第一章 决策论基础知识(博弈论-河海大学,王慧敏)

决策者之间冲突与合作的数学模型的研究。 博弈论为分析那些涉及两个或更多个参与者且其决策会影 响相互间的福利的局势提供了一般的数学方法。
近代博弈论始于策墨洛（Zermelo,1913）、波雷尔（
Borel,1921）、冯.诺依曼（Von Neumann,1928）与摩根 斯特恩（Morgenstern,1944）合著的伟大的奠基性著作。 博弈论方面的许多早期著作都是在第二次世界大战期间在普 林斯顿完成的。
1.7
占优
有时决策者发现主观概率难以确定，无论决策者的 信念是什么，某些决策选择对他来说都不可能是最优 的。在由决策理论转向博弈论之前，我们在这里介绍 一些能说明何时这种与概率无关的论断会成立的基本 结论。 凸性是许多数理经济学中出现的集合的一个重要特 征。一个向量集是凸的（convex），其充要条件： 对于任意两个向量p和q以及0与1之间的任一数字 ， 若p和q都在这个向量集中，则向量 p (1 )q 也一 定在这个集合中。从几何意义上说，凸性意味着连接 集合内任意两点的整个线段也都一定包含于此集之中 。
对结果或彩金偏好的定量刻划的效用函数（utility function ），和一个能刻划其对所有相关位臵因素的主观概率分布（ subjective probability distribution）来描述。
1.2
决策理论的基本概念
不确定性下的决策通常是用下述两个模型之一来描 述： ※ 概率模型（probability model）和状态变量模型（ state-variable model） ※在每一模型中，我们所说的决策者都是在彩票（ lotteries）中进行选择的人。 ※两者的区别在于其对彩票的定义不同：在概率模型 中，彩票是彩金的概率分布；而在状态变量模型中 ，彩票是从可能状态集到彩金集的函数。
定理1.5
若给定 u : X R 和X中的y，则 () 中使得y为 最优的所有p所组成的集合是个凸集。
1.7
占优
一般地，一个随机策略（randomized
( Z )表
这里给出一些基本的符号：对于一个有限集Z，用
示集上的概率分布集，即
( Z ) q : Z R q ( y ) 1 yZ
且q( z ) 0，z Z
（按照常规的集合记号，上述大括号中的“Ⅰ”表示“使得 ”）
令X表示决策者最终可能获得的彩金（prizes）所组成的

xX
f ( x t ) 1 。令L表示所有这
样的彩票所组成的集合，就是 L f : ( X ) 对 中的任一状态 t 和L中的任一彩票 f ，f ( t ) 表示在状态
f ( t ) ( f ( x t ))xX ( X ) t 下由 f 确定的X上的概率分布，即：
1.1
博弈论、理性和智能性
对于仅假设理性而不假设智能性的理论，可以考虑 经济学中的价格理论这一例。在价格理论的一般均衡 模型中，假定每个个体都是追求效用最大化的理性决 策者，但并不假定他们像价格理论家那样对经济模型 的全波结构有所了解。在价格理论模型（pricetheoretic models）中，个体只观察某些中间价格 信号并且对此做出反映，并且假定每个个体都相信， 他可以在这些价格上交易任意数量而不管这个经济系 统中是否有人实际上愿意与其做交易。
1.7
占优
凸性是许多数理经济学中出现的集合的一个重要特征。一个
向量集是凸的（convex），其充要条件： 对于任意两个向量p和q以及0与1之间的任一数字 ，若p和q都 在这个向量集中，则向量 p (1 )q 也一定在这个集合中。 从几何意义上说，凸性意味着连接集合内任意两点的整个线段 也都一定包含于此集之中。
1.3


