归纳法与数学归纳法
归纳法与数学归纳法
归纳法与数学归纳法作者：郑萍来源：《神州》2011年第25期由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,叫归纳法。
推理过程中考察的对象是涉及事件的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法。
我们知道,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，对提高我们数学能力十分重要。
完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，又叫枚举法。
它得出的结论是可靠的，通常在事件包括的特殊情况较小时采用。
在高中数学中，我们学习了数学归纳法这种证明与正整数有关的命题方法。
与完全归纳法一样，它推出的结论是可靠的。
纵观近年全国各地高考情况可看出，对数学归纳法的考查体现在“观察——归纳——猜想——证明”这种由特殊到一般的思维方法上，解决探索性问题时应具有比较强的观察、分析、归纳、猜想的能力。
如果把要证明的命题记作P（n),则证明步骤为：（1）证明当n取一个自然数n0时，P(n0)正确。
（2）假设n＝k (k∈n,且k≥n0)时，命题正确。
即P(k)正确，证明当n＝k＋1时，P(k＋1)正确。
（3）根据（1）（2）当n≥n0且n∈n0时P(n)正确。
三个步骤缺一不可，步骤（1）是奠定基础，称为归纳基础。
步骤（2）反映了无限递推关系。
若只有（1）而无（2）只证明了特殊情况下的正确性是不完全归纳法，若是有（2）而无（1），则无法进行递推，步骤（3）是将（1）和（2）相结合。
例：已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式并用数学归纳法证明。
4An+1-AnAn+1+2An=9(4-An)An+1=9-2AnAn+1=(9-2An)/(4-An)=2+1/（4-An）A2=7/3A3=13/5An=(6n-5)/(2n-1)证明：当n=1时，A1=(6×1-5)/(2×1-1) =1命题成立。
归纳法及数学归纳法区别
归纳法及数学归纳法区别作者：吴方跃来源：《速读·中旬》2016年第08期摘要：本文介绍了归纳法及数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用归纳法及数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，并且比较了归纳法与数学归纳法之间的差异，还介绍了归纳法及其数学归纳法推理的常用技巧。
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。
1归纳法1.1归纳法的定义由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。
1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。
1.1.2完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。
1.2使用归纳法要谨慎我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。
例、求前n个奇数的和[1+3+5+……+（2n-1）]解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有S（1）=1S（2）=1+3=4S（3）=1+3+5=9S（4）=1+3+5+7=16S（5）=1+3+5+7+9=25可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用发表时间：2019-01-23T16:43:27.747Z 来源：《教育学》2019年1月总第166期作者：折小妹[导读] 数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
陕西省大柳塔第一小学719315摘要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。
本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。
①完全归纳法。
②不完全归纳法。
③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。
数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。
这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。
也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。
②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。
那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。
这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。
严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。
递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。
数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
归纳法与数学归纳法
（三）归纳法的分类……………………………………………………………………(4)
1．完全归纳法………………………………………………………………………(4)
2．不完全归纳法……………………………………………………………………(5)
（二） 归纳法的特点：
1．归纳的前提是单个的事实或特殊的情况，所以，归纳立足于观察和实验，其结论未必可靠．
2．归纳是依据若干已知的、不完备的现象推断未知的现象，因而结论具有猜测的性质．
3．归纳是从特殊现象去推断一般现象，因此，由归纳所得的结论超越了前提所包含的内容．
（三）归纳法的分类
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种，下面分别说明这两种归纳法在数学探索和发现中的应用．
天津师范大学
本科毕业论文（设计）
题目：归纳法与数学归纳法
学院：数学科学学院
学生姓名：王珏
学号：03505024
专业：数学与应用数学
年级：2003级
完成日期：2007-5
指导教师：沈佩真
归纳法与数学归纳法
摘要：归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方式．归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，即通过对研究对象的若干特殊情况的考察分析而得到关于一般情形结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．而数学归纳法是归纳与演绎的结合体，与通常的归纳法有本质的区别．它是一种论证方法，通常上用来证明数学上的猜想，而这种猜想是用某种归纳法所获得的．数学归纳法的理论依据是归纳公理．
归纳的过程实际上是一个思想的适应、语言的适应的过程．归纳过程是把我们的思想认识适应于事实的结果．每当我们的想法和观察相比较时，其结果可能一致也可能不一致．若与观察事实一致，我们就对我们的想法更有信心；若不一致，我们就改变想法．经过多次改变之后，我们的想法就较好的符合事实．我们对任何新事物的想法，开头总不免是错误或者至少有一部分是错误的，归纳过程（总结经验）就提供了改正错误的机会，使思想符合现实．所以归纳的主要作用是探索化归的方向和目标，发现问题的结论，寻求解决问题的途径．
数学归纳法
用数学归纳法需注意：
1.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳 基础。 2.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确 性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而 不是确认命题成立)。 3.第三步是总体结论，也不可少。
k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ， 3
