矩阵理论-第七讲讲解
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
南航戴华《矩阵论》第七章_矩阵函数与矩阵值函数
.
定理7.1.2 设A, B C nn , 如果AB BA, 则
(1) sin A cos A I ;
2 2
(2) 如果AB BA, 则
sin (A B ) sin A cos B cos A sinB sin2 A 2 sin A cos A cos(A B ) cos A cos B sin A sinB 2 2 cos 2 A cos A sin A
A C 定理7.1.8 设 矩 阵
n n
的特征值为 1 , 2 , , n ,
函 数f ( z )在A的 谱 ( A)上 有 定 义 , 则f ( z )的 特 征 值 为f (1 ), f ( 2 ) , f ( n ).
7.2
7.2.1 7.2.2
矩阵值函数
矩阵值函数 矩阵值函数的分析运算
x x0
lim aij ( x ) aij
( i 1, , m , Fra bibliotek 1, , n)
其中aij为固定常数 , 则称A( x)在x x0处有极限 , 记为
x x0
lim A( x ) A
其中A (aij ) R
mn
.
x x0
lim aij ( x ) aij ( x0 ) ( i 1,, m , j 1,, n)
p (i ) f
( j) ( j)
(i ), i 1,2,, k ,
f ( A) p( A)
j 1,2,, mi 1
则定义矩阵函数 f (A)为
, m1 , m2 ,, mk 定理7.1.4 设1 , 2 ,, k 是k个互异数 是k个正整数且 m mi .给定一组数
第7讲矩阵的秩
例6. A = aij
( )
3×3
1 2 3 （） = 2 2 1 ，求秩R A . 3 4 3
2 3 −2 −5 0 −1 0 1 0 0 0 → 0 1 0 −1 0 0 1
1 解: A → 0 0 1 0 → 0 −2 0 0
例3. 求A = aij
( )
3× 4
3 2 1 1 = 0 0 0 0 的秩。 4 4 −2 3
其中三阶子式共有4个其值均为0, 例如
3 2 解： 0 0 1 3 2 1 3 2 1 0 = 0 0 0 = 0, 0 0 0 = 0 L ⇒ r < 3 4 4 − 2 4 4 −2 4 4 3
1 2 − 1 4 r − r 1 2 −1 4 3 2 解 A → 0 0 5 − 3 → 0 0 5 −3 r3 + r1 0 0 0 0 0 0 5 −3
r2 − 2 r1
由最后化成的行阶梯矩阵的非零行数
⇒ R ( A) = r = 2.
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT经 ，那么， 由上面的讨论可知， 过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知， R(AT)=R(BT) 又因为， 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
(4) 若P、Q可逆，则R(PAQ ) = R( A)
(5) max{ R(A)，R( B )} ≤ R( A | B ) ≤ R(A) + R( B ) (6) R(A + B ) ≤ R(A) + R( B ) (7) R(AB ) ≤ min{R(A)，R( B )}
第七讲 矩阵的秩 线性方程组的解PPT课件
16
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
17
求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
6
如：矩阵
1 3 9 3
A
0 2
1 3
3 9
64
取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，组成的
二阶子式是 1
3 12
2
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 最低阶为 1阶， 最高阶为 min{m阶,n. } 定义2 设在矩阵A中有一个不等0的 于k 阶子 式D，且所有 r 1阶子式（如果存在）的全话等 于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式r，数 称为矩阵A的秩，记作 R(A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
9
例1
求矩阵
1
A 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解 在 A中, 1 3 0.
2 5
又 A的3阶子式只有一个 | A |, 且
12 3 1 2 3
| A | 2 3 5 0 1 11 0,
4 7 1 0 1 11
r(A)2.
