二次型矩阵在多元可微函数极值问题的应用

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数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之，得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

二次型与极值

二次型与极值摘要n元函数极值的判别法很多，在本文中我们将利用二次型来判别n元函数的普通极值与条件极值并应用到二元函数上。

首先，再讨论二次型与普通极值的关系时我们先讨论极值存在的必要条件，再讨论极值存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），在讨论第一充分条件是利用函数的连续性，而在讨论极值存在的第二充分条件中以二阶偏导数和泰勒展开式的知识为基础，利用二次型的性质得出极值的存在性和为何种极值就取决于二次型的正定性和负定性，当二次型为正定时多元函数此时取极小值；当二次型为负定时多元函数此时取极大值；当二次型为不定时，此时多元函数无极值。

再从多元函数的情形中得到二元函数和一元函数的极值判别法。

在讨论n元函数的条件极值问题时，利用的是拉格朗日乘数法先得出条件极值的必要条件，再根据必要条件讨论n元函数极值存在的充分条件再举一在实际问题中的条件极值的例子加以说明。

关键词：二次型，n元函数，极值，稳定点，正定性，负定性。

QUADRATIC FORM AND EXTREME V ALUE PROBLEMEOF MULTI-V ARIABLE FUNCTIONABSTRCTThe circular function extreme value distinction law are very many, we will use in this article two time distinguished the circular function the ordinary extreme value and the condition extreme value and will apply in the dual function.First, then discusses two time with when the ordinary extreme value relations we first discuss the extreme value existence the essential condition, then discusses the extreme value existence the in discusses the first sufficiency is uses the function the continuity, but in the discussion extreme value existence second sufficiency take two steps partial derivative and the Taylor’s expansion knowledge as the foundation，Obtains using two nature why the extreme value the existence and a kind of extreme value is decided by two qualitative and negative qualitative, when two this time are taking the minimum for fixed time the function of many variables; When two this time take the maximum value for the negative fixed time function of many variables; When two are the indefinite tenses, this time the function of many variables does not have the extreme value. Again obtains the dual function and a circular function extreme value distinction law from the function of many variables situation.When discusses the n circular function the condition minimum problem ,uses is the Lagrange multi plicator law first obtains the condition extreme value the essential condition, then discusses the n circular function extreme value existence according to the essential condition the sufficiency to lift again one performs in the actual problem condition extreme value example to explainKEY WORDS: Quadratic Form, Extreme Value, Multi-Variable Function, Extreme Value, Stable Point, Positive Definite Property, Negative Definite Property目录第一章绪论 (1)1.1课题研究背景 (1)1.2二次型与极值的发展及研究现状 (1)第二章定义及相关定理 (2)2.1定义 (2)2.2二次型与矩阵的关系及相关定理 (2)第三章普通极值与二次型 (4)3.1定义 (4)3.2极值存在的必要条件 (4)3.3n元函数极值存在的充分条件 (5)第四章条件极值与二次型 (9)4.1定义 (9)4.2条件极值存在的必要条件 (9)4.3条件极值存在的充分条件 (11)第五章总结和展望 (14)5.1本文总结 (14)5.2展望 (14)参考文献 (15)致谢 (16)第一章绪论1.1课题研究背景怎样去求一个n元函数的极值，很多论文和教材都有不同的方法，其中最常见的是用二次型来判别极值。

关于二次型理论的若干应用

（ｘ）ｄｘ）２≤
ｂ２
∫φ（ｘ）ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ｘ）ｄｘ等号仅当
φ（ｘ）
（或
ψ（ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ｘ） φ（ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证明：取ｆ（ｔ）＝ ∫［ｔφ（ｘ）＋ψ（ｘ）］ｄｘ，则ｆ（ｔ）对任意ｔ都是非负
ａ
２ｂ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ｘ）ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ｘ） ψ（ｘ）
所满足的条件恰为所要证明的不等式。
例２证明
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
ｎＸｉ ≥（Ｘｉ）。
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
证明令ｆ＝ｎＸｉ－（Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
则ｆ为二次型，其矩阵为
&ｎ－１－１ Λ －１ )
Ａ＝’’－Ｍ１
ｎ－１Ｍ
Λ Ｏ
－１ * －１ *
(－１－１ Λ ｎ－１+ｎ×ｎ
二次型是线性代数的基本内容，其用途十分广泛，下面我
们介绍它在证明不等式、化二次曲面方程为标准型、求多元函
数极值三个方面的应用。
一、利用二次型的正定性证明不等式
ｂ
例１设ａ＜ｂ，φ（ｘ）与 ψ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，证明（ ∫φ（ｘ） ψ ａ
ΘＡ的顺序主子式大于或等于零
∴Ａ是半正定的
∴二次型ｆ是半正定的

