高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值 文 北师大版
《函数的单调性和最值(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】
设f(x)=画出的图象，并通过图象直观判断它的单调性．
依题意知f(x)=其图象可由f(x)=的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间上单调递减．
对于f(x)和都是它的单调区间，并且函数f(x)在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=在整个定义域上是减函数?
不能，因为函数f(x)的定义域不连续，当我们在区间上取一个数比如1，在区间上取一个数比如4，我们知道4<1，但f(4)<f(1)即不能说函数f(x)在整个定义域上是减函数．
请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y ， （2） ，；（3） ， ．
（1）y在区间单调递减．最小值是f(7)=35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数 ，在区间和上单调递减；在和单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f()=3．
观察问题2中函数的图象，函数值在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？
根据函数图象，函数值在和这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．
M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线y=M的上（下）方．
如下图是某只股票价格在某一天内的变化图，说一说这只股票当天的走势．
随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．
观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．
对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象上升，区间上 f(x)都随 x的增大而增大;对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象下降, 区间上 f(x)都随 x的增大而减小．
学高中数学第二章函数的单调性讲解与例题北师大版必修1
3函数的单调性(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A上是递减的．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．谈重点函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y ＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．【例1－1】下列说法不正确的有( )．①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；②函数1yx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1yx=的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但1yx=在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )．A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )．A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．谈重点函数单调区间的求解及书写12．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )．解析：来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．答案：B析规律 单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C 中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．【例2－2】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：f (x )＝22230230.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．解技巧 利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．【例2－3】(1)证明函数f (x )＝在定义域上是减函数；(2)证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数； (3)证明函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f (x 1)，f (x 2)的差f (x 1)－f (x 2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)f (x )＝的定义域为[0，＋∞)， 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝((-=＝0=>，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝在定义域[0，＋∞)上是减函数． (2)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 13＋x 1)－(x 23＋x 2)＝(x 13－x 23)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)2212213124x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． (3)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121212()(1)x x x x x x --.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴由单调函数的定义可知，函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 警误区 证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤<函数y =的单调性，而y =的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增加的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减少的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：已知函数f (x )的单调性，比较两个函数值f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，可以转化为判断a 2－a ＋1的取值范围以及a 2－a ＋1与34的大小关系．∵a2－a＋1＝2133244a⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a≠时，a2－a＋1＞34，有f(a2－a＋1)＜34f⎛⎫⎪⎝⎭；当12a=时，a2－a＋1＝34，有f(a2－a＋1)＝34f⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，f(a2－a＋1)≤34f⎛⎫⎪⎝⎭.答案：f(a2－a＋1)≤34 f⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.谈重点分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．【例4】已知函数f(x)＝(3)411a x a xaxx-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝ax，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝ax，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．∴30(3)4aaa a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，，，即3,0,3.2aaa⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪≥-⎩∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，即y max ＝f (b )；最小值在左端点a 处取得，即y min ＝f (a )．若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，即y max ＝f (a )；最小值在右端点b 处取得，即y min ＝f (b )．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．以下是基本初等函数的最值： ①正比例函数y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[a ，b ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .②反比例函数y ＝kx(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b ；当k ＜0时，函数y ＝kx的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝ka .③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[m ，n ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .【例5－1】求函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域．解：函数y ＝x 2＋x －1的对称轴为12x =-，开口方向向上． ①当a ＋1＜12-，即32a <-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递减．∴当x ＝a ＋1时，y min ＝a 2＋3a ＋1；当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1. ②当12a >-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的右侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递增．∴当x ＝a 时，y min ＝a 2＋a －1；当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1.③当a ≤12-≤a ＋1，即3122a -≤≤-时， 当12x =-时，y min ＝54-；当1122a a ≤-<+，即－1＜a ≤12-时，当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1； 当11122a a +≤-≤+，即32-≤a ≤－1时， 当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1.综上可知，函数y 在区间[a ，a ＋1]上的值域为当32a <-时，[a 2＋3a ＋1，a 2＋a －1]； 当32-≤a ≤－1时，25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a≤12-时，25,314a a⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a＞12-时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．【例5－2】求f(x)＝x+的最小值．分析：求函数f(x)＝x+的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：f(x)＝x[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(-)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·1⎛⎝.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最小值．求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．又∵1＋1x1－1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.析规律利用单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．解：由题意可得2211111111aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，①，②，③由①得0＜a＜2，由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|，∴a<<，且a≠0.由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，∴1020aa->⎧⎨+<⎩，，或1020aa-<⎧⎨+>⎩，，∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，1()yf x=与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y=具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y=的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y=有意义，需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴1030xx-≥⎧⎨+≥⎩，，或1030xx-≤⎧⎨+≤⎩，，∴x≥1，或x≤－3.∴函数y={x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则y=，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y=的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．警误区函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝23 -.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.。