10
2 1 0 3 2
例2 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
矩阵理论（PDF）
§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。
因而可以逐项求导。
t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。
矩阵理论-第七讲
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1 0
a12 (− a12 ) + a22 a11 M a12 (− a1n ) + a2 n a11
a1n L (− a12 ) + a2 n a11 O M a1n L (− a1n ) + ann a11
AH Ax = λ x ，且 x ≠ 0 x=0 否则， 否则， AH Ax = λ x = 0
y = Ax ≠ 0
AAH y = AAH Ax = A( AH Ax) = Aλ x = λ y
H H H 的特征值（ 同理可证 AA 的非零特征值也是 A A的特征值（只要设 y = A x ）
3. 由
x H Ax = x H P H Px = ( Px) H ( Px) = Px, Px > 0
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λ2 L
矩阵理论第7讲-5
Hermite矩阵的正定性 – 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 正定矩阵的行列式大于零 由 det A = λ1λ2 L λn > 0 易知
a12 L a1n a22 L a2 n M O M a2 n L ann
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1
矩阵理论第7讲-10
兰州大学信息科学与工程学院
Hermite矩阵的正定性
a11 0 = M 0
• 充分性
对阶数n用数学归纳法证明 用数学归纳法证明A是 设 ∆ k = det Ak > 0 ( k = 1,L , n) ，对阶数 用数学归纳法证明 是 Hermite正定矩阵。 正定矩阵。 正定矩阵 当k = 1时，a11 = det A1 > 0 时
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
10第7讲 正交矩阵与实对称矩阵
3 3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 1 1 3 2 2 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 2 3
T
1 1 1 , , , 1, 0 , 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 4 4 4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) 2 3 4 1 1 1 1 , , , , 1 . 4 4 4 4
2 || ||
2 2
3 || ||
3 3
1 2 3
4 || ||
4 4
4 2 1 5 [1, 1, 1, 1, 4]T .
法2
可用观察法快速求得该 1 5 齐次线性方程组的正交的基础解系如下：
1 [1② , 1① , 0① , 0① , 0① ]T ，
解得该齐次线性方程组有基础解系为 [ 2, 1, 2, 1] ，则
T
例2
n
T 1 [2, 1, 2, 1] . || || 10
在 R (列)中，设向量组
{1 , 2 , , s } ， {1 , 2 , , n s } ， {1 , 2 , , n s }
正交组 标准正交组. 无关组
Schmidt 正交化 单位化
上述将无关组转化为标准正交组的方法称为 Schmidt 正交化方法.
(3) 标准正交基 作为基的正交组、标准正交组分别称为正交基、标准正交基.
正交基 标准正交基. 基
Schmidt 正交化 单位化
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
矩阵理论及其应用(重大版第七讲课件)
矩阵理论及其应用第七讲范数理论(2)李东重庆大学数学与统计学院CQU◆矩阵范数的性质◆向量和矩阵序列的极限定义◆矩阵范数的应用CQU基本性质（从定义直接得到）CQUCQU定义4.6 若n ×n 矩阵A 的全部特征值为λ1,λ2,⋯,λn ，则称ρA =min i|λi |为方阵A 的谱半径。
性质1性质2（定理4.2.1）设A ，P ，Q 是数域K 上的n ×n 矩阵，P ，Q 为酉阵，即：，则CQU证明：该定理的意义在于：Furobenius 范数在酉矩阵的作用下不变。
性质3（定理4.2.2）方阵A ∈K n×n 的任一种范数是A 的元素的连续函数。
（证明略）性质4（P95 命题）设矩阵范数A 与向量范数x 相容，则ρA ≤A。
（思考讨论）性质5（定理4.2.3）对于任意A∈K n×n的任意两种范数‖A‖a 和‖A‖b,均存在常数k2≥k1>0，使得k1‖A‖b≤‖A‖a≤k2‖A‖b（类似向量范数的等价性，证明从略）定义4.5 设‖x‖a是K n的一个向量范数，对于A∈K n×n，则‖A‖a=max‖Ax‖a是一个与‖x‖a相容的方阵范数，称此矩‖x‖a=1CQU阵范数从属于向量范数‖x‖a的算子范数。
性质6（定理4.2.4）设A∈K n×n,x∈K n,则从属于向量x的三种范数‖x‖1，‖x‖2，‖x‖∞的矩阵算子范数分别是(1) ‖A‖1=maxj σi=1m aij(2) ‖A‖2=max1≤i≤n൯λi(A H A=൯ρ(A H A(3) ‖A‖∞=maxi σj=1n aij(这里给出结论，证明可见教材或上节课PPT)CQU性质7（定理4.2.5）对于任意的矩阵范数A,A∈K n×n，必在K n上存在与之相容的向量范数。
证明：找到一种即可。
构造‖x‖a=xαT,x,α∈K n,α≠0。
现验证‖x‖a是范数且和A相容即可。
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Fk x 0
xH Ak x xH FkH Ak Fk x (Fk x)H Ak (Fk x) 0
