【数学原稿】1905杭外数学试题及答案
杭州市外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析.doc
优选高中模拟试卷杭州市外国语学校2018-2019 学年上学期高二数学12 月月考试题含分析班级 __________姓名__________分数__________一、选择题1．以下给出的几个关系中：①a,b ；②a,ba,b ；③ a, b b, a ；④0 ,正确的有（）个A. 个B.个C.个D. 个2．以下图，网格纸表示边长为1 的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．6 10 +35+15B．6 10+35+14C．6 10+35+15D．4 10+35+15【命题企图】此题考察三视图和几何体体积等基础知识，意在考察空间想象能力和基本运算能力．3．已知会合 A={x|x 2﹣ x﹣ 2＜ 0} ， B={x| ﹣ 1＜x＜ 1} ，则（）A ．A ? BB．B? A C．A=B D．A∩B=?4．已知是虚数单位，若复数2 ai）Z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值能够是（2 iA ．-2 B． 1 C． 2 D． 3 5．函数 y=a x+2（ a＞0 且 a≠1 ）图象必定过点（）A ．（ 0，1）B．（ 0，3）C．（ 1，0）D．（ 3， 0）6．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、挨次成等差数列，且，,则等于（）A ．B ．C．D． 2第1页，共16页7．已知平面α、β和直线m ，给出条件： ① m ∥ α；② m ⊥ α；③ m? α；④α ⊥ β； ⑤α∥ β．为使 m ∥ β，应选择下边四个选项中的（ ） A ．①④B ． ①⑤C ．②⑤D ． ③⑤8． 已知定义域为R 的偶函数 f ( x) 知足对随意的 x R ，有 f ( x2) f (x) f (1) ，且当x [2,3] 时， f ( x)2x 212x 18 .若函数 y f (x)log a ( x 1) 在 (0, ) 上起码有三个零点，则实数的取值范围是（ ） 111]A ．(0,2 )B ． (0, 3 )C ． (0, 5 )D ． (0,6 )23569． 已知函数 f （ x ）=ax 3﹣ 3x 2+1，若 f （x ）存在独一的零点 x 0，且 x 0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．（ 1， +∞）B ．（ 2， +∞）C ．（﹣ ∞，﹣ 1）D ．（﹣ ∞，﹣ 2）10．已知平面向量与的夹角为 ，且 |a 2b | 2 3 ，| b | 1 ，则 | a | （ ）3A ．B ． 3C ．D ．11．两座灯塔 A 和 B 与大海察看站 C 的距离都等于 a km ，灯塔 A 在察看站 C 的北偏东20°，灯塔 B 在察看站C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（）A ．akmB ．akmC ． 2akmD ． akm12．已知锐角△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， 23cos 2A+cos2A=0 ， a=7， c=6，则 b=（ ）A ．10B ．9C ． 8D ． 5二、填空题13． 若实数 x ， y 知足 x 2+y 2﹣ 2x+4y=0 ，则 x ﹣2y 的最大值为．14 ．函数 y=sin 2x ﹣ 2sinx 的值域是 y ∈．15 ．已知直线 l ： ax ﹣ by ﹣ 1=0（ a ＞0， b ＞0）过点（ 1，﹣ 1），则 ab 的最大值是 ．16． 已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x 2﹣ 2x+y 2=0 相切，则 m= ．17．椭圆的两焦点为 F ， F ，向来线过 F 交椭圆于P 、 Q ，则 △ PQF 的周长为．121218 2．．已知随机变量 ξ﹣ N （ 2， σ），若 P （ ξ＞ 4） =0.4，则 P （ ξ＞0） =三、解答题19．某企业对新研发的一种产品进行合理订价，且销量与单价拥有有关关系，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据： 单价 x （单位：元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y （单位：万件）908483807568第2页，共16页（ 1）现有三条y 对 x 的回归直线方程：=﹣ 10x+170 ；=﹣ 20x+250 ；=﹣ 15x+210 ；依据所学的统计学知识，选择一条合理的回归直线，并说明原因．（ 2）估计在此后的销售中，销量与单价听从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5 元，为使企业获取最大收益，该产品的单价应定多少元？（收益=销售收入﹣成本）20．以下图，在正方体ABCD ﹣ A 1B 1C1D1中， E、 F 分别是棱 DD 1、 C1D 1的中点．（Ⅰ）证明：平面 ADC B ⊥平面 A BE；1 1 1（Ⅱ）证明： B1F∥平面 A 1BE ；（Ⅲ ）若正方体棱长为1，求四周体 A 1﹣ B1BE 的体积．21．坐标系与参数方程线 l： 3x+4y ﹣ 12=0 与圆 C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数．第3页，共16页22．（本小题满分12 分）已知函数f（ x）＝1x2＋ x＋ a， g（ x）＝ e x.2（ 1）记曲线 y＝ g（ x）对于直线y＝ x 对称的曲线为y＝ h（ x），且曲线y＝ h（x）的一条切线方程为mx－ y－1＝ 0，求 m 的值；（ 2）议论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0， 1）上，求a 的取值范围．23．本小题满分 10 分选修4 4：坐标系与参数方程选讲x 3 2 t在直角坐标系 xoy 中，直线的参数方程为 2 为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取同样的长y 5 2 t2度单位，且以原点 O 为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆 C 的方程为 2 5 sin ．Ⅰ求圆 C 的圆心到直线的距离；Ⅱ设圆 C 与直线交于点 A、 B ，若点 P 的坐标为(3 , 5) ，求 PA PB ．第4页，共16页24．（本小题满分 12 分）设 p ：实数知足不等式 a ，：函数 f x 3 3 3 a 23 9 1 x x 9 x无极值点 .3 2（1）若“p q”为假命题，“p q”为真命题，务实数的取值范围；（ 2）已知“p q ”为真命题，并记为，且：a2 2m 1 a m m 1 0 ，假如t 的必需不充分2 2条件，求正整数m 的值．第5页，共16页杭州市外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含分析（参照答案）一、选择题1． 【答案】 C 【分析】试题剖析：由题意得，依据会合之间的关系可知： a, bb, a 和0 是正确的，应选 C.考点：会合间的关系 . 2． 【答案】 C【分析】 复原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽 2 的矩形，高为 3，且 VE ^ 平面ABCD ，以下图，因此此四棱锥表面积为S=2创16? 10+1创2 3+ 1创2 45+2?6222=6 10 +35 +15，应选 C ．V10 46103 DC1 46E 21A6B3．【答案】 B【分析】 解：由题意可得， A={x| ﹣ 1＜ x ＜ 2} ， ∵B={x| ﹣ 1＜ x ＜ 1} ，在会合 B 中的元素都属于会合 A ，可是在会合 A 中的元素不必定在会合B 中，比如 x=∴B?A ． 应选 B ．4． 【答案】 A 【分析】试题剖析：2ai2 ai 2 i4 a (2a 2)i，对应点在第四象限，故4 a 0 ，A 选项正确 . 2 i 2 i 2 i52a 2 0考点：复数运算．5．【答案】 B第6页，共16页【分析】解：因为函数y=a x a 0 a 1 0 1 y=a x+2 （ a＞ 0 且 a≠1）图象必定（＞且≠ ）图象必定过点（，），故函数过点（ 0， 3），应选 B．【评论】此题主要考察指数函数的单一性和特别点，属于基础题．6．【答案】 C【分析】因为角、、挨次成等差数列，因此由余弦定理知，即，解得因此，应选C答案： C7．【答案】 D【分析】解：当 m? α，α∥ β时，依据线面平行的定义，m 与β没有公共点，有 m∥ β，其余条件没法推出 m ∥ β，应选 D【评论】此题考察直线与平面平行的判断，一般有两种思路：判断定理和定义，要注意依据条件选择使用．8．【答案】 B【分析】试题剖析： f (x 2) f x f 1 ，令x 1 ，则 f 1 f 1 f 1 ， f x 是定义在R上的偶函数 , f 1 0 f x f x 2 ．则函数 f x 是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当x 2,3 时，f x 2x 2 12 x 18 ，令g x log a x 1 ，则 f x 与 g x 在 0, 的部分图象以以下图，y f x log a x 1 在 0, 上起码有三个零点可化为 f x 与 g x 的图象在 0, 上起码有三个交点，g x 在 0,0 a 1，解得： 0 a3上单一递减，则2应选 A．log a 3 3第7页，共16页考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】此题是一道对于函数零点的题目，重点是联合数形联合的思想进行解答.依据已知条件推导可得f x 是周期函数,其周期为,要使函数图象与函数 y log a x 1 的图象在范围 .yf xlog a x1 在 0,上起码有三个零点,等价于函数f x 的0,上起码有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,从而可得的9．【答案】 D【分析】解：∵ f（ x）=ax3﹣ 3x2+1，∴f′（ x）=3ax2﹣ 6x=3x （ ax﹣ 2）， f （0） =1 ；①当 a=0 时， f（ x） =﹣ 3x2+1 有两个零点，不建立；②当 a＞ 0 时， f（ x）=ax3﹣ 3x2+1 在（﹣∞， 0）上有零点，故不建立；③当 a＜ 0 时， f（ x）=ax3﹣ 3x2+1 在（ 0， +∞）上有且只有一个零点；故 f （ x） =ax3﹣3x2+1 在（﹣∞，0）上没有零点；而当 x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上获得最小值；故 f （）=﹣3?+1 ＞0；故 a＜﹣ 2；综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ 2）；应选： D．10．