数理统计作业二__用数学实验的方法验证大数定理和中心极限定理
大数定律和中心极限定理的r语言实验报告
大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要概念。
大数定律描述了在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，某一事件发生的频率趋于其概率。
中心极限定理则指出，无论试验中的个体之间的差异有多大，当试验次数足够多时，试验结果的平均值将接近正态分布。
以下是一个简单的R语言实验报告，用于演示大数定律和中心极限定理。
大数定律和中心极限定理的R语言实验
实验目的：通过模拟实验，观察大数定律和中心极限定理的现象。
实验原理：
1.大数定律：在大量独立重复试验中，某一事件的相对频率趋近于该事件的概率。
2.中心极限定理：无论个体之间的差异有多大，当试验次数足够多时，试验结果的平均值将接近正态分布。
实验步骤：
1.生成1000个0到1之间的随机数，模拟1000次掷硬币试验（正面概率为0.5）。
2.计算正面朝上的频率。
3.使用R语言绘制频率直方图和正态分布曲线。
4.重复步骤1-3多次（例如100次），观察频率的稳定性。
5.计算100次试验中每次试验得分的平均值的频数分布，并绘制直方图和正态分布曲线。
实验结果：
1.正面朝上的频率逐渐稳定于0.5。
2.频率直方图接近正态分布。
3.平均值的频数分布也接近正态分布。
实验分析：
实验结果验证了大数定律和中心极限定理。
在大量独立重复试验中，正面朝上的频率趋近于0.5，符合大数定律。
同时，试验结果的平均值分布接近正态分布，符合中心极限定理。
结论：通过R语言模拟实验，我们观察到了大数定律和中心极限定理的现象，加深了对这两个定理的理解。
概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案
概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案第一篇：概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案第 5 章大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量{ EMBED Equation.3 |E(ξ)=μ，方差，则由切比雪夫不等式有.2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式，并估计.3.设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有 , 或者由于随机变量相互独立且同分布, 而且有所以4.设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意的, 有由此得5、设随机变量，则.6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则.7、设表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则.8.设随机变量, 服从二项分布, 其中, 那么, 对于任一实数x, 有0.9.设为随机变量序列,为常数, 则依概率收敛于是指1 ,或 0。
10.设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落在75至85之间的概率不小于.解：, 于是二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则由此 P(通信系统能正常工作)3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位.查分布表可得要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。
概率论与数理统计 第二版 第五章 大数定律及中心极限定理
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计学中的两个重要概念，对于理解概率和统计的基本原理和应用至关重要。
本文将分别介绍大数定律和中心极限定理，并探讨其在实际问题中的应用。
大数定律（Law of Large Numbers）指的是在独立同分布的随机变量序列上，随着样本规模的增大，样本平均值会趋向于总体均值。
大数定律提供了一种关于样本统计量与总体参数之间的收敛性结果，展示了样本规模对统计推断的重要性。
根据大数定律，如果我们重复进行一系列相互独立的随机试验，并计算出每次试验的结果的平均值，那么这些平均值的集合将会收敛于总体平均值。
这意味着，通过增加样本量，我们可以更加准确地估计总体的参数。
除了数学上的重要性，大数定律在实际应用中也具有广泛的意义。
以股票市场为例，当我们关注某只股票的涨跌幅时，每日的涨跌表现可以看作是独立同分布的随机变量序列。
通过大数定律，我们可以借助历史数据来推断出该股票未来的走势，为投资决策提供参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的另一个重要理论结果，它表明在特定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似地服从正态分布。
中心极限定理揭示了许多现实世界中观测到的现象背后的统计规律。
中心极限定理的意义在于，即使总体分布不知道或不符合正态分布，但我们通过取样得到的样本均值的分布会趋于正态分布。