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 2 2+2k+1 = k ( 2k 1) + 2k2+2k+1 =Sk+2k 3 1 1 3+k+6k2+6k+3) = [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] = 3 (2k 3 = 1 (k+1)(2k2+4k+2+1) = 1 (k+1)[2(k+1)2+1],
3
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
3
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有
n( 2n 2 1) Sn 3
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
归纳法与数学归纳法
归纳法与数学归纳法摘要：归纳法与数学归纳法是数学的常用方法，本文通过对归纳法与数学归纳法的定义、类别、特征以及归纳法与数学归纳法之间的联系与区别的探索与分析，了解归纳法与数学归纳法，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径，并学会应用归纳法与数学归纳法解决数学问题及其它问题．关键词：归纳法 数学归纳法 初级归纳法 高级归纳法引言：归纳法与数学归纳法是解决数学问题的常用方法，通过从特殊事例得出的结论得出在一般情况下该事例的情形，从特殊到一般.一 归纳法1、归纳法的定义引例 观察下列等式2111== 21342+==1359++==2321357164+++==……请推测，从1开始n 个连续的奇数相加,表示它们的和S 的公式是什么?分析:由21、22、23、24所呈现的规律知底数1、2、3、4恰好是各相应等式左边连续奇数的个数，而指数都是2，因此公式为2S n =即对任何自然数n ，等式2135(21)n n ++++-=像以上这种由几个具体的特殊事例引出一类事物的一般性结论的推理方法就叫做归纳法. 归纳法是一种特殊的推理方法，归纳法的定义通常有：定义1：归纳就是由特殊推到一般的过程.定义2：归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法.2、归纳法的两种形式归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法2.1完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理．由于应用完全归纳法时，必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的.不过在一般情况下，所要考察的对象总是相当多的甚至是无穷多的；特别在数学里，所以常常需要了解无穷多个对象的情况.2.2 不完全归纳法：所谓不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出的推理.例如：（1）铜在加热时膨胀 （2）玻璃在加热时膨胀 （3）一切物体在加热时膨胀根据不完全归纳法作出的结论可能是错误的，所以它不能用来作为严格的、科学的证明方法.不完全归纳法的意义在于：对特殊情况的考虑，会提示我们这一个或那一个规律性存在，帮助定出这一规律性.3、归纳法、归纳推理的涵义、联系与区别按定义1或定义2来理解，归纳法不包括类比法，因为类比是个别到个别的推理.但将完全归纳法列入归纳法范围也值得讨论，因为其实质是一种演绎推理，不是归纳推理.3.1 归纳法、归纳推理的涵义归纳推理：指特殊到一般的推理归纳法：指从某类事物的部分知识为前提推出关于该类事物的其他部分或全部知识的思维方法，其狭义涵义即归纳推理.3.2 归纳法与归纳推理的联系与区别按我们对归纳法涵义的分析，归纳推理是归纳法的一种特殊情形，也是人们日常生活中一种最常用的推理形式；归纳法比归纳推理外延要广.因此，不应将归纳法与归纳推理视为同一概念.4、归纳法的主要类别4.1 初级归纳法4.1.1 简单枚举推理：是根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性得出该类事物的全体也具有（或不具有）这种属性的思维方法.其推理格式为：1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性P1S 2S …n S 是S 部分对象，并且尚未观察到反例S 类的所有对象具有属性P对简单枚举归纳法，我们可以通过断定1S 2S …n S 在其它性质上有很大差异或断定它们是S 类的具有较强代表性的对象或增加考察对象的数量推大考察范围来提高结论的可靠性．4.1.2 科学归纳推理（亦称精确归纳推理）：是指以科学理论分析为指导，根据对象与属性之间的内在联系所进行的归纳推理．其推理格式为：1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性P1S 2S …n S 是S 部分对象，并且与P 有必然联系S 类的所有对象具有属性P由于科学归纳推理不是根据所考察对象之间的表面现象，主要不是依靠前提数量的大小而是根据对象之间的因果联系的本质属性所进行的推理.因此，即使有限的前提也能得出可靠的结论．科学归纳推理比简单枚举法可靠性更强．4.2 高级归纳法4.2.1 培根三表法：通过建立整理不同类型事例的“三表”，即存在与具有表、差异表、程度表，消除不相干因素，提出假设，从而得出结论的思维方法.其可靠性较简单枚举归纳推理高，但它仍是或然性推理，并非象培根认为的“结论是确定无误的”．4.2.2 求因果五法（1）求同法：是在被研究现象出现的若干不同场合中寻找共同原因的方法．（2）求异法：是在被研究现象出现与不出现的两种矛盾场合中，通过比较而找出由于某一原因而产生某一结果的思维方法．（3）求同求异并用法：是在被研究现象出现与不出现的若干场合中，通过比较判断得出一定的原因产生一定的结果的思维方法．（4）共变法：是指在被研究现象发生变化的若干场合中，如果其中只有一个情况变化着，并根据这一情况的变化而引起另一现象的变化去确定某一情况是某一现象原因的方法．（5）剩余法：是指从复杂现象中减去已知的一部分原因从而确定另一部分原因的方法．4.2.3 交叉归纳法：是根据已有的事例以及由与此类似的事例得出结论的一系列归纳推理而推出结论的思维方式．其推理格式可描述为1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性PS 具有属性Q （﹡1）1S 2S …n S 与S 存在某种相似性Q P （﹡2）S 具有属性P （﹡3）交叉归纳法的交叉意即（﹡1）与（﹡2）的交叉．虽然（﹡1）与（﹡2）都是初级归纳法，但（﹡3）却体现了概率知识．4.2.4 解释归纳法：是根据或参考假设所具有的概率来选择假说的思维方法．高级归纳法的实质是有权重的认定，在运用这些归纳法时都或多或少参考了以前的归纳结论．高级归纳法优于初级归纳法．二、数学归纳法我们已经知道，为了得到数学定理而需要运用归纳推理时，必须运用完全归纳法．当我们所考虑的命题只涉及到有限个对象时，我们只要将这有限种情形一一考虑就行了．但是数学中常常接触到的命题是涉及到无限个对象的，困难就出在这里，要考察无限个对象．为了对付这一类问题，即判定一个命题是否对全体自然数都成立，人们创立了“数学归纳法”．1、归纳法原理假设对一切自然数n ，我们有一个命题()M n ，假定我们知道；1）(1)M 是真的；2）对任意的k ，()M k 真蕴含(1)M k +真，则()M n 对一切自然数真．证：用N 表示全体自然数的集合，用S 表示N 的一个子集合：S N ⊂，我们有一个很直观的断言：每个非空集合S N ⊂有一个最小元素，也就是存在一个自然数s S ∈，它比S 中的一切其他自然数都小，我们称这一断言为“最小元素原理”．现在用最小元素原理来证明归纳法原理．设{}|()S s N M s N =∈⊂不真如果S 是空集,那么我们就不必再证明,因为定理已经成立．设S ≠∅,则S 中有一个最小元素s .根据归纳法原理的1),1s ≠,即1s >从而1s N -∈,并且()1M s -真,但根据归纳原理2),()M s 真与S 非空相矛盾.因此S 一定是空集,这就证明了归纳法原理． 2、数学归纳法证明命题的步骤应用归纳法原理证明的是一些可以递推的有关自然数的论断．证明的步骤是：（1） 证明1n =时，某论断是正确的；（2） 假定当n k =时，论断是正确的，证明当1n k =+时，这论断也是正确的．根据（1）（2）就可断定，对于一切n ，论断都是正确的．