L-相对乘积空间与θ-连通性
乘积空间的自同伦等价群的子群
乘积空间的 自同伦等价群的 ２个子群 以及它们 的 Ｐ一局部 化情 形．
为 阐明本 文 的主要 结果 ，以下 先 介绍 一些 必要
件具有很强 的限制性并且难 以检验 ， 以这些结 论有 所
一
定的适用范围． ０７年，Ａ Ｅ Ｉ ¨ 给出了乘积空 ２０ ＰＶ Ｓ ５ Ｃ
间 的 自同伦 等 价 群 可 约化 的 ２个 充 分条 件 ， 文献 使 ［］ ３ 的结果在适用性 得到 了一定 的提高． 本文 主要研 究乘 积空 间 的 自同伦 等价 群 的 ２个
１得 以下 结论．
） ＝ 。
ｙ ｐ ｉ，ｙ ｉ） 又 由 于 （ ）。 ｙ ｐ ｙ ＝（ 。 ｙｐ 。 ｖ ， ｐ， ｉ ＝（ 。 ， ）所 以 。 ＝ ＝ ｙ 即（ ． ｉ） ｐ 。 １ ， ｍ ） ｅ ｙ ∈ｋｒ ． 从而有 ．（ ×Ｙ ｅ ｙ 所 以 ， Ｘ ｘ Ｙ Ｘ ）Ｃ ｋ ｒ ． （ ）＝
文章编号 ：１０ ５ ６ （０ ２ ０ ０ １ ０ ０ ０— ４ ３ ２ １ ）２— ０ ５— ３
乘 积 空 间 的 自同伦等 价 群 的 子群
俞海 波， 赵 浩
（ 华南师范大学数学科学学院 ， 广东广 州 ５ ０ ３ ） １６ １
摘要 ： 主要研究拓扑 空间 ， Ｙ的乘积 ＸＸＹ的 自同伦 等价 群的子群 毋 （ ＸＹ 与 （ ） ＸＸＹ 以及 它们 的Ｐ一局部化 情 ）
得 （ ） ＝１ ，（ ） ＝１ 由 Ｗｈｔ ｅｄ定 理 ＃ （ ） 厶 ＃ （ ｉｈａ ｅ
可得 ∈ （ ， ∈ （ ） ） ｙ ．所以 ∈ ） ∈ （ ， 如
（ ） ｙ．
定义 ｘ ， ｘｘｙ 一 （ 为 ： ） （ ）
．
类似 地 ， 定义 ｙ ， Ｘ× ， 毋 （，为 （ ， ： ｘ （ ｌ 一 】 ） ）
L-相对乘积空间中的层紧性
L-相对乘积空间中的层紧性
于娜;孟晗;凌思兰
【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(20)4
【摘要】通过引入相对乘积空间证明了层紧性关于相对乘积运算而言,THXOHOB 乘积定理成立.
【总页数】3页(P3-4,47)
【作者】于娜;孟晗;凌思兰
【作者单位】聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.LF相对乘积空间中的良紧性 [J], 姜金平;马保国;王小霞
2.L-相对乘积空间与Sè-连通性 [J], 王小霞
3.L-相对乘积空间与θ-连通性 [J], 姜金平;王小霞
4.L-拓扑空间中的相对强F紧性与相对超F紧性 [J], 李尧龙
5.LF相对乘积空间与近似良紧性 [J], 王小霞;姜金平
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LF拓扑空间的Os-θ连通性(Ⅱ)
第 ２ 第 １ １卷 期 ２０ 年 ２ ０７ 月
文章 编 号 ： ０ １ ７ ０ （ ０ ７ ０ — ０ ９０ １ ０ — ４ ２ ２ ０ ） １０ １ － ５
模
糊
系
统
与
数
学
Ｖ０ ＿ １ ｌ ２ 。Ｎｏ １ ．
Ｆｅ ｂ．， ００７ ２
中 图分 类 号 ： ８ ． Ｏ１ ９ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
文 ［］ １利用 一 闭包 在
拓 扑空 间 中给 出 了 ｏ一 Ｊ 连通性 ， 文在 文 ［］ 基础 上研究 了 ｏ一 本 １的 Ｊ 连
通 性 的若 干性 质 ， ｏ一 即 Ｊ 连通 性 是 弱 同胚 不 变性 ， 有 限可 积 性 和“ 好 的 推广 ” 最 后 给 出 了 是 Ｌ一 ，
Ｌ— ｕｚ ｆ ｚｙ开集 ， Ｌ 表 示 Ｌ 中的非 １全体 素元 之集 ， （ 和 。 ） Ｐ（ ） Ｌ） （ 分别 表示 Ｌ和 中的分
子之 集 ， 。 ） 示 中的分子 之集 。其 它未 说 明 的记 号 和概念 均见 ［］ Ｍ （ 表 ２。
１ 预 备 知识