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例3 （2）
讨论函数 f ( x) ( x 1) x 的单调性
2 3
解 （1）该函数的定义域为( , )
2 2 1 5x 2 / 3 3 f ( x ) x ( x 1) x 1 3 3x 3 2 / 令 f ( x ) 0得 x , 显然 x =0为f ( x )的不可导点, 5 2 于是 x 0, x 分定义区间为三个子区间 5 2 2 ( , 0), (0, ), ( , ) 5 5
/
( x 0)
所以f ( x)在区间[0, )内单调增加, 又f (0) 0 因此, 当x 0时, 恒有f ( x) f (0), x 即 ln(1 x) 1 x
二、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
x ln(1 x ) 证法 2 证明不等式 1 x
x 设函数f ( x) ln(1 x) , 1 x 因为f ( x)在[0, )上连续, 当x 0时, 1 1 x x x f ( x) 0, 2 2 1 x (1 x) (1 x)
x f/(x) f(x)
（ ， -
7 ） 6
7 6
7 7 （ ， ） 6 10
7 10
7 （ ， ） 10
+
不可导 极大值
-
0 极小值
+
从表中可知：
7 7 x1 是极大值点，极大值f ( ) 0 6 6 7 7 7 3 x2 是极小值点，极小值f ( ) 980 10 10 50 7 7 单调增加区间（-， ），（ ， ） 6 10 7 7 单调减少区间（ ， ）。 6 10
高考数学第二章 第二节
第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)增函数、减函数自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性(区间) (重点保分型考点——师生共研)1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域(最值) (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：152[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x >0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[]0，π， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________． 解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12. 令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12， 令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 解析：y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}． 答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x >0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 比较函数值的大小1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .[题型技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度(二) 解函数不等式2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12<f (log 19x )<f ()0， ∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3[题型技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．角度(三) 利用单调性求参数的取值范围(或值)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减， 故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题“根”探求]对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：1．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)2．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a 2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：8(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0， ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示． 由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③B 级——中档题目练通抓牢1．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 对任意两个不相等的正数x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， ∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0， ∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2， ∴f (x )x是(0，＋∞)上的增函数． ∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2， ∴0.32<30.2<log 25， ∴b <a <c .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1) 5．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)6．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.7．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)．4.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a ＞x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a ＞－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 5.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x 3－2，f (x )＝x －2在定义域内都为增函数， 且f (1)＜f (2)，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6.(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：由f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1令t ＝x －1，则t ∈[－2,2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.答案：47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－k ≤k ，1－k >0，解得12≤k <1.答案：⎣⎡⎭⎫12，1 8．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.答案：(－∞，－4)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． B 级——拔高题目稳做准做1.函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象知f (x )在(－∞，0]和⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．又因为当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g (x )＝f (log a x )单调递减，则需log a x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，即0≤log a x ≤12， 解得x ∈[a ，1]．2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，则其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≤2，log 12(x －1)＋1，x ＞2，若f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f 1(x )＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上为减函数，f 2(x )＝log 12(x －1)＋1在(2，＋∞)上为减函数． 又f 1(2)＝f 2(2)＝1，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则a 2－3a ＜2a －6⇒a 2－5a ＋6＜0，解得2＜a ＜3.答案：(2,3)5.已知函数f (x )＝2x －a x 的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.∵0<x 2<x 1≤1，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，当x ＝1时取得最大值1，∴f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－a x ，当 －a 2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤ －a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝ －a 2时取得最小值2－2a . 6.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
新课程北师大版高中数学高考必考+选考内容教材目录
必考内容（必修+选修系列1，2）《数学1》(必修)全书共分四章：第一章集合；第二章函数；第三章指数函数和对数函数；第四章函数的应用全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题《数学2》(必修)本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，包括两部分内容：第一部分是立体几何初步，第二部分是解析几何初步。
全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题《数学3》（必修）本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的。
共分三章：第一章统计，第二章算法初步，第三章概率。
全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率π的值《数学4》（必修）全书共三章：第一章三角函数；第二章平面向量；第三章三角恒等变形。
第二节函数的单调性与最大(小)值
(1)当a＝ 围．
时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2.
