Ch85多元函数极值及其应用
数学与应用数学本科毕业范文-多元函数极值的判定及应用
本科毕业论文论文题目：多元函数极值的判定及应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)1．引言 (2)2．多元函数极值理论 (2)3．多元函数极值判定 (3)4. 多元函数条件极值的解法 (4)5. 多元函数极值应用 (5)参考文献 (10)多元函数极值的判定及应用【摘要】：多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文主要讲解多元函数极值理论，多元函数极值判定，多元函数条件极值的解法，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式及部分日常生活所遇到的问题上的应用.【关键词】：多元函数；极值；充要条件；条件极值；拉格朗日乘数法；The determination and application of multivariate function extremevalueAbstract：Conditional extreme value of pluralistic function is multivariate differential calculus important component, this paper mainly on extreme value of multivariate function extreme value of multivariate function theory, judgment, the conditional extreme value of pluralistic function method, and to investigate the conditional extreme value of pluralistic function in the proof of inequality and a part of daily life problems encountered on the application.Key words:Multivariate function extreme value; necessary and sufficient condition of conditional extremum; the Lagrange multiplier method;1. 引言本文主要讲解多元函数极值在日常生活中的应用，从中我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。
提交版--多元函数的极值及其应用
多元函数的极值及其应用摘要函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。
在数学分析中，讨论了二元函数的极值、极值的充分、必要条件、条件极值以及求条件极值的拉格朗日乘数法。
本论文讨论了多元函数的极值及其应用。
在第一章中，我们将二元函数极值的讨论形式上推广到多元函数的极值上，给出了多元函数极值的充分、必要条件。
在第二章中，通过具体实例，我们总结讨论了多元函数的条件极值的求法，有代入消元法、拉格朗日乘数法、梯度法、不等式、二次方程判别式、数形结合法等五个方法，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的求法，同一个极值问题也可以有几种不同的求法，所以我们需选择适当的方法，掌握正确的解题思路。
在第三章中，我们总结归纳了多元函数的极值、条件极值在实际生活中的各种应用，在数学上，我们可以用来证明某些不等式、讨论圆内切n边形的最大面积等，在经济学中，可用来讨论效益最优化的问题，在物理学上，可用来讨论光的折射的最短路径等等，由此，我们可以体会到如何将实际生活中的问题转化成讨论极值问题的数学模型，并用我们总结的方法予以解决。
关键词：多元函数极值条件极值拉格朗日乘数法Extreme Value Of Multivariate Function And ItsApplicationABSTRACTFunction extreme value has always been an important content of mathematical research, there are many in the science and production practice related to extreme value problem.In mathematical analysis, discussed the the extremum of the extreme value of binary function, necessary and sufficient conditions, conditional extremumand Lagrange multiplier method of conditional extreme value. The extremum of function of many variables and its application are discussed in this paper.In the first chapter, we will discuss formally promotion to the extreme value of binary function on the extreme value of multivariate function is given, the necessary and sufficient conditions for the the extremum of function of many variables.In the second chapter, through specific examples, we summarize the conditional extreme value of multivariate function is discussed, the application of minimal polyomial to have substitution elimination method, the Lagrange multiplier method, gradient method, inequality, quadratic equation discriminant, in combination with number form, such as the five methods, we can see different conditional extreme value problem can have different religion, there are some different in this extremum problems can also be the same, so we need to choose the appropriate method, to master the correct way.In the third chapter, we summarized the extremum of function of many variables, conditional extreme value in the practical application of