这意味着，我们可以通过对样本均值进行统计推断，来推断关于总体的一些性质，例如均值和方差。
中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
在调查研究和数据分析中，我们通常无法直接获得总体的完整信息，而只能通过从总体中抽取样本来进行推断。
通过中心极限定理，我们可以借助样本均值的分布性质来进行统计推断，如置信区间的构建和假设检验的实施。
综上所述，大数定律和中心极限定理在概率论和统计学中发挥着重要的作用。
它们为我们理解和应用概率统计学提供了基本的理论支持，对于数据分析和决策制定具有重要意义。
叙述你所熟知的大数定理和中心极限定理
《大数字法》就像一个神奇的咒语在概率和统计的世界！这是所有的事情当你做同样的实验一大堆。
根据这部法律，如果你做了千分之
十的试验，你所有结果的平均值应该相当接近你的预期。
你做的试验
越多你的平均值就越接近预期值这个法则对各种事物都非常有用，比如在赌博游戏中找出几率，或者预测随机事件的几率。
简言之，你做
的试验越多，你的平均结果就越接近总体平均数。
这就像平均法则总
是在背景中发挥它的魔法！
中央限制定理在概率论中是一个非常重要的想法。
它基本上说，如果把一堆随机数字加起来或平均出来，无论原始数字是什么样子，最终
结果都会接近正常分布。
这是超级方便的，因为它让我们根据较小的
样本，对大裙事物作出有教养的猜测。
当我们不太了解最初的组别时，这特别有用，因为它让我们能够通过只看一个小片来对整个组别是什
么样子作出相当好的估计。
《大数字法》和《中央限制定理》都是概率和统计领域的基本原则，
在金融、经济学、工程学和自然科学等各个领域都有广泛和重大的应用。
对这些定理的理解和利用有助于研究人员和从业者根据数据作出
知情决定，并从实证观测中得出可靠的结论。
实质上，"大数字定律"
在样本大小扩大时对样本行为表示描述，而"中央限制定理"则对大量
独立，相同分布的随机变量的总和或平均值的行为进行描述。
这些定
理共同建立了分析和解释随机现象的有力框架。
利用大数定律和中心极限定理求解极限
利用大数定律和中心极限定理求解极限在数学中，极限是一个非常重要的概念，它可以用来描述函数在某一点的趋势。
在实际应用中，我们经常需要求解各种极限，这时候大数定律和中心极限定理就可以派上用场了。
大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了当样本数量足够大时，样本平均值会趋近于总体平均值的现象。
具体来说，如果我们有一个随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的期望值为μ，方差为σ^2，那么当n趋近于无穷大时，这些随机变量的平均值X_bar就会趋近于μ。
这个定理的应用非常广泛，比如在统计学中，我们可以利用大数定律来估计总体的均值和方差。
中心极限定理是另一个非常重要的概率论定理，它描述了当样本数量足够大时，样本平均值的分布会趋近于正态分布的现象。
具体来说，如果我们有一个随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的期望值为μ，方差为σ^2，那么当n趋近于无穷大时，这些随机变量的平均值X_bar的分布会趋近于正态分布，其均值为μ，方差为σ^2/n。
这个定理的应用也非常广泛，比如在财务分析中，我们可以利用中心极限定理来估计股票收益率的分布。
现在我们来看一个具体的例子，假设我们有一个随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们服从均值为μ，方差为σ^2的正态分布。
我们想要求解这些随机变量的平均值X_bar的极限。
根据大数定律，当n趋近于无穷大时，X_bar会趋近于μ。
具体来说，我们可以利用下面的公式来计算X_bar的极限：lim(n→∞) X_bar = lim(n→∞) (X1 + X2 + ... + Xn)/n = μ这个公式告诉我们，当样本数量足够大时，样本平均值会趋近于总体平均值μ。
这个结论非常直观，因为随着样本数量的增加，我们能够更加准确地估计总体的均值。
接下来我们来看另一个例子，假设我们有一个随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们服从均值为μ，方差为σ^2的正态分布。
我们想要求解这些随机变量的平均值X_bar的分布。
概率论与数理统计第五章大数定律与中心极限定理
由独立同分布中心极限定理
100
P{
i 1
Xi
300}
1
300 100 10 35
7 2
12
精品资料
1 (2.93)
0.9983
2. 德莫佛-拉普拉斯中心极限(jíxiàn)定理(De MoivreLaplace)
设随机变量 n (n=1, 2, ...) 服从(fúcóng)参数为 n, p
由切比雪夫大数定理
n
Xi P
fn
i 1
n
p
精品资料
3. 辛钦大数(dà shù)定律(P108)
若{Xk, k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk= < , k=1, 2, … 则
Yn
1 n
n k 1
Xk
P
推论: 若{Xi, i=1.2,...}为独立同分布随机变量(suí jī biàn liànɡ)序列, E(X1k) < , 则
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
1
则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 Xn P X.