【答案】 C第8页，共16页考点：平面向量数目积的运算．11．【答案】 D【分析】解：依据题意，△ABC 中，∠ACB=180 °﹣ 20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm ，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得 AB=akm，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为akm，应选： D．【评论】此题给出实质应用问题，求大海上灯塔A 与灯塔 B 的距离．侧重考察了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．12．【答案】 D【分析】解：∵ 23cos2A+cos2A=23cos 2A+2cos 2 A﹣ 1=0，即 cos2A=，A为锐角，∴cosA= ，又 a=7， c=6，依据余弦定理得：a2=b2+c 2 2bc cosA，即49=b 2+36﹣b ﹣? ，解得： b=5 或 b=﹣（舍去），第9页，共16页则 b=5 ． 应选 D二、填空题13． 【答案】 10 【分析】【剖析】 先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣ 2y ，再利用 z 的几何意义求最值，只要求出直线z=x ﹣ 2y 过图形上的点 A 的坐标，即可求解．【解答】 解：方程 x 2+y 2 ﹣2x+4y=0 可化为（ x ﹣1） 2+（ y+2） 2=5， 即圆心为（ 1，﹣ 2），半径为 的圆，（如图）设 z=x ﹣ 2y ，将 z 看做斜率为的直线 z=x ﹣2y 在 y 轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x ﹣ 2y 经过点 A （ 2，﹣ 4）时， z 最大， 最大值为： 10． 故答案为： 10．14．【答案】[﹣ 1， 3]．【分析】 解：∵函数 y=sin 2x ﹣ 2sinx= （ sinx ﹣ 1）2﹣1，﹣ 1≤sinx ≤1， ∴ 0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴ ﹣1≤（ sinx ﹣ 1）2﹣ 1≤3．∴ 函数 y=sin 2x ﹣ 2sinx 的值域是 y ∈[﹣ 1， 3]． 故答案为 [ ﹣1， 3]．【评论】娴熟掌握正弦函数的单一性、二次函数的单一性是解题的重点．第10页，共16页15．【答案】．【分析】解：∵直线 l ： ax﹣ by﹣ 1=0 （ a＞0， b＞ 0）过点（ 1，﹣ 1），∴a+b﹣ 1=0，即 a+b=1，∴ ab≤=当且仅当a=b=时取等号，故 ab 的最大值是故答案为：【评论】此题考察基本不等式求最值，属基础题．16．【答案】 8 或﹣ 18【分析】【剖析】依据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（ x﹣ 1）2++y2=1故圆的圆心为（ 1， 0），半径为 1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得 m=8 或﹣ 18故答案为： 8 或﹣ 1817．【答案】20．【分析】解：∵a=5，由椭圆第必定义可知△PQF2的周长=4a．∴△ PQF2的周长 =20．，故答案为20．【评论】作出草图，联合图形求解事半功倍．18．【答案】0.6．2【分析】解：随机变量ξ听从正态散布N（ 2，σ），∴曲线对于x=2 对称，∴P（ξ＞ 0） =P（ξ＜ 4）=1﹣ P（ξ＞ 4）=0.6，故答案为： 0.6．第11页，共16页【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，考察概率的性质，是一个基础题．三、解答题19．【答案】【分析】（ 1） = （8+8.2+8.4+8.6+8.8+9 ） =8.5 ，= （ 90+84+83+80+75+68 ） =80；∵ （，）在回归直线上，∴ 选择=﹣ 20x+250 ；（2）收益 w= （ x﹣ 5）（﹣ 20x+250 ） =﹣20x2+350x ﹣1250= ﹣ 20（ x﹣ 8.75）2+281.25 ，∴当 x=8.75 元时，收益 W 最大为 281.25（万元），∴当单价定 8.75 元时，收益最大 281.25（万元）．20．【答案】【分析】（Ⅰ）证明：∵ABCD ﹣ A 1B1C1D 1为正方体，∴B 1C1⊥平面 ABB 1A 1；∵A 1B? 平面 ABB 1A 1，∴ B 1C1⊥ A 1B．又∵ A 1B ⊥AB 1，B 1C1∩AB 1=B1，∴ A 1B⊥平面 ADC 1B1，∵A 1B? 平面 A 1BE，∴平面 ADC 1B 1⊥平面 A 1BE ；（Ⅱ）证明：连结EF， EF∥，且EF=，设 AB 1∩A 1B=O ，则 B1O∥C1D，且，∴EF∥ B 1O，且 EF=B 1O，∴四边形 B1OEF 为平行四边形．∴B 1F∥ OE．又∵ B1F? 平面 A 1BE， OE? 平面 A 1BE ，∴B 1F∥平面 A 1BE，（Ⅲ）解：====．第12页，共16页21．【答案】【分析】解：圆 C：的标准方程为（x+1 ）2+（y﹣ 2）2=4因为圆心C（﹣ 1， 2）到直线l： 3x+4y ﹣ 12=0 的距离d== ＜ 2故直线与圆订交故他们的公共点有两个．【评论】此题考察的知识点是直线与圆的地点关系，圆的参数方程，此中将圆的参数方程化为标准方程，从而求出圆心坐标和半径长是解答此题的重点．22．【答案】【分析】解：（ 1） y＝ g（x）＝ e x对于直线 y＝ x 对称的曲线 h（ x）＝ ln x，设曲线 y＝ h（ x）与切线 mx－ y－ 1＝ 0 的切点为（ x0， ln x0），由 h（x）＝ ln x 得1h′（x）＝x，（ x＞ 0），1 ＝ m则有x ，mx － ln x － 1＝ 00 0解得 x0＝ m＝ 1.∴m 的值为 1.（2）φ（ x）＝12x2＋ x＋ a－e x，φ′（x）＝x＋1－e x，令 t（ x）＝ x＋ 1－ e x，∴t′（x）＝ 1－ e x，当 x＜ 0 时， t′（x）＞ 0，x＞ 0 时， t′（x）＜ 0，第13页，共16页x ＝ 0 时， t ′（x ）＝ 0.φ0，＋ ∞）上单一递减，∴φmax＝ φ′（ 0）＝ 0，∴ ′（x ）在（－ ∞ ， 0）上单一递加，在（′（x ）即 φ′（ x ）≤ 0 在（－ ∞ ，＋ ∞）恒建立，即 φ（x ）在（－ ∞ ，＋ ∞）单一递减，且当 a ＝ 1 有 φ（ 0）＝ 0.∴无论 a 为什么值时， φ（ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）有独一零点x 0，当 x 0∈（ 0，1）时，则 φ（ 0）φ（ 1）＜ 0，2e － 3即（ a －1）（ a － 2 ）＜ 0，2e － 3 ，即 a 的取值范围为（ 1， 2e － 3∴1＜ a ＜ 2 2 ）．23． 【答案】【分析】 Ⅰ∵C :2 5 sin∴ C : 22 5 sin∴ C : x 2y 2 2 5y 0 ，即圆 C 的标准方程为 x 2( y5) 2 5 ．直线的一般方程为 x y5 3 0 ．55 3 3 2因此，圆 C 的圆心到直线的距离为．22x 2 ( y 5) 2 5x 1 x 2Ⅱ由 x5 3，解得5或y5 1yy2因此| PA| |PB|(32( 5 5 2) 2(3 2) 2( 5 51) 23 21)24． 【答案】 （1） a a 1或2 a 5 ；（ 2） m 1.【分析】第14页，共16页1“p q ”“p q ”ppa 2a 1 5a a1 5pa 22 a 5 61 a 5a a 1或2 a 5 7第15页，共16页考点：1、不等式； 2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件 .第16页，共16页。
2022-2023学年浙江省杭州市杭州外国语学校八年级上学期期中考数学试卷带讲解
【答案】3
【解析】
【分析】把 代入方程，求出 的值，把 的值代入不等式求出解集，确定出最大整数解；
详解】解：把 代入方程 得： ，
解得： ，
把 代入不等式得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，系数化为 得： ，
则关于 的不等式的最大整数解为 ．
18.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，
（1）在格点上取一点C，画一个 ，使∠BAC＝45°，且 ．
（2）在格点上取一点D，画一个 ，且AD＝5， ，并利用网格画出∠DAB的平分线．
【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】
【分析】（1）取格点 ，使得∠BAC＝45°， 到 的距离为 ， 的长为4，则 ；
∴BE＝ BC＝5，
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10.如图， 中， 于 平分 ，且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连接 与 相交于点 ．下列结论正确的有（）个．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积，正确识别图形是解本题的关键．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
12.关于x的方程组 的解满足 ，则m的取值范围是________．
浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2022-2023学年九年级开学上学期数学试卷(含答案)
