第6讲 矩阵及其运算 方阵.PPT
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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铃
三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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铃
3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
2024全新矩阵及其运算ppt课件
06
矩阵在实际问题中应 用举例
图像处理中矩阵运算应用
图像表示
将图像转换为矩阵形式，每个像 素点对应矩阵中的一个元素，方
便进行数学处理。
图像变换
通过矩阵运算实现图像的旋转、缩 放、平移等变换，满足图像处理的 各种需求。
图像压缩
利用矩阵分解等技术，对图像数据 进行压缩，减少存储空间和提高传 输效率。
一个矩阵可以与一个数相 乘，相乘的结果是一个维 度相同的矩阵，其元素为 原矩阵对应位置的元素与 数的乘积。
两个矩阵可以相乘当且仅 当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数。相乘 的结果是一个维度为 $(m,p)$的矩阵，其中$m$ 为第一个矩阵的行数，$p$ 为第二个矩阵的列数。新 矩阵的元素由第一个矩阵 的一行与第二个矩阵的一 列对应元素相乘后求和得 到。
矩阵定义及表示方法
end{pmatrix}$
这$m times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵A的第$i$行第$j$列 ，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m times n}$，$m times n$矩阵A也记作$A_{mn}$。
单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和形状函数，构造单元刚度矩阵，反映单元 的力学特性。
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵按照一定规则组装成整体刚度矩阵，用于 求解整个系统的力学响应。
THANK YOU
配方法
通过配方将二次型化为标 准型。
合同变换法
利用合同变换将二次型化 为标准型。
正交变换法
利用正交变换将二次型化 为标准型。
正交变换在二次型化简中应用
矩阵的运算PPT精品课件
平衡膳食宝塔说明
第三层
• 肥肉和荤油为高能量和 高脂肪食物，摄入过多 往往会引起肥胖，并是 某些慢性病的危险因素， 应当少吃。提倡吃含蛋 白质较高，脂肪较低的 鸡、鱼、兔、牛肉等动 物性食物，适当减少猪 肉的消费比例。
平衡膳食宝塔说明
第四层
• 第四层为奶类及制品、 豆类及豆制品 ，是蛋 白质、矿物质和维生 素的丰富来源。每天 应吃奶类及奶制品100 克和豆类及豆制品50克。
平衡膳食宝塔说明
第四层
• 奶类除含丰富的优质 蛋白质和维生素外， 含钙量较高，且利用 率也很高，是天然钙 质的极好来源。
平衡膳食宝塔说明
第五层
• 第五层为油脂类。 每日应摄取25克， 过量食用有潜在的 危险，油炸食物要 少吃。
三、居民膳食指南
• （一）食物多样、谷类为主 人类的食物是多种多样的，各种食物所含的营养成分
结合律 (kl)A=k(lA)=l(kA) 加法与减法的互化 AB=A+(1)B 2. 移项法则 A+B=CA=CB或B=CA
问题4：已知二元一次方程组
aa12
x x
b1 y b2 y
c1 c2
（1）将二元一次方程组 运算来表示；
a1 a2
x x
b1 y b2 y
c1用矩阵的
c2
（2）讨论方程组存在唯一解的条件。
210
3 235
3
265
3
255 3 255
75 85 75
= 80 78.33 85
70
83.33
85
3
3
3
(2)求三位同学的学期总评对应的矩阵G
A
=
80 90 60
90 80 80
矩阵及其运算PPT课件
第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
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3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
《矩阵及其运算》PPT课件
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调 用格式为：
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
《矩阵及其运算》PPT课件
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元 素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
4．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。(自学)
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第2章 MATLAB矩阵及其运算
2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵
前面已讲。
2.2 MATLAB矩阵
1．直接输入法
直接输入需遵循以下基本规则： •整个矩阵应以“ [ ]”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在 方括号中； •矩 阵 中 ， 行 与 行 之 间 必 须 用 分 号 “ ； ” 或 Enter 键 ( 按 Enter键)分隔； •每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； •矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含 未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋 值。 •当 矩 阵 中 没 有 任 何 元 素 时 ， 该 矩 阵 被 称 作 “ 空 阵 ” （Empty Matrix）。
例：x=5*(6-1/0.5); 5*(6-1/0.5)+3;
MATLAB的基本算术运算符有：＋(加)、－(减)、*(乘)、 /(右除)、\(左除)、^(乘方)，等等。 注: 运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只 是一种特例。
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3、矩阵与矩阵相乘
１) 定义
设 A (aij ) 是一个 m s 矩阵， B (bij ) 是一 个 s 矩n 阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的 乘积 C (cij是) 一个 m n矩阵. 其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
(i 1, 2, m ; j 1, 2, , n),
C (cij )33.
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
第二节 方阵
行数与列数都等于 n的矩阵 ,A称为 阶n 方阵. 可记作 An .
一 几类重要的方阵
1 单位阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.来自全为1不全为0
2
1 0 形如 0 2
0 O 0
0
O0
的方阵,称为对角
2. 某航空公司在 A, B, C, D 四城
B
市之间开辟了若干航线, 如图
所示表示了四城市间的航班图, A
C
如果从 A 到 B 有航班, 则用带
箭头的线连接 A 与 B .