例：求证：()()222211231216n n n n ++++=++ 证：当1n =时21112316=⨯⨯⨯=这时等式是成立的 假设当n k =时，公式也成立．即假定()()222211231216k k k k ++++=++ 我们来证明当1n k =+时,公式也成立.事实上,在上式两边各加()21k +得()()()()2222221123112116k k k k k k ++++++=++++ ()()()()21112161127666k k k k k k k ⎡⎤=++++++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()112236k k k =+++()()()11112116k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 数学归纳法的第一步骤通常证明起来很简单,但决不能略去这一步骤,这一步叫做归纳法的基础,去掉这一步骤就会导出荒谬的结论.3、数学归纳法的其它形式（1）第一个条件不一定从1开始，即数学归纳法中的两个条件可改成：如果当0n k =的时候，这个命题是正确的；又从假设当00()n k k k =≥时这个命题是正确的，可以推出当1n k =+时这个命题也是正确的，那么这个命题当0n k ≥时都正确（0k 是要证命题成立的最小自然数）．例1：求证：n 边形n 个内角之和等于()()23n n π-≥证明：当3n =时，我们知道三角形的三个内角和是180︒∴当3n =时命题是正确的假设当()3n k k =≥时命题也是正确的，设121,,,k A A A + 是1k +边形的顶点，作线段1k A A ，把这个1k +边形分成两个图形，一个是k 边形12k A A A ,另一个是三角形11k k A A A +，并且1k +边形内角和等于后面这两个图形的内角和．就是()()()2112k k k ππππ-+=-=+-⎡⎤⎣⎦也就是说，当1n k =+时这个命题也是正确的，因此命题得证．（2）第二句话也可以改写为“如果当1n k ≤≤时，命题正确，那么当1n k =+时，命题也是正确的，由此同样可以证明对于所有的n ，命题都得证．4、数学归纳法的再认识4.1 数学归纳法的适用范围数学归纳法：设()p x 为一与自然数有关的命题，如果能证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+则有()()y N p y ∀∈通过对其前提的分析可知:① 数学归纳法仅用来证明与自然数有关的命题② 并非每一个与自然数有关的命题都必须用数学归纳法来证明.对于()p x ,固然可用数学归纳法来证明,但有时却没有其它方法来得简捷,我们必须弃繁从简,如证明2221(1)n n n ++=+,绝没人首先想到用数学归纳法来证明，尽管它是一个与自然数有关的命题．③ 并非每一个与自然数有关的命题都能用数学归纳法来证明，对于()p x ，如果能证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+，则()()y N p y ∀∈，但如果不能通过有效途径证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+，却并不能说明()()y N p y ∀∈之假，有待于寻求第二证法．4.2 数学归纳法的理论依据与特征4.2.1 数学归纳法的理论依据我们用以下方式表示数学归纳法的证明：①(1)p （由验证确定）②()[]()(1)x p x p x ∀→+ （被证明）③()[](1)()(1)p x p x p x ∧∀→+ （由①②可知）④ ()[]()()(1)()(1)p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈ （？）⑤ ()()y p y ∀ （结论）当我们问数学归纳法的理论依据是什么时，实际上在问以上推理第④的根据何在？这确实是问题的关键，到底是什么保证由有限就这么过度到了无限的合理性呢？为此我们必须承认这样一个事实：N M ⊂∀，(1)()[1]M x x M x M M N ∈∧∀∈→+∈→=，并为此作为数学归纳法的依据，这实际便是皮亚诺的归纳公理．现在设{}|()M x N p x =∈此即()x M p x ∈↔(1)1p M ∴∈又()[]()(1)()[1]x p x p x x x M x M ∀→+∴∀∈→+∈由(1)()[1]M x x M x M M N ∈∧∀∈→+∈→=()[]()()(1)()(1)p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈∴数学归纳法在归纳公理中找到根据4.2.2 数学归纳法的特征数学归纳法是一种特殊的演绎推理方法.这种方法由实验与演绎两部分组成,然后借助归纳公理,完成了过有限认识无限的飞跃,因此数学归纳法并非归纳推理.因为归纳推理是前提与结论之间具有或然性联系的推理.数学归纳法与归纳推理没有任何逻辑的联系.4.2.3 数学归纳法的逻辑结构分析我们视数学归纳法为一系统,它的结构为(1)()[()(1)]()()p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈;它的要素为:(1)p ; ()()x p x ∀;()[]()(1)x p x p x ∀→+;()()y N p y ∀∈.⑴各要素的功能与作用()[]()(1)x N p x p x ∀∈→+为一般的演绎推理,是递推的根据,它的前提为一充分条件.假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦;(1)p 可视为系统的初始条件,它使递推有了基础;与逻辑学不同,在数学中,充分条件假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦必须为真,其真由(1)p 及()[]()(1)x N p x p x ∀∈→+可以保证.以上三要素的联系方式为()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+,其功能与以下推理等价: {}{}()(){}(1)[()(1)](2)(2)[()(1)](3)[()(1)]1p p x p x p p p x p x p p x p x p x p x ∧→+→∧∧→+→∧∧∧→+→+ 即()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+为任意确定的x 个三段论的压缩,借助归纳公理,这种相互联系,相互作用的整体效应便为()()y N p y ∀∈.②全称量词,x y 的差异在(1)()[()(1)]()()p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈中,x 扮演的角色与极限定义中的e 酷似.它具有任意性与确定性;因此从本质上讲它具有个体性.而y 则具有整体集合性,所以有时可用()p N 来表示()()y N p y ∀∈.让我们来解释以上观点. y 具有任意性指在演绎前, x 可取作任何自然数.但在演绎过程中,这个x 便是确定的.惟其如此,才能通过(1)p 及[()(1)]p x p x →+用有限步骤来检验充分条件假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦的真值性.但这一点也时常引起一些误会:既然()[](1)()(1)p x N p x p x∧∀∈→+,所以x N ∀∈,必可通过有限次递推得出()p x ,这就证明了数学归纳法的可靠性,即对一切自然数y 都有()p y .三 归纳法与数学归纳法的联系与区别归纳法是发现规律的好方法,但由于归纳法得到的规律对,某些是不一定正确,要判断所总结的规律(或结论)是否正确,要从理论上加以证明,这就要运用数学归纳法了.但归纳法对数学归纳法仍有它的作用,有的命题有待于归纳法发现其规律,然后才能用数学归纳法加以证明.以下三道题足以说明两者的关系.例1:已知()2xa b f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭,()2x x a b g x +=()0,0.a b a b >>≠,探求对于任意自然数n ,()f n 与()g n 间的大小关系,并加以证明.分析与解:本题比较()f x ,()g x 的大小,即x 为变量,a 、b 为常量.令3,1a b ==则有()()11f g =,当2x =时, ()213242f +⎛⎫== ⎪⎝⎭,()2213252g +==,()()22f g ∴<; 当3x =时, ()313382f +⎛⎫== ⎪⎝⎭,()33133142g +==,()()33f g ∴<; 当4x =时, ()416f =,()441g =,()()44f g ∴<……,上述是用归纳法完成的.