2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）一、选择题1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3 3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣14．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．6或﹣6B．6C．﹣6D．6和35．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞16．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（）A．（﹣2.5，0）B．（2.5，0）C．（﹣1.5，0）D．（1.5，0）7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．+二、填空题：9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是．10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第象限．11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝．13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为．14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．（1）求m的值；（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．一次函数y＝6x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先判断出一次函数y＝6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，∴此函数经过一、二、三象限，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．3．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4得出函数图象位于第二项是解题关键．4．若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．6或﹣6B．6C．﹣6D．6和3【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y＝kx+b，然后把这三个点的坐标代入，解方程组，即可求出a的值．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）代入得，解得．a的值是6．故选：B．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．5．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1；在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．6．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，则二次函数图象的对称轴与x轴的交点是（）A．（﹣2.5，0）B．（2.5，0）C．（﹣1.5，0）D．（1.5，0）【分析】先根据解析式“上加下减，左加右减”的平移规律分别得到二次函数y＝ax2+bx+c 的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后的解析式，再将原点（0，0）分别代入，得16a+4b+c＝0①，a﹣b+c＝0②，再将①﹣②，得出b＝﹣3a，求出﹣＝﹣＝1.5，进而得到二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点坐标．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象向左平移4个单位得到y＝a（x++4）2+，将原点（0，0）代入，得a（+4）2+＝0，整理，得16a+4b+c＝0①．二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移1个单位得到y＝a（x+﹣1）2+，将原点（0，0）代入，得a（﹣1）2+＝0，整理，得a﹣b+c＝0②．①﹣②，得15a+5b＝0，b＝﹣3a，∴﹣＝﹣＝1.5，∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴与x轴的交点是（1.5，0）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，难度适中．正确求出平移后的解析式是解题的关键．7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则PD+PC的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．+【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【解答】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，﹣1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝PC，∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值为2，∴PD+PC的最小值为4．故选：A．【点评】本题考查垂线段最短，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．属于中考选择题中的压轴题．二、填空题：9．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝；④y＝（x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是②④．【分析】利用一次函数、正比例函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，不符合题意；②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x的增大而减小，符合题意；③y＝，反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；④y＝（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，符合题意；故答案为：②④．【点评】本题综合考查了一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），解题的关键是能够熟知每种函数的性质，是一道难度中等的题目．10．若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第二象限．【分析】根据方程组无解可得k＝1，即可判断y＝kx﹣2图象不经过的象限．【解答】解：方程组，∴2kx﹣3＝（3k﹣1）x+2，∴（k﹣1）x＝﹣5，∵方程组无解，∴k﹣1＝0，∴k＝1，∴y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．11．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且a＜0，b＞0，则a+b＝2．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），对等式进行化简可得出结论．【解答】解：∵点、是反比例函数图象上的两个点，∴k＝a（﹣）＝b（﹣b+1），整理得，2（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵a＞0，b＜0，∴a≠b，∴a﹣b≠0，∴a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，根据反比例函数上点的坐标特征得出a，b之间的关系是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝8．【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2﹣OC2＝8．【解答】解：正方形ABCD中，BC＝AB，∴OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，∵点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，∴AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2，∴OA2﹣OC2＝AB2+OB2﹣（AB﹣OB）2＝2AB•OB＝2×4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2是解题的关键．13．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB上一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为．【分析】连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP ⊥AB时，OP最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．【解答】解：连接OP，由已知可得∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°，∴四边形ONPM是矩形，∴OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∴AO＝2，BO＝4，∴AB＝＝2，∵S△AOB＝AO•BO＝AB•OP，∴2×4＝2•OP，∴OP＝，∴MN＝，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，．14．二次函数y＝（x﹣）（mx﹣6m），其中m＞0，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当x＞3时，都有y随x的增大而增大；③若当x＜n时，都有y随x的增大而减小，则n≤3+；④该函数图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论序号是③．【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y＝（x﹣）•（mx﹣6m）＝mx2﹣（6m+1）x+6，∴对称轴为x＝﹣＝3+，Δ＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，①、该函数图象与坐标轴必有两个交点，此选项错误；②、当x＞3+时，y随x的增大而增大，此选项错误；③、当x＜3+时，即x≤3+，y随x的增大而减小，此选项正确；④、由（x﹣）•（mx﹣6m）＝﹣x+6，得出mx﹣1＝﹣1，得出x＝0，说明图象与直线y＝﹣x+6的交点不随m的取值变化而变化，此选项错误．故答案为：③．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与x轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键．三、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）两点．（1）求m的值；（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；（3）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线y＝k1x+b和函数（x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出a的取值范围．【分析】（1）由反比例函数的性质可以求出m的值；（2）列出关于k1与b的二元一次方程组，解方程组，进而可得到一次函数解析式，由反比例函数的概念可得反比例函数的解析式；（3）观察图象，再利用一次函数和反比例函数的性质即可得出a的取值范围．