中考数学压轴题 (含答案)

一、中考数学压轴题1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），AB=62，点 P 从点 O出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．（1）求点B 的坐标；（2）设点P 的运动时间为点t 秒，△BDP 的面积为S，求S 与t 的函数关系式；（3）当点P 与点D 重合时，连接BP，点E 在线段AB 上，连接PE，当∠BPE=2∠OBP 时，求点E 的坐标．2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．求证：DB=DE．(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．3．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．4．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．5．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．6．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．8．如图，在正方形ABCD中，DC=8，现将四边形BEGC沿折痕EG(G，E分别在DC，AB边上)折叠，其顶点B，C分别落在边AD上和边DC的上部，其对应点设为F，N点，且FN交DC于M．特例体验：(1)当FD=AF时，△FDM的周长是多少?类比探究：(2)当FD≠AF≠0时，△FDM的周长会发生变化吗?请证明你的猜想．拓展延伸：(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF为x，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S，试用含x的代数式表示S，并问：当x为何值时，S=26?9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）10．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．11．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．13．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．14．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．15．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．16．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝13，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．17．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+ m交 y轴的正半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F，∠AFO=45°．（1）求∠FAB的度数；（2）点 P是线段OB上一点，过点P作 PQ⊥OB交直线 FA于点Q，连接 BQ，取 BQ的中点C，连接AP、AC、CP，过点C作 CR⊥AP于点R，设 BQ的长为d，CR的长为h，求d与h的函数关系式（不要求写出自变量h的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE⊥OB于点E，CE交 AB于点D，连接 AE，∠AEC=2∠DAP，EP=2，作线段 CD 关于直线AB的对称线段DS，求直线PS与直线 AF的交点K的坐标．19．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．20．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．21．如图1，Rt △ABC 中，点D ，E 分别为直角边AC ，BC 上的点，若满足AD 2+BE 2＝DE 2，则称DE 为R △ABC 的“完美分割线”．显然，当DE 为△ABC 的中位线时，DE 是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB ＝10，cos A ＝45，AD ＝3，若DE 为完美分割线，则BE 的长是 ． （2）如图2，对AC 边上的点D ，在Rt △ABC 中的斜边AB 上取点P ，使得DP ＝DA ，过点P 画PE ⊥PD 交BC 于点E ，连结DE ，求证：DE 是直角△ABC 的完美分割线．（3）如图3，在Rt △ABC 中，AC ＝10，BC ＝5，DE 是其完美分割线，点P 是斜边AB 的中点，连结PD 、PE ，求cos ∠PDE 的值．22．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．23．问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝ ．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于AB 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）B(0，6)；（2）S=3 960236932t tt t⎧-<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩，，；（3）E(4，2)【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的长，从而得到点B的坐标；（2）存在2种情况，一种是点P在点D的左侧，一种是在右侧，求△PBD的面积，高始终是OB不变，仅需表示出PD的长即可；（3）如下图，作∠BPE的角平分线PF，根据角之间的关系，可得到PF∥OB，从而推导出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的关系求得线段的长度，从而得到E的坐标.【详解】（1）∵A(6，0)，AB=62，△AOB是直角三角形∴在Rt△AOB中，OB=()226266-=∴B(0，6)（2）情况一：如下图，点P在点D的左侧，即32t<≤时在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高∴高=BO=6，底=3－2t∴S=()1632962t t-=-情况二：如下图，点P在点D的右侧，即332t<≤时在△BPD 中，以PD 为底，则BO 是△BOD 的高∴高=BO=6，底=2t －3∴S=()1623692t t -=-综上得：S=3960236932t t t t ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩，， （3）如下图，PF 是∠PBE 的角平分线，交AB 于点F ，过点E 作x 轴的垂线，交x 轴于点G∵OA=6，OB=6，2∴△OBA 是等腰直角三角形，∠A=45°∴△GEA 是等腰直角三角形设PG=x ，则AG=3－x ∴EG=AG=3－x∵PF 是∠BPE 的角平分线，∴∠BPF=∠FPE∵∠BPE =2∠OBP∴∠OBP=∠BPF=∠FPE∴PF ∥OB ，∴PF ⊥OA∴∠FPE+∠EPG=90°∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO∵∠EGP=∠BOP∴△PEG ∽△PBO∴EG OB PG OP =，即363x x -=，解得：x=1 ∴PG=1，GE=2∴E(4，2)【点睛】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系和相似，解题关键是作二倍角的角平分线，构造出相似图形.2．