定 义 １ １ 设 （ ， ） Ｌ一 ．［ 。 是 ， ∈ Ｌ ， Ｍ 。 ）， ｚ 为 的 附着 点 ， Ａ ｘｚ ∈ （ 称 若对 ｚ 的 每 个 正则 开远域 【 ， ， 都有 车 【 ， 的所 有 一 ， 附着 点之 族记 为 。 ．称 。 之并 为 的 一 闭包 ， 为 记
Ｆ ｚｙ Ｓ ｓｅ ｎ ａｈ ｍ ａｉ ｕ ｚ ｙ ｔ ｍｓａ ｄ Ｍ ｔ ｅ ｔ ｓ ｃ
Ｆ拓 扑 空 间 的 ５５ 通 性 （Ⅱ） 一７ ｆ连
姜金 平 ｈ ， 小 霞 马保 国 王 ，
（．西 安 交 通 大 学 理 学 院 ， 西 西 安 １ 陕 ７ ０ ４ ；２ １ ０ ９ ．延 安 大 学 计 算 机 学 院 ， 西 延 安 陕 ７ ６０ ） １ ０ ０
局部θ-连通空间
局部 ０ 一连 通 空 间
姜 金 平 ， 小 霞 王
（． １ 延安大学数学与计算 机学院 ， 陕西 延安 ７ ６０ ； 西安交通 大学理学 院 ， １０ ０ ２． 陕西 西 安 ７０ ４ ） １０ ９
摘要 ： 借助 ０ 一连通集给 出局部 ０一连通空间的概 念， 证明 了局部 ０ 一连通性是拓扑不 变性和有限可积性 ， 并研
Ｋ ｅ ｒ ｓ： ｏ ａ ｙ ｗｏ ｄ Ｌ ｃ ｌ０一ｃ ｎ ｅ ｔｄ ｓ ｃ Ｔ ｐ ｌｇｃ ｌｐ ｅ ｅ ｅ ｒ ｐ ｒｉ ｓ Ｆｉ ｔ ｌ ｒ ｄ ｃ ｉｅ ｐ ｐｅ － ｏ ｎ ｃｅ ｐａ ｅ， ｏ ｏ ｏ ｉａ ｒ ｓ ｒ ｄ ｐ ｏ ｅ ｅ ， ｎｉ ｙ ｐ ｏ ｕ ｔ ｒ ｒ ｖ ｔ ｅ ｖ ｏ
［ ］ 文献 ［ １、 ２ 的基 础 上 给 出 了局部 ０一连通 空 间 ３
概念 ， 明 了局部 ０一连通 性 是 拓扑 不 变性 ， 限 证 有
开集 使 ∈Ｖ ， ｃＡ 则称 Ａ为 的一个 ０ 一邻 域。 定 义 ２ ： Ａ， 为拓 扑空 间 （ ） … 设 ， 的子集 ，
一
的０ 一隔离子集 Ａ ， ， 使得 Ａｕ ＝ 。则称 为 ０ Ｘ 不连 通空 间 ， 则称 为 ０一连通空 间 。显然 ０ 否
一 一
开集 （ 一闭集 ） ０ 是开集 （ 集 ） 反 之不 然 ， 见 闭 ， 易
，
不 连通 空 间必 为 不 连通 空 间 ， 言 之 连通 空 间 换
作者简介 ： 姜金平 （９４一） 延安大学副教授 ， １７ ， 西安交通 大学 在读 博士 ， 主要从事拓扑学及科学计算研究 。
收 稿 日期 ：０７— ８—１ ； 订 日期 ：０ ７—１ ０ ２０ ０ ６修 ２０ １— ５
不可数空间的可数补拓扑的几类连通性
不可数空间的可数补拓扑的几类连通性王小霞;姜金平;赵宁宁;李萍【摘要】讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(035)003【总页数】3页(P33-35)【关键词】不可数空间;可数补空间;连通性【作者】王小霞;姜金平;赵宁宁;李萍【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O189.1连通性是拓扑空间研究的一个重要课题,文[1]讨论了一般拓扑空间的连通性，文[2]讨论了θ-连通性空间与θ-连通性，文[3]研究了θ-弧连通空间和θ-弧连通性,文[4]讨论了局部道路连通性,文[5]讨论了一类可数补空间的连通性和弧连通性。
在文[5]的基础上，讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性,进一步完善可数补空间的连通性理论.定义1[1]设X是拓扑空间,T={U⊂是X的拓扑,称T为X的可数补拓扑.(X，T)称为可数补空间.定义2[2]设A、B为拓扑空间(X，T)的子集,若则称A、B为θ-隔离子集.定义3[2] 设(X，T)、(Y，ω)为两个拓扑空间,f:X→Y是映射,若∀θ -开集B∈Y,有f-1(B)是X中的θ -开集,则称f为θ-连续映射.定义4[2] 设(X，T)为拓扑空间,称集合A⊆X为θ -开集,当且仅当∀x∈A,∃开集V 使x∈V⊂⊂A,θ-开集的补集称为θ-闭集.定义5[3] 设(X，T)为拓扑空间,若对X中任意两点x、y都有X中θ-连续映射f:[0,1]→X,使得f(0)=x,f(1)=y,则称(X，T)为θ-弧连通空间.定义6[4] 设X为拓扑空间, ∀x∈X,若∀U∈Ux,∃x∈X的道路连通邻域V,使得x∈V⊂U,则称X是局部道路连通空间.