公理系
1.3


公理系
1.3


公理系

1.4
期望效用最大化定理
上的一个条件概率函数（conditional-probability
function）时任何一个这样的函数 p : () ，它能对 中的每个状态t和事件S都具体指定非负的条件概率 p(t S ) 且使得
的结果或者股票市场未来的行情都是很好的例子，我们称这 类事件为主观未知（subjective unknowns）事件。安斯库 姆和奥曼（1963）的“轮盘彩票”（roulette lotteries）或 奈特（knight,1921）的“不确定性”都相当于是依赖主观 未知事件的赌博。
1.2
决策理论的基本概念
1.2
决策理论的基本概念
博弈论的逻辑根源在于贝叶斯理论（Bayesian decision
thero）。事实上，博弈论可以看作是决策理论（对两个或 两个以上决策者情形）的一种推广，或者作为决策理论在 本质上的逻辑完备。因此，要理解博弈论的根本思想，就 应该从研究决策理论开始。
任何一个理性决策者的行为应该都可以用一个能给出其
1.2
决策理论的基本概念
对于L中的任意两个彩票 f 和 g ，以及 中的任一事件S
，当且仅当，如果决策者知道了世界真实状态在 S中，则对 他来说， f 至少是和 g 一样的理想选择的时候，我们才写作 这就是说，当且仅当决策者在只知道事件S已经发 生而又必须在 f 和 g 之间择一时，选择了彩票 f ，才有 给定这个关系 ，我们可以定义关系( s )和 为
1.1
博弈论、理性和智能性
当我们像博弈论专家或社会科学家那样分析一个 博弈时，如果局中人知道我们对此博弈所知道的一 起，并能做出我们对此局势所能做出的一切推断， 我们就说此博弈的局中人时智能的（Intelligent）。 博弈论一般都假设局中人在上述意义上是智能的， 因此如果我们研究出一个能描述某个博弈中智能局 中人行为的理论，并且我们相信这一理论是正确的 ，那么我们也必须假设该博弈的每个局中人都了解 这一理论及其预测。
1.6
贝叶斯模型的局限性
期望效用最大化的解释力可以通过凸动扰动（ salient perturbations）分析而扩展到许多貌似矛盾 的情形分析。某给定决策问题的一个扰动就是任何另 一个（在某种意义上）与之非常相似的决策问题。对 任何一个给定的决策问题，如果实际面临这个决策问 题的人很可能会采取其在某个扰动决策问题中一样的 行动，我们就说这个扰动是凸出的。当然们发现决策 问题难以理解而且扰动情形又与他们通常体验的情形 很相像时，这个决策问题的特定扰动可能也是凸出的 。如果我们能对个人决策问题的凸出扰动进行预测， 那么在这个凸出扰动中最大化他期望效用的决策可能 会时对其行为的一个准确预测。
1.2
决策理论的基本概念
概率模型适用于描述彩金依赖于具有明显客观规律的事
件这一赌博，我们称这样的事件为客观未知。 Eg:安斯库姆 和奥曼（1963）的“轮盘彩票”（roulette lotteries）、奈 特（knight,1921）的“风险（risks）”
另外，很多事件不具有明显的概率；一个未来运动赛事
1.2
决策理论的基本概念
我们所说的彩金（prize）可以是任何的商品组合或资源
配臵。我们假定，定义X中的彩金时已经使得这些彩金是互 不相同的，且穷尽了决策者各种决策的可能。
决策者关于世界真实状态可能拥有的信息可以用一个事
S S 且 S
件（event）来描述，每个事件都是 的一个非空子集。我 们用 表示所有事件组成的集，则
我们就称他是理性的（rational） ※在基于决策理论的基本结论而建立起来的博弈论中，我 们假设每个局中人的目标是最求其个人期望支付值的最 大化，支付则是用某个效用（utility）尺度来衡量的。
1.1
博弈论、理性和智能性
※借助于理性决策者应该如何行动方面所做的一些非常弱 的假设，冯.诺依曼和摩根斯特恩（1947）证明了，对任 一理性决策者，一定存在某种方式对他所关心的各种可 能结果赋予效用数值，使其总是选择最大化自己的期望 效用。我们成这一结论为期望效用最大化定理（ Expected-utility maximization theorem）。 ※在证明效用最大化定理成立的过程中，关键的假设是肯 定性（sure-thing）或替代性（substitution）公理：如 果偏好选项1胜于选项2，那么就有，他在知道事件A无 论发生还是不发生之前都应该偏好选项1胜于选项2。
1.4
期望效用最大化定理
这就是我们所说的期望效用最大化定理
1.5


贝叶斯条件概率系
我们定义有限集 上的一个贝叶斯条件概率系（ Bayesian conditional-probability system）[或简称为条 件概率系（conditional-probability system）]为 上满足 贝叶斯公式的任何一个条件概率函数p。也就是说，如果p 是 上的一个贝叶斯条件概率系，则对 的每一个非空子 集S， p( S ) 都是 上的一个概率分布，使得 p(S S ) 1 ， 且
1.2
决策理论的基本概念
贝叶斯理论概述：
贝叶斯理论的主要观点时将参数u看作随机变量，并具有 反映实验前关于u所有信息的先验分布，而在得到样本 X ( x1 , x2 , , xn ) 后，由X与先验分布得到u的后验分布，对 u所作的任何统计推断必须依据u的后验分布，因为后验分 布包含了参数u的所有信息。 h(u x) p(u) L(u x) 贝叶斯理论可以简单的表示为： L(u x ) p( u)为先验密度函数； 其中： h(u x ) 为后验密度函数； 为样本密度函数，称之为似然函数。
主讲人： 王慧敏 河海大学商学院
第一章 决策论基础知识
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 博弈论、理性和智能性 决策理论的基本概念 公理系 期望效用最大化定理 贝叶斯条件概率系
1.6