可猜想对于任意自然数2n ≥,()()f n g n <.当2n ≥时,用数学归纳法证明如下:⑴当2n =时,()()222222222()22022424a b a b a ab b a b a b f g +++++-⎛⎫-=-=-=-< ⎪⎝⎭ ()()22f g ∴<,原不等式成立⑵假设当n k =时,有(k b a )2+<2kk b a +① ,02,0,0>+∴>>b a b a ①式两边同乘以2b a +则1111()2224k k k k k k k a b a b a b a b a b a b +++++++++⋅+⋅<⋅=由于11111()()0244k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b ++++++++⋅+⋅---=> (b a a -≠,0与k k b a -同号),∴(1)2++k b a <211+++k k b a ,即当1n k =+时原不等式成立. 由(1)(2)可知对于任意自然数n , 当2n ≥时,不等式()()f n g n <恒成立.例2:由下列各不等式: 112>,111123++>,111111312345672++++++>,1+3121++…+2151>,……,你能得到怎样的结论?并予以证明. 分析与解:从观察知,每一个不等式左边的第一项是1,各项的分子都是1,且分母按自然数顺序排列.对这类命题一般规律探索的关键在于第n 个不等式左端的首项及末项,以及不等式的右端.由四个不等式的右端:21, 212=,23,422=,可知第n 个不等式右边为2n ;四个不等式左边最后一项的分母为: 1111121==-;2321=-,3721=-,41521=-,……,由此猜想第n 项的分数的坟墓为21n -.这是采用归纳法得出的.用数学归纳法证明如下:(1) 当1n =时,猜想显然成立(2) 假设n k =时,不等式成立,即111()2212k k k N +++>∈- ,那么 当1n k =+时, 左边=(1++21…+++++-12121()121k k k …+++++>-+12121(2)1211k k k k …++>-+2)1211k k ++++112121(k k …+)211+k =2121221221+=+=⋅++k k k k k ,即当1n k =+时,不等式成立.综合(1)(2)知对一切n N ∈不等式成立.例3: 数列{}n a 的各项均为正数, n S 为前n 项和,如果11()2n n n S a a =+ （1）求1a ,2a ,3a ;（2）归纳n a 的表达式，并用数学归纳法证明解：（1）由111111()2a S a a ==+得211a =,由于10a >故11a = 由2212211()12a S S a a =-=+-得222210a a +-=,解之取正值得221a =-． 由233323122a a S S a +=-=-得2332210a a +-=, 解之取正值得332a =-,猜想1n a n n =--证明：（1）当1n =时，命题成立(2)假设n k =时，命题成立，即1k a k k =--有11()2k k kS a k a =+=. 当1n k =+时，111111()2k k k k k a S S a k a ++++=-=+-,得211210k k a ka +++-=, 解之取正值得11k a k k +=+-.命题对1n k =+时成立.综合(1)(2)对一切n N ∈有1n a n n =--.归纳法与数学归纳法是数学中发现规律论证关于自然数的命题是否正确的一种重要方法,它的特点是前者发现规律,后者予以理论上严谨的证明.四 归纳法与数学归纳法的应用数学归纳法的应用广泛,用此方法可解决以下几个方面的数学问题.1 代数恒等式方面的问题有不少代数恒等式,它的严格证明需要数学归纳法.例1:等差数列的第n 项,用公式()11n a a n d =+- (1)表示,这里1a 是它的首项, d 是公差证明:当1n =时, 11a a = (1)式成立假设当n k =时,(1)式是成立的,那么()()111111k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+-+∴当1n k =+时,(1)式成立,由此可知,对于所有的n ,(1)式都成立.2 不等式方面的问题用数学归纳法证明有关不等式的命题,关键是“一凑一证”,常用比较法,分析综合法,放缩法等方法完成“假设当n k =时命题成立,证明当1n k =+时命题也成立”这一步.以下就此举例予以证明.2.1比较法用数学归纳法证明某些不等式命题时,题中关于自然数n 的表达式可表示为()f n ,用k 表示()()1f k f k +-,找到由“k ”过渡到“1k +”的突破口,问题便可迎刃而解.例2:求证:若*n N ∈,当2n ≥时,有++++2111n n …+n 2121> 证明:(1)当2n =时21127221121>=+++ ∴原不等式成立. (2)假设当n k =()2k ≥时,原不等式成立,即有++++2111k k …+2121>k 设()111122f n n n n =+++++ , 则()()111110212(1)12(1)(21)f k f k k k k k k +-=+-=>+++++ 从而有()()112f k f k +>>,即当1n k =+时,原不等式也成立. 故而(1)(2)可知,当n 是不小于2的任意自然数时,原不等式都成立.2.2分析综合法分析综合法是用数学归纳法证明关于自然数n 的不等式的,从“k ”过渡到“1k +”的常用方法.例3:求证:当*n N ∈,当1n >时,有111123n n++++> 证明(1)当2n =时,222211+=+ ,02222222>-=-+ 2=∴n 时原不等式成立(2)假设n k =()2k ≥时,原不等式成立,即有111123k k++++> 当1n k =+时,原式左边=1+++3121…+11111++>++k k k k 因此,欲证当1n k =+时原不等式成立,只需证111+>++k k k 即01122>⇒>+⇒+>++k k k k k k k ,显然成立.于是当n=k+1时,原不等式成立. 由(1)(2)可知,对任意大于1的自然数,原不等式都成立.2.3放缩法用数学归纳法证明关于自然数n 的不等式的,从“k ”过渡到“1k +”;有时可考虑防缩法.但需注意,放缩法证题学生往往掌握不好,把握不住尺度,因为放得过大或缩得过小都不能达到目的.例4：求证：1+21+31+…+121-n >2n ,*N n ∈ 证明：（1）当1n =时，不等式显然成立．（2）假设当n k =时，命题成立，则有1+21+31+…+121-k >2k ①, 要证1n k =+时命题成立，即1+21+31+…+121-k +k 21+…+1211-+k >21+k ②在不等式①的两边分别加上（k 21+…+1211-+k ），就凑好了不等式②的左边， 可得1+21+31+…+121-k +（k 21+…+1211-+k ）>2k +k 21+…+1211-+k . 接下来只需证k 21+…+1211-+k >21③因为③式左边有k 2项，且1211-+k 最小 因此k 21+…+1211-+k >1211-+k +…+1211-+k =1221-+k k >122+k k =21 这就证明了③式成立．故由（1）（2）可知，对任意自然数原不等式恒成立．2.4 乘因数（式）法用数学归纳法证明不等式，从“k ”过渡到“1k +”时，有时用乘因数（式）法，即在关于k 的不等式两边同乘以一个因数（式），从而凑好1n k =+时的一边．例5：若0,0a b >>,*N n ∈,则2nn b a +≥n b a )2(+ 证明：（1）当1n =时，等号成立；当2n =时，222b a +-2)2(b a +=4)(2b a -≥0 ∴1n =、2时命题成立．（2）假设n k =时，命题成立，即有2kk b a +≥k b a )2(+①， 当1n k =+时，要证211+++k k b a ≥1)2(++k b a ．在①式两边同乘以2b a +，有4))((b a b a k k ++≥1)2(++k b a ，问题转化为证211+++k k b a ≥4))((b a b a k k ++，整理得))((b a b a k k --≥0成立．（ 0,0a b >>，*N k ∈，k k b a -∴与b a -同号）． ∴1n k =+时命题成立．故由（1）（2）可知对于任意自然数原不等式恒成立．