高中数学选修2-1圆锥曲线与方程——椭圆方程及几何性质(学案)(理)
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
选修2-1教案22-2椭圆的简单几何性质【5】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2.2椭圆的简单几何性质第五课时：与椭圆相关的最值、范围问题有关椭圆的最值、范围问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的教学中需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
例1：在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小. 解:（法一：几何法）设与l 平行且与椭圆相切的直线l '方程为0x y m -+=，则由22880x y x y m ⎧+=⎨-+=⎩得229280y my m -+-=，22449(8)0m m ∆=-⨯⨯-=，∴3m =±，由图知，3m =时距离最小，此时P 点坐标为81(,)33-，此时，最短距离即为l 与l '间距离222d ==． （法二:三角换元）设点(22cos ,sin )P θθ，则有|22cos sin 4|22d θθ-+==，tan 22ϕ=， 当2πθϕ-=时，min 2d =，此时，22sin ϕ=，1cos 3θ=，∴22cos sin θϕ=-=-，1sin cos 3θϕ==，∴P 点坐标为81(,)33-．【练习】（1）把上例中距离“最小”改为“最大”；（2）求椭圆2212516x y +=的内接矩形的最大面积.例2．如图,点P 在圆22(6)2x y +-=上移动,点Q 在椭圆221010x y +=上移动,求||PQ 的最大值.xyOy x m =+xy OB A CD y x P o A M Q解：圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ，则MQ ===当2[1,1]3y =-∈-时，max MQ =max PQ == 例3：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学案新人教B版选修2-1
2.2.2 椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几个性质．2．掌握椭圆的标准方程中a ，b ，c ，e 的几何意义及其之间的相互关系．______________ ______________ ____________ ______________ ____________ __________________长轴长为______ ________ ________(1)判断曲线关于原点，x 轴，y 轴对称的依据．若把方程中的x 换成－x ，y 换成－y ，方程不变，则曲线关于原点对称． 若把方程中的y 换成－y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称． 若把方程中的x 换成－x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称． (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点．【做一做1－1】椭圆x 29＋y 236＝1的长轴长为( )A ．5B ．3C ．6D ．12【做一做1－2】椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为______．椭圆的离心率剖析：(1)椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率．记作e ＝c a. (2)因为a ＞c ＞0，所以离心率e 的取值范围是0＜e ＜1. 离心率的大小对椭圆形状的影响：①当e 趋近于1时，c 趋近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁平； ②当e 趋近于0时，c 趋近于0，从而b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆． 椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0＜e ＜1. 当e ＝0时，曲线就变为圆了．题型一 利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】分别求出椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴和短轴的长，离心率，焦点坐标和顶点坐标．分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a ，b ，c ，即可求出答案．反思：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a 与b ，求出c ，才能正确地得出椭圆的有关性质．题型二 利用性质求椭圆的方程【例2】已知x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0，a ≠1)表示离心率为12的椭圆，求椭圆的标准方程．分析：椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由e ＝12即可求得．反思：在求椭圆的标准方程时，首先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后利用条件求出a 2.本题所给方程中的a 与椭圆标准方程中的a 不同．题型三 椭圆几何性质的应用【例3】已知椭圆的中心在原点，离心率为22，F 为左焦点，A 为右顶点，B 为短轴一顶点，求∠ABF 的余弦值．分析：已知离心率为22，即c a ＝22，即a ＝2c ，再由a ，b ，c 的关系可得b ＝c ，在△ABF中，由余弦定理可求得结果．反思：知道离心率就知道a ，b ，c 中任意两个字母间的关系．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不正确3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 26＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D ．x 232＋y 236＝1 4．(2012·浙江名校联考，文9)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一动点，且P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－12，则椭圆离心率为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．335．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为__________．6．椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程． 答案：基础知识·梳理1．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 2a 2b (±c,0) (0，±c ) 2c (c 2＝a 2－b 2) x 轴，y 轴 原点 e ＝ca ∈(0,1)a 2－b 2【做一做1－1】D 椭圆的长轴长为2a ，由方程可知a ＝6，所以2a ＝12. 【做一做1－2】45典型例题·领悟【例1】解：将椭圆方程变形为y 225＋x 216＝1，由方程知a ＝5，b ＝4，所以c ＝3， 所以长轴长为10，短轴长为8.离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0)．【例2】解：当焦点在x 轴上，即a ＞1时，由b ＝1，得c ＝a 2－1，所以a 2－1a ＝12，解得a 2＝43，所以椭圆的标准方程为3x 24＋y 2＝1；当焦点在y 轴上，即0＜a ＜1时， 由题意得c ＝1－a 2， 所以1－a 21＝12，解得a 2＝34，所以椭圆的标准方程为4x 23＋y 2＝1.【例3】解：设长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则有c a ＝22，即a ＝2c ， 又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝c ，∴|AB |＝a 2＋b 2＝3c ，|BF |＝a ＝2c ，|AF |＝a ＋c ＝(2＋1)c ，∴cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |＝6－236.随堂练习·巩固1．D2．D 由于x 2a 2＋y 29＝1中长半轴，短半轴不明确，故需分类讨论，分焦点在x 轴，y 轴两种情况求解．3．C 由题意可知焦点在x 轴或在y 轴上，所以标准方程有两个．而2a ＝12，∴a ＝6.又∵c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程是x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1.4．B 解析：设P (x 0，y 0)，则y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝－12，化简得x 20a 2＋2y 2a2＝1，又P 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，所以a 2＝2b 2，故e ＝22. 5．3或253 若m ＜5，则5－m 5＝105，解得m ＝3.若m ＞5，则m －5m＝105，解得m ＝253.6．分析：应用待定系数法，列出关于a ，b ，c 的方程组求解．解：当椭圆的焦点在x 轴上时， ∵a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝ 6.从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时， ∵b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.。
高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案
椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是 4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案 新人教A版选修2-1
研究两条直线与椭圆的位置关系呢?
