二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法(2009.10.22)
第九节二阶常系数非齐次线性微分方程
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 因此所给方程的通解为 y C1e2x + C2e3x 1 (x 2 + 2x)e2x 2
首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x 1 4 >>> 比较两端同类项的系数 得 a b 0 c 0 d 3 9 同类项的系数 得 a 1 b0 c0 d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2x + 4 sin 2x 3 9
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性方程解法
就是微分方程的解
22
下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.
1). 特征方程有两个不相等的实根
p2 4q 0
特征根为
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
14
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
23
2） 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
若 p2 4q 0，则
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
e1 x [(u 21u 12u ) p(u 1u ) q u 0
u ( 2 1 p ) u ( 12 p 1 q ) u 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
11
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题哎呀，这可是个难题啊！不过别着急，我们一起来解决这个问题吧。
今天，我们要学习的是如何解二阶常系数非齐次线性微分方程。
听起来好像很高深莫测的样子，其实呢，只要用点心，就能轻松搞定哦！我们来看一下这个题目的意思。
所谓二阶常系数非齐次线性微分方程，就是说这个方程有两个未知数，而且它们的系数都是常数，但是方程中包含的项并不是齐次的。
那么，我们应该怎么解这个方程呢？其实，解决这个问题的关键在于找到一个合适的方法。
我们知道，解微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、变量替换法、特征线法等等。
而对于二阶常系数非齐次线性微分方程来说，我们可以采用一种叫做“因式分解”的方法来求解。
具体来说，我们首先要将这个方程进行因式分解。
然后，根据不同的情况，选择合适的方法进行求解。
这里呢，我给大家举两个例子，看看到底是怎么做的吧。
第一个例子：假设我们要解的方程是这样的：y'' 2y' + y = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(y'' 2y')(1 y) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：y'' 2y' = 0y' y = 0接下来，我们就可以分别用这两个方程来求解了。
具体来说，我们可以先求出y'和y''的关系式，然后再代入第二个方程求解。
当然啦，这只是其中一种方法，还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。
第二个例子：假设我们要解的方程是这样的：xy'' + x^2y' + xy = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(xy'' + x^2y')(x + 1) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：xy'' + x^2y' = 0xy' + x = 0同样地，我们可以分别用这两个方程来求解了。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法
王 捷
（烟台南山学院 山东烟台 265713）
摘要： 在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为
1()e ()cos x m f x P x x λω=或
2()e ()sin x m f x P x x λω=的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减
少将近一半.
关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法. 中图分类号： 01—0 文献标识码：B
The use of complex number methods for Second-order constant coefficient
Non-homogeneous linear differential equation
Wangjie
(Yantai nanshan University, Yantai,Shandong, 265713)
Abstract ：In the second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, it accounts for the majority shen non-homogeneous terms are
1()e ()cos x m f x P x x λω=and
2()e ()sin x m f x P x x λω=. For this type of differential equations, if methods of complex number are
using special solution, the calculation of the amount reduced by nearly half.
Keywords ：differential eguation ；Of non-homogeneous ；particular solution ；methods of complex number.
在高等数学（同济五版）微分方程一章中，对于非齐次项为
()e [()cos ()sin ]x l n f x P x x P x x λωω=+
的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解*
y 的求法非常繁琐，即便遇到()0l P x =或
()0n P x =，即
()e ()cos x l f x P x x λω=
或 ()e ()sin x n f x P x x λω=
的情况，也得将其视为 ()e [()cos 0sin ]x l f x P x x x λωω=+⋅
或
()e [0cos ()sin ]x n f x x P x x λωω=⋅+
的情况进行求解.即特解的形式都须设为
*(1)(2)
e [()cos sin ]k x m m y x R x x R x λωω=+⋅
的形式，k 按i λω±不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.然而，在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项形如
1()e ()cos x m f x P x x λω=
或
2()e ()sin x m f x P x x
λω=
的情况占大多数.事实上，对于这类微分方程，我们可以用复数法进行求解.下面来介绍这种方法.
设二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为
()()e [cos isin ]x m F x P x x x λωω=+
则
1()e ()cos x m f x P x x λω=
可看成()F x 的实部，
2()e ()sin x m f x P x x λω=
可看成()F x 的虚部。
再设非齐次项为 1()f x 和
2()f x 的微分方程的特解分别为*1y 和*
2y ，则以
()F x 为非齐次项的微分方程的特解可表示为
***
12i y y y =+
由欧拉公式
i e cos isin x x x ωωω=+
()()e [cos isin ]x m F x P x x x λωω=+可变形为
(i )()()e x m F x P x λω+=
于是二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy '''++=(i )()e x m P x λω+
的特解就可设为
(i )()e k x m x Q x λω+
的形式，其中，k 按i λω±不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.代入微分方程
后，所求的特解一定为***
12i y y y =+这种形式.
对于非齐次项为1()f x 的微分方程，特解取*
1y ，对于非齐次项为2()f x 的微分方程，特解取*
2y ，下面通过例子来说明这种方法的应用.
例1 求微分方程cos 2y y x x ''+=的一个特解.（高等数学同济五版第315页例3）
解 将非齐次项看成
2i e (cos 2isin 2)x x x x x =+
的实部，02i +不是特征方程的根，故特解设为
*2i ()e x y ax b =+
将其代入所给的方程，消去2i e
x
，得
4i 33a b ax x --=
比较两端系数，得
31
4i 30
a a
b -=⎧⎨
-=⎩ 解得
14
,i 39
a b =-
=- 代入所设特解，得
*14
(i)(cos 2isin2)39
y x x x =--+
去掉虚部，留下实部，求得一个特解为
*14
cos 2sin239
y x x x =-+
例2 求25e sin 2x
y y y x '''-+=的通解.
（高等数学同济五版第317页习题12-9，1-(5)）
解 将非齐次项看成
(12i)e e (cos 2isin 2)x x x x +=+
的虚部，所给方程的特征方程为
2250r r -+=
齐次方程的通解为
12e (cos 2sin 2)x Y C x C x =+
非齐次项中i 12i λω+=+是特征方程的单根，故可设
*(12i)e x y ax +=
代入原方程并消去(12i)e
x
+，得 4i 1a =，解得
i
4a =-.于是原方程的一个特解为
*(12i)i i
e e (cos 2isin 2)44
x x y x x x x +=-=-+
当非齐次项为
()e [()cos ()sin ]x l n f x P x x P x x λωω=+
且()l P x 和()n P x 均不为0时，可将非齐次项拆
成两项后，应用叠加原理使用复数法求解，但起
不到简化计算量的作用.
参考文献：
[1] 同济大学应用数学系编. 高等数学(第五版)， 高等教育出版社, 2001年10月.
[2]侯风波，高等数学第二版，高等教育出版社，2003年春
.。