数学归纳法专题复习

数学归纳法专题复习《数学归纳法》专题复习1．某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）.A 当6=n 时，该命题不成立 .B 当6=n 时，该命题成立.C 当4=n 时，该命题不成立.D 当4=n 时，该命题成立 2．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为 . 3．用数学归纳法证明：当*∈N n 时，15322 (22)21-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________．4．观察不等式：211>，131211>++，2371...31211>++++，2151...31211>++++，25311...31211>++++，…，由此猜测第n 个不等式为________)(•∈N n ．5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为. 6．求证：33332(1)123[]2n n n +++++=L )(•∈N n .7．证明不等式nn2131211<++++Λ (n ∈N)．8.在各项为正的数列{}na 中，数列的前n 项和nS 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n na a S121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}na 的通项公式并证明.9.（选修2-2P94例2）已知数列,...)13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，计算4321,,,S S S S ,根据计算结果，猜想nS 的表达式，并用数学归纳法证明。

10．在数列{}na ，{}nb 中，21=a，41=b，且na ，nb ，1+n a成等差数列，nb ，1+n a ，1+n b 成等比列)*∈N n .（1）求432,,a a a 与432,,b b b 的值.（2）由（1）猜测{}na ，{{}nb 的通项公式，并证明你的结论．11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{na 满足：101<<a，)(1n n a f a =+，*∈N n .证明: 101<<<+n n a a .12．已知数列{}na 满足12+=+n a Sn n.(1) 写出321,,a a a ，并推测na 的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论.13.是否存在常数cb a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．15．已知数列{}na 的通项)1211lg(-+=n an，记nS 为{}na 的前n 项和，试比较nS 与12lg +n 的大小，并证明你的结论．《数学归纳法》专题复习答案1．答案：.C 解析：因为若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当)(*N k k n ∈=时该命题也不成立.故选.C 2．当1=n 时，左边4211==+，右边42112=++=，所以左边=右边，命题正确.3．43222221++++，451552 (22)+++++k k k.4．答案：.2121...31211nn>-++++解析：1232-=Θ，1273-=，12154-=，12315-=，可猜测第n 个不等式为：.2121...31211nn >-++++5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，及原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f6．证明 （1）当1n =时，左边=31=1，右边=212()2⨯=1，等式成立. (2)假设当n k=时，等式成立，就是33332(1)123[]2k k k +++++=L ，那么3333323(1)123(1)[](1)2k k k k k +++++++=++L 22(1)[][4(1)]2k k k +=++2(1)(2)[]2k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.综上所述，等式对任何自然数n 都成立. 7．证明：①当1=n 时，左边1=，右边2=．左边<右边，不等式成立．②假设k n =时，不等式成立，即kk 2131211<++++Λ．那么当1+=k n 时，11131211++++++k k Λ112++<k k ，故即要证明12112+<++k k k ，只需证)1(2112+<++k k k ，即证1212+<+k k k ，只要证144)1(42++<+k k k k ，即证10<，而10<成立，所以当1+=k n 时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 8.解：（1）当1=n 时，)1(21111a a a +=，121=∴a，又数列{}na 的各项均为正数，.11=∴a当2=n 时，)1(2122212a a a a S +=+=，12222=-+∴a a ，212±-=∴a ，又数列{}na 的各项均为正数，.122-=∴a当3=n 时，)1(21333213a a a a a S +=++=，0122323=-+∴a a，323±-=∴a，又数列{}na 的各项均为正数，.233-=∴a（2） 由（1）猜想数列{}na 的通项公式为.1--=n n an下面用数学归纳法证明：①由（1）已得当1=n 时，命题成立；②假设k n =时,命题成立，即.1--=k k a k， .1...23121...21k k k a a a S k k =--++-+-+=+++=∴当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+++111121k k k a a S，即)1(21111++++=+k k k ka a a S，)1(21111++++=+∴k k k a a a k ，即012121=-+++k k a k a，11+±-=∴+k k ak ，又数列{}na 的各项均为正数，.11k k ak -+=∴+即当1+=k n 时,命题成立.