定义7 设X为拓扑空间,若X包含不可数多个点,则称X为不可数空间.定理1 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X是θ-连通的.证明假设X不是θ-连通性的,则由文[2]定义4.2可知X有两个非空的θ-隔离子集A、B,使得A∪B=X.由于X是可数补空间,所以A′、B′为可数集,由定义2可知故X=Φ′=(A∩clθ(B))′=A′∪(clθ(B))′=A′∪intθ(B′),而intθ(B′)是θ -开集,从而一定是开集,由于B′是可数集,所以intθ(B′)是可数集,故X为可数集,这与已知矛盾,故X是θ-连通的.定理2[5] X为可数集,T={X-C:C为可数集}∪{Φ},则(X，T)为离散空间.定理3 如果Y为不少于两点的离散空间,则拓扑空间X为θ-连通空间当且仅当有一θ-连续映射f:X→Y都是常值映射.证明: “⟹” 设X为θ-连通空间, f:X→Y为θ-连续映射,则由文[2]定理4.8知f(X)为θ-连通子集,若f(X)多于一点,设y∈f(X),由于Y为离散空间,所以皆为Y的非空子集，且{y}∩(f(X)-{y})=Φ，这与f(X)是θ-连通矛盾，故f(X)是独点集，即f是常值映射.“⟹” 设每一θ-连续映射f:X→Y都是常值映射,若X不是θ-连通,则存在非空θ-隔离子集A、B,使A∪B=X,显然定义映射f:X→Y,使f(A)={y1},f(B)={y2},其中y1、y2∈Y,且y1≠y2,显然f为连续映射,从而为θ-连续映射,但非常值映射,故矛盾,因此X为θ-连通空间.定理4 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X不是θ-弧连通空间.证明∀x、y∈X,且x≠y,假设x、y是θ-弧连通的,由文[3]定义1.1知存在θ-连续映射f:[0,1]→X，使得f(0)=x,f(1)=y,由于[0,1]是不可数集,则f([0,1])也是不可数集. 事实上,若f([0,1])是可数集,且至少含两点x、y,令Y=f([0,1]),由文[5]引理1知(Y,T|Y)为离散空间,且f|Y:[0,1]→Y为满射,且为θ-连续映射,因为[0,1]是连通的,从而是θ-连通的,由文[2]定理4.8知f([0,1])是θ-连通的,由本文定理3知f([0,1])=Y为独点集,矛盾.令B={x|x∈I,x为有理数}⊂[0,1],则B为可数集,由文[1]定理1.7.2知f(B)为可数集.因为f(B)⊂f([0,1]),而f([0,1])为不可数集,所以∃t∈[0,1],使f(t)∈f([0,1]),但f(t)∉f(B),故t必为无理数,令C=X-f(B)，则C为X中θ-开集且f(t)∈C,所以f-1(C)为[0,1]中θ-开集,且t∈f-1(C),因为f-1(f(B))⊃B,所以f-1(C)=f-1(X)-f-1(f(B))=[0,1]-f-1(f(B))⊂[0,1]-B，而[0,1]-B为[0,1]中无理数集,它的任意非空子集均不是θ-开集,这与f-1(C)为θ-开集矛盾,从而x、y不是θ-弧连通的,故X不是θ-弧连通空间.定理5[1] 可数补空间是局部连通空间.定理6 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X不是局部道路连通空间. 证明假设X是局部道路连通空间,则由文[4]定义2可知∀x∈X,∀U∈Ux,∃x的道路连通邻域V,使得x∈V⊂U.从而V为道路连通的,设y,z∈V,且y≠z,即y,z是道路连通的,由道路连通定义,存在连续映射f:[0,1]→X,使f(0)=x,f(1)=y,记I=[0,1],因为I 不是可数集,类似于定理2,同理可证f(I)也是不可数集.令B={x|x∈I,x为有理数}⊂I,则B为可数集，由文[1]定理1.7.2知f(B)为可数集，类似于本文定理2，可知I-B为I中无理数集, 它的任意非空子集均不是开集,这与f-1(C)为开集矛盾!故x、y不是道路连通的,故V不是道路连通子集,即∀x∈X,∀U∈Ux,不存在X的道路连通邻域V,使x∈V⊂U,从而与假设矛盾!