D解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；（3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=60°，∵点D为线段AC的中点，∴BD平分∠ABC，AD=CD，∴∠CBD=30°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，∴2∠CED=60°，∴∠CED=30°=∠CBD，∴DB=DE；（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，如图，∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°，∴△DGC为等边三角形，∴DG=GC=CD，∴BC-GC=AC-CD，即AD=BG，∵AD=CE，∴BG=CE，∴BC=GE，在△BDC和△EDG中，60DC DG BCD EGD BC EG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△EDG （SAS ）∴BD=DE ；（3）DB=DE 成立，理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ，∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ，∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ，∴△CDF 为等边三角形∴CD=DF=CF ，又AD=CE ，∴AD-CD=CE-CF ，∴BC=AC=EF ，∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ，∴△BCD ≌△EFD （SAS ）∴DB=DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩解得16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+， 16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入， 07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得5959a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM 的解析式为5599y x =+． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标． 4．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）32910AB BC =；（3）①125615-；②35AD CD =． 【解析】【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==．∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3，∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵105AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=，∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°， ∴3CF x =， ∴(23)35AC x ==解得：65315DF x ==∴2125615CD DF ==②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴:3:5AE BC=．∴5BC=．∵10 ABBC=，∴10AB．∴221BE AB AE=-=．∴6CE BE BC=+=，2236935AC CE AE=+=+=．分别过点B'，D作B G BC'⊥，DF AC⊥，垂足分别为点G，F，∴90B GC DFC'∠=∠=︒，3B G'=，5C BB C'==，则CG4=．∵GCB FCDα'∠=∠=，∴AEC DFA∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB''==．∴设3DF k=，4FC k=，5CD k=．∵12l l//，∴ACE CAD∠=∠，且90AEC AFD∠=∠=︒．∴AEC DFA∽△△．∴DF AFAE EC=．∴33543k k-=，解得35k=∴355CD k==2222959595102AF DFAD⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．∴935253552ADCD===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．5．D解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或253；（3）DP=485或10＜DP≤12【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA=90°=∠ABE，∴△PFA∽△ABE．（2）解：分二种情况：①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF=∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=6，即x=6．②如图2，若△PFE∽△ABE，则∠PEF =∠AEB ，∵AD ∥BC∴∠PAF =∠AEB ，∴∠PEF =∠PAF ．∴PE =PA ．∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，∴AE =22AB BE +=2286+=10，∴EF =152AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，∴PE EF AE BE=， ∴5106x =， ∴PE =253， ∴满足条件的x 的值为6或253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，∵AP =x ，∴PD ═DG =12﹣x ，∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，∴△AGD ∽△EBA ， ∴AD DG AE AB =， ∴1212108x -=， ∴x =125， ∴12481255DP =-=， 当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，此时PD =DE =10，故答案为：DP =485或10＜DP ≤12． 【点睛】本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 6．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案.【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==. （2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6， 所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-， 可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.7．E解析：（1）y ＝﹣21122x -x+3；（2）①EF 的长为2；②点H 的坐标为（﹣45，135）或（﹣445,99）． 【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①得出EAB ODB ∠=∠，当时，当时，可求出的长；②（Ⅰ）求出直线CE 的解析式为132y x =+，得出APE EBA ∠=∠，则GCH APE EBA CHN MGH ∠=∠=∠=∠=∠，得出//GC PB ，由1tan tan tan 2AE EBA CHN MGH BE ∠=∠=∠==，设CN MG m ==，则2HN m =，12MH m =，则1212MH HN m m +=+=，解得，25m =，可求出H 点的坐标； （Ⅱ）过点H 作MN PB ⊥，过点C 作CN MH ⊥于点N ，过点G 作GM HM ⊥于点M ，证得GCH EBA HCN MHG ∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=，则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==，设MG a =，则2MH a =，证明HMG CNH ∆∆∽，则2NH a =，4CN a =，又(0,3)C ，得出(3,34)G a a --，代入211322y x x =--+中，得449CN =，可求出H 点坐标． 