第2部分-专题讲座1-3

分类讨论思想在解题中的应用 (3)由数学运算要求引起的分类讨 论：如除法运算中除数不为零，偶次 方根为非负，对数真数与底数的要 求，指数运算中底数的要求，不等式 两边同乘以一个正数、负数，三角函 数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨 论：有的图形的类型、位置需要分 类，如角的终边所在的象限，点、 线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论： 某些含有参数的问题，如含参数的方 程、不等式，由于参数的取值不同会 导致所得结果不同，或对于不同的参 数值要运用不同的求解或证明方法.
a11－qn 当 q≠1 时 ， Sn＝ >0， 1－q 1－qn 即 > 0 ( n＝1 2 ,3 , 1－q
1－q<0， 或 n 1－q <0
，…)， 则 有
1－q>0， n 1 － q >0
①
②
由①得 －1 < q<1， 由 ②得 q> 1 . 故q的 取 值 范 围 是
1 3 【答案】 ( 1 ) 4 ( 2 ) －4
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[方 法 及 应 用
]
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【规律总结】
应用指数、对数函数时往往对底数是否
大于 1 进 行 讨 论 ， 这 是 由 它 的 性 质 决 定 的 ． 处 理 分 段 函 数 问 题 时 ， 首 先 要 确 定 自 变 量 的 取 值 属 于 哪 个 区 间 段 ， 再 选 取 相 应 的 对 应 法 则 ， 离 开 定 义 域 问 题 是 产 生 错 误 的 重 要 原 因 之 一 ．
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三、分类讨论思想
定义 分类讨论的思想是将一个 较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问 题，通过对基础性问题的 解答来实现解决原问题的 思想策略．对问题实行分 类与整合，分类标准等于 增加一个已知条件，实现 了有效增设，将大问题(或 综合性问题)分解为小问题 (或基础性问题)，优化解 题思路，降低问题难度.
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【变式训练】 设等比数列{an}的公比为 q， 前 n 项和 Sn> 0 ( n＝1,2,3， …)， 则 q 的取值范围是________． 【解析】 q≠0. 当 q＝1 时，Sn＝na1>0； 因为{an}是等比数列，Sn>0， 可 得 a1＝S1>0，
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|PF1| 且|PF1|＞|PF2|，则|PF |的值为________． 2
【思路点拨】 直角三角形关键是确定直角顶点， 由|PF1| ＞|PF2|知 ， 只 需 分 ∠PF2F1 和∠F1PF2 为直角两种情况即可．
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【解析】
若∠PF2F1＝9 0 ° .
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5， 14 4 解得|PF1|＝ 3 ，|PF2|＝3， |PF1| 7 ∴|PF |＝2. 2
( 2 ) 分 a>0 和 a<0 两种情况求解．
【 解 析 】 与 最 小 值 ．
( 1 ) 讨 论 字 母 的 取 值 ， 从 而 确 定 函 数 的 最 大 值
1 若 a>1，有 a ＝4，a ＝m， 此 时 a＝2，m＝2， 此 时 g( x )
2
－1
＝ － x为 减 函 数 ， 不 合 题 意 ， 若0 < a<1， 有 a－1＝4，a2＝m， 1 1 故 a＝4，m＝1 检 验 知 符 合 题 意 ． 6，
【答案】Βιβλιοθήκη ( －1 0 ,) ∪(0， ＋ ∞)．
(－1 0 ,) ∪(0，＋∞)
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类型二 由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论
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x 2 y2 【例 2】 设 F1，F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为 椭 圆 上 一 点 ． 已 知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点，
定义
分类讨论的思想是将一 个较复杂的数学问题分 解(或分割)成若干个基 础性问题，通过对基础 性问题的解答来实现解 决原问题的思想策 略．对问题实行分类与 整合，分类标准等于增 加一个已知条件，实现 了有效增设，将大问题 (或综合性问题)分解为 小问题(或基础性问 题)，优化解题思路， 降低问题难度.
分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类讨 论：有的概念本身是分类的， 如绝对值、直线斜率、指数函 数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制 引起的分类讨论：有的数学定 理、公式、性质是分类给出 的，在不同的条件下结论不一 致，如等比数列的前n项和公 式、函数的单调性等．
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( 2 ) 当 a>0 时 ， 1－a< 1 1 , ＋a> 1 . 这 时 f(1－a)＝2 ( 1 －a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝ － (1＋a)－2a＝ － 1－3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2－a＝ － 1－3a， 3 解 得 a＝ － 2. 不 合 题 意 ， 舍 去 ．
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当 a<0 时 ， 1－a> 1 1 , ＋a<1， 这 时 f(1－a)＝ － (1－a)－2a＝ － 1－a， f(1＋a)＝2 ( 1 ＋a)＋a＝2＋3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)， 得 － 1－a＝2＋3a， 3 解 得 a＝ － 4. 综 上 可 知 ， 3 a的 值 为 － 4.
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类型一
由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
[典 例 示 范 ] ———————
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【例 1】 ( 1 ) 若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上 的 最 大值为 4， 最 小 值 为 m， 且 函 数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)
上是增函数，则 a＝________. ( 2 ) 已 知 实 数 a≠0，函数
2x＋a，x<1， f(x)＝ －x－2a，x≥1.
若 f(1－
a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________．
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【思路点拨】
( 1 ) 分 a>1 和 0<a<1 两种情况求解．