故X不是局部道路连通空间.【相关文献】[1] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社,1997.[2] 许兆龙.θ-连通空间与θ-连通[J].韶关学院学报：自然科学版,2002,23(6):17-24.[3] 许兆龙.θ-弧连通空间与θ-弧连通[J].抚州师专学报,2003,22(3):46-49.[4] 张喜贵.局部道路连通空间[J].通化师范学院学报,2002,23(5):14-17.[5] 陈燕芬.一类可数补拓扑空间的连通性与弧连通性[J].韩山师范学院学报：自然科学版，1996 (3):27-29.。
拓扑空间的θ_连通性
连通 性是拓 扑空 间的一 个重要 内容 ，它是 利用
（ 。 ） 则称 ｆ Ａ） ， 是一 个 ０ 连 续 映射 。特 别地 ， 果 ｆ 一 如
是 一个 一一对 应且 ｆ ｆ 和 都 ０ 是 连续 映射 ， 称 ｆ 一 则 是 一个 ０ 同胚 映射 。 一
２ ０
一
隔离子集来 定义 的 ，即拓扑空 间 称为 连通 的是 指如
作者简介： 周红玲（ ９ ｌ ， ， 南西平人 ， 】８ 一） 女 河 助教 ， 硕士 ， 研究方 向： 格土拓扑 学 Ｅ— ａ ： ２０ ＠１３ Ｃｒ ｍ ｉ ８ １ｓ ６ ．Ｏ ｌ ｎ
周红玲 ， 沈
定 义 １２ ．
Ｘ是 一个拓 扑空 间 ， Ａｃｘ， 如果 Ａ
＝ ｌＡ ） 则称 Ａ是 ０ 闭集 。Ａ是 ０ 闭集 当且 仅 ｅ（ 。 ， 一 一
当 Ａ是 ０ 开 集 。 ’ 一 定 义 １３ Ｘ是一个 拓扑 空间 ， Ｂ ． Ａ， ＣＸ。如果
（ ）设 Ａ， ２ Ｂ是 ｘ中 的不 相 交 的 ０ 闭集 ， ｘ 一 且
：
（ｌＡ ） Ｕ （ （ 。 ）＝ ， 称 Ａ， ｃ（ 。 ｎＢ） Ａｎ ｃ Ｂ ） 则 ｌ Ｂ为 Ｘ 中的 ０ 隔 离 子集 。显 然 （ ｌ Ａ。 一 ｃ （ ）ｎ Ｂ）Ｕ（ Ａｎｃ ｌ （ 。 ）＝ 当且 仅 当 ｃ（ 。 ｎＢ＝Ａｎｃ（ 。 。 Ｂ） ｌＡ ） Ｂ ）＝ ｌ 定 义 １４ ｘ是 一 个拓 扑 空 间 ， 果存 在 两 个 ． 如 非空 的 ０ 隔离 子集 Ａ， 一 Ｂ使 得 Ｘ＝ＡＵＢ， 称 Ｘ不 则
有 ｃ（ Ｃｃ（ 。 。 ｌＡ） ｌ Ａ ）
一
Ａ不是 ｘ 的连 通集 ， 矛盾 ！ 由此可见 ， ～ 通空 间是 比连 通 空 间更广 泛 的 ０连 类 空 间 ， 连通 性较 ０ 连通性 强 。 故 一 定理 ２ ２ 设 ｘ是 一个 拓 扑 空 间 ， 下 列条 件 ． 则
Lω-空间的准ωθ—Lindelof性质
工作 的继续 ，讨论 了 一空 间的准 ｔ ｏ ｏ—Ｌｎ ｅ ｆ 质 ． ｉｄｌ 性 ６
在 本文 中 ，￡表 示 ｆｚ ｕｚ ｙ格 ， 、 ｔ 分别 表 示 定 义 在 非 空集 合 Ｘ、 上 取值 于 的所 有 Ｌ—ｆｚｙ ｕｚ
集合构成 的集族．１ ０ 分别表示 中的最大元和最小元 ， （ ）、 ’ ｔ 和 肘。 （ ）分别表示 、 ｔ 中 的全体分子所构成的集合 ，其余未列出的概念和符号均可在文献 ［ — ］ 中找到． １ ６
Ｐ ≤Ｑ ，则称 Ｐ为分子 的一个 一 远域 ，记 ｔｌｘ ） Ｏ （。 为 的所有 一 Ｔ 远域构成的集族 ；２ ）如果 Ａ∈
且 Ｖ Ｏ７ｘ ），有 Ａ ，则称 为 Ａ的 ∞一 ｐ∈ｔ （ ￣ 箬Ｐ 附着点．Ａ的所有 一附着点之并称为 Ａ的 ∞一 闭包 ，记作 ｔ ｌＡ ．如果 Ａ ＝ｔ ｚａ ｏ （） ｃ ｏ （ ），则称 为 （ ， 中的 一闭集．记 ｔ （ ｘ 为 中的所有 ｃ ） ｏ Ｌ） Ｃ
Ａ ＝ｔ ａ Ｏ ），则称 Ａ为 中的 一 （ 集．记 ＝｛ Ａ∈Ｌ Ｉ Ａ＝ｔ Ａ算子 空 间 ，简称 一空 间．
定义 ２ 设 （ ， ）为 一空 间 ， ∈Ｍ （ ），Ｐ∈Ｌ ． １ 如果 存 在 Ｑ∈ ，使 得 葚Ｑ且 ｘ ）
第１ ３卷
第 ４期