life, in mathematics, we can be used to prove some inequalities, discuss the circle edge trimming of the large area, etc., in economics, can be used to discuss the problem of optimization, in physics, can be used to discuss the shortest path of the refraction of light, etc., as a result, we can realize how will discuss the problems in the real life into the extremum problems of mathematical model, and we summarize the methods to solve.Keywords:Multivariate function The extreme Conditional extreme value Lagrange multiplier method目录前言 (1)第一章多元函数的极值 (1)1.1 二元函数的极值 (1)1.2 n元函数的极值 (5)第二章多元函数的条件极值 (9)2.1 代入消元法 (9)2.2 拉格朗日乘数法 (10)2.3 梯度法 (14)2.4 不等式法 (17)2.4 二次方程判别式 (19)2.5 数形结合法 (20)第三章多元函数极值的应用 (23)3.1 函数极值在数学中的应用 (23)3.2 函数极值在经济中的应用 (26)3.3 函数极值在物理学中的应用 (27)3.4 函数极值在化学中的应用 (28)参考文献 (30)前 言函数极值在数学问题上占有非常重要的作用，其求解与发展大力的推动了微积分学科的发展并做出了重大贡献。
多元函数的极值及其应用(精)
2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。
1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解解方程组得稳定点 P 0 （ 0 ， 0 ）．因为函数 f(x,y 在 R 2 上可微，所以f(x,y 只可能在 (0,0 点取极值，且容易验证 B 2 -AC=0 ，用二阶偏导数判别法得不到结论，但又知，所以由定理 2 知函数 f(x,y=xy 2 在 (0,0 点不取极值．以上介绍了多元函数极值的相关定义、性质及定理，并给出一些较为有价值的定理，解决了几类在数学分析教材中无法解决的问题，下面我们将给出一些实际例子来验证定理及推论在判别多元函数极值问题中的作用． 2 多元函数极值的应用多元函数极值在实际问题中的应用例 3 考试中心组织非英语专业等级考试，租用学校教室做考场，已知每个大教室可容纳考生 50 名，需 2 名教师监考，租金 70 元；每个小教室可容纳考生 30 名，需 2 名教师监考，租金 40 元，本次考试考生共 1800 名，可提供监考教师 114 名，问怎样安排大小考场才能既满足要求又最省租金？解设用小教室 x 1 个，大教室 x 2 个，则线性规划模型为 min {40x 1 +70x 2 } 使得其中化为标准形使得其中求得全部基本允许点：而可知规划最优点为．即用 30 个小教室，18 个大教室最优．例 3 这道题是最优化问题，主要解决了如何合理配置资源才能达到不浪费资源，取得最优效果的问题。
12-6多元函数极值及应用
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值
z
o x
y
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.
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当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
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0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
1 ( Ah B k ) 2 Q ( h , k ) 则 若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
结束
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来方法：
多元函数的极值求法及其应用
多元函数的极值求法及其应用作者：骆旗来源：《科学导报·学术》2020年第55期【摘要】在高等数学的应用研究里面，函数的极值，最大值和最小值时最常见的，尤其是多元函数的极值和最值在日常生活中特别是在经济管理的应用上，函数的极值或最值，发挥着非常大的作用，比如，在企业管理中，我们可以利用函数的极值或最值，为企业管理层做出怎样才能利益最大化提供一定的解答参考，也可为许多制造企业提供如何才能使成本最小化的解答提供重要的参考。
不仅仅是企业，在管理上以及在日常生活中，函数极值特别是多元函数的极值都发挥着巨大大的作用。
在高等数学中学习多元函数的极值的求法，探讨多元函数的极值的在日常生活中的应用具有非常的现实意义，所以，为此展开这个话题的解释。
【关键词】高等数学、多元函数、极值、最值、经济管理、企业管理。
一.多元函数极值定义：设函数的定义域为，如果，若存在的某个领域属于，使得对于该邻域内异于的任何点，都有，（）则称函数在点处有最大（小）值，则称为函数的最大（小）值点。
类似可定义多元函数的极值。
显然多元函数的极值定义与一元函数的极值是相类似的，都是对应一个邻域内的一个极大值和极小值。
在定义上，他们有很多相似之处，但是对应的，因为二元和一元的函数形式已经改变，所以判断方法和求极值的方法对比一元上有了很多不同的地方。
让我们来看看二元函数的极值条件：（必要条件）：设函数在点有连续偏导数，且在点处有极值，则有。
这个条件对比一元有相似之处，也就是导数都需要为0，但是，它不是全导数，它是两个关于x和y的偏导数，这是多元函数特有的导数。
接下来我们看看第二个条件：（充分条件）：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，，，则（1）.当时，具有极值，且当时，为极大值，当时，为极小值;（2）. 当时，不是极值;（3）. 当时，可能为极值，也可能不是极值，需要另外讨论。
由上面的必要条件和充分条件，可知多元函数极值和一元函数一样极值，有非常类似的地方，根據上面的条件，我们可以得出了求二元函数求极值的方法：（1）解方程组，，求得实数解，由此得出驻点;（2）对于每个驻点，求出对应A，B，C。
多元函数的极值与最优化问题
设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000 元以达到最佳效果．
一般地，所谓条件极值，就是求 在附加条件： 问题的实质：求
求条件极值的方法主要有两种：
01
的无条件极值.
02
拉格朗日乘数法
03
将条件极值转化为无条件极值
04
下的可能极值点.
05
步骤：
1 构造函数
)
,
(
)
,
求函数
解 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步
解方程组
的极值.