【详解】解：（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax2+bx+c 得，0930423a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得：12123a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣21122x -x+3； （2）①将E （m ，2）代入y ＝﹣21122x -x+3中， 得﹣21122m -m+3＝0，解得m ＝﹣2或1（舍去）， ∴E （﹣2，2），∵A （﹣3，0）、B （2，0），∴AB ＝5，AE ＝5，BE ＝25，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB ＝∠DOB ＝90°，∴∠EAB+∠EBA ＝∠ODB+∠EBA ＝90°，∴∠EAB ＝∠ODB ，（Ⅰ）当△FEA ∽△BOD 时，∴∠AEF ＝∠DOB ＝90°，∴F 与B 点重合，（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为25或2；②点H的坐标为4(5-，13)5或44(9-，5)9，（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝12x+3，∴P（﹣6，0），∴∠APE ＝∠EBA ， ∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠APE ＝∠EBA ＝∠CHN ＝∠MGH ，∴GC ∥PB ，又C （0，3），∴G 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣21122x -x+3中，得：x ＝﹣1或0（舍去）， ∴MN ＝1，∵∠AEB ＝90°，AE ＝5，BE ＝25，∴tan ∠EBA ＝tan ∠CHN ＝tan ∠MGH ＝12AE BE =， 设CN ＝MG ＝m ，则HN ＝2m ，MH ＝12m ， ∴MH+HN ＝2m+12m ＝1， 解得，m ＝25， ∴H 点的橫坐标为﹣45，代入y ＝12x+3，得：y ＝135， ∴点H 的坐标为（﹣45，135）． （Ⅱ）过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，∴CN ∥PB ，∴∠NCH ＝∠APE ，由（Ⅰ）知：∠APE ＝∠EBA ，则∠NCH ＝∠EBA ，∵∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠HCN+∠NHC ＝∠MHG+∠NHC ＝90°，∴∠HCN ＝∠MHG ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠EBA ＝∠HCN ＝∠MHG ，由（Ⅰ）知：APE EBA ∠=∠，则NCH EBA ∠=∠，90GMN CNH ∠=∠=︒，又90GHC ∠=︒，90HCN NHC MHG NHC ∴∠+∠=∠+∠=︒，HCN MHG ∴∠=∠，GCH EBA ∠=∠，GCH EBA HCN MHG ∴∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=， 则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==， 设MG a =，则2MH a =，NCH MHG ∠=∠，N M ∠=∠，HMG CNH ∴∆∆∽， ∴12MH MG HG CN NH CH ===， 2NH a ∴=，4CN a =，又(0,3)C ，(3,34)G a a ∴--，代入211322y x x =--+中，得，119a =或0（舍去）， 449CN ∴=， H ∴点的橫坐标为449-，代入132y x =+，得，59y =． ∴点H 的坐标为445(,)99-． 综合以上可得点H 的坐标为4(5-，13)5或445(,)99-． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．8．F解析：（1）16；（2）不变，证明见解析；（3）214322S x x =-+，当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【解析】【分析】（1）如图1中，在△AEF 中，设AE=x ，则EF=8-x ，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理构建方程求出x，再根据△AEF∽△DFM，可得3124FDM AEDF C∆==，由此即可解决问题；（2）△FDM的周长与（1）中结论相同．证明方法与（1）类似；（3）作GK⊥AB于K．连接BF交GE于P．由△AFB≌△KEG，可得FB=GE，由（2）可知：AE=21416x-，设AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x-+，根据S=82AE DG+⨯，构建二次函数即可解决问题；【详解】解：（1）在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，由勾股定理，得：42﹢x2=(8-x)2，∴x=3，∴AE=3，EF=5．∴△AEF的周长为12，如图，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴AEDF=34=12FDMC，∴△FDM的周长为16；（2）△FDM的周长不会发生变化；理由：如下图，设AF=x，EF=8-AE，x2+AE2=（8-AE）2，∴AE=21416x-， ∵△AEF ∽△DFM ，∴8FDMAE x DF C ∆+=， ∴△FMD 的周长：2(8)(8)161416FDM x x C x ∆-+==-． （3）如图，作GK ⊥AB 于K ．连接BF 交GE 于P ．∵B 、F 关于GE 对称，∴BF ⊥EG ，∴∠FBE=∠KGE ，在正方形ABCD 中，GK=BC=AB ，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB ≌△KEG ，∴FB=GE ，由（2）可知：AE=21416x -， ∴AF=EK=x ，AK=AE+EK=AF+AE=21416x x -+， ∴梯形AEGD 的面积为：22211184(44)432216162AE DG x x x x x +⨯=⨯-+-+=-++， ∴221188(432)43222S x x x x =⨯--++=-+， 当S=26时，有 21432262x x -+=， 解得：x=2或x=6，∴当x=2或6时，四边形FEGN 的面积为26．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数，理由方程解决问题，属于中考压轴题．9．C解析：（1）点C的坐标为(2,0)；（2）1522 y x=-+；（3）①2481515y x x=-；②1013．【解析】【分析】（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；（2）利用待定系数法求解可得；（3）①由AE=3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；②若△CDB与△BOA相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y=ax2-2ax可得a值．【详解】解：（1）把0y=代入22y ax ax=-，得220ax ax-=，解得：0x=，或2x=．∵点C在x轴正半轴上，∴点C的坐标为(2,0)．（2）设直线表达式为y kx b=+，把点(1,2)A，(5,0)B分别代入y kx b=+，得250k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1252kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的表达式为：1522y x=-+．（3）①作AH x⊥轴于点H，EF AH⊥于点F（如图），∵222125OA=+=，2222420AB，22525OB==，∴222OA AB OB+=．∴90EAO OAB∠=∠=︒．由EFA AHO△∽△，得2EF FA EAAH HO AO===，∴4EF=，2FA=，∴点E 坐标为()3,4-．把(3,4)E -代入22y ax ax =-，得964a a +=， 解得：415a =． ∴2481515y x x =-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，∴CD BD BC AO AB BO==，∠OAB=∠CDB=90°， 35525==， ∴35CD =65BD =，∵523BC =-=，∴356565535DG ==， ∴156225x -+=，解得：135x =， ∴点D 的坐标为：（135，65）， 把点D 代入22y ax ax =-，即16913622555a a -⨯= 解得：1013a =； 故答案为：1013． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．10．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13≤a 2【解析】【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标；（3）分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围.【详解】解：（1）在抛物线21y axa=-中，2a-=，∴对称轴为直线x=0，即y轴；（2）∵抛物线与y轴交于点A，∴A（0，1a -），∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，1a）；（3）当a＞0时，点A（0，1a-）在y轴负半轴上，当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：。