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题多元函数极值问题是数学中常见的一类问题，一般来说，我们希望在给定的变量限制条件下找到使得多元函数取得最大值或者最小值的变量值，这样的问题被称为多元函数的极值问题。

由于多元函数在不同的情况下可能存在很多局部最大值和局部最小值，因此我们需要在一定条件下，确保找到的最优解是全局最优解。

一阶必要条件根据微积分的一阶必要条件，我们可以求解多元函数的偏导数，寻找使偏导数等于零的点。

对于一个二元函数$f(x,y)$，偏导数为：$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。

而对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们需要找到使得所有偏导数为零的点，即：$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=0,\frac{\partial f}{\partialx_2}=0,...,\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。

需要注意的是，这些点仅仅是可能的极值点，并不能确定是否为极大值或极小值点。

二阶必要条件在一阶必要条件得到的极值点处，我们希望进一步判断是极大值还是极小值。

此时，就需要使用微积分的二阶必要条件来判定。

对于二元函数$f(x,y)$，我们可以得到一个Hessian矩阵：$$H=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} &\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2f}{\partialy\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ \end{bmatrix}$$对于任意一个方向$\vec{v}=[x_1,y_1]$，我们可以得到一个二次型：$$Q(x_1,y_1)=\begin{bmatrix} x_1&y_1\\ \end{bmatrix} H\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\ \end{bmatrix}$$二阶必要条件就是，如果Hessian矩阵在极值点处是正定的，则这个点是极小值点；如果是负定的，则是极大值点；如果是奇异的，则是鞍点；如果是不定的，则无法确定。