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
其中 表示有航班.
到站
A
B
C
D
为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方 填上0, 就得到一 个数表:
注: （1）只有一行的矩阵 A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
例如 2 3 5 9 为行矩阵(或行向量).
1
2 4
为列矩阵(或列向量).
(2)元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零矩
阵记作 Omn 或 o .
不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
与
0
0
0
0.
0 0 0 0
定义2 .两个矩阵 A (aij )mn与 B (bij )mn
对应元素相等，即
aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n), 则称矩阵 A与相B等,记作 A B.
2) 矩阵乘法满足的运算规律
1 AE EA A;
2 ABC ABC ; 3 AB AB AB (其中 为数) ;
4 AB C AB AC, B C A BA CA;
5 若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂， 即
Ak AAA, 并且 Am Ak Amk , ( Am )k Amk .
运算性质
设A、B为复矩阵， 为复数，且运算都是可行的.
1 A B A B; 2 A A; 3 AB AB.
3) 对称阵 定义 设A 为n 阶方阵，如果满足 A AT ，即
aij a ji i , j 1,2, ,n
那末A 称为对称阵.
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n b1 a2n b2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
表示法只有一种，写出这种表示方法.
证明
因为 1 2 3 4
0123
D
1 0,
0012
0001
所以1,2,3,4 线性无关. 又因为1,2 ,3 ,4 , 线性相关(由定理4)，
所以可由1,2 ,3 ,4 线性表示(由定理2).
下面证明表示法唯一.
若 k11 k22 k33 k44 , 且 l11 l22 l33 l44 ,
6 0
8 1
不存在.
1 2 3
3 2
1
3
2
2
3
1
10
1
10.
例 3 计算下列乘积： 221 2.
3
解
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
1 0 0
E
0
1
0
En
称为 n 阶单位矩阵.
0 0 1
2) 矩阵乘法满足的运算规律
0 D
1
2
3 1,
由克莱姆法则知：
0012
0001
该方程组有唯一解， 解得：
k1 b1 2b2 b3 , k3 b3 2b4 ,
k2 b2 2b3 b4 , k4 b4 .
所以，任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由 1 (1,0,0,0), 2 (2,1,0,0), 3 (3,2,1,0), 4 (4,3,2,1) 线性表示，并且表示法只有一种，
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解取决于
系数 aij i, j 1 , 2 , , n, 常数项 bi i 1 , 2 , , n
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
2、数与矩阵相乘
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A, 规定为
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
.
amn
2) 数乘矩阵满足的运算规律
（设A、B为 m n矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B ;
(4) (1)A A. 矩阵加法与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算.
练习四 参考答案
一、1、 (a1,a2 , ,an ) n维向量. 2、向量的线性运算. 3、 31 42 .
4、 0.
二、1、 1) c 5 ;
2)
c
5,
3
1711
1 7
2
.
二、2、试证任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由向量组1 (1,0,0,0)，2 (2,1,0,0)，
两式相减可得：
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (k3 l3 )3 (k4 l4 )4 0. 由于1,2,3,4 线性无关, 所以
ki li , i 1, ,4.
即 表示法唯一.
第六讲
第三章 矩阵
第一节 矩阵的概念与运算 第二节 方阵
第一节 矩阵的概念与运算
一、矩阵概念的引入
3 (3,2,1,0), 4 (4,3,2,1) 线性表示，并且
表示法只有一种，写出这种表示方法.
证明 设 k11 k22 k33 k44 ,
整理得
k1 2k2 3k3 4k4 b1
k2 2k3 3k4 b2
k3 2k4 b3
k4 b4
由于方程组的系数行列式
1234
A
发B 站C
D
2.
A
A
发B 站C
D
B 到站 C
D
为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方 填上0, 就得到一 个数表:
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
定义１ 由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表
例 设 A 1 1 , B 1 1
1 1
1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
注意 矩阵乘法不满足交换律.
ABk Ak Bk ?
k个
ABk ( AB) ( AB)
k个 k个 Ak Bk A A B B
ABk Ak Bk .
k个
m, k为正整数.
注意 矩阵乘法也不满足消去律，即： 若 AB AC, 不一定有 B C . 若 AB 0, 不一定有 A 0，或 B 0.
例 设 A 1 1 , B 1 1,
1 1
1 1
C 1 1 , 1 1
则 AB 0 0, AC 0 0.
0 0
0 0
a2n
b2n
(aij
bij )
amn bmn
注 只有当两个矩阵的行数与行数，列数与列数 分别相等时，才能进行加法运算.
例如
12 1
3 9
5 1 0 6
8 5
9 4
3 6 8 3 2 1
12 1 16
3 3
38 95 62
5 9 04 8 1
13 7 6
11 4 8
这种表示方法为：
(b1 2b2 b3 )1 (b2 2b3 b4 )2 (b3 2b4 )3 b44 .
二、2、试证任一四维向量 (b1,b2 ,b3 ,b4 ) 都可由向量组1 (1,0,0,0)，2 (2,1,0,0)，