∵f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ (2)(法一)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ 2x＋a>0恒成立． . >0恒成立⇔x2＋
高考总复习•数学（文科） 解析：(1) 原函数等价于 y＝ 作出如下函数图象：
高考总复习•数学（文科）
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
高考总复习•数学（文科）
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
高考总复习•数学（文科） 画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点 －1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3， 如下图所示．
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
高考总复习•数学（文科）
解析： 由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
fK(x)＝2－|x|＝ 函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．
2020高考数学文总复习课件：第二章 第二节 函数的单调性与最值
又 y＝log1t 在(1，＋∞)上是减函数， 2
所以函数 y＝log1(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)． 2
答案：A
【例 2】 判断并证明函数 f(x)＝ax2＋1x(其中 1<a<3) 在 x∈[1，2]上的单调性．
考点 1 确定函数的单调性(区间)(讲练互动)
【例 1】 函数 y＝log1(2x2－3x＋1)的单调递减区间 2
为( )
A．(1，＋∞) C.12，＋∞
B.－∞，34 D.34，＋∞
解析：由 2x2－3x＋1>0， 得函数的定义域为－∞，12∪(1，＋∞)． 令 t＝2x2－3x＋1，则 y＝log1t，
1．“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” 意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间， 后者是前者“最大”区间的子集．
2．对勾函数 y＝x＋ax(a＞0)的递增区间为(－∞，－ a ]和[ a，＋∞)；递减区间为[－ a，0)和(0， a ]，且 对勾函数为奇函数．
3．(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小 值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
解：函数 f(x)＝ax2＋1x(1<a<3)在 x∈[1，2]上单调递增． 证明如下：设 1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1) ＝ax22＋x12－ax21－x11＝(x2－x1)a（x1＋x2）－x11x2， 由 1≤x1<x2≤2，得 x2－x1>0，2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－x11x2<－14.
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
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(2)方法一(定义法):设任意x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,
则 f(x 1 ) f(x 2 ) x a 1 2 x 1 1 x a 2 2 x 2 1 a x x 2 1 2 x 1 1 x x 2 2 1 x 2 1 1 .
∵-1＜x1＜x2＜1,
∴ x 2 x 1 ＞ 0 , x 1 2 1 ＜ 0 , x 2 2 1 ＜ 0 , 1 ＜ x 1 x 2 ＜ 1 , x 1 x 2 1 ＞ 0 ,
【典例1】（1）(2013·西安模拟)函数f(x)=log2(x2-4)递减的
单调区间为_____.
(2)试讨论函数
f
x
ax x2 1
在x∈(-1,1)上是增加的还是减少
的(其中a≠0).
【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.
(2)用定义法或导数法求解.
【规范解答】(1)由x2-4＞0得x＞2或x＜-2,即函数f(x)的定义 域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x2-4,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上 是增加的, t=x2-4在x∈(-∞,-2)上是减少的, 所以函数f(x)=log2(x2-4)递减的单调区间为(-∞,-2). 答案：(-∞,-2)
y lo在g 1tt∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x∈(-1,+∞)上是
2
增函数,所以函数 fxlog递1(x减的1)单调区间为(-1,+∞).