多元微积分

多元微积分多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。

在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。

首先，我们来了解一下多元函数的概念。

在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。

例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。

在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。

等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。

接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。

在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。

在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。

偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。

导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。

导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。

接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。

在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。

二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。

如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。

当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。

最后，我们将学习多元积分学和它的应用。

多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。

在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。

二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。

求极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问题的解决非常有帮助。

在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助我们找到最优解。

一、导数法导数法是求取函数极值的一种重要方法。

它的基本思想是通过求取函数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。

1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定义在哪个区间上的。

2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。

3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的导数为零，也就是函数的极值点。

4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。

例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取极值。

首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。

二、二次型矩阵法对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。

1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。

2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。

3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。

如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。

如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。

如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约束条件的极值问题。

1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。

2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函数相加，形成一个新的函数。

3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。

4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。

5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。

函数极值求法论文

分类号O174编号2012010152毕业论文题目函数极值求法及其在应用问题学院数学与统计学院姓名马富荣专业数学与应用数学学号281010152研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交日期2012年5月原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名:年月日论文指导教师签名:函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The function extreme value method and its applicationMa Furong(School of Mathematics and Statistics Tianshui NormalUniversity,Tianshui 741001,China)Abstract:The function extreme value function Nature form is an important content of the state, in many math problems have applications. For this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the method and its application, and the method of functional extreme value to a simple discussion, and give the relevant application.Key Words: The function extreme value, Conditional extreme, Functional extreme ,application目录引言 (1)1.一元函数的极值 (1)一元函数的极值第一充分条件 (1)一元函数的极值第二充分条件 (2)一元函数的极值第三充分条件 (2)2.多元函数的极值 (3)2.1.二元函数极值 (3)二元函数取极值的充分条件 (4)2.2 n元函数极值 (5)2.2.1.利用二次型求多元函数极值 (5)2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值 (6)利用方向导数判断多元函数的极值 (7)函数极值的应用(用极值的方法证明不等式) (8)3.条件极值 (9)条件极值的解法 (9)利用条件极值证明不等式 (12)4.泛函极值及其应用 (13)4.1泛函的定义 (13)4.2相对极值 (13)4绝对极值与相对极值的定义 (13)4相对极值的必要条件 (13)4.3 泛函极值的应用 (15)最小旋转面问题 (15)最速降线问题 (16)结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水 741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用引言函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1．一元函数的极值定义设函数()f x 在0x 的某领域U （0x 取心邻域U （0x ）内的任x ,有()f x ≤0()f x 或()f x ≥0()f x .那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值或极小值.(将≤改为<或将≥改为>,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续且在0x 的某去心邻域U （0x ）内可导.（1）若x ∈(0x δ-, 0x )时, '()f x >0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x <0,则()f x 在0x 处极大.（2）若x ∈(0x δ-,0x )时, '()f x <0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x >0,则()f x 在0x 处极小.（3）若x ∈U(x ,δ)时,'()f x 符号保持不变,则()f x 在0x 处没有极值.例1 求()f x =23(2)(1)x x +-的极值.解先求导数 '322()2(2)(1)(2)3(1)f x x x x x =+-++- 2(2)(1)(54)x x x =+-+ 再求出驻点:当'()0f x =时,4215x =--、、. 