【解答】解：（1）由反比例函数概念可得m（m+1）＝（m+3）（m﹣1），解得m＝3；（2）将点A（3，4），B（6，2）代入y＝k1x+b得，解得：k1＝﹣，b＝6，所以一次函数的解析式为．由k2＝3×4＝12，可得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（3）∵两函数的交点坐标是A（3，4），B（6，2），∴当点M在点N下方时，a的取值范围是0＜a＜3或a＞6．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数图象的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出A、B的坐标是解此题的关键．16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；（2）把S＝30代入累计利润S＝t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；（3）分别t＝7，t＝8，代入函数解析S＝t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2＝0，解得a＝．∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S＝t2﹣2t；（2）把S＝30代入S＝（t﹣2）2﹣2，得（t﹣2）2﹣2＝30．解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t＝7代入关系式，得S＝×72﹣2×7＝10.5，把t＝8代入关系式，得S＝×82﹣2×8＝16，16﹣10.5＝5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．17．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜﹣≤，0＜﹣≤，即可求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说的不对；（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x﹣）2﹣，∴当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），∴mn＝x1•x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，∵x1≠x2，∴mn不能取到，∴0＜mn＜．【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键．。
浙江省杭州外国语—高一上学期期中考试数学试题含答案
2019学年杭外高一上期中一、选择题：1-6题每小题3分，7-10题每小题4分，共34分1. 已知全集U =R ，且{}12A x x =->，{}2680B x x x =-+<，则()U A B I ð等于（ ）A ．[)1,4-B ．()2,3C ．(]2,3D ．()1,4- 2. 已知()2tan 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域是（ ） A ．12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．6x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．,212k x x k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,26k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z3. 设()212,11, 11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12 B ．413 C ．95-D ．25414. 在下面四个[],x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x=的图象可能是（ ）5. D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ） A ．12BC BA -+u u u r u u u r B ．12BC BA --u u u r u u u r C ．12BC BA-u u u r u u u r D ．12BC BA+u u u r u u u r 6. 若函数242y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]6,2--，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．()2,4D ．[]2,47. 将函数()()=sin 2f x x θ+，22ππθ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()f x ，()g x 的图像都经过点3P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．2π B ．6π C ．53π D ．56π8. 若函数()2ln 1x f x k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数，则k =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2xyOxyO yO xyODCBA9. 对,a b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}max 1,2f x x x =+-，x ∈R 的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．32 D ．310. 设函数()()4sin 21f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ）A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4二、填空题：每小题4分，共24分11. 函数()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是 ，单调递增区间是 ．12. 函数()23sin 4f x x x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值是 ，最小值是 ．13. 在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，3AN NC =u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MA =u u u r，MN =u u u u r．(用a ，b 表示)14. 函数231x y x +=+的对称中心为 ． 15. 若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= ．16. 已知关于x 的方程2sin 106x a π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭在区间0,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在两个 根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：4大题，共42分17. 已知函数()()sin f x x ϕω=+，020,πωϕ⎛⎫>< ⎪<⎝⎭的最小正周期为π， 且212o cos c s ϕϕ+=． （1）求ω和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若122f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0απ<<，求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．18. 已知函数()()sin f x A x ϕω=+,0,0,02x A πωϕ⎪∈>⎛⎫ ⎝><<⎭R 的部分 图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程．19. 设01a <<，函数()3log 3ax f x x -=+，()()1log 1a g x x =+-．（1）分别求()f x 与()g x 的定义域； （2）设()f x 与()g x 的定义域交集为D ，当[],m n D ⊆时，()f x 在[](),m n m n <上的值域为()(),g n g m ⎡⎤⎣⎦，求a 的取值范围．20. 已知函数()421x x f x p --=+⋅+，()1212xxq g x q -⋅=+⋅．（1）当1p =时，求函数()f x 在(),0x ∈-∞上的值域；（2）若q ⎛∈ ⎝⎦，函数()g x 在[]0,1x ∈上的最大值是()H q ，求()H q 的取值范围； （3）若不等式()3f x ≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数p 的取值范围．。
2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级上学期开学考数学试题及答案
2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，那么等于( )A. B. C. D.2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )A. ①B. ②C. ③D. ④3.如图，点A、D、G、M在半上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是( )A.B.C.D.4.如图，在中，，，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是( )A. B. BD 平分C. D. 点D为线段AC的黄金分割点5.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：x…013…y…131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当时，D. 方程的正根在3与4之间6.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定7.如图，直径为10的上经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则的余弦值为( )A. B. C. D.8.如图，在半径为1的中，直径AB把分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点与点A、B不重合，过点C作弦，垂足为E，的平分线交于点P，设，，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.分解因式：______.10.如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为______.11.如图，在扇形OAB中，，点C是上的一个动点不与A，B重合，，，垂足分别为D，若，则扇形OAB的面积为______.12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，，⑤正确的序号是______.三、解答题：本题共4小题，共42分。
