－8－5x 05－2x 0＝5y 03x 0＝53k 1，即存在m ＝53，使得k 2＝53k 1.10.(2021·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .(1)假设直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2)假设PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围. 解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.(1)法一直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12〔x ＋2〕，x 2＋2y 2＝4得3x 3＋4x －4＝0.解得x A ＝－2，x P ＝23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43.所以AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝453.又因为原点O 到直线l 的距离d ＝212＋22＝255，所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，x 2＋2y 2＝4得3y 2－4y ＝0，所以y P ＝43.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，x 2＋y 2＝4得5y 2－8y ＝0，所以y Q ＝85.所以AP AQ ＝y P y Q ＝43×58＝56.(2)法一假设PQ →＝λAP →，那么λ＝AQ AP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k 〔x ＋2〕得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，即(x ＋2)[(2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)]＝0，所以x A ＝－2，x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2〔2k 2＋1〕2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1. 同理可得AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由题意知k 2＞0，所以0＜λλ的取值范围是为(0，1). 法二由法一知λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4k k 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知k 2＞0，所以0＜λλ的取值范围为(0，1).11.(2021·苏州自主学习)如图，椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M .(1)当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围.解 (1)由题意B (0，1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，那么直线PM 的方程为x3＋y－1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1〔舍〕即M ⎝⎛⎭⎪⎫837，17. 连接BF ，那么直线BF ：x3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋〔3〕2＝2372＝37. 故S △FBM ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)①设P (m ，－2)，且m ≠0，那么直线PM 的斜率为k ＝－1－〔－2〕0－m ＝－1m ，那么直线PM 的方程为y ＝－1m x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1m x －1，x24＋y 2＝1化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－〔－2〕0－m ＝－3m，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②由①知，PB →＝(－m ，3)， PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4，所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4＝m 4＋15m 2＋36m 2＋4，令m 2＋4＝t ＞4，故PB →·PM →＝〔t －4〕2＋15〔t －4〕＋36t ＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7，因为y ＝t －8t ＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7＞4－84＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).。

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