判断函数的极值如下表所示:所以在x=-2时取极大值,在5-时取极小值. 一元函数的极值第二充分条件设函数()f x 在0x 点具有二阶导数,且'0()f x =0,''0()f x ≠0.则: （1）当''0()f x <0,函数()f x 在0x 点取极大值. （2）当''0()f x >0,函数()f x 在0x 点取极小值. （3）当''0()f x =0,其情形不一定. 例2. 求函数23()(1)1f x x =-+的极值. 解 '22()6(1)f x x x =- 由'()0f x =得()f x 的驻点为101x =-、、.''0()f x =226(1)(51)x x x --, ''(0)f 6=0>,''''(1)(1)0f f -==所以()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =,在1,1x x =-=处由第二充分条件无法判定, 由第一充分条件得:()f x 在1,1x x =-=处都没有极值.一元函数的极值第三充分条件设任意函数()f x 在0x 有n 阶导数,且直到1n -导数都为零,而n 阶导数不为零. （1）当n 为偶数时()f x 在0x 取极值,当 ()f n (0x )<0时取极大值,()f n (0x )>0时取极小值.（2）当n 为奇数时()f x 在0x 点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.结论一元函数求极值的方法步骤（1）求可疑点,可以点包括:（ⅰ）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）; （ⅱ）导数不存在的点; （ⅲ）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是: （ⅰ）直接利用定义判断; （ⅱ）利用实际背景来判断;（ⅲ）查看一阶导数的符号,当x 从左向右穿越可疑点0x 时,若()f x 的符号: a.由“正”变为“负”,则0()f x 为严格极大值; b.由“负”变为“正”,则0()f x 为严格极小值; c.'()f x 不变号,则0()f x 不是极值.(ⅳ)若'0()f x =0,''00''00()0,().()0,()f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值（ⅴ）0()0,(1,2,k f x k ==…0,1),()0n n f x -≠若n 为偶数,则0()f x 为极值:0000()0,().()0,()n n f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值若n 为奇数,则0()f x 不是极值.2.多元函数的极值二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,他与践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个领域内有定义,对于该领域内异于00(,)x y 的点(,)x y ;如果适合不等式(,)f x y <00(,)f x y ,则称函数在点00(,)x y 有极大值00(,)f x y ;如果都适合不等式(,)f x y <00(,)f x y 则称函数在点00(,)x y 有极小值00(,)f x y .二元函数取极值的充分条件若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且00(,)x f x y =0,00(,)y f x y =0.令00(,)xx A f x y =,00(,)xy B f x y =,00(,)yy C f x y =则: （1）当20AC B ->时,有极值.0A <时取极大值,0A >时取极小值. （2）当20AC B -<时,没有极值. （3）当20AC B -=时,不能确定. 例4. 求333z x y xy =+-的极值. 解设33(,)3f x y x y xy =+-,则''2(,)33x f x y x y =-,''2(,)33y f x y y x =-,''(,)6xx f x y x =,''(,)3xy f x y =-,''(,)6yy f x y y =解方程组 22330,330x y y x -=-=得驻点: (1,1)(0,0)、. 对于驻点(1,1)有''(1,1)6xx f =,''(1,1)3xy f =-,''(1,1)6yy f =,故 22(3)66270,60B AC A -=--⨯=-<=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(1,1)取得极小值(1,1)1f =-. 对于驻点(0,0),有''(0,0)0xx f =,''(0,0)3xy f =-,''(0,0)0yy f =. 故 22(3)0090B AC -=--⨯=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(0,0)不取得极值.n 元函数极值利用二次型求多元函数极值定义设函数1,2()n y f x x x =在01,2()n x x x x =点有连续的二阶偏导,称矩阵222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭为函数1,2()n y f x x x =在0x 点的海瑟矩阵.定理 1 ( 充分条件) 如果函数y =12(,,,)n f x x x , 12(,,,)n x x x ∈ E, 在驻点000012(,,,)n p x x x 的某邻域U(0p ) 内, 具有Hesse 矩阵A, 则( 1) 若A 为正定(或半正定) 矩阵时, f 在点0p 取严格极大(或极大) 值; ( 2) 若A 为负定(或半负定) 矩阵时, f 在点0p 取极小(或极小) 值; ( 3) 若A 为非定号阵, f 在点0p 不取极值. 求函数y = 12(,,,)n f x x x 的极值时, 应首先求出驻点或偏导数不存在的点, 然后对所有可能的极值点进行检验, 确定函数的极值点并求出函数极值. 总结利用二次型求n 元函数极值的方法步骤第一步: 求出函数1,2()n f x x x 可能的极值点.首先, 求出函数1,2()n f x x x 的驻点, 根据极值存在的必要条件, 解方程组'112'12(,,,)0(,,,)0n n n f x x x x f x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,方程组的解即为驻点.再考虑一阶偏导数不存在的点.第二步: 对每一个可能的极值点000012(,,,)n p x x x 进行检验. 根据极值存在的充分条件, 首先, 计算1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的Hesse 矩阵f H ,222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭.再根据定理1判定000012(,,,)n p x x x 是否为极值点并求出极值.例5. 求函数3322(,)339f x y x y x y y y =++--的极值. 解 f 在2R 二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,令222(,)360(,)33690x y f x y x xy f x y y x y ⎧=+=⎪⎨=+--=⎪⎩ 求得稳定点为 63(0,3),(0,1),(,)55--和(2,1)-.二阶偏导数为 66,xx f x y =+6xy f x =,66yy f y =-. ①在点(0,3)f H 为正定矩阵,所以f 在(0,3)处有极小值(0,3)f 27=-; ②在点(0,1)-f H 为负定矩阵,所以f 在(0,1)-处有极大值(0,1)f -5=;③在点63(,)55-和(2,1)-处,f H 为不定矩阵,所以它们都不是极值点.利用梯度及内积计算多元函数的极值定义若1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点存在对所有自变量的偏导数,则称向量001[(),,()]nffp p x x ∂∂∂∂为函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 的梯度,记作100((),,())n x x gradf f p f p =.引理1 设()f x 在点0x 连续,在00(,)U x δ内可微,（ⅰ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x -<,则()f x 在0x 点取极大值; （ⅱ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x ->,则()f x 在0x 点取极小值;对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值. 现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明. 定理2 设多元函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点连续,在00()U p 内可微,（ⅰ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,有0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅<,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值;（ⅱ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅>,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得,因此,定理2可对这样的两类点使用.例6. 求222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+的极值.