高考数学专题训练 数学归纳法

数学归纳法
注意事项：1.考察内容：数学归纳法 2.题目难度：中等难度
3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。

4.参考答案：有详细答案
5.资源类型：试题/课后练习/单元测试
一、选择题
1.用数学归纳法证明“)1
2...(312))...(2)(1(-⋅⋅⋅=+++n n n n n n
”从k 到1+k 左端需增乘
的代数式为
（ ）
A ．12+k
B ．)12(2+k
C ．
112++k k D ．1
3
2++k k 2.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ）
A ．()1f n n ++
B ．()f n n +
C ．()1f n n +-
D ．()2f n n +-
3.已知
11
1
()()12
31
f n n n n n *=
+++
∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1
()3(1)1
f k k +
++
B ．1
()32f k k +
+ C ．1111
()3233341f k k k k k +++-
++++ D ．11
()341
f k k k +-
++ 4.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列
结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立
5.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n
n
x y +能被x y +
整除”时，第二步归纳假设应写
成（ ）
A ．假设21()n k k *
=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确
B ．假设21()n k k *
=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确 C ．假设(1)n k k k *
=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确
D ．假设(1
)n k k k *
∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确 6.用数学归纳法证明不等式11
1
1(1)23
21
n
n n n *+
+++
<∈>-N ，且时，不等式在1n k =+时的形式是（ ）
A ．111
11232k k ++++<+
B ．1111111232121k k k ++++++<+--
C ．111111112321221k k k k +++++++<+--
D ．1111111111123212212221
k k k k k k +++++++++++<+-+--
7.用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可
变形为（ ）
Ａ．41412156
325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++
Ｄ．412125(35)k k +++
8.用数学归纳法证明等式(3)(4)
123(3)()2n n n n *+++++++=
∈N 时，第一步验证1n =时，
左边应取的项是（ ） Ａ．1 Ｂ．12+
Ｃ．123++
Ｄ．1234+++
9.已知数列{n a }满足：111
0,
2
n n a a a +<=，则数列{n a }是 ( ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定
10.若22
25
lim 23
x x x a x x →++=--，则a 的值是 A. 2 B. 2- C. 6 D. 6-
二、填空题
11.观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是2
n , 那么第20行最左边的数是
_____________.
1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
12.用数学归纳法证明不等式1111127
124
264
n -+
+++
>
成立，起始值至少应取为 ． 13.已知等比数列{}
)(3*
∈-=N n b S n a n
n n 项和的前，则)1
11(lim 21n
n a a a +++∞
→ ＝ ．
14.设21
()6
1n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ．
三、解答题
15.求证：1
21(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n *∈N ）．
16.用数学归纳法证明：(31)
(1)(2)()()2
n n n n n n n *+++++++=
∈N ． 17.数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之．
18.用数学归纳法证明：1)
n n
*++
<∈N ．
答案
一、选择题 1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.D 7.Ａ 8.Ｄ 9.A 10.D
解析：设22(2)()2(2)(1)x x a x x m x x x x ++-+=---+，则32
225
lim lim 213
x x x x a x m x x x →→+++==--+ 解得m =3，所以a =--6.
二、填空题 11.362 12.8
13.
43
14.36()35f k - 三、解答题
15.证明：（1）当1n =时，2
1
2
(1)1a a a a ++=++能被2
1a a ++整除，即当1n =时原命题
成立．
（2）假设()n k k *
=∈N 时，1
21(1)k k a a +-++能被21a a ++整除．
则当1n k =+时，2
211221(1)(1)(1)k k k k a
a a a a a +++-++=+++
121221(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +--=++++++
()()21
1212
(1)11k k k a a a a a a -+-⎡⎤=++++++⎣⎦
．
由归纳假设及2
1a a ++能被2
1a a ++整除可知，2
21(1)k k a
a ++++也能被21a a ++整除，即
1n k =+命题也成立．
根据（1）和（2）可知，对于任意的n *
∈N ，原命题成立．
16.证明：（1）当1n =时，左边2=，
右边1(31)
22
⨯+=
==左边，等式成立． （2）假设n k =时等式成立，即(31)
(1)(2)()2
k k k k k k +++++++=
． 则当1n k =+时，左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++++
++++++++
[(1)(2)()]32k k k k k =++++++++
(31)
323
k k k +=
++ 2374(1)(34)22
k k k k ++++==
(1)[3(1)1]
2
k k +++=
，
1n k ∴=+时，等式成立． 由（1）和（2）知对任意n *
∈N ，等式成立．
17.解析：由112a a =-，11a =，
由12222a a a +=⨯-，得232
a =
． 由123323a a a a ++=⨯-，得37
4
a =．
由1234424a a a a a +++=⨯-，得415
8
a =．
猜想121
2
n n n a --=．
下面用数学归纳法证明猜想正确：
（1）1n =时，左边11a =，右边11112121
122
n n +---===，猜想成立．
（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121
222
k k k k S k a k --=-=-．
则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，
11
[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222
k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．
这就是说，当1n k =+时，等式也成立．
由（1）（2）可知，1212
n n n a --=对n *
∈N 均成立．
18.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，12<，所以不等式成立．
（2）假设n k =时不等式成立，即1
k
+
+
<
则当1a k =+时，1
+<
=
<
=
即当1n k =+时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n *
∈N 时，不等式成立．。