浙江省杭州外国语学校2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析
浙江省杭州外国语学校2019-2020八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列运算正确的是()A. √45−2√5=7√5B. 2√2×3√2=6√2C. √76÷√56=√75D.√2=√222.若x=2是关于x的方程ax2−bx=2的解，则2019−2a+b的值为()A. 2017B. 2018C. 2019D. 20203.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1,√3)，则点C的坐标为()A. (−√3,1)B. (−1,√3)C. (√3,1)D. (−√3,−1)4.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，DE//AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是()A. ∠CAD=∠BADB. BD=CDC. AE=EDD. DE=DB5.关于一次函数y=1−2x，下列说法正确的是()A. 它的图象过点(1,−2)B. 它的图象与直线y=2x平行C. y随x的增大而增大D. 当x>0时，总有y<16.如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0<kx+b<2x的解集为A. x>0B. 0<x<1C. 1<x<2D. x>27.甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地到B地，两人所行驶的路程与时间的关系如图所示，下面的四个说法：①甲比乙早出发了3小时；②乙比甲早到3小时；③甲、乙的速度比是5：6；④乙出发2小时追上了甲．其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.关于x的方程(m−2)x2−4x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤6B. m<6C. m≤6且m≠2D. m<6且m≠29.点A的坐标是(−1,−3)，则点A在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知x =1√5−2，则x −1x 的值等于___________．12. 已知关于x 的方程2mx 2−x −1=0有实数根，则m 的取值范围为______．13. 若直线y =kx +k +1经过点(m,n +3)和(m +1,2n −1)，且0<k <2，则n 的值可以是______(请写出一个符合题意的整数的值)14. 已知点(−2,y 1)，(−1,y 2)，都在直线y =−3x +2上，则y 1，y 2的值的大小关系是____．15. 为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点;所跑的路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的 秒.16. 如图所示，在平面坐标系中B(3,1)，AB =OB ，∠ABO =90°，则点A 的坐标是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 已知方程x 2+(m −1)x +m −1=0的一个根是3，求m 的值及方程的另一个根．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）18. 已知：a =√3+√2，求√(a −1a )2+4 −√(a +1a )2−4的值．19. 计算：(1)√8+2√3−(√27−√2)(2)(7+4√3)(7−4√3)−(3√5−1)2．20. 已知5+√7的小数部分是a ，整数部分是m ，5−√7的小数部分是b ，整数部分是n ，求(a +b)2019−mn 的值．=0有两个不相等的实数根．21.关于x的方程kx2+(k+2)x+k4(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．22.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分 2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a+0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费______ 元；(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？23.如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，已知A(0,4)，B(2,0)．(1)求直线AB的函数解析式；(2)若S△ABC=7，求点C的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、原式=3√5−2√5=√5，所以A选项错误；B、原式=6√2×2=12，所以B选项错误；C、原式=√76×65=√355，所以C选项错误；D、原式=√22，所以D选项正确．故选D．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2.答案：B解析：此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=2代入方程求出2a−b的值，代入原式计算即可求出值．解：把x=2代入方程得：4a−2b=2，即2a−b=1，则原式=2019−(2a−b)=2019−1=2018．故选：B．3.答案：A解析：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，{∠OAD=∠COE∠ADO=∠OEC=90°OA=OC，∴△AOD≌△OCE(AAS)，∴OE=AD=√3，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为(−√3,1)．故选A．过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．4.答案：D解析：本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等腰三角形的性质进行角相等和边相等的转化，以及直角三角形的性质解答．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD，A正确，不符合题意；BD=CD，B正确，不符合题意；∵DE//AB，∴∠EDA=∠BAD，∵∠EAD=∠BAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选D．5.答案：D解析：解：A、当x=1时，y=−1.所以图象不过(1,−2)，故错误；B、因为一次函数y=1−2x与直线y=2x的k不相等，所以它的图象不与直线y=2x平行，故错误；C、因为k=−2，所以y随x的增大而减小，故错误；D、因为y随x的增大而减小，当x=0时，y=1，所以当x>0时，y<1，故正确．故选：D．根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质．6.答案：C解析：解：把A(x,2)代入y=2x得2x=2，解得x=1，则A点坐标为(1,2)，所以当x>1时，2x>kx+b，∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，即不等式0<kx+b<2x的解集为1<x<2．故选C先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当1<x<2时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，于是可得到不等式0<kx+b<2x的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7.答案：B解析：解：①甲早出发了3小时，正确；②乙比甲早到3小时，正确；③甲的速度=808=10千米/小时，乙的速度=802=40千米/小时，甲、乙的速度比是1：4，错误；④乙出发1小时追上了甲，错误；故选：B．根据图象信息即可解决问题．此题主要考查了一次函数的应用、考查了路程、速度、时间之间的关系，由图象得出正确信息是解题关键．8.答案：A解析：本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．当m−2=0，关于x的方程(m−2)x2−4x+1=0有一个实数根，当m−2≠0时，列不等式即可得到结论．解：当m−2=0，即m=2时，关于x的方程(m−2)x2−4x+1=0有一个实数根，当m−2≠0时，∵关于x的方程(m−2)x2−4x+1=0有实数根，∴△=(−4)2−4(m−2)⋅1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6，故选：A．9.答案：C解析：解：点A(−1,−3)在第三象限．故选C．根据各象限内点的坐标特征解答．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．10.答案：C解析：本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．AD，DF=①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=121AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，2条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△FCD，从而得到BE=FC，从而可证明④．解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED =90°．∵∠AED =90°，∠EAD =30°，∴ED =12AD ． 同理：DF =12AD ．∴DE +DF =AD ．∴②正确．③由题意可知：∠EDA =∠ADF =60°．假设MD 平分∠ADF ，则∠ADM =30°.则∠EDM =90°，又∵∠E =∠BMD =90°，∴∠EBM =90°．∴∠ABC =90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠ADF ．故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB =DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中{DE =DF BD =DC， ∴Rt △BED≌Rt △CFD(HL)．∴BE =FC ．∴AB +AC =AE −BE +AF +FC又∵AE =AF ，BE =FC ，∴AB +AC =2AE ．故④正确．故选：C ． 11.答案：4解析：本题考查了代数式求值，二次根式的化简，先化简求出x ，1x 的值，再代入代数式即可．解：∵x =√5−2=√5+2(√5−2)(√5+2)=√5+2， ∴1x =√5+2=√5−2(√5+2)(√5−2)=√5−2， ∴x −1x =(√5+2)−(√5−2)=4，故答案为4．12.答案：m ≥−18解析：本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2−4ac 有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．注意分m =0和m ≠0两种情况讨论：当m =0时，方程是一元一次方程，有实数根；当m ≠0时，是一元二次方程，方程有实数根则Δ≥0，可得关于m 的不等式，解之可得．解：当m =0时，方程有实数根x =−1;当m ≠0时，方程为一元二次方程，则根据题意得：Δ=(−1)2−4×2m ×(−1)≥0，即1+8m ≥0， 解得：m ≥−18，故答案为m ≥−18． 13.答案：5解析：解：∵直线y =kx +k +1经过点(m,n +3)和(m +1,2n −1)，∴{km +k +1=n +3k(m +1)+k +1=2n −1，消去m 可得k =n −4， ∵0<k <2，∴0<n −4<2，解得4<n <6，且n 为整数，∴n =5，故答案为：5．把点的坐标代入一次函数解析式，消去m ，用n 表示出k ，由k 的范围可求得n 的范围，则可求得答案．本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式，用n表示出k，从而求得n的取值范围是解题的关键．14.答案：y1>y2解析：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确一次函数的性质．根据一次函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，可以解答本题．解：∵y=−3x+2，∴k=−3<0，∴y随x的增大而减小，∵点A(−2,y1)，B(−1,y2)都在直线y=−3x+2上，∴y1>y2，故答案为：y1>y2．15.答案：120解析：本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．分别求出OA、BC的解析式，然后联立方程，解方程就可以求出第一次相遇时间．解：如图，设直线OA的解析式为y=kx，代入A(200,800)得800=200k，解得k=4，故直线OA的解析式为y=4x，设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得{360=60k 1+b 540=150k 1+b, 解得：{k 1=2b =240, ∴BC 的解析式为y 1=2x +240，当y =y 1时，4x =2x +240，解得：x =120．则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．故答案为120．16.答案：(2,4)解析：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．过点A 作AC//x 轴，过点B 作BD//y 轴，两条直线相交于点E ，根据ASA 定理得出△ABE≌△BOD ，故可得出AC 及DE 的长，由此可得出结论．解：如图，过点A 作AC//x 轴，过点B 作BD//y 轴，两条直线相交于点E ，∵B(3,1)，∴OD =3，BD =1，∵∠DOB +∠OBD =90°，∠OBD +∠ABE =90°，∠BAE +∠ABE =90°，∴∠BOD =∠ABE ，∠OBD =∠BAE ，在△ABE 与△BOD 中，∵，∴△ABE≌△BOD(ASA)，∴AE =BD =1，BE =OD =3，∴AC =OD −AD =3−1=2，DE =BD +BE =1+3=4，∴A(2,4)．故答案为(2,4)．17.答案：解：设方程的另一个根为x 2，根据题意，得：{3+x 2=−(m −1)3x 2=m −1， 解得：{x 2=−34m =−54， 所以m 的值为−54，方程的另一个根为−34．解析：设方程的另一个根为x 2，根据韦达定理得出关于m ，x 2的方程组，解之可得．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ． 18.答案：解：∵a =√3+√2=√3−√2原式=√a 2−2+1a +4 −√a 2+2+1a −4=√(a +1a )2−√(a −1a)2 又∵a +1a >0，a −1a <0 ∴原式=a +1a −1a +a=2a∴原式=2×(√3−√2)=2√3−2√2．解析：此题考查二次根式的混合运算，可先根据已知a =√3+√2=√3−√2，再化简√(a −1a )2+4 −√(a +1a )2−4为最简，代入a 的值即可． 19.答案：解：(1)√8+2√3−(√27−√2)=2√2+2√3−3√3+√2=3√2−√3；(2)(7+4√3)(7−4√3)−(3√5−1)2=72−(4√3)2−(3√5)2+6√5−1=49−48−45+6√5−1=−45+6√5．解析：根据二次根式的性质把二次根式化简，根据二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查的是二次根式的混合运算、掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 20.答案：解：∵√4<√7<√9，∴2<√7<3，∴7<5+√7<8，2<5−√7<3，∴m =7，a =5+√7−7=−2+√7，n =2，b =5−√7−2=3−√7，∴(a +b )2019−mn =(−2+√7+3−√7)2019−7×2=1−14=−13．解析：本题考查了估算无理数的性质和二次根式的加减的应用，解此题的关键是求出a 、b 的值.求出√4<√7<√9，根据√7的范围求出m ，n ，a 、b 的值，代入计算即可．21.答案：解：(1)∵关于x 的方程kx 2+(k +2)x +k 4=0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△>0，即(k +2)2−4k ⋅k 4>0，∴k >−1且k ≠0．(2)不存在．理由：假设存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0，∵x 1+x 2=−k+2k ，x 1x 2=14， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=4(k+2)k =0，解得：k =−2∵k >−1，∴不存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0．解析：(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k ≠0且(k +2)2−4k ⋅k 4>0，然后求出两个不等式的公共部分即可；(2)假设存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0，利用根与系数的关系得出x 1+x 2=−k+2k ，x 1x 2=14利用两个实数根的倒数和等于0，得出方程的解，结合k 的取值范围判定即可．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a .也考查了根的判别式． 22.答案：(1)150;(2)由题意，得a =(325−75×2.5)÷(125−75)，a =2.75，∴a +0.25=3，设OA 的解析式为y 1=k 1x ，则有2.5×75=75k 1，∴k 1=2.5，∴线段OA 的解析式为y 1=2.5x(0≤x ≤75)；设线段AB 的解析式为y 2=k 2x +b ，由图象，得{187.5=75k 2+b 325=125k 2+b, 解得{k 2=2.75b =−18.75, ∴线段AB 的解析式为：y 2=2.75x −18.75(75<x ≤125)；(385−325)÷3=20，故C (145,385)，设射线BC 的解析式为y 3=k 3x +b 1，由图象，得{325=125k 3+b 1385=145k 3+b 1, 解得：{k 3=3b 1=−50, ∴射线BC 的解析式为y 3=3x −50(x >125)(3)设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气(175−x)m 3，当x >125，175−x ≤75时，3x −50+2.5(175−x)=455，解得：x =135，175−135=40，符合题意；当75<x ≤125，175−x ≤75时，2.75x −18.75+2.5(175−x)=455，解得：x =145，不符合题意，舍去；当75<x ≤125，75<175−x ≤125时，2.75x −18.75+2.75(175−x)−18.75=455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量各是135m 3，40m 3．解析：本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，一元一次方程的应用以及分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．(1)根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；(2)根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a 值，再从0≤x ≤75，75<x ≤125和x >125运用待定系数法分别表示出y 与x 的函数关系式即可；(3)设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气(175−x)m 3，分3种情况：x >125，175−x ≤75时，75<x ≤125，175−x ≤75时，当75<x ≤125，75<175−x ≤125时分别建立方程求出其解就可以．解：(1)由题意，得60×2.5=150(元)；故答案为150；(2)见答案；(3)见答案．23.答案：解：(1)设直线AB 的解析式为y =kx +b∵直线AB 经过A(0,4)，B(2,0)∴{b =42k +b =0， 解之得{k =−2b =4， ∴直线AB 的解析式为y =−2x +4；(2)设C(x,0)∵A(0,4)，B(2,0)∴OA =4，OB =2∵S △ABC =7，∴12BC ⋅OA =7，∴BC =3.5，∴|x −2|=3.5，解得：x=5.5或x=−1.5，∴C(−1.5,0)或C(5.5,0)．解析：略。
杭外初三数学竞赛试卷(七)