3、几何方面的应用例6：平面上有n 条直线，其中没有两条平行，也没有三条经过同一点，求证：它们（1）共有n V =21n （1-n ）个交点 （2）互相分割成n E =2n 条线段（3）把平面分割成n S =1+21n （1+n ）块 证明：假设命题在1-n 条直线时是正确的，现在来看添上一条直线后的情况，新添上去的1条直线与原来的1-n 条直线各有1个交点，因此n V =1-n V +1-n 这新添上去的1条直线被原来的1-n 条直线分割成为n 段，而它对原来的1-n 条直线每条多分割出一段，因此n E =1-n E +n +1-n =1-n E +12-n ，这新添上去的1条直线被分割为n 段，每段把一块平面分成两块，总共要添出n 块，因此n S =1-n S +n当n =1时，1V =0，1E =1，1S =2因此，n V =（1-n ）+1-n V =（1-n ）+（2-n ）+2-n V ……=（1-n ）+（2-n ）+…+1=21n （1-n ）n E =12-n +1-n E =（12-n ）+（32-n ）+2-n E ……=（12-n ）+（32-n ）+…+1=2n n S =n +1-n S =n +（1-n ）+2-n S ……=n +（1-n ）+…+2+2=1+21n （1+n ） ∴命题得证4、排列与组合数学归纳法最简单的应用之一是用来研究排列和组合的公式．例7：证明：m n C =)!(!!m n m n - （2） 证明：首先，1n C =n ，这显然的，如果再能证明当1n m <<的时候，m n C =m n C 1-+11--m n C （3）那么，式子（2）也就可用数学归纳法来证明．我们假设有n 个不同的元素1a ，2a ，…，n a ，每次取出m 个元素的组合里，可以分为两类：一类含有1a ，一类不含有1a ，含有1a 的组合数就等于从2a ，3a ，…，n a 里取1-m 个元素的组合数，它等于11--m n C ；不含有1a 饿组合数，就等于2a ，3a ，…，n a 里取m 个的组合数，它等于m n C 1-，所以m n C =m n C 1-+11--m n C 下面我们证明式子（2）因为当n =1时，这个定理是正确的 ；假设当1-=k n 时，这个定理是正确的，那么m k C =m k C 1-+11--m k C =)!1(!)!1(m k m k ---+)!()!1()!1(m k m k ---=)!(!!m k m k -（这里m k <<1）k n =∴时，这个定理也是真的.所以公式m n C =)!(!!m n m n -是成立的. 结束语通过对归纳法与数学归纳法的分析和探索，了解了归纳法与数学归纳法的相关知识，作为一种特殊的证明方法和推理方法可以解决一些不容易解决的数学问题。
数学归纳法
步骤： 递推基础不可少，（基础）
归纳假设要用到，（依据）
结论写明莫忘掉。（结论）
例2：证明方法是否正确？为什么？
n 3 11n 6 ⑴ 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ 6 解：等式成立。证明如下：
1 11 6 ∵n=1时，左边=1，右边= =1 ∴等式成立 6 8 22 6 n=2时，左边=1+3=4，右边= =4 ∴等式成立 6
本节课我们学习的知识： 1、由特殊到一般的归纳思想。
2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。 步骤：⑴ 证明当n取第一个值n0时命题成立
⑵ 假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
由⑴ ⑵可知,对n∈N (n≥n0)命题都成立
两个步骤缺一不可
作业
an ，已知a1 1， 对于数列
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
1、用数学归纳法证明 3＋5＋…＋(2n－1)＝﹝n＋1﹞﹝n－1﹞时， 2 时，等式成立。 第一步应验证n＝___
2、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时， ⑴ 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ B ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 1＋2＋3 (D) 1＋2＋3＋…＋2· 1 ⑵ 则当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上
有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可 是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你 不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才 刚刚写完三千横！”
第一数学归纳法与第二数学归纳法
第一数学归纳法与第二数学归纳法大家好，今天咱们聊聊数学里的两个重要工具——第一数学归纳法和第二数学归纳法。
别看这名字长得吓人，其实咱们可以用简单的语言和生动的例子来搞定它们。
1. 第一数学归纳法1.1 什么是第一数学归纳法？说白了，第一数学归纳法就是一种用来证明“从第一个到最后一个”这样的一系列数学命题都对的办法。
想象一下你站在一排砖块上，第一块砖块稳稳当当放着，你的任务是确保每一块砖都牢固。
如果第一块砖没问题，而且每块砖都能把自己稳住，那么你就能确定整排砖块都没问题了。
就是这么个意思！1.2 第一数学归纳法怎么用？咱们先得搞明白两件事。
第一是基例，就是证明第一个命题对。
第二是归纳步骤，证明假如某个命题对，那么下一个也对。
比如说我们要证明某个数学公式对所有自然数都成立，我们就先证明它对1成立，然后假设它对某个数n成立，接着证明它对n+1也成立。
这样一来，公式对所有自然数都成立了。
2. 第二数学归纳法2.1 第二数学归纳法的特点第二数学归纳法和第一数学归纳法有点像，但也有自己的小特点。
它特别适合用来处理那些需要对多个前项进行假设的问题。
想象你在玩一个接力赛，不只是要跑完自己的那一段，还得确保前面几位接力棒都传递得好。
这就是第二数学归纳法的精髓所在。
2.2 如何使用第二数学归纳法？用第二数学归纳法时，我们要做两件事。
首先，证明基例，通常是证明前几个情况都成立。
然后，进行归纳步骤，不仅假设一个情况对，还得假设前面几个情况都对，然后证明在这些情况下，后续的情况也成立。
这种方法特别适合处理那些涉及多个前提的数学问题，比如在处理某些数列或者复杂的结构时。
3. 归纳法的实际应用3.1 解决实际问题在实际应用中，归纳法可是大有用处的。
比如在编写程序时，我们经常会用归纳法来证明算法的正确性。
用归纳法可以确保一个算法对所有输入都能正确工作，这样咱们在开发程序时就能省心不少。
3.2 生活中的例子在生活中，归纳法也有它的身影。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
归纳法与数学归纳法摘要：归纳法与数学归纳法是数学的常用方法，本文通过对归纳法与数学归纳法的定义、类别、特征以及归纳法与数学归纳法之间的联系与区别的探索与分析，了解归纳法与数学归纳法，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径，并学会应用归纳法与数学归纳法解决数学问题及其它问题．关键词：归纳法 数学归纳法 初级归纳法 高级归纳法引言：归纳法与数学归纳法是解决数学问题的常用方法，通过从特殊事例得出的结论得出在一般情况下该事例的情形，从特殊到一般.一 归纳法1、归纳法的定义引例 观察下列等式2111== 21342+==1359++==2321357164+++==……请推测，从1开始n 个连续的奇数相加,表示它们的和S 的公式是什么?分析:由21、22、23、24所呈现的规律知底数1、2、3、4恰好是各相应等式左边连续奇数的个数，而指数都是2，因此公式为2S n =即对任何自然数n ，等式2135(21)n n ++++-=像以上这种由几个具体的特殊事例引出一类事物的一般性结论的推理方法就叫做归纳法. 归纳法是一种特殊的推理方法，归纳法的定义通常有：定义1：归纳就是由特殊推到一般的过程.定义2：归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法.2、归纳法的两种形式归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法2.1完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理．