二次型的概念二次型标准形(或法式) 二次型的秩用正交相
第五节 二次型及其标准型
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
二次型的标准型与规范型.ppt
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
第六章_二次型简介
2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
二次型与标准型
当1= -7时：
解方程
(2 I A) X 0
x 1 x 1 3 2 , x2 x3
得
f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32 —为f(X)的标准形.
y z 1 1 （是可逆变换） 令 y2 z 2 则 f (x1, x2 , x3) = z12 + z22 – z32 1 —— 为f(X)的规范形. y3 z3 正惯性指数为2，负惯性指数为1 2
1 2 1 2 则xy=1化为： x y 1 2 2
——为双曲线
即
X CY 1 x2 1 y2 xy
2 2
返回
对于n元二次型 f ( x1，x2， ，xn ) X AX ， 变换
T
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
2 1 A 1 3 3 0 2
则
0 —— f (x , x , x ) 的矩阵 1 2 3 3 2 2 1 0 4 注意：若令 B 1 3 0 ,
0 3 4
X AX
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 = XTBX 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵！
返回
二次型
一一对应
对称矩阵
若 f (X) = X TAX. 则A 的秩称为二次型 f (X)的秩
在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵
高等代数二次型知识点
高等代数二次型知识点一、知识概述《高等代数二次型知识点》①基本定义：二次型呢，简单说就是一个多元二次齐次多项式。
就好比有一堆变量（假设是x₁，x₂，x₃等），然后这些变量或者它们的乘积再乘以一些系数，组合起来的一个多项式，而且每一项都是二次的，像3x₁²+ 2x₁x₂+ 5x₂²这种。
②重要程度：在高等代数中可是相当重要的一块。
它就像是高楼大厦的一块重要基石一样，很多地方都会用到这个概念。
像研究矩阵的特征值、正定矩阵之类的，都和二次型有着千丝万缕的联系。
③前置知识：得先掌握好矩阵的相关知识，比如矩阵的乘法、秩这些概念。
向量空间的基础知识也很必要，因为二次型可以用矩阵来表示，而这个矩阵和向量空间里的向量是有联系的。
④应用价值：实际应用可多了。
在物理里，一个物体的能量表达式有时候可以用二次型表示。
在工程上，分析结构的稳定性之类的问题，二次型也能提供理论基础。
就像在建筑工程中，判断一个桥梁结构是否稳定，可能就需要通过建立二次型模型来分析。
二、知识体系①知识图谱：在高等代数这个学科里，二次型是矩阵理论与线性代数内容的延伸部分。
它和线性变换、特征值这些内容都同属一个知识体系的分支。
②关联知识：和很多知识点都有联系呢。
与矩阵的合同关系密切相关，因为二次型经过非退化线性替换后对应的矩阵是合同的。
和正定矩阵的关系也很紧密，正定矩阵可以用来判断二次型的一些性质。
③重难点分析：掌握难度点在于对二次型矩阵表示的理解，得能清楚地看出二次型就相当于一个矩阵。
还有就是二次型的标准形、规范形的转化过程有点复杂。
关键点就是要把二次型和矩阵之间的各种关系都梳理明白。
④考点分析：在考试里挺重要的。
考查方式可多样了，比如给个二次型，让你求它的矩阵，或者是把二次型化成标准形，也会考查正定二次型的判定这种比较难的知识点。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：二次型的准确含义就是前面说的多元二次齐次多项式，但是还可以用矩阵形式简洁地表达，例如二次型f(x₁,x₂)=x₁²+ 2x₁x₂+ x ₂²，它的矩阵表示是[1 1; 1 1]（这里用分号表示换行）。
第四讲：二次型及其标准型
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12
5x
2 2
x
2 3
2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.