杭外初三数学竞赛试卷（七）班级__________学号__________姓名______________一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1. 已知,,,,x y z a b 均为非零实数,且满足 33311,xy yz x y a b y z a ==+-+,331zx z x a b =++,112xyz xy yz zx =++,则a 的值是:(A)1 (B)2 (C)1- (D)2-( )2.如图1,在等腰Rt ABC ∆中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ΔABD, 使点C,D 在AB 的同一侧.再以CD 为一边作等边ΔCDE,使点C,E 在AB 的异偶.若AE=1,则CD 的长为:(A)31- (B)62- (C)312- (D)622- ( )3.对于任意给定的正整数6,3n n m +为某正整数的立方,其中m 为正整数.那么,这样的m :(A)只有一个 (B)只有两个 (C)有无数多个 (D)不存在( )4.如图2,在Rt ABC ∆中,∠ABC=90O ,AB=12AC.在直线AB 或BC 上取一点P,使ΔPAC 为等腰三角形.那么,符合条件的点P 共有:(A)4个(B)6个 (C)7个 (D)8个( )5.已知锐角ΔABC 的三边长不相等,D 是边BC 上一点, ∠BAD+∠C=90O .那么,AD 必通过ΔABC 的:(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心( )6.若正整数m 使得关于x 的函数132(0)y x mx x =+-≥的最大值也是正整数,那么,这个最大值等于:(A)3 (B)4 (C)7 (D)8二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.已知,a b 为正整数,且满足22449a b a ab b +=++.则a b +的 值等于 .2.如图3,在正方形ABCD 中,过点B 作BE ∥AC,使得CE=AC.延长EC 交BA 的延长线于点F.则∠F= .3.已知,a b 是方程2230x px ++=的两个实根,,c d 是方程2230x qx ++=的两个实根,,e f是方程2222()30x p q x +-+=其中,p q 是实数.则()()()()a c b c a d b d e f --+++的值是 .4.如图4,直线31y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点A,B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆,∠BAC=90O .如果第二象限内存在一点1(,)2P a ,使得ΔABP 与ΔABC 的面积相等,则实数a的值为 .三、1.(20分)在二次函数2y ax bx c =++中,a 为正整数,1,1a b c c ++≥≥.且方程20ax bx c ++=有两个小于1的不等正实数根,求a 的最小值.2.(25分)如图5,已知⊙O 1与⊙O 2相离,OP 和OQ 是它们的两条外公切线,线段O 1O 2的垂直平分线交射线OP 于A,过点A 分别作⊙O 1,⊙O 2的切线,分别交射线OQ 于B,C 两点.求证: ΔABC 是等腰三角形.3.(25分)是否存在正整数,a b ,使得等式323()2a a b b b a +++=++成立?如果存在,求 出所有,a b 的所有值;如果不存在,请说明理由.。
浙江省杭州外国语学校2019届高三下学期五月份考试数学试题
省外国语学校2019届高三下学期五月份考试数学试题考生须知：1．全卷分试卷和答题卷，考试完毕后，将答题卷上交。
2．试卷共4页，有3大题，22小题。
总分值150分，考试时间120分钟。
3．答题前，请务必将自己的，号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
4．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
选择题局部〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合{}()(){}1,2,3,130,A B x x x x Z A B ==+-<∈⋂=，则A ．{l}B ．{l ，2}C ．{}0123，，，D ．{}10123-，，，，2．设复数21i z i =-(i 是虚数单位)，那么z 的虚部为 A ．i B. i - C ．1- D ．13.某四面体的三视图如下图，那么在该四面体中所有的棱长的最大值是〔 〕A 、5B 、6C 、7D 、424.如图，假设程序输出的结果为132，那么判断框中应填〔 〕A 、10?i ≥B 、11?i ≥C 、11?i ≤D 、12?i ≥5.2.0log )21(3.0==b a ，那么〔 〕 A ．221<-<b a B ．422<-<b a C ．524<-<b a D ．625<-<b a6.O 是坐标原点，点()1,1A -，假设点(),M x y 为平面区域210011x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<-≤⎩上的一个动点，那么AO OM ⋅的取值围是〔 〕A ．[]2,0-B ．[)2,0-C ．[]0,2D ．(]0,27.有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不一样且所标数字互不相邻的取法种数为〔 〕A ．42B ．48C ．54D ．68.正三棱锥ABC S -的底面是面积为3的正三角形，高为22，那么其切球的外表积为〔 〕A 、316πB 、38πC 、916πD 、98π 9.椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上一点，21F PF ∆是以P F 2为底边的等腰三角形，且021012060<∠<F PF ，那么该椭圆的离心率的取值围是〔 〕A. )1,213(-B. )21,213(-C.)1,21(D.)21,0( 10.函数)(x f 的导函数)(x f '满足)()(x f x f >'在R 上恒成立，且e f =)1(，那么以下判断一定正确的选项是〔 〕A ．1)0(<fB ．)0()1(f f <-C ．0)0(>fD ．)0()1(f f >-非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.计算：23lg 252lg 28++=.12.假设实数,x y 满足,6,32,y x x y y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩那么5z x y =-+的最小值为.13.sin 3cos 0αα-=，那么cos(2)2πα+=. 14.设函数()2f x x =，假设函数()()()23g x f x mf x m =+++有四个零点，那么实数m 的取值围为__________．15.等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，假设不等式()()2*13222N n n S M n a a n ++≤+∈恒成立，那么M 的最小值为__________． 16.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，且〔bc ﹣2〕cos A +ac cos B ＝1﹣b 2，那么△ABC 面积的最大值为．17.函数()xm y e =的图像与函数3y x =的图像在(]0,27有两个公共点，那么m 的取值围是.三、解答题:本大题共5小题，共74分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝2B .(1)求证：b cos A ＝(2b －a )cos B ；(2)假设b ＝5，c ＝6，求△ABC 的面积. 19.正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n .20.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，BC ＝CD ＝12AB ，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥BD ；(2)假设AD ＝PD ，∠PDA ＝120°，且S △PAB ＝152，求四棱锥P －ABCD 的体积.21.椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，假设圆x 2＋y 2＝a 2被直线x －y －2＝0截得的弦长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点A ，B 为动直线y ＝k (x －1)，k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MA→·MB →为定值？假设存在，试求出点M 的坐标和定值；假设不存在，请说明理由. 22.函数f (x )＝e kx (k －x )(k ≠0).(1)当k ＝2时，求y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)对任意x ∈R ，f (x )≤1k恒成立，数k 的取值围.数学参考答案1-5 BCCBB 6-10 BDDBA11. 6 12.12 13. 35- 14.()3,2-- 15. 6259 16. 17. ln 33,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.(1)证明 在△ABC 中，C ＝π－A －B ，C ＝2B ，所以π－A －B ＝2B ，sin(π－A －B )＝sin 2B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin B cos B ，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a cos B ＋b cos A ＝2b cos B ， 即b cos A ＝(2b －a )cos B .(2)解 由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得6sin 2B ＝5sin B， 所以cos B ＝35， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得25＝a 2＋36－365a ， 即5a 2－36a ＋55＝0，所以a ＝5或a ＝115. 当a ＝5时，又b ＝5，所以A ＝B ，又C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝B ＝π4，C ＝π2，明显不符合题意，所以a ＝115，又sin B ＝1－cos 2B ＝45， 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×115×6×45＝13225.19.解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝3n －2(n ∈N *).