由于应用完全归纳法时，必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的.不过在一般情况下，所要考察的对象总是相当多的甚至是无穷多的；特别在数学里，所以常常需要了解无穷多个对象的情况.2.2 不完全归纳法：所谓不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出的推理.例如：（1）铜在加热时膨胀 （2）玻璃在加热时膨胀 （3）一切物体在加热时膨胀根据不完全归纳法作出的结论可能是错误的，所以它不能用来作为严格的、科学的证明方法.不完全归纳法的意义在于：对特殊情况的考虑，会提示我们这一个或那一个规律性存在，帮助定出这一规律性.3、归纳法、归纳推理的涵义、联系与区别按定义1或定义2来理解，归纳法不包括类比法，因为类比是个别到个别的推理.但将完全归纳法列入归纳法范围也值得讨论，因为其实质是一种演绎推理，不是归纳推理.3.1 归纳法、归纳推理的涵义归纳推理：指特殊到一般的推理归纳法：指从某类事物的部分知识为前提推出关于该类事物的其他部分或全部知识的思维方法，其狭义涵义即归纳推理.3.2 归纳法与归纳推理的联系与区别按我们对归纳法涵义的分析，归纳推理是归纳法的一种特殊情形，也是人们日常生活中一种最常用的推理形式；归纳法比归纳推理外延要广.因此，不应将归纳法与归纳推理视为同一概念.4、归纳法的主要类别4.1 初级归纳法4.1.1 简单枚举推理：是根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性得出该类事物的全体也具有（或不具有）这种属性的思维方法.其推理格式为：1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性P1S 2S …n S 是S 部分对象，并且尚未观察到反例S 类的所有对象具有属性P对简单枚举归纳法，我们可以通过断定1S 2S …n S 在其它性质上有很大差异或断定它们是S 类的具有较强代表性的对象或增加考察对象的数量推大考察范围来提高结论的可靠性．4.1.2 科学归纳推理（亦称精确归纳推理）：是指以科学理论分析为指导，根据对象与属性之间的内在联系所进行的归纳推理．其推理格式为：1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性P1S 2S …n S 是S 部分对象，并且与P 有必然联系S 类的所有对象具有属性P由于科学归纳推理不是根据所考察对象之间的表面现象，主要不是依靠前提数量的大小而是根据对象之间的因果联系的本质属性所进行的推理.因此，即使有限的前提也能得出可靠的结论．科学归纳推理比简单枚举法可靠性更强．4.2 高级归纳法4.2.1 培根三表法：通过建立整理不同类型事例的“三表”，即存在与具有表、差异表、程度表，消除不相干因素，提出假设，从而得出结论的思维方法.其可靠性较简单枚举归纳推理高，但它仍是或然性推理，并非象培根认为的“结论是确定无误的”．4.2.2 求因果五法（1）求同法：是在被研究现象出现的若干不同场合中寻找共同原因的方法．（2）求异法：是在被研究现象出现与不出现的两种矛盾场合中，通过比较而找出由于某一原因而产生某一结果的思维方法．（3）求同求异并用法：是在被研究现象出现与不出现的若干场合中，通过比较判断得出一定的原因产生一定的结果的思维方法．（4）共变法：是指在被研究现象发生变化的若干场合中，如果其中只有一个情况变化着，并根据这一情况的变化而引起另一现象的变化去确定某一情况是某一现象原因的方法．（5）剩余法：是指从复杂现象中减去已知的一部分原因从而确定另一部分原因的方法．4.2.3 交叉归纳法：是根据已有的事例以及由与此类似的事例得出结论的一系列归纳推理而推出结论的思维方式．其推理格式可描述为1S 具有属性P2S 具有属性P……n S 具有属性PS 具有属性Q （﹡1）1S 2S …n S 与S 存在某种相似性Q P （﹡2）S 具有属性P （﹡3）交叉归纳法的交叉意即（﹡1）与（﹡2）的交叉．虽然（﹡1）与（﹡2）都是初级归纳法，但（﹡3）却体现了概率知识．4.2.4 解释归纳法：是根据或参考假设所具有的概率来选择假说的思维方法．高级归纳法的实质是有权重的认定，在运用这些归纳法时都或多或少参考了以前的归纳结论．高级归纳法优于初级归纳法．二、数学归纳法我们已经知道，为了得到数学定理而需要运用归纳推理时，必须运用完全归纳法．当我们所考虑的命题只涉及到有限个对象时，我们只要将这有限种情形一一考虑就行了．但是数学中常常接触到的命题是涉及到无限个对象的，困难就出在这里，要考察无限个对象．为了对付这一类问题，即判定一个命题是否对全体自然数都成立，人们创立了“数学归纳法”．1、归纳法原理假设对一切自然数n ，我们有一个命题()M n ，假定我们知道；1）(1)M 是真的；2）对任意的k ，()M k 真蕴含(1)M k +真，则()M n 对一切自然数真．证：用N 表示全体自然数的集合，用S 表示N 的一个子集合：S N ⊂，我们有一个很直观的断言：每个非空集合S N ⊂有一个最小元素，也就是存在一个自然数s S ∈，它比S 中的一切其他自然数都小，我们称这一断言为“最小元素原理”．现在用最小元素原理来证明归纳法原理．设{}|()S s N M s N =∈⊂不真如果S 是空集,那么我们就不必再证明,因为定理已经成立．设S ≠∅,则S 中有一个最小元素s .根据归纳法原理的1),1s ≠,即1s >从而1s N -∈,并且()1M s -真,但根据归纳原理2),()M s 真与S 非空相矛盾.因此S 一定是空集,这就证明了归纳法原理． 2、数学归纳法证明命题的步骤应用归纳法原理证明的是一些可以递推的有关自然数的论断．证明的步骤是：（1） 证明1n =时，某论断是正确的；（2） 假定当n k =时，论断是正确的，证明当1n k =+时，这论断也是正确的．根据（1）（2）就可断定，对于一切n ，论断都是正确的．例：求证：()()222211231216n n n n ++++=++ 证：当1n =时21112316=⨯⨯⨯=这时等式是成立的 假设当n k =时，公式也成立．即假定()()222211231216k k k k ++++=++ 我们来证明当1n k =+时,公式也成立.事实上,在上式两边各加()21k +得()()()()2222221123112116k k k k k k ++++++=++++ ()()()()21112161127666k k k k k k k ⎡⎤=++++++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()112236k k k =+++()()()11112116k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 数学归纳法的第一步骤通常证明起来很简单,但决不能略去这一步骤,这一步叫做归纳法的基础,去掉这一步骤就会导出荒谬的结论.3、数学归纳法的其它形式（1）第一个条件不一定从1开始，即数学归纳法中的两个条件可改成：如果当0n k =的时候，这个命题是正确的；又从假设当00()n k k k =≥时这个命题是正确的，可以推出当1n k =+时这个命题也是正确的，那么这个命题当0n k ≥时都正确（0k 是要证命题成立的最小自然数）．例1：求证：n 边形n 个内角之和等于()()23n n π-≥证明：当3n =时，我们知道三角形的三个内角和是180︒∴当3n =时命题是正确的假设当()3n k k =≥时命题也是正确的，设121,,,k A A A + 是1k +边形的顶点，作线段1k A A ，把这个1k +边形分成两个图形，一个是k 边形12k A A A ,另一个是三角形11k k A A A +，并且1k +边形内角和等于后面这两个图形的内角和．就是()()()2112k k k ππππ-+=-=+-⎡⎤⎣⎦也就是说，当1n k =+时这个命题也是正确的，因此命题得证．（2）第二句话也可以改写为“如果当1n k ≤≤时，命题正确，那么当1n k =+时，命题也是正确的，由此同样可以证明对于所有的n ，命题都得证．4、数学归纳法的再认识4.1 数学归纳法的适用范围数学归纳法：设()p x 为一与自然数有关的命题，如果能证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+则有()()y N p y ∀∈通过对其前提的分析可知:① 数学归纳法仅用来证明与自然数有关的命题② 并非每一个与自然数有关的命题都必须用数学归纳法来证明.