考查学生对曲线与方程概念的理解；
应用不等关系解释椭圆的 范围,体会椭圆方程中两个变量的关系对应的图形的 位置；
应用方程的特点研究满足方程的解对应的对称性；
应用方程研究对称轴与椭圆的 位置关系.
研究椭圆的离心率
从方程中的量的变化分析椭圆形状的变化,找到刻画椭圆 扁圆程度的量.
理解椭圆离心率的定义；
结合椭圆中数量的变化研究离心率对椭圆形状的影响.
应用方程研究曲线的几何性质
课堂小结
利用方程研究曲线几何性质的方法解决新问题
例1．
研究椭圆 的性质
例2.（卡西尼卵形 线）条件？曲线 有哪些几何性质？
利用方程研究焦点在y轴的椭圆性质.
从方程出发探究曲线上的点的几何性质并研究椭圆的几何性质,体会解析几何的思想。
(3)椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个点叫做椭圆的顶点。
.问题1：
怎样理解椭圆的标 准方程
?
问题2：
(1)从椭圆的标准方程能得到椭圆上的
点的横纵坐标分别满足什么条件?
对应的不等式有什么几何意义?
这个矩形与椭圆有什么关系?
(2)点 满足椭圆的标准方程,还
有哪些点也满足椭圆的标准方程呢?分别反映了哪些几何性质?
椭圆的焦距与长轴的的比 叫做椭圆的离心率.
离心率相同的椭圆扁圆程度相同；
越趋近1,椭圆越扁；
越趋近0,椭圆越趋近于圆.
问题3:分析下列各组中的椭圆有什么关系 ?
(1)
(2)
(3)
问题4:离心率的变化是怎 样影响椭圆的形状的?
结合图形,分析几何变量,从方程中 选定数量刻画椭圆的扁圆程度,体会数形结合的方法;
高中数学教案 选修2-1教案 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质
2．2．2 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则M F =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数ce a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习补充： 1.课题:椭圆的第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用；教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 教学过程 复习回顾1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为322，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4227±=y ）. 2．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 20 . 引入课题【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 .② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：202)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF 【推广】你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b y ax y c x MF 代入消去2y 得2222222)(2||a x a cx ab bc cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率ac问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于常数)(c a ac>的点的轨迹是椭圆．【引出课题】椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 解：由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=变式：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程；解：椭圆可化为标准方程为：198122=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出例2、椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 .变式：求M 到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-c a 5.868553||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+y x ，故所的轨迹是椭圆。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)
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2.3。
2 双曲线的几何性质学习目标1。
了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。
2。
理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。
3。
掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。
它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。
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椭圆方程及几何性质【知识导图】知识讲解知识点1 椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：（1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.知识点2 椭圆的标准方程（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；要点诠释：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.1F 2F 21212F F a PF PF >=+P 1212PF PF F F +=P 12F F 1212PF PF F F +<P x 12222=+b ya x )0(>>b a 222b ac -=y 12222=+bxa y )0(>>b a 222b ac -=0a b >>222b a c -=x (,0)c (,0)c -y (0,)c (0,)c -知识点3 椭圆的几何性质椭圆的的简单几何性质（1）范围：，，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是且； 椭圆的的简单几何性质（1）范围：，，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是 知识点4 椭圆12222=+b y a x 与)0(12222>>=+b a bx a y 的区别和联系12222=+by a x )0(>>b a }{a x a x ≤≤-{}y b y b -≤≤(,0)c ±(,0)a ±(0,)b ±a 22b 2c ce a=01e <<22221y x a b+=)0(>>b a {}y a y a -≤≤{}x b x b -≤≤(0,)c ±(0,)a ±(,0)b ±a 22b 2c 01ce e a=<<且要点诠释：椭圆12222=+b y a x ，12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有0>>b a 和)10(<<=e ace ，222c b a +=；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
例题解析【例题1】若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是_________________________________. 【例题2】椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A .(±3，0)B .(0，±3)C .(±9，0)D .(0，±9)【例题3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A .13B .12C .22D .223【例题4】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围.【例题5】已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，F 点是左焦点，且AB BF ⊥，求椭圆的离心率.课堂练习基础1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆2.已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( ) A .2 3B .6C .4 3D .23.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1D .x 264＋y 248＝1 巩固4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A .x 236＋y 232＝1B .x 29＋y 28＝1C .x 29＋y 25＝1D .x 216＋y 212＝1 5.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A .x 22＋y 2＝1B .x 23＋y 22＝1C .x 24＋y 23＝1D .x 25＋y 24＝1 6.已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A .8B .7C .6D .5拔高7.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且⊥PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C .3－12D .3－18.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A .210－5 B .210－4 C .410－11 D .410－109.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则⊥OEF 的面积为( )A .12B .32C .1D .2达标训练基础1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A .5B .3C .5或3D .82.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若⊥AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A .x 23＋y 2＝1B .x 23＋y 22＝1C .x 29＋y 24＝1D .x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A .12B . 2C .2D .22巩固4.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则⊥ABF 1内切圆的半径为( ) A .43B .1C .45D .345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A . 2B .2C .2 2D .36.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.拔高7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若⊥F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A .32B .2－12C .3－12D .5－129.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，⊥PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<⊥PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,213 B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,213 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛210，。