解:令232023020x y z f x y f y x f z =-+=⎧⎪=-=⎨⎪==⎩ 解得45650x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩对(,,)x y z 点有46(,,)55x y z --⋅4()5gradf x =-26(232)()(23)25x y y y x z -++--+2446664()[2()3()]()[2()3()]2555555x x y y y x z =----+----+222462()2()2055x y z =-+-+>所以46,,055x y z ===时,222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+达到极小值45.利用方向导数判断多元函数的极值定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,0(),x U x ∀∈令0,x x ρ=-若00()()limf x f x ρρ→-存在,称此极限为函数()f x 在点0x 沿方向0l xx =的方向导数,记作'0()f x .引理2 设二元函数(,)f x y 在点00,0()p x y 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 00(,)()p x y U p ∀∈,用l 表示方向0p p . （ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值.与二元函数相类似,多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明.定理3 设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值. 推论设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++-<则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++->则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.例7. 讨论三元函数222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-的极值. 解先求三个一阶偏导数令它们为0.即 220240260x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩求得稳定点为(1,2,3)--.因为 (1)(22)(2)(24)(3)(26)x x y y z z ++++++-- 2222(1)2(2)2(3)0x y z =++++->由推论知222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-在点(1,2,3)--处得极小值.u |0p 222(1,2,3)(1)(2)32(1)4(2)6314f =--=-+-++⨯-+⨯--⨯=函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)要证明()()f x g x ≥,只要求函数()()()F x f x g x ≡-的极值,证明 min ()0F x ≥.这是证明不等式的基本方法.例11. 设a >㏑2-1 为任意常数,试证:221(0)x x ax e x -+<>当时证明问题是证明:2()210x f x e x ax ≡-+->(0)x >当时, 因为(0)0,f =所以只要证明''0()220(0)min ()0x x f x e x a x f x >=-+>>>当时或令''()2x f x e =-o =,得到唯一的稳定点x =㏑2, 当x <㏑2时,''()0f x <, 当x <㏑2时,''()0f x >,所以''min ()x f x f >=（㏑2）=2-2㏑2+2a =2（1-㏑2）+2a 0>.3.条件极值条件极值的解法在高等数学教材中,确定函数(,,)f x y z ,在条件(,,)0,(,,)0F x y z G x y z ==之下的条件极值问题,通常应用拉格朗日乘数法,可把以上条件极值问题转化为求函数 (,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z F x y z G x y z λμ=++的无条件极值问题. 由极值的必要条件知,需求解如下的方程组:(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)0(,,)0x x x x y y y y z z z z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z F x y z G x y z λμλμλμ=++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪=⎪=⎪⎩（1）一般教科书及参考教材的处理方法为两种:一种是直接由方程组（1）解出驻点0000,0(,,,),x y z λμ即在方程组（1）中,把,,,,x y z λμ当成未知量进行求解;另一种方法是从方程组（1）中消去参数λ及μ,仅对未知量,,x y z ,故以上两种办法的难易程度相当.方程组（1）是含有五个未知量,,,,x y z λμ的方程组,未知量的个数相对较多,以上两种方法求解均很不方便,尤其对于稍微复杂的函数,直接求解相当困难甚至是不可能的,为了简化计算,我们可以设计以下两种新的处理方法.（1）不考虑参数,λμ,仅求方程组（1）关于,,x y z 的解,这样可以把方程的个数减少到三个,这里给出以下的结果:如果0000,0(,,,)x y z λμ是方程组（1）的解,则000(,,)x y z 是方程组(,,)0(,,)0x x xyy y zzzf F G f F G f F G F x y z G x y z ⎧⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩ （2）的解.例1. 求2221,0u xyz x y z x y z =++=++=在之下的条件极值. 解 ()22()()()()z y x x yy z z y x z x z y y z--==-----故方程组（2）为2222()()()010y z z y x z x y z x y z ---=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（3）由方程组（3）的第一个方程可得:x y x z y z ===或或由222121,0x y x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222341,0x z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222561,0y z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p 而u |1p =u |3p =u |5p= u |2p =u |4p =u |6p故max u u ==（2）可根据题设条件,把方程组（1）化为仅对参数,λμ求解,而不考虑,,.x y z 这种解法常用于方程中含有字母常数的情况,可看以下的例子.例8. 求函数222222x y z u a b c=++在条件2221,x y z ++=222cos cos cos 0(,cos cos cos 1)x y z a b c αβγαβγ++=>>++=下的极值. 解:令222222222(,,,,)(1)(cos cos cos )x y z L x y z x y z x y z a b c λμλμαβγ=+++++-+++对关于,,x y z 求导可得方程组22212()cos 012()cos 012()cos 0xy zL x a L y b L z c λμαλμβλμγ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=++=⎪⎩cos cos cos x y z L L L αβγ⨯+⨯+⨯得222cos cos cos 2()x y z a b cαβγμ=-++ 将μ分别代入,,x y z L L L 式,有222222222222sin cos cos cos cos ()0cos cos sin cos cos ()0cos cos cos cos sin ()0x y z a b c x y z a b c x y a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ⎧+--=⎪⎪⎪-++-=⎨⎪⎪--++=⎪⎩（4）再x y z L x L y L y ⨯+⨯+⨯,注意到cos cos cos 0x y z αβγ++=可得:222222x y z a b cμλ=++=-△*λ (*λ>0)于是求222222x y z a b cμ=++的条件极值转化为求*λ在方程组（4）2221,x y z ++=故方程组（4）关于,,x y z 有非零解,可得其系数行列式为零,即有222222222222sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos 0cos cos cos cos sin ab c a b c a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ+---+-=--+展开化简可得22222232222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλλ++++++= (5)10λ=是方程(7)的零解,由于222222x y z u a b cλ=++=-△*λ (*λ>0),故10λ=应舍去,由此可得2222222222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++=即*λ满足二次方程222222*2*222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++= 此方程有两个正根,**12,,λλ设**120,λλ>>可得**21max ,min u u λλ==.