对于()p x ,固然可用数学归纳法来证明,但有时却没有其它方法来得简捷,我们必须弃繁从简,如证明2221(1)n n n ++=+,绝没人首先想到用数学归纳法来证明，尽管它是一个与自然数有关的命题．③ 并非每一个与自然数有关的命题都能用数学归纳法来证明，对于()p x ，如果能证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+，则()()y N p y ∀∈，但如果不能通过有效途径证明()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+，却并不能说明()()y N p y ∀∈之假，有待于寻求第二证法．4.2 数学归纳法的理论依据与特征4.2.1 数学归纳法的理论依据我们用以下方式表示数学归纳法的证明：①(1)p （由验证确定）②()[]()(1)x p x p x ∀→+ （被证明）③()[](1)()(1)p x p x p x ∧∀→+ （由①②可知）④ ()[]()()(1)()(1)p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈ （？）⑤ ()()y p y ∀ （结论）当我们问数学归纳法的理论依据是什么时，实际上在问以上推理第④的根据何在？这确实是问题的关键，到底是什么保证由有限就这么过度到了无限的合理性呢？为此我们必须承认这样一个事实：N M ⊂∀，(1)()[1]M x x M x M M N ∈∧∀∈→+∈→=，并为此作为数学归纳法的依据，这实际便是皮亚诺的归纳公理．现在设{}|()M x N p x =∈此即()x M p x ∈↔(1)1p M ∴∈又()[]()(1)()[1]x p x p x x x M x M ∀→+∴∀∈→+∈由(1)()[1]M x x M x M M N ∈∧∀∈→+∈→=()[]()()(1)()(1)p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈∴数学归纳法在归纳公理中找到根据4.2.2 数学归纳法的特征数学归纳法是一种特殊的演绎推理方法.这种方法由实验与演绎两部分组成,然后借助归纳公理,完成了过有限认识无限的飞跃,因此数学归纳法并非归纳推理.因为归纳推理是前提与结论之间具有或然性联系的推理.数学归纳法与归纳推理没有任何逻辑的联系.4.2.3 数学归纳法的逻辑结构分析我们视数学归纳法为一系统,它的结构为(1)()[()(1)]()()p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈;它的要素为:(1)p ; ()()x p x ∀;()[]()(1)x p x p x ∀→+;()()y N p y ∀∈.⑴各要素的功能与作用()[]()(1)x N p x p x ∀∈→+为一般的演绎推理,是递推的根据,它的前提为一充分条件.假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦;(1)p 可视为系统的初始条件,它使递推有了基础;与逻辑学不同,在数学中,充分条件假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦必须为真,其真由(1)p 及()[]()(1)x N p x p x ∀∈→+可以保证.以上三要素的联系方式为()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+,其功能与以下推理等价: {}{}()(){}(1)[()(1)](2)(2)[()(1)](3)[()(1)]1p p x p x p p p x p x p p x p x p x p x ∧→+→∧∧→+→∧∧∧→+→+ 即()[](1)()(1)p x N p x p x ∧∀∈→+为任意确定的x 个三段论的压缩,借助归纳公理,这种相互联系,相互作用的整体效应便为()()y N p y ∀∈.②全称量词,x y 的差异在(1)()[()(1)]()()p x p x p x y N p y ∧∀→+→∀∈中,x 扮演的角色与极限定义中的e 酷似.它具有任意性与确定性;因此从本质上讲它具有个体性.而y 则具有整体集合性,所以有时可用()p N 来表示()()y N p y ∀∈.让我们来解释以上观点. y 具有任意性指在演绎前, x 可取作任何自然数.但在演绎过程中,这个x 便是确定的.惟其如此,才能通过(1)p 及[()(1)]p x p x →+用有限步骤来检验充分条件假言判断()()x N p x ∀∈⎡⎤⎣⎦的真值性.但这一点也时常引起一些误会:既然()[](1)()(1)p x N p x p x∧∀∈→+,所以x N ∀∈,必可通过有限次递推得出()p x ,这就证明了数学归纳法的可靠性,即对一切自然数y 都有()p y .三 归纳法与数学归纳法的联系与区别归纳法是发现规律的好方法,但由于归纳法得到的规律对,某些是不一定正确,要判断所总结的规律(或结论)是否正确,要从理论上加以证明,这就要运用数学归纳法了.但归纳法对数学归纳法仍有它的作用,有的命题有待于归纳法发现其规律,然后才能用数学归纳法加以证明.以下三道题足以说明两者的关系.例1:已知()2xa b f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭,()2x x a b g x +=()0,0.a b a b >>≠,探求对于任意自然数n ,()f n 与()g n 间的大小关系,并加以证明.分析与解:本题比较()f x ,()g x 的大小,即x 为变量,a 、b 为常量.令3,1a b ==则有()()11f g =,当2x =时, ()213242f +⎛⎫== ⎪⎝⎭,()2213252g +==,()()22f g ∴<; 当3x =时, ()313382f +⎛⎫== ⎪⎝⎭,()33133142g +==,()()33f g ∴<; 当4x =时, ()416f =,()441g =,()()44f g ∴<……,上述是用归纳法完成的.可猜想对于任意自然数2n ≥,()()f n g n <.当2n ≥时,用数学归纳法证明如下:⑴当2n =时,()()222222222()22022424a b a b a ab b a b a b f g +++++-⎛⎫-=-=-=-< ⎪⎝⎭ ()()22f g ∴<,原不等式成立⑵假设当n k =时,有(k b a )2+<2kk b a +① ,02,0,0>+∴>>b a b a ①式两边同乘以2b a +则1111()2224k k k k k k k a b a b a b a b a b a b +++++++++⋅+⋅<⋅=由于11111()()0244k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b ++++++++⋅+⋅---=> (b a a -≠,0与k k b a -同号),∴(1)2++k b a <211+++k k b a ,即当1n k =+时原不等式成立. 由(1)(2)可知对于任意自然数n , 当2n ≥时,不等式()()f n g n <恒成立.例2:由下列各不等式: 112>,111123++>,111111312345672++++++>,1+3121++…+2151>,……,你能得到怎样的结论?并予以证明. 分析与解:从观察知,每一个不等式左边的第一项是1,各项的分子都是1,且分母按自然数顺序排列.对这类命题一般规律探索的关键在于第n 个不等式左端的首项及末项,以及不等式的右端.由四个不等式的右端:21, 212=,23,422=,可知第n 个不等式右边为2n ;四个不等式左边最后一项的分母为: 1111121==-;2321=-,3721=-,41521=-,……,由此猜想第n 项的分数的坟墓为21n -.这是采用归纳法得出的.用数学归纳法证明如下:(1) 当1n =时,猜想显然成立(2) 假设n k =时,不等式成立,即111()2212k k k N +++>∈- ,那么 当1n k =+时, 左边=(1++21…+++++-12121()121k k k …+++++>-+12121(2)1211k k k k …++>-+2)1211k k ++++112121(k k …+)211+k =2121221221+=+=⋅++k k k k k ,即当1n k =+时,不等式成立.综合(1)(2)知对一切n N ∈不等式成立.