集 美大 学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｍｅ Ｕ ｉｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒｌ ｏ Ｊ ｉ ｎｖｒ ｔ（ ａｕａ Ｓｉ ｃ） ｎ ｆｉ ｉ ｅ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ ４ １ １ ． Ｏｃ ．２ ｏ ｔ ０８
２０ ０ ８年 １ ０月
［ 文章编号 】１０ ７ ０ （０ ８ ０ ０ ７ ０ ０７－ ４ ５ ２ ０ ）４— ３７— ３
局部θ-连通空间的几个性质
局部θ-连通空间的几个性质汪贤华【摘要】θ-连通空间是比连通空间更广泛的一类空间，在前人的研究基础之上得到了局部θ-连通空间的充分必要条件，证明了局部θ-连通空间在商映射下是不变的，同时也得到了和空间⊕α∈A Xα与乘积空间∏s∈S Xs 是局部θ-连通空间的充分必要条件。
%Every local connected space is local u0012-connected space. And some sufficient and essential conditions of local u0012-connected space are obtained based on previous research. It is also shown that local u0012-connectedness is an invariant of quotient mappings. It also obtained that the sufficient and essential conditions of the sum space ⊕ 2A X and the Cartesian pro duct Π s2S Xs are local u0012-connected spaces.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】5页(P359-363)【关键词】拓扑空间;连通空间;θ-连通空间;局部θ-连通空间;θ-连通分支【作者】汪贤华【作者单位】北京石油化工学院数理系，北京 102617【正文语种】中文【中图分类】O189.11DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.005连通空间是拓扑空间中一类非常重要的拓扑空间[1],它是用分离集来定义的,即拓扑空间X称为连通的是指如果X不能表示为两个非空的分离子集的并集.对连通空间的研究是一般拓扑学研究的一个重要课题,文献[2]研究了δ-连通空间.文献[3]研究了θ-连通空间及其相关的一些性质,随后文献[4-5]对局部θ-连通空间和弱θ-连通空间做了一些相关的研究,本文在此基础上进一步讨论了局部θ-连通空间的充要条件,并研究了在商映射下的不变性,最后讨论了局部θ-连通空间的可和性与可积性,从而进一步完善了θ-连通空间及θ-连通性等理论.假设(X,τ(X))是一拓扑空间,A是X的子集,C lX(A)表示A在X中的闭包.文中未给出的定义请参阅文献[1].在文献[6-7]中,关于θ-闭集的定义如下:定义1[6-7]拓扑空间X的子集A称为X的θ-闭集是指如果对于任意的p∈X\A,都存在U∈τ(X),使得类似于闭包的定义,有下面的定义:定义2[3]假设A是拓扑空间X的子集,称x∈X是A的θ-聚点是指如果对任意的包含x的U∈τ(X),都有定义3[3]假设A是拓扑空间X的子集,集A的一切θ-聚点构成的集合称为A的θ-闭包,记作[A]θ.定义4[3]拓扑空间X的子集P,Q称为θ-分离的是指定义5[3]设X是一拓扑空间,如果X不能表示为两个非空的θ-分离子集的并集,则称X是θ-连通空间.设S是X的子集,如果S作为子空间是θ-连通的,则称S是X 的θ-连通子集.定义6[4-5]设x是拓扑空间X中的一点,如果对X中任意包含x的开集U,都存在X 中的一个θ-连通的开集V,满足x∈V⊂U,则称X在x点处是局部θ-连通的.若X在每一点处都是局部θ-连通的,则称X是一个局部θ-连通空间.若拓扑空间X的子集Y作为X的子空间是局部θ-连通的,则称Y是X的局部θ-连通子集.定义7[5]设(X,τ(X))是一拓扑空间,B是τ的一个基,若B中每一个元素都是θ-连通的,则称B为X的θ-连通基.