利用条件极值证明不等式若求得()u f p =在条件()p a ϕ=之下的最大值为()B a ,那么我们就获得了不等式()(())f p B p ϕ≤.例12. 求0,0,0x y z >>>时,函数(,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 在球面22226x y z r ++=上的极大值,证明,,a b c 为整实数时,226108()6a b c ab c ++<. 证明设222223(6)L x y z r λ=+++++-㏑㏑㏑令'''0,x y z L L L ===解得,,.x r y z =因为f 在球面22226x y z r ++=位于第一卦限的部分上连续,在这部分的边界线上,,,x y z 分别为零. (,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 为负无穷大,故f 的最大值只能在这部分内达到,而()r 是唯一的可疑点,所以f 的最大值为6())f r =㏑于是2222263(,,)))]6x y z f x y z xy z ++=≤=㏑㏑㏑,故2222263)6x y z xy z ++≤= 两边同时平方,并用222,,a x b y c z ===代入得:226108()6a b c ab c ++< 4.泛函极值及其应用 4.1泛函的定义设{()}y x 是给定的某一类函数,如果对这类函数中每一个函数()y x 都有一个函数值[()]J y x 与之相对应,则称[()]J y x 是这类函数()y x 的泛函.4.2 相对极值4相对极值的定义设0()y x 属于某个可取函数类,()y x 是类中任意函数, 如果某个函数()y x 限于0()y x 的某一领域,且使得泛函0[()]J y x ≤[()]J y x (或0[()]J y x ≥[()]J y x ),这种极值称为相对极小值(或相对极小值).使泛函取得极值或稳定值的函数或曲线叫做极端函数. 4.相对极值的必要条件定理4 若果泛函[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则泛函在0()y x 上的变分0J δ=(这里x 可以是单变量,也可以是多变量).证明根据泛函极值的定义,如果[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则存在0()y x 的一个领域,对于该领域内的任一函数()y x ,必然使得泛函增量0[()][()]J J y x J y x ∆=-10[()][()][(,,)(,,)]x x J J y x J y x F x y y y y F x y y dx δδ'''∆=-=++-⎰当(,,)F x y y '充分光滑时,上式可展成10221{[][()2()]}2!x y y y y yy yy y y y y y x J F F F y F F dx δδδδδδ'''''''∆=+++++⎰=23J J J δδδ+++,式中,10[]x y y y y x J F F dx δδδ''=+⎰,12221[()2()]2x yy yy y y y y y x J F y F F dx δδδδδ'''''=++⎰.如果令()y x δεη=,式中()x η是任意选定的函数,ε是一个实参数(一般取很小的值,例如可设1ε≤).则1[(,,)(,,)]x x J F x y y F x y y dx εηεη'''∆=++-⎰由于y 和η是确定的了,所以J ∆实际是数值变量ε的普通函数()I ε,将()I ε按ε展开得:23()(0)(0)(0),2!3!J I I I I εεεε''''''∆==+++其中,1(0)[][(,,)]x x dI J y F x y y dx d εεεηεηεηεε==∂'''=+=++∂⎰如果(0)0I '≠,则可把ε取得充分小,使J ∆的符号与(0)I ε'的相同,然后改变ε的正负号.这样一来,[]J y 就不可能在0()y x 上取的相对极值了,与已知矛盾,故必须(0)0I '=,即0J δ=.定理5 如果泛函10[](,,)x x J y F x y y dx '=⎰的定义域D 中每一元素都是一条光滑曲线()y x ,且满足边界条件:0011(),().y x b y x b ==在曲线0()y y x =达到极值,则0()y y x =必为微分方程0y y dF F dx'-= 的解.例13.求泛函0[]a a J y =⎰的极值曲线. 解因为它的欧拉方程为0d dx '=,于是有C =如果令tan y t '=,则有11sin sin x t C t C=== 又因dy y dx '=,所以11tan cos sin dy t C tdt C tdt =⋅=积分之,则得22221()x y C C +-=.这就是说,泛函[]J y 的极值曲线是一簇中心在纵坐标轴上的圆.4.3泛函极值的应用4最小旋转面问题例14. 在以点00(,)A x y ,点11(,)B x y (设1001,,0x x y y >>)为端点的所有光滑曲线中,求一曲线使它绕ox 轴旋转时所的旋转曲面的面积最小. 以()y y x =表示任一可取曲线,于是绕ox 轴所得旋转面面积11[()]2x x x x S y x Fdx π==⎰⎰.因F 中不显含x ,其欧拉方程降阶后如下21C =化减后,得到1C =现在令y sht '=,则1y C cht =,因为dy y dx '=,所以11.C shtdt dy dx C dt y sht===' 从而 12x C t C =+ 于是所求的极值曲线的参数方程为121x C t C y C cht =+⎧⎨=⎩ 消去参数t ,得211x C y C chC -= 这是一条悬链线,式中的常数C 、1C 由端点条件确定. 4最速降线问题在竖直平面Oxy 上将给定两点)0,0(A 和),(11y x B 用一条光滑的金属线相连,一质量为m 质点P 以初速度00=v 由A 点沿金属线滑动,问金属线为何种形状时,质点P到达B 点所需的时间最少？解现在建立这个数学模型,取A 为平面直角坐标系的原点,x 轴置与水平位置,y A 点的坐标就是(0,0).设B 点的坐标为11(,)x y .取连接A 和B 的曲线方程为 ()y y x = 1(0)x x ≤≤ (1) 它在区间[]10,x 的两个端点满足条件11(0)0,()y y x y == (2) 则有能量守恒定理得v (3) 设()y y x =为曲线的运动方程,指点沿着该曲线有点A 运动到点B ,指点的运动速度表示为ds v dt == (4) 由式(3)﹑(4)消去v 并积分,得质点由A 运动到B 所需的时间为1x T =⎰显然, 是依赖于函数()y y x =的函数, ()y y x =取不同的函数, T 也就有不同的值与之对应.这样,最速降线问题在数学上就归结为在满足条件(2)的所有函数(1)中,求使得积分公式T 取最小值的函数.上述问题实际是求泛函1[()]x J y x =⎰满足边界条件11(0)0,()y y x y ==的极值曲线,因为F =x ,所以欧拉方程首次积分为21c =令2112c gc =,将上式化简,得 2(1)y y c '+=令cot y θ'=,则方程化为22sin (1cos 2)12c c y c y θθ===-'+ 又因sin 2sin cos (1cos 2)cot cot dy cd c d dx c d y θθθθθθθθθ====-' 积分,得 2(2sin 2)2c x c θθ=-+ 由边界条件(0)0y =,得20c =.令2t θ=则得到最速降限问题的解为(sin )2(1cos )2c x t t c y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 上述方程是摆线(也称旋轮线)的参数方程,其中c 是由边界条件11()y x y =来确定的.因此曲线是以半径为2c 的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描述的曲线中的一段. 结束语本文不仅给出了一元、多元函数极值及条件极值的求法和在不等式证明中的应用.此外还给出了泛函极值的定义及在求最小旋转曲面和最速降限问题中的应用.本文有利于初学者对函数极值的研究学习.泛函极值的应用非常广泛,但判断是否有解的条件相对复杂,本文没有涉及.参考文献[1] 杨守廉.《数学分析》[M]—165.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3] 钱伟长.变分法及有限元（上册）[M ] .科学出版社,1980.[4] 宁荣健.谈条件极值问题的充分条件[J].高等数学研究,2005,8(2):40-43.[5] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵阳师范学院学报,2008,27(2):14-15.[6] 唐军强.用方向导数法求解多元函数极值[J].科技创新导报,2008,(15):246-247.致谢经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文设计已经接近尾声,作为一名本科生,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有指导师的督促指导,以及一起学习的同学们的支持,想要完成这篇论文是难以想象的.在论文写作过程中,得到了杨老师的亲切关怀和耐心的指导.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,杨老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.多少个日日夜夜,杨老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想上给我以无微不至的关怀,除了敬佩杨老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作.在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意! 最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!最后我还要感谢数学系和我的母校—天水师范学院四年来对我的栽培.。