例3: 数列{}n a 的各项均为正数, n S 为前n 项和,如果11()2n n n S a a =+ （1）求1a ,2a ,3a ;（2）归纳n a 的表达式，并用数学归纳法证明解：（1）由111111()2a S a a ==+得211a =,由于10a >故11a = 由2212211()12a S S a a =-=+-得222210a a +-=,解之取正值得221a =-． 由233323122a a S S a +=-=-得2332210a a +-=, 解之取正值得332a =-,猜想1n a n n =--证明：（1）当1n =时，命题成立(2)假设n k =时，命题成立，即1k a k k =--有11()2k k kS a k a =+=. 当1n k =+时，111111()2k k k k k a S S a k a ++++=-=+-,得211210k k a ka +++-=, 解之取正值得11k a k k +=+-.命题对1n k =+时成立.综合(1)(2)对一切n N ∈有1n a n n =--.归纳法与数学归纳法是数学中发现规律论证关于自然数的命题是否正确的一种重要方法,它的特点是前者发现规律,后者予以理论上严谨的证明.四 归纳法与数学归纳法的应用数学归纳法的应用广泛,用此方法可解决以下几个方面的数学问题.1 代数恒等式方面的问题有不少代数恒等式,它的严格证明需要数学归纳法.例1:等差数列的第n 项,用公式()11n a a n d =+- (1)表示,这里1a 是它的首项, d 是公差证明:当1n =时, 11a a = (1)式成立假设当n k =时,(1)式是成立的,那么()()111111k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+-+∴当1n k =+时,(1)式成立,由此可知,对于所有的n ,(1)式都成立.2 不等式方面的问题用数学归纳法证明有关不等式的命题,关键是“一凑一证”,常用比较法,分析综合法,放缩法等方法完成“假设当n k =时命题成立,证明当1n k =+时命题也成立”这一步.以下就此举例予以证明.2.1比较法用数学归纳法证明某些不等式命题时,题中关于自然数n 的表达式可表示为()f n ,用k 表示()()1f k f k +-,找到由“k ”过渡到“1k +”的突破口,问题便可迎刃而解.例2:求证:若*n N ∈,当2n ≥时,有++++2111n n …+n 2121> 证明:(1)当2n =时21127221121>=+++ ∴原不等式成立. (2)假设当n k =()2k ≥时,原不等式成立,即有++++2111k k …+2121>k 设()111122f n n n n =+++++ , 则()()111110212(1)12(1)(21)f k f k k k k k k +-=+-=>+++++ 从而有()()112f k f k +>>,即当1n k =+时,原不等式也成立. 故而(1)(2)可知,当n 是不小于2的任意自然数时,原不等式都成立.2.2分析综合法分析综合法是用数学归纳法证明关于自然数n 的不等式的,从“k ”过渡到“1k +”的常用方法.例3:求证:当*n N ∈,当1n >时,有111123n n++++> 证明(1)当2n =时,222211+=+ ,02222222>-=-+ 2=∴n 时原不等式成立(2)假设n k =()2k ≥时,原不等式成立,即有111123k k++++> 当1n k =+时,原式左边=1+++3121…+11111++>++k k k k 因此,欲证当1n k =+时原不等式成立,只需证111+>++k k k 即01122>⇒>+⇒+>++k k k k k k k ,显然成立.于是当n=k+1时,原不等式成立. 由(1)(2)可知,对任意大于1的自然数,原不等式都成立.2.3放缩法用数学归纳法证明关于自然数n 的不等式的,从“k ”过渡到“1k +”;有时可考虑防缩法.但需注意,放缩法证题学生往往掌握不好,把握不住尺度,因为放得过大或缩得过小都不能达到目的.例4：求证：1+21+31+…+121-n >2n ,*N n ∈ 证明：（1）当1n =时，不等式显然成立．（2）假设当n k =时，命题成立，则有1+21+31+…+121-k >2k ①, 要证1n k =+时命题成立，即1+21+31+…+121-k +k 21+…+1211-+k >21+k ②在不等式①的两边分别加上（k 21+…+1211-+k ），就凑好了不等式②的左边， 可得1+21+31+…+121-k +（k 21+…+1211-+k ）>2k +k 21+…+1211-+k . 接下来只需证k 21+…+1211-+k >21③因为③式左边有k 2项，且1211-+k 最小 因此k 21+…+1211-+k >1211-+k +…+1211-+k =1221-+k k >122+k k =21 这就证明了③式成立．故由（1）（2）可知，对任意自然数原不等式恒成立．2.4 乘因数（式）法用数学归纳法证明不等式，从“k ”过渡到“1k +”时，有时用乘因数（式）法，即在关于k 的不等式两边同乘以一个因数（式），从而凑好1n k =+时的一边．例5：若0,0a b >>,*N n ∈,则2nn b a +≥n b a )2(+ 证明：（1）当1n =时，等号成立；当2n =时，222b a +-2)2(b a +=4)(2b a -≥0 ∴1n =、2时命题成立．（2）假设n k =时，命题成立，即有2kk b a +≥k b a )2(+①， 当1n k =+时，要证211+++k k b a ≥1)2(++k b a ．在①式两边同乘以2b a +，有4))((b a b a k k ++≥1)2(++k b a ，问题转化为证211+++k k b a ≥4))((b a b a k k ++，整理得))((b a b a k k --≥0成立．（ 0,0a b >>，*N k ∈，k k b a -∴与b a -同号）． ∴1n k =+时命题成立．故由（1）（2）可知对于任意自然数原不等式恒成立．3、几何方面的应用例6：平面上有n 条直线，其中没有两条平行，也没有三条经过同一点，求证：它们（1）共有n V =21n （1-n ）个交点 （2）互相分割成n E =2n 条线段（3）把平面分割成n S =1+21n （1+n ）块 证明：假设命题在1-n 条直线时是正确的，现在来看添上一条直线后的情况，新添上去的1条直线与原来的1-n 条直线各有1个交点，因此n V =1-n V +1-n 这新添上去的1条直线被原来的1-n 条直线分割成为n 段，而它对原来的1-n 条直线每条多分割出一段，因此n E =1-n E +n +1-n =1-n E +12-n ，这新添上去的1条直线被分割为n 段，每段把一块平面分成两块，总共要添出n 块，因此n S =1-n S +n当n =1时，1V =0，1E =1，1S =2因此，n V =（1-n ）+1-n V =（1-n ）+（2-n ）+2-n V ……=（1-n ）+（2-n ）+…+1=21n （1-n ）n E =12-n +1-n E =（12-n ）+（32-n ）+2-n E ……=（12-n ）+（32-n ）+…+1=2n n S =n +1-n S =n +（1-n ）+2-n S ……=n +（1-n ）+…+2+2=1+21n （1+n ） ∴命题得证4、排列与组合数学归纳法最简单的应用之一是用来研究排列和组合的公式．例7：证明：m n C =)!(!!m n m n - （2） 证明：首先，1n C =n ，这显然的，如果再能证明当1n m <<的时候，m n C =m n C 1-+11--m n C （3）那么，式子（2）也就可用数学归纳法来证明．我们假设有n 个不同的元素1a ，2a ，…，n a ，每次取出m 个元素的组合里，可以分为两类：一类含有1a ，一类不含有1a ，含有1a 的组合数就等于从2a ，3a ，…，n a 里取1-m 个元素的组合数，它等于11--m n C ；不含有1a 饿组合数，就等于2a ，3a ，…，n a 里取m 个的组合数，它等于m n C 1-，所以m n C =m n C 1-+11--m n C 下面我们证明式子（2）因为当n =1时，这个定理是正确的 ；假设当1-=k n 时，这个定理是正确的，那么m k C =m k C 1-+11--m k C =)!1(!)!1(m k m k ---+)!()!1()!1(m k m k ---=)!(!!m k m k -（这里m k <<1）k n =∴时，这个定理也是真的.所以公式m n C =)!(!!m n m n -是成立的. 结束语通过对归纳法与数学归纳法的分析和探索，了解了归纳法与数学归纳法的相关知识，作为一种特殊的证明方法和推理方法可以解决一些不容易解决的数学问题。