Ak (k 1, , n) 都是正定阵
Hermite正定矩阵的行列式大于零
k det Ak 0 (k 1, , n)
• 充分性
设 k det Ak 0 (k 1, , n) ，对阶数n用数学归纳法证明A是
yHU H AUy 1 1 2 2 2 2 n n 2
令 x Uy ，若 y 0 ，则 x 0 ，由于A是Hermite正定阵
xH Ax yHU H AUy 1 1 2 2 2 2 n n 2 0
假设 i 0 ，取
y (0
设 A (aij ) Cnn 是Hermite矩阵
a11 a12
Ak
a12
a22
a1k
a2k
k det Ak (k 1, , n)
a1k a2k
akk
分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则
A是Hermite正定矩阵
k det Ak 0 (k 1, , n)
矩阵理论-第七讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
• 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基 AH A I
• 酉相似下的标准形
AH A1
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
U Cnn U 1 U H
同理可证 AAH 的非零特征值也是 AH A的特征值（只要设 y AH x ）
3. 由 Ax 0
AH Ax 0
反之 AH Ax 0
xH AH Ax (Ax)H (Ax) Ax, Ax 0
由内积的正定性
Ax 0
Ax 0 与 AH Ax 0 同解，解空间的维数相同：
证明：
• 必要性
A是Hermite矩阵
令 Fk e1 e2
Ak (k 1, , n) 都是Hermite矩阵
ek ，其中
ei
0 1 0 T i 1, , k
第i个分量
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-8
Hermite矩阵的正定性
Ak FkH Ak Fk
对任意 0 x Ck
n ) i 0
可得：
A U diag(1, 2 ,n )Biblioteka H U diag( 1 2
PH P
n ) diag( 1 2
n )U H
令 P diag( 1 2
n )U H Cnnn 即证
(3) (1)：因为 P Cnn，所以对任意 0 x Cn ，Px 0
010
0)T 0
第i个分量
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矩阵理论第5讲-4
Hermite矩阵的正定性
则x的第i个分量亦不为零，但
xH Ax yHU H AUy i i 2 i 0
与A是Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数
(2) (3)：由
U H AU diag(1, 2 ,
证明：
1. ( AH A)H AH A
AH A 是Hermite矩阵，对任意 0 x Cn
xH (AH A)x (Ax)H (Ax) Ax, Ax 0
AH A 半正定
AH A 的特征值全为非负实数
同理取行向量 0 x Cn ，可得
xAAH xH ((xA)H )H (xA)H (xA)H , (xA)H 0
都有
xH Ax 0 ( 0)
则称A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）
• 定理
设A是Hermite矩阵，则下列条件等价
1. A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）；
2. A的特征值全为正实数（非负实数）；
3.
P
C nn n
，使得
A PH P
证明： (1) (2)：由上一讲的推论1，Hermite矩阵的特征值均为实数
U 1AU U H AU T
• 正规矩阵
AH A AAH
– 用酉矩阵化正规矩阵为对角形
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矩阵理论第5讲-2
Hermite矩阵的正定性
• Hermite矩阵正定性的定义
设 ACnn ，且 AH A ，即A是Hermite矩阵。如果对任意
0 xCn
现证其为正。A是正规矩阵，U Cnn ，U H U 1 即存在酉矩阵U
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-3
Hermite矩阵的正定性
使得
U H AU diag(1, 2 ,
n )
上式右边同乘以列向量：
1
y
2
n
左边同乘以行向量 yH，可得
Hermite正定矩阵。
当k = 1时，a11 det A1 0
正定性 xH Ax xH PH Px (Px)H (Px) Px, Px 0
由内积的
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矩阵理论第5讲-5
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 det A 12 n 0 易知
• 定理
设 ACmn ，则 1. AH A 和 AAH 的特征值全为非负实数； 2. AH A与 AAH的非零特征值相同； 3. rank( AH A) rank( AAH ) rank A
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矩阵理论第5讲-6
Hermite矩阵的正定性
2. 设x是 AH A 的属于其非零特征值 的特征向量，即
AH Ax x ，且 x 0
y Ax 0
否则， AH Ax x 0
x0
AAH y AAH Ax A( AH Ax) A x y
n rank A n rank( AAH ) rank( AH A) rank A
n: A的列数
上式中以 AH 代替 A
rank( AAH ) rank AH
rank( AH A) rank( AAH ) rank A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-7
Hermite矩阵的正定性