根据①②得*∈N n ，1--=n n a n都成立. 9.（选修2-2P94例2）10．解：（1）由条件得12++=n n na ab ，.121++⋅=n n n b b a又21=a，41=b，⎩⎨⎧==+∴21221212b b a b a a ，即⎩⎨⎧=⨯=+22224422b a a ，⎩⎨⎧==∴9622b a ； 同理⎩⎨⎧==161233ba，⎩⎨⎧==252044ba .（2）2121⨯==a Θ，3262⨯==a，43123⨯==a ，54204⨯==a，…又2124==bΘ，2239==b，23416==b ，24525==b，…∴猜测)1(+=n n an，2)1(+=n bn.下面用数学归纳法证明)1(+=n n a n ，2)1(+=n bn： ①当1=n 时，21=a，41=b，结论成立．②假设当)(*∈=N k k n 时结论成立，即)1(+=k k ak，2)1(+=k bk，那么当1+=k n 时，)2)(1(])1(2)[1()1()1(2221++=-++=+-+=-=+k k k k k k k k a b a k k k ]1)1)[(1(+++=k k ..]1)1[()2()1()2()1(22222211++=+=+++==++k k k k k b a b k k k∴当1+=k n 时，结论也成立．由①②知，)1(+=n n an，2)1(+=n b n 对一切正整数都成立．11．证明：先用数学归纳法证明:10<<na ，*∈N n .①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<na；②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<ka.则当1+=k n 时，).1,0(,sin )(1∈-==+k k k k k a a a a f a∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(内单调递增. ∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a .∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<na 对一切正整数都成立. 又∵10<<na，0sin >na,∴nn n n a a a a<-=+sin 1，∴101<<<+n n a a.12．解：（1）当1=n 时，11211+⨯=+a S，即321=a，.212231-==∴a 当2=n 时，12222+⨯=+a S，即5221=++a a a，.412472-==∴a当3=n 时，13233+⨯=+a S，即73321=+++a a a a，.8128153-==∴a由此猜测：.212n na-=(2) ①由（1）已得当1=n 时，命题成立； ②假设k n =时,命题成立，即.212kka-= 当1+=k n 时,1)1(211++=+++k a S k k ，即3221+=++k a Sk k，又.1212)212()12()12(-+=--+=-+=kk k kk k a k S32212121+=+-+∴+k a k k k ，kk a21421-=∴+，即11212++-=k k a.即当1+=k n 时,命题成立.根据①②得*∈N n ，nna212-=都成立.13．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n令222)1(3221+•++•+•=n n Sn假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k ，那么21)2)(1(+++=+k k S Sk k22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k)101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 15．解：)1211lg(...)311lg()11lg(-++++++=n S n Θ)1211).....(311)(11lg(-+++=n .因此要比较nS 与12lg +n 的大小，可先比较)1211).....(311)(11(-+++n 与12+n 的大小.当1=n 时，311211=+⨯>+，当2=n 时，945512296438342)311)(11(==+⨯>==⨯=++， 当3=n 时，.2517571322525651656342)511)(311)(11(==+⨯>==⨯⨯=+++由此推测)1211).....(311)(11(-+++n .12+>n 下面用数学归纳法证明上面猜想：当1=n 时，不等式成立.假设当kn =时，不等式成立，即)1211).....(311)(11(-+++k .12+>k 那么当1+=k n 时，)1211(12)1211)(1211).....(311)(11(+++>++-+++k k k k ，所以只要证明1)1(2)1211(12++>+++k k k ，即要证32122212+>++⋅+k k k k ，只需证)32)(12(22++>+k k k ，即证38448422++>++k k k k，故只要证明34>.而34>成立，所以当1+=k n 时不等式成立.综上所述，当*∈N n 时不等式成立．。