二次型在多元函数极值问题上的应用

二次型在多元函数极值问题上的应用作者：徐阳栋来源：《教育教学论坛》2015年第28期摘要：二次型是《线性代数》课程的重要组成部分，它在几何、物理、经济学和优化理论等方面有着非常重要的作用。

本文利用二次型的相关理论和方法探讨它在多元函数求极值问题中的应用。

关键词：二次型；正定矩阵；负定矩阵；多元函数极值问题中图分类号：O151 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）28-0180-02一、引言二次型是线性代数必不可少的组成部分，它与线性代数中行列式、矩阵、线性方程组及欧氏空间等内容都有密切联系。

学好二次型知识对于深人理解线性代数的理论、方法与应用具有十分重要的意义。

它在几何、物理、经济学和优化理论等方面有着非常重要的作用。

有不少地质工作者利用二次型理论从事研究地震波，用矩阵的正定二次型理论阐述了“能量矩阵与弹性矩阵”之间一致的对称性和正定性。

能量矩阵蕴含的动态力的平衡关系、速度的时间—空间分布和能量的传播及变化的物理意义，能够从能量矩阵的正定二次型特性表述出来，极大地丰富了地震研究的理论成果。

本文利用二次型的相关理论和方法探讨它在多元函数求极值问题中的应用。

的极大值点，其极大值为a3。

总之，本文给出判定多元函数极值问题的一些新思路，也就是利用二次型理论来判定。

参考文献：[1]牛滨华，等.地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意义[J].地球物理学进展，2007，（22）：353-358.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.[3]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007。

