北京大学1996年高等代数与解析几何试题及解答

五. 令
g(x)
=
xn
−
1
=
n∏−1
( x
−
e
2πki n
)
,
k=0
则 g(A) = 0, 于是 A 的最小多项式 mA(x) 将整除 g(x), 从而 mA(x) 为 C 上互素一次因式的乘积, 从而一
定可以相似对角化.
六. W 的标准正交基是 1, 1, x, x2, x3 是 R[x]4 的一组基, 从而 ∀f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ W ⊥,
北京大学 1996 年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.25
一. (15 分) 在仿射坐标系中, 求过点 M0(0, 0, −2), 与平面 π1 : 3x − y + 2z − 1 = 0 平行, 且与直线
x−1 y−3 z
ℓ1 :
=
=
4
−2 −1
相交的直线 ℓ 的方程.
(1) P 是 V 上的线性变换, 并且 P2 = P;
(2) P 的核 KerP = W, P 的象 (值域)ImP = U ;
(3) V 中存在一个基, 使得 P 在这个基下的矩阵是 ( Ir
O
) O
, O
其中 Ir 表示 r 级单位矩阵, 请指出 r 等于什么.
五. (12 分) n 阶矩阵 A 称为周期矩阵, 如果存在正整数 m, 使 Am = I, 其中 I 是单位矩阵. 证明: 复数域 C 上 的周期矩阵一定可以对角化.
(1, 0, −1)T, (0, 2, −1)T. 令


xy
=
2

3
1 3
√1 2
0
0
√2 5

xy11
,
z
2 √−1 √−1
3
2
5
z1
带入原方程化简配方可得
−4
( x1
−
3 )2 8
+
5y12
+
5z12
=
1.
再令
x1
−
3 8
=
u

y1 = v z1 = w
化简得
x−0 y−0 z+2
0−0
=
7 2
−0
=
−
1 4
, +2
x y z+2
==
ห้องสมุดไป่ตู้
.
02 1
二. 二次型部分对应的矩阵为


A = −12
−2 4
−−24 .
−4 −2 1
|λE − A| = (λ − 5)2(λ + 4), λ = −4 对应的一个特征向量为 (2, 1, 1)T, λ = 5 对应的两个特征向量为
(2) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4 是线性无关的, 而 α4 + α1 可以由前面三个线性表出, 从而 W 的一个基为 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, 并且 dim W = 3.
四. (1) ∀α = α1 + α2, β = β1 + β2 ∈ V, 其中 α1, β1 ∈ U, α2, β2 ∈ W, 则
P (k1α + k2β) = k1α1 + k2β1 = k1P(α) + k2P(β), P2(α) = P (P(α)) = P(α1) = α1 = P(α),
故 P 是 V 上的线性变换, 由 α 的任意性知 P2 = P.
(2) ∀α ∈ W, 均有 P(α) = 0, 从而 W ⊂ KerP. ∀α ∈ V, α = α1 + α2, 若 P(α) = 0, 则 α1 = 0, 从而 α = α2 ∈ W, 于是 KerP = W. 易知 ImP ⊂ U, 又由于 ∀α ∈ U, P(α) = α, 从而 U ⊂ ImP, 于是 U = ImP.
∫1 1 · f (x) dx
0
= a0 +
a1 2
+
a2 3
+
a3 4
= 0,
于是
( )(
)(
)
f (x) = a1
1 x−
2
+ a2
x2 − 1 3
+ a3
x3 − 1 4
,
由此可以看出 x − 1/2, x2 − 1/3, x3 − 1/4 为 W ⊥ 的一组基.
3
二. (25 分) 作直角坐标变换, 把下述二次曲面方程化成标准方程, 并且指出它是什么曲面: x2 + 4y2 + z2 − 4xy − 8xz − 4yz + 2x + y + 2z − 25 = 0. 16
三. (16 分) 设线性空间 V 中的向量组 α1, α2, α3, α4 线性无关.
六. (16 分) 用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合, 它是一个欧几里得空间, 其上的内
积为
∫1 (f, g) = f (x)g(x) dx.
0
设 W 是由零次多项式组成的子空间, 求 W ⊥ 以及它的一个基.
1
一. 过 M0 与 π1 平行的平面为 π2 : 3x − y + 2z + 4 = 0, ℓ1 与 π2 的交点为 (0, 7/2, −1/4), 从而直线 ℓ 的方程为
(1) 试问: 向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 是否线性无关? 要求说明理由. (2) 求向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 生成的线性子空间 W 的一个基以及 W 的维数.
四. (16 分) 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间, 并且 V = U ⊕ W. 任给 α ∈ V, 设 α = α1 + α2, 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W. 令 P(α) = α1. 证明:
就可以化成标准方程, 从而知道曲面为单叶双曲面.
三. (1)


1001
(α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1) = (α1, α2, α3, α4) 10
1 1
0 1
00 ,
0011
又因为 |A| = 0, 故 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 线性无关.
2
(3) 取 U 的一组基 ξ1, ξ2, . . . , ξs, W 的一组基 ξs+1, . . . , ξn, 则 ξ1, ξ2, . . . , ξn 是 V 的一组基, 并且
[
]
P (ξ1, ξ2, . . . , ξn) = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Is
O ,
OO
从而看出 r = dim U.