精品资料
P
例如 X n a 意思(yì sī) n 时, Xn落在
(lìrú
是: 当
)(:a , a ) 内的概率越来越大. N , n N
Xn
a a a
而 X n a 意思是: 0, N , 当 n N | X n a |
1
n
n i 1
X
k i
P
E
(
X
k 1
)
精品资料
三. 几个(jǐ ɡè)常用的中心极限定理
1. 独立同分布中心极限(jíxiàn)定理(P109)
中心极限定理证明大数定律
中心极限定理证明大数定律中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它给出了一个数列的平均值符合正态分布的极限分布，也就是中心极限定理。
同时，也是证明大数定律的一个重要定理。
本文将从数学上给出中心极限定理证明大数定律的法则和方法。
一、大数定律和中心极限定理的基础概念1、大数定律大数定律指的是当试验次数足够多时，随机变量的经验平均值趋近于该随机变量的数学期望。
也就是说，大数定律就是在相同的条件下，如果重复进行同样的实验，其结果会趋近于某个确定的值，即为大数定律的实质。
2、中心极限定理中心极限定理指的是随着试验次数的增加，样本均值分布将变得越来越像正态分布。
也就是说，无论原始分布是什么样子，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会趋向于一个正态分布。
二、大数定律证明大数定律的证明，需要从不同的方面进行论证，主要分为点态和渐进的两类。
其中，点态是通过概率不等式或直接取极限的方法得到，而渐进方法则是建立在弱收敛定理的基础上，它提供了更强的证明。
1、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫于1884年提出的一个重要不等式，它在大数定律证明中也有所运用。
切比雪夫不等式表述如下：对于随机变量 X 的任意实数 t>0，有 P[|X -E(X)|>=t] <= Var(X) / t^2 ，其中 Var(X) 表示 X 的方差。
现在设有一个随机变量序列X1,X2,...,Xn，其中E(X)表示期望，则：E[(X1+X2+...+Xn)/n] = (E(X1) + E(X2) + ... +E(Xn)) / n = E(X)又由于Var[(X1+X2+...+Xn)/n] = Var(X) / n，因此P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2)则有P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2) <= ε当ε趋于0时，上式成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
验证大数定理：
1、实验原理：
证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。
2、实验步骤：
①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。
②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。
③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）：
图一
图二
从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。
验证中心极限定理：
1、实验原理：
证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。
本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。
因为E k，
k=1,2,3······之间是独立同分布，所以
)5.0,
(
~
E
n
1
k
k n
B
∑
=。
由中心极
限定理可知，当n的取值足够大时，∑
=
n
1
k
k
E
这一随机变量的分布与正太分
布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑
=
n
1
k
k
E
的分
布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。
2、实验步骤：
①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。
MATLAB结果图：
MATLAB源程序：
MATLAB结果图：
MATLAB源程序：
MATLAB结果图：
MATLAB源程序：
MATLAB结果图：
MATLAB源程序：
⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足
中心极限定理。