定义8[3]拓扑空间X的一个子集称为X的θ-连通分支是指如果它是θ-连通的,并且不是X其它θ-连通子集的真子集.在文献[3]中,得到了性质:设A是拓扑空间X的子集,如果A是连通的,则A一定是θ-连通的.也就是θ-连通空间是比连通空间更广泛的一类空间.在文献[5]中作者证明了局部连通空间是局部θ-连通空间.说明局部θ-连通空间是比局部连通空间更广泛的一类空间.局部连通性对于开子集有遗传性,在局部θ-连通空间中,对于开子集也有:定理1若X是局部θ-连通空间,A⊂X是X的开子集,则A是局部θ-连通空间.证明对于A中的任意一点x,设U是A中包含x的任意开集,则由于A是X的开子集,所以U也是X的开集,x∈U,再由X是局部θ-连通空间,故存在X中的θ-连通开集W,使得:x∈W⊂U,而W⊂A,A是X的开子集,所以W亦是A中的θ-连通开集,因此A是局部θ-连通空间.定理2局部θ-连通空间的θ-连通分支是开集.证明设X是局部θ-连通空间,A是X的θ-连通分支.对于任意的x∈A,x有一个θ-连通邻域,它也必含在A中,所以x是A的内点,因此A是开集,即局部θ-连通空间的θ-连通分支是开集.定理3设(X,τ(X))是一拓扑空间,则下列命题等价:(1)X是局部θ-连通空间;(2)X的任意开集的任意θ-连通分支都是开集;(3)X有一个θ-连通基;(4)对于任意的x∈X,x有一个θ-连通的邻域基B(x).证明(1)⇒(2)⇒(3)见文献[4]定理2.(3)⇒(4)设X有一个θ-连通基B,则对于任意x∈X,令由于连通基B中每一元素都是θ-连通的,故B(x)就是x的一个θ-连通的邻域基.(4)⇒(1)假设对于任意的x∈X,x有一个θ-连通的邻域基B(x),U是X中包含x的任意开集,则由邻域基的定义存在θ-连通开集V∈B(x),使得x∈V,令Vx≡U∩V,则Vx 是θ-连通的,且x∈Vx⊂U,所以X是局部θ-连通空间.对于局部连通空间,在商映射下是保持不变的,对于局部θ-连通空间同样也有:定理4设f:X1→X2为商映射,若X1是局部θ-连通空间,则X2也是局部θ-连通空间.证明设A是X2中的任意开集,B是A的θ-连通分支,由定理3知,只需证明B是开集即可.设x∈f-1(B),则x∈f-1(A)=U,由于f是商映射,故U是开集.设K是U的θ-连通分支,由于X1是局部θ-连通空间,故x∈K⊂U,K是θ-连通的开集,f(K)是θ-连通的,且f(x)∈f(K),由f(x)∈B知f(K)∩B/=∅,故f(K)∪B是A中的θ-连通子集,因此所以x∈K⊂f-1(B),也就是f-1(B)是开集,再由f是商映射,则B是开集,故X2也是局部θ-连通空间.推论1设f:X1→X2是连续且满的开(或闭)映射,若X1是局部θ-连通空间,则X2也是局部θ-连通空间.在文献[1]中有,局部连通空间具有可和性,对于局部θ-连通空间的可和性,同样也有下面的定理:定理5设A是一指标集,{Xα}α∈A是一组两两不相交的拓扑空间族,则和空间是局部θ-连通空间当且仅当对任意α∈A,Xα是局部θ-连通空间.证明令充分性设对任意α∈A,Xα是局部θ-连通空间.任给x∈X,U为X中任意包含x的开集,则存在α0∈A使得x∈Xα0,则U∩Xα0即为Xα0中的开集.而Xα0是局部θ-连通空间,故存在Xα0中的θ-连通开集V,使得:由Xα0是X中的开集,易知V也是X中的θ-连通开集,所以:是局部θ-连通空间.必要性设X是局部θ-连通空间.对任意α∈A,设x∈Xα,U为Xα中包含x的任意开集,则x∈X,且U亦是X中包含x的开集,由于X是局部θ-连通空间,故存在X中的θ-连通开集V,使得:x∈V⊂U,而Xα是X的既开又闭的子空间,所以V亦是Xα中的θ-连通开集.即:Xα是局部θ-连通空间.即局部θ-连通空间也具有可和性.对于可积性,也有类似于局部连通空间的性质:定理6设S是一指标集,对于任意的s∈S,Xs是非空的,则乘积空间是局部θ-连通空间当且仅当对于任意的s∈S,Xs是局部θ-连通空间,且除了有限个以外还是θ-连通空间.证明充分性假设对于任意的s∈S,Xs是局部θ-连通空间,且当s∈S\{s1,s2,…,sn},Xs 是θ-连通空间.