2
【拓展提升】 1.函数单调性的四种判断方法 (1)定义法.(2)图像法.(3)利用已知函数的单调性.(4)导数法. 2.复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f（g(x)）的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层 函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
【解析】（1）错误.当x1=-1,x2=1时,x1＜x2,但f(x1)＜f(x2), 因此(-∞,0)∪(0,+∞)不是函数的单调区间. （或2fx）(1x正1)x确2＜f.(0(xx,因21)-＜ 此x02函,)［数ff((xx1))在-f(Dx上2)］是＞增0加⇒的.fx(1x1)x2＞f (0x, 2)＞0 （3）错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减少的,在［0,+∞)上是 增加的. （4）错误.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义 域和相应区间就谈不上单调性. 答案：（1）×（2）√（3）×（4）×
1.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减少
的,则( )
（A）a=-2 （B）a=2 （C）a≤-2 （D）a≥2 【解析】选C.二次函数的对称轴是 x a由 题1 , 意知
3 a 1解 得1, a≤-2.
3
2.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2
∴ (x2 x1)x1x2 1＞0. x12 1 x22 1
因此当a＞0时,f(x1)-f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上是减少的;
当a＜0时,f(x1)-f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上是增加的.
方法二(导数法)：
ax212ax2 ax21 fx x212 （ x21） 2 ,
2.单调区间、单调性及单调函数 （1）单调区间：如果y=f（x）在区间A上是_增__加__的__或是_减__少__ _的__，那么称_A_为单调区间. （2）单调性：如果函数y=f（x）在定义域的某个子集上是 _增__加__的或是_减__少__的，那么就称函数y=f（x）在这个子集上具 有单调性. （3）单调函数：如果函数y=f（x）在整个定义域内是_增__加__的 或是_减__少__的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称 为单调函数.
2
答案：( , 1 ) 2
4.f(x)=x2-2x,x∈［-2,3］递增的单调区间为______, f(x)max=_______. 【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)递增的单调区间为 ［1,3］,f(x)max=f(-2)=8. 答案：［1,3］ 8
考向 1 确定函数的单调性或单调区间
第二节 函数的单调性与最值
1.函数在区间上是增加（递增）的、减少（递减）的含义 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数 x1,x2∈A,且x1<x2，则： （1）Байду номын сангаас(x)在区间A上是增加（递增）的⇔_f_(_x_1_)_<_f_(_x_2)_. （2）f(x)在区间A上是减少（递减）的⇔_f_(_x_1_)_>_f_(_x_2)_.
记作ymax=f(x0)
M是f(x)的_最__小__值, 记作ymin=f(x0)
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）函数 y 1 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
x
(2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2）［f(x1)-f(x2)］ ＞0,则函数f(x)在D上是增加的.( ) （3）函数y=|x|是R上的增函数.( ) （4）若函数满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在［2,3］上是增加 的.( )
时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
（A）f x ＝ 1
x
（C）f(x)＝ex
（B）f(x)＝(x-1)2 （D）f(x)＝ln(x＋1)
【解析】选A.由题意知要求函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的.
3.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是______. 【解析】由题意知2k+1＜0,∴k ＜ 1 .
3．函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在M∈R
①存在x0∈D, 满足 使得_f_(_x_0)_=_M_
条件 ②对于任意的x∈D,都有 _f_(_x_)_≤__M_
①存在x0∈D,使得 _f_(_x_0)_=_M_
②对于任意的x∈D, 都有_f_(_x_)_≥__M_
M是f(x)的_最__大__值, 结论
当a＞0时,f′(x)<0; 当a＜0时,f′(x)>0. ∴当a＞0时,f(x)在(-1,1)上是减少的; 当a＜0时,f(x)在(-1,1)上是增加的.
【互动探究】若将本例题（1）中的函数改为
“ fxlog1(x1) ”,试求函数f(x)递减的单调区间.
2
【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,则t＞0.因为