求A、B、C的值，并列表判别
12
0
6
极小，
72
-5
解
例5
P
即
01
驻点为
02
(
03
1
04
1
05
)
06
函数在 P 有极值 故
二、多元函数的最值
依据 (这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)
要设计一个容量为
则问题为求
令
解方程组
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
x , y , z 使在条件
试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,
例8-4
得唯一驻点
因此 , 当高为 思考: 提示: 利用对称性可知, 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
2x,
故长方体的体积
2y,
h - z.
多元函数的极值最值及应用
多元函数的极值最值及应用多元函数是指含有多个自变量的函数，其极值是指在定义域内取得的函数值中最大值和最小值。
对于多元函数的极值最值的求解，我们一般采用找到驻点和边界点的方法，即求取函数的偏导数，然后解方程组得到驻点，再通过分析边界点得到函数的极值。
首先，对于多元函数的驻点，我们需要求取函数的偏导数。
对于一个二元函数，例如f(x,y)，我们需要求取\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partialf}{\partial y}。
一般来说，驻点就是满足\frac{\partial f}{\partial x} = 0 和\frac{\partial f}{\partial y} = 0 的点。
对于一个三元函数，例如g(x,y,z)，我们需要求取\frac{\partial g}{\partial x}，\frac{\partial g}{\partial y} 和\frac{\partial g}{\partial z}，满足\frac{\partial g}{\partial x} = 0，\frac{\partial g}{\partial y} = 0 和\frac{\partial g}{\partial z} = 0 的点就是驻点。
然后，我们需要通过求取边界点来确定函数的极值。
对于一个二元函数，边界点一般是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 等。
对于一个三元函数，边界点则是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1, z_1)、(x_2, y_2, z_2) 等。
一般来说，我们通过求取上述的驻点和边界点，然后将它们代入多元函数中，比较得到的函数值来确定极值最值。
对于驻点，我们可以通过计算二阶偏导数来判断函数取得的是极大值还是极小值。
如果二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极小值；如果二阶偏导数的行列式小于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极大值。
85多元函数的极值与最值92241
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点. 驻点
极值点
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
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定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此
,
当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
z
思考:
y
1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x
提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
最小.
令 F 2(xz yz) x y (x yz V0 )
z
解方程组
2z y yz 0 2z x xz 0
y x
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A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
在(1,0)处 A=12>0,B=0,C=6 AC B2 12 6 0 在(1,0)处取得极小值-5
在(1,2)处 A=12>0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0 在(1,2)处没有极值
例1 P337 3
但在实际应用题中，若f(x,y)在D内只有一个驻点， 则函数值就是所求的最大（小）值。
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
例 1 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域
D上的最大值与最小值.
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z 1 x2 y2
在(0,0)处有极大值．
例３ 函数 z y2 x2 在 (0,0) 处无极值．
(1)
(2)
z
o
y
x
2.二元函数取得极值的条件
定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极值, 且在点 ( x0 , y0 )具有偏导数,则它在该点的偏导数必然为 零,即 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
在(-3,0)处 A=-12,B=0,C=6 在(-3,0)处没有极值
AC B2 12 6 0
在(-3,2)处 A=-12<0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0
在(-3,2)处取得极大值31
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例2：某厂要用铁板做成一体积V = 2m3的有盖长方体水箱， 问当长，宽，高各取怎样的尺寸，才能使用料最省？
解 : 设长宽高分别为x, y, z, 则 V xyz 2
表面积S 2( xy xz yz) 2( xy x 2 y 2 ) xy xy
第五节 多元函数的极值
一.二元函数的极值 二.二元函数的最值 三.条件极值
一、二元函数的极值
1、二元函数极值的定义
定义1 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3）AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例4：讨论f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值 解 : f x 3x2 6x 9 0 x 1,3 f y -3y2 6 y 0 y 0,2
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有二
阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ，
定义2 凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例 : (0,0)是z y2 x2的驻点, 但不是极值点
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
2xy 4 4 yx
S
x
2y
4 x2
0
S
y
2x
4 y2
0
x y 3 2,z 3 2
由实际意义知
长、宽、高分别为3 2, 3 2, 3 2时用料最省
例3：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
Hale Waihona Puke 为p1,p2 ,销售量分别为q1,q2 ,需求函数分别为q1 = 24 - 0.2 p1, q2 = 10 - 0.05 p2,总成本函数C = 35 + 40(q1 + q2),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
解方程组
f x ( x, y) 2xy(4 x f y ( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
二、二元函数的最值
求连续函数在闭区域上的最值的一般方法：
1.求f (x,y)在D 内驻点和偏导数不存在的点;
2.将f (x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的 边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值.
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
由 f x 4x( x 6) 2x2 0
y
x y6
D
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,