当s/∈S\{s1,s2,…,sn},由于Xs是局部θ-连通空间,故由定理3知Xs 有一个θ-连通基Bs,令其中当s/∈S\{s1,s2,…,sn}时,Ws∈Bs,当s∈S\{s1,s2,…,sn}时,Ws=Xs,则B是X的一个θ-连通基,由定理3知积空间是局部θ-连通空间.必要性假设积空间是局部θ-连通空间,则对于任意的s∈S,ps:X→Xs是投影映射,则每个ps都是连续开映射,由推论1可得对于任意的s∈S,Xs是局部θ-连通空间.现取任意x∈X,由X是局部θ-连通空间,设U是包含x的θ-连通开集,于是存在积拓扑中的基元素其中s∈S\{s1,s2,…,sn}时,Ys=Xs,使得于是当s∈S\{s1,s2,…,sn}时,ps(U)⊃Ys=Xs,故Xs=ps(U)是θ-连通空间.推论2[4]若X1,X2,…,Xn都是局部θ-连通空间,则X=X1×X2×…×Xn也是局部θ-连通空间.通过以上的研究,不难发现局部θ-连通空间与局部连通空间有着非常类似的拓扑性质,对于局部连通空间的其他一些性质,例如和紧空间有关的性质,是否也可以推广到局部θ-连通空间还有待于进一步的研究.【相关文献】[1]Engelking R.General Topology[M].Warszawa:PWN,1977.[2]汪贤华.δ-连通空间[J].纯粹数学与应用数学,2004,20(3):243-247.[3]汪贤华,高汝林.θ-连通空间及其性质[J].北京石油化工学院学报,2005,13(1):61-64.[4]姜金平,王小霞.局部θ-连通空间[J].江西科学,2008,26(1):11-12.[5]姜金平,王小霞.弱θ-连通空间及其性质[J].西南民族大学学报:自然科学版,2008,34(1):36-38.[6]D ikran jan D,G iu li E.S(n)-θ-closed spaces[J].Top.and its A pp l.,1988(28):59-74.[7]Filippo Cammaroto,G iovanni Lo Faro,Jack Porter R.N-Sets and near com pact spaces[J].Bollettino U.M.I,1999,(8,2-B):291-298。
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文献标志码 ： Ａ
Ｄ ：０ ３ ６ ／．ｓｎ １ ０ — ９５ ２ １． ２ ０ ３ Ｏ！１ ． ９ ９ｊｉ ．０ ７ ２ ８ ． ０ ２０ ．０ ｓ
文献 Ｅ ｉ ｌ 研究 了广义 Ｚ ｄ ｈ函数 ， ａｅ 文献 Ｅ ］ ２ 借助 这种 广义 Ｚ ｄ ｈ函数 引入 了相对乘 积空 间的概 念 ， 在 ａｅ 并 其 中讨论 了连通 性 的可乘 性问题 ． 笔者 在文 献［ ］的基础 上进 一步讨 论 了 Ｌ一 ３ 拓扑 空 间的相对 乘积 空 间的
一
连 通性 ， 明 了 连 通性 关于这 种 积运算 是可 乘性质 ． 证 一
文 中， 表示 非空 分 明集 Ｘ 上 的 Ｌ— ｕｚ 集 的全体 ， 中 的最 大元 与最小 元分别 记作 １ ０ 设 为 Ｌ ｆｚｙ Ｌ 和 ．
Ｌ 上 Ｌ—ｆｚｙ拓扑 ， （ ，）称 为 Ｌ一 扑空 间 ， 记 为 Ｌ—ｔ． 中未定 义 的概念 与符号 均见 文献 ［ ］ ｕｚ 将 Ｌ 拓 简 ｓ文 ４． 定义 １１ 设 Ｌ ［ ］ 和 Ｌ 是 ２个 Ｆ 格 ， 与 ｙ是 ２ 非空 分 明集 ， Ｘ — ｙ是分 明映射 ， ： 一 Ｌ。 ｘ 个 Ｐ： ｑＬ 是
对 于 Ｂ ∈ Ｌ 有 ． （ ：ｑ 。 。 对 于 ｚ ， 厂 Ｂ） ～ Ｂ Ｐ； Ｅ Ｍ （ ） 有 ｆ（ 一Ｐ（ Ｌ ， ｘ） ｚ）（
定义 ２ 设｛ ｙ， ） 是一族Ｌ 拓扑空间， ， 尾’ Ｖ ∈Ｔ 户： （ Ｌ ） ～ Ｔ≠ ｘ— Ｉ ， ｉ ｌ ｘ ｔ ， ｘ—ｘ 是投影映
为 一 开集． 显然 ， 为 一 Ａ 开集 当且仅 当 Ａ —Ａ； （ ． 一 Ａ）
定 义 ４ 设 （ ， ，Ｌ ￡ 为 ２个 Ｌ一 扑空 间 ， Ｌ ） （ ，） 拓 ｆ＝户 （ ， 一 （ ，） 广义 Ｚ ｄ ｈ型 函数 ： ？：Ｌ ） Ｌ ￡是 ａｅ （ｉ ）ｆ称 为连续 的 ， ＶＡ ∈ ￡ 有 厂 （ 若 ， Ａ）Ｅ ；