利用二次型求一类多元函数的最值

摘要:根据二次型的定义，本文给出了二次型的一个特殊性质，指出了其性质在求多元函数最值的用处，举例说明结果的有效性。

关键词:二次型正定多元函数最值1概述二次型作为线性代数中最重要的内容之一，一直以来都是学界研究的焦点问题。

二次型理论的研究最早可追溯至18世纪，当时学者们为了解决几何学中二次曲线和二次曲面的分类问题，并将其化为标准型，决定重新划分坐标轴，以简化方程，提高运算效率。

目前，二次型理论已被广泛应用至各个学科领域，如工程学、物理学、化学、分子力学等，并取得了一系列进展。

本文主要介绍了二次型的基本概念，并通过示例分析，研究了二次型在一类多元函数最值求解中的应用。

2二次型基本概念定义2.1称f(x1，x2，…，x n)=x′Ax为二次型，也称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵，称A的秩为二次型f的秩。

3在求一类多元函数中的应用定理3.1实n元多项式f(x1，x2，…，x n)=ni=1∑n j=1∑a ij x i x j+2 ni=1∑b i x i，它的矩阵为A，秩为r，对其作非退化的线性替换，X=PY，那么：3.1当A半正定时①若r=n，则f存在最小值。

②若r<n，一次项所含新变数都出现在平方项中，f有最小值。

③若r>n，一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中，f不存在最值。

3.2当A半负定时①若r=n，f存在最大值。

②若r<n，一次项所含新变数都出现在平方项中，f有最大值。

③若r>n，一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中，f不存在最值。

3.3A不定，f没有最值证明：①令X=(x1，x2，…，x n)′，A=(a ij)n×n，B=(b1，b2，…，b n)，将f改写为：X′AX+2BX(3.1)A半正定，存在可逆矩阵P，使得P′AP=E r000 []，对(3.1)作非退化线性代换X=PY，有Y′P′APY+2BPY(3.2) Y=(y1，y2，…y n)，2BPY=2c1y1+2c2y2+…+2c n y n，c i=nj=1∑b j p ji。

高中数学多元函数极值解题技巧

高中数学多元函数极值解题技巧在高中数学中，多元函数极值问题是一个非常重要且常见的题型。

解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。

本文将介绍几种常见的多元函数极值解题技巧，并通过具体的例子进行说明，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些技巧。

一、利用偏导数求解在多元函数的极值问题中，利用偏导数是一种常用的方法。

偏导数可以帮助我们找到函数在某一方向上的变化率，从而判断极值点的位置。

举个例子，考虑函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5。

我们要求函数f(x, y)的极值点。

首先，计算函数f(x, y)对x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x - 2∂f/∂y = 2y - 4然后，令∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0，解方程组得到极值点的坐标。

将∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0带入得到的方程组中，我们可以解得x = 1，y = 2。

因此，函数f(x, y)的极小值点为(1, 2)。

二、利用二次型矩阵判断极值类型在多元函数的极值问题中，有时候我们需要判断极值点的类型，即是极小值点还是极大值点。

这时，我们可以利用二次型矩阵来进行判断。

举个例子，考虑函数f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 4x - 6y + 9。

我们要判断函数f(x, y)的极值点类型。

首先，计算函数f(x, y)对x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x - 4∂f/∂y = 4y - 6然后，计算二次型矩阵A的特征值，其中A = [∂^2f/∂x^2, ∂^2f/∂x∂y; ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2]。

如果二次型矩阵A的特征值都大于0，则极值点为极小值点；如果特征值都小于0，则极值点为极大值点；如果特征值有正有负，则极值点为鞍点。

计算二次型矩阵A的特征值，我们得到λ1 = 2，λ2 = 4。

由于特征值都大于0，所以函数f(x, y)的极值点为极小值点。

三、利用约束条件求解在多元函数的极值问题中，有时候我们需要在一定的约束条件下求解极值点。

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ＬＩＡＮＧＷｅｉ — ｑｉｕ，ＹＩＮＸｉａｏ－ｙａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＸｉｄｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎ７１０１２６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｕｇ．２０１７
Байду номын сангаас
８月
文章编号：１００７ — ９８３１（２０１７）０８ — ００２８ — ０３
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型矩阵在多元可微函数极值问题的应用
梁伟秋，尹小艳
（西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安７１０１２６）
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第３７卷第８期
２０１７钜
高师理科学刊
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．３７Ｎｏ．８
摘要：在求解多元可微函数的极值问题时，通常需要在其驻点的邻域内判断其二阶微分的符号，但限于多元的原因，往往很难在分析学的范围内给出直观易操作的一般性方法．根据二阶微分的函数表达形式，引进代数学的矩阵分析，将存在二阶连续微分函数的极值问题转化为二次型正定性的判断问题，给出极值问题的一般性求解步骤及相关证明．
关键词：可微；多元极值；驻点；二次型矩阵
中图分类号：０７１４．３
文献标识码：Ａ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７ — ９８３１．２０１７．０８．００６
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