(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n 2. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *). 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n n ＋2＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ＝3n 2＋5n 12n ＋1n ＋2.20.(1)证明 如图，在直角梯形ABCD 中，取AB 的中点M ，连接DM ，由条件知四边形BCDM 为正方形，∴DM ＝AM ＝BM ，∴BD ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BD ⊥平面PAD .∵PD⊂平面PAD，∴PD⊥BD.(2)解方法一过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD.设BC＝CD＝a，那么AB＝2a，AD＝PD＝BD＝2a，∴PB＝PD2＋BD2＝2a.∵∠PDA＝120°，∴PE＝62a，PA＝2PD sin 60°＝6a，∴S△PAB＝12PA·AB2－⎝⎛⎭⎪⎫PA22＝152a2＝152，∴a＝1，∴V P－ABCD＝13PE·S梯形ABCD＝13×62×12×(1＋2)×1＝64.方法二设BC＝CD＝a，那么AD＝PD＝BD＝2a，∴PB＝PD2＋BD2＝2a.∵∠PDA＝120°，∴PA＝2PD sin 60°＝6a，∴S△PAB＝12PA·AB2－⎝⎛⎭⎪⎫PA22＝152a2＝152，∴a＝1，∴S△PAD＝12×2×2×sin 120°＝32.∵S△ABD＝2S△BCD，∴S 梯形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝32S △ABD ， ∴V P －ABCD ＝32V P －ABD ＝32V B －PAD ＝32×13BD ×S △PAD ＝32×13×2×32＝64. 21.解 (1)圆x 2＋y 2＝a 2的圆心(0,0)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|0－2|2＝1，∴2＝2a 2－12，解得a 2＝2，又ca ＝22，a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝2，c ＝1＝b .∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在x 轴上存在定点M (m,0)，使得MA →·MB →为定值.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧ y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，化为(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，那么x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2.MA →·MB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)x 1·x 2－(m ＋k 2)(x 1＋x 2)＋m 2＋k 2＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2－(m ＋k 2)4k 21＋2k 2＋m 2＋k 2＝k 22m 2－4m ＋1＋m 2－22k 2＋1， 令2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，解得m ＝54， 因此在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得MA →·MB →为定值－716.22.解 (1)当k ＝2时，f (x )＝e 2x (2－x ).∵f ′(x )＝2e 2x (2－x )－e 2x ＝e 2x (3－2x )，∴f ′(1)＝e 2，又∵f (1)＝e 2，∴所求的切线方程为y －e 2＝e 2(x －1).即y ＝e 2x .(2)方法一 ∵e kx (k －x )≤1k， ∴当x ＝k 时，0≤1k，即k >0， ∴对任意x ∈R ，k (k －x )≤e －kx 恒成立，设g (x )＝e －kx ＋kx －k 2，g ′(x )＝－k e －kx ＋k ＝k (1－e －kx )，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (0)＝1－k 2≥0，又k >0，∴0<k ≤1.方法二 对任意x ∈R ，f (x )≤1k 恒成立⇔f (x )max ≤1k，x ∈R .. .jz* ∵f ′(x )＝k e kx (k －x )－e kx ＝e kx (k 2－kx －1)，当k <0，x ≥k －1k 时，f ′(x )≥0；x <k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，k －1k 上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫k －1k ，＋∞上是增函数. 又当x →－∞时，f (x )→＋∞，而1k<0， ∴与f (x )≤1k恒成立矛盾，∴k <0不满足条件； 当k >0，x ≤k －1k 时，f ′(x )≥0；x >k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，k －1k 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，＋∞上是减函数. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＝21e k －·1k ≤1k ， ∴k 2－1≤0，即－1≤k ≤1，又k >0，∴0<k ≤1，综上所述，实数k 的取值围是(0,1].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A． 甲
B． 乙
C．丙
） D． 丁
第1页
8、已知向量 a, b, c 满足 a 4, b 2 2, a 与 b 的夹角为 , (c a) (c b) 1 ,则 4
c a 的最大值为（ ）
A． 2 1 2
B． 2 1 2
C． 2 1 2
D． 2 1
9、如图，四边形 ABCD 和 ADEF 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 AE
M (x1,
y1),
N (x2,
y2 )
，则
x1
x2
4x0 1 y0
,
x1x2
4
第7页
由题意得直线 AM
的斜率为：
y1 y0
x12 4
x02 4
x1 x0
，
x1 x0 x1 x0
4
同理 AN 的斜率为 x2 x0 4
∴ x1 x0 x2 x0 1
17、如图所示，在梯形 ABCD 中， AB // CD, AB 4，AD 3，CD 2, AM 2MD, 如果 AC BM 3, 则AB AD = ▲ .
三、解答题（本大题 74 分=14+15+15+15+15 分）
18、在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ， a2 c2 b2 bc cosC c2 cos B.
y
1 4
x02
在
A( x0 ,
y0
)
的切线斜率为
x0 2
∴直线 AB 与抛物线相切．
（2）由（Ⅰ）知
A( x0 ,
y0 ) ，直线 MN
的方程为
y
x0 1 y0
x
1，
x2 4y
由
y
x0 1 y0
x 1
，消去 y 整理得 x2 4x0 1 y0
x4 0，
设
11、已知复数 z 满足 z i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为 3i
为 ▲．
▲ ， z 的模长
12、若函数
f
(x)
a 3x
3x
是偶函数，则实数 a 等于
▲
， f (x) 的最小值是 ▲ .
13、函数
f
(x)
sin
2x
4
2
2 cos2 x 的最小正周期是
由
a1, 2a2 ,3a3 可得：4a2
a1
3a3
，得：3t 2
t
0 ，t1
0, t2
1 3
，an 递增，所以 t
1 3
.
（2）由（1）得： an1
an
1
n
3
，则 an
a1Βιβλιοθήκη a2a1 a3
a2
an an1
所以： an
由题意得
A(0,1,0), B(1,1,0),C(2,0,0), D(0, 1,0), P(0,0,1)
设平面 PCD 的法向量为 n (x, y, z) ，则
n n
PD PC
0 0
2
y x
z z
0 0
令 z 2 ，得 x 1, y 2
4
4
整理得 y02 2 y0 3 0 ，又因为 A(x0 , y0 ) 在第一象限，解得 y0 3
代入抛物线方程得 x0 2 3
所以存在 A(2 3,3) ，使得 AM AN
22、（1） f (x) ex a ． 若 a 0 ，则 f (x) 0 ，则函数 f (x) 是单调增函数，这与题设矛盾． 所以 a 0 ，令 f (x) 0 ，则 x ln a ． 当 0 x ln a 时， f (x) 0 ， f (x) 是单调减函数； 当 x ln a 时， f (x ) 0， f (x) 是单调增函数. 于是当 x ln a 时， f (x) 取得极小值．
21、抛物线 x2 4 y 的焦点为 F ，直线 l ： y 1，若 A 为抛物线上第一象限的一动点， 过 F 作 AF 的垂线交直线 l 于点 B ，交抛物线于 M , N 两点. （1）求证：直线 AB 与抛物线相切； （2）若点 A 满足 AM AN ，求此时点 A 的坐标.
22、设函数 f (x) ex ax a ，其图象与 x 轴交于两点 A(x1, 0) ， B(x2, 0) ，且 x1 x2 ． （1）求 a 的取值范围；
10
；12、1 ，
2
；13、
，
k
3 8
,
k
8
,
k
Z
；14、 60
，1；
15、10 ； 16、 5 ； 17、 3 .
3
2
三、 解答题
18、（1）由余弦定理可得：2ac cos B bc cosC c2 cos B 2a cos B bcosC c cos B 由正弦定理可得：2sin Acos B sin BcosC cos BsinC sin(B C) sin A
∴直线
AF
的斜率为
y0 1 x0
，
由已知直线 BF
斜率存在，且直线 BF
的方程为
y
x0 1 y0
x 1，
∴点
B
的坐标为
(
2(
y0 x0
1)
,
1)
，
∴直线
AB
的斜率为
x0
y0 1 2( y0 1)
x0
x0
(
1 4
x02
1)
x02
2( 1 4
x02
1)
x0 2
根据导数的几何意义得
sin A 0 ，cos B 1 B .
2
3
(2)
SABC
1 2
ac sin
B
3 ac 25 3 ，ac 25 ……①
4
4
又 b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac 25……②
由①②可得：