＊
收 稿 日期 ： ０ １—１ ２１ １—１ ２
基 金项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７ １ ６ ； 西 省 教 育 厅 科 研 项 目（ ８Ｋ ９ ） 国 １ ８ １ ５ ）陕 ０Ｊ ４ ８ 作 者 简 介 ：姜 金 平 （ ９４一 ， ， 西 洛 川人 ， 安 大 学 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 副教 授 ， 士 ， 导 ， 要 从 事科 学 ： １７ ）男 陕 延 博 硕 主
计 算 与格 上 拓 扑 学 研 究 ．
第 ２期
姜 金 平 ， ： 相 对 乘 积 空 间 与 一 通 性 等 Ｌ一 连
（ｉ ｉ）ｆ称 为开 的 ， ＶＢ ∈ ， Ｂ）∈ ￡ 若 ｆ（ ． 由定义 ２ 可 知下 面命 题 成立 ： ， 命 题 １。 设 （ ， 是 ｛Ｌ ） 的相对 积 空间 ， 每个 投影 序 同态 ｆ＝ Ｅ Ｌ ） （ｘ， ｝ ∈ 则 ： 一 Ｌ ｒ Ｌ 都是连
则 开远域 Ｌ， 有 Ａ ≤ ， 的所 有 附着 点之 族记 为 Ａ 称 Ａ 之 并为 Ａ 的 闭包 ， 为 Ａ 即 Ａ ，都 Ａ 一 ． 一 记 ， ＝Ｖ Ａ ． 的补集 的 一 Ａ 闭包 的补集称 为 Ａ 的 ～ 内部 ， 为 Ａ； 若 Ａ ＝ＡＺ， 记 ． 则称 Ａ 为 一 闭集 ， 闭集 的补 集称 ～
拓扑 空 间｛Ｌ７ ， ） ｒ相 对于 ｛ ｑ ： Ｅ Ｔ） （ ） Ｌ， ｔ 的乘积 Ｌ Ｆ拓 扑空 间 ， 简称 相对 积空 间 ， Ｖｔ∈ Ｔ，Ｌ ｒ ） （ ， 叫做 （ ， Ｌ ）的因子 空间．
定义 ３。 ｃ
设 （ ， Ｌ ）是 Ｌ— ｔ， ， Ｅ Ｍ （ ） 称 ｚ ｆ ｓＡ Ｅ Ｌ ｚ Ｌ ， 为 Ａ 的 ～ 附着点 ， 若对 ｚ 的每个 正
序 同态 ， Ｐ， 下列方 式诱 导 出一个从 Ｌ 到 Ｌ 由 ｑ按 的 函数 ，： — Ｌ Ｌ ，
ｆ（ （， 一 ｖ ｅ ｑ Ａ （ ） ： （ 一 Ｙ， ） Ａ） ３ ） ｅ ｛ （ ｚ ） ｚ） ｚＥ Ｘ Ａ ∈ Ｌ ， ｙ Ｅ Ｙ，
称为 广义 Ｚ ｄ ｈ型 函数 ， ａｅ 简称 ＧＺ 记作 ｆ：户 ． Ｆ，
射 ， 于 给定 的 Ｆ格 Ｌ及从 Ｌ到 Ｌ 对 的一一满 序 同态 ｑ ， Ｐ ， 由 ｑ 诱导 出来 的广义 Ｚ ｄ ｈ型 函数 ｆ— ｒ Ｌ ａｅ ： 一 Ｌ 称 为投 影序 同态 ， Ｌ 则 上 以ｙ一｛ １（ ∈ ， Ｅ Ｔ） 子基所 生成 的 ＬＦ拓扑 叫做 各 Ｌ 厂 Ａ ）ｌ Ａ ｔ 为 Ｆ
第 ３ ３卷
第 ２期
吉首 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ａ ｃｅ ｃ ｔ ｎ） ｏ ｒ ａ ｆＪｓ ｏ ｉｅｓｔ ＮａｕｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｉｏ ｉ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ２ １ ３ ．
Ｍ ａ． ２ １ ｒ Ｏ ２
连 通 性 关 于 这 种 相 对 乘 积 运 算是 可 乘性 质 ， 相 对 乘 积 空 间是 一 通 的 当且仅 当其 每 一 个 因子 空 间都 是 ０ 连 通 的 ． 即 连 －
关 键 词 ： 拓 扑 空 间 ； 相 对 乘 积 空 间 ； 一 通 性 Ｌ一 Ｌ一 疗连
中 图 分 类 号 ： ８ ． Ｏ１ ９ １
２１ ０ ２年 ３月
文 章 编０ ０—０ ３
Ｌ一 对 乘 积 空 间 与 ０一 通 性 相 连
姜 金 平 ， 小 霞 王
（ 安大学数学与计算机科学学院 ， 西 延安 延 陕 ７ ６０ ） １ ０ ０
摘
要 ： 助 广 义 Ｚ ｄ ｈ函数 引入 了相 对 乘 积 空 间 的概 念 ， 论 了 Ｌ一 扑 空 间的 相 对 乘 积 空 间 的 连 通 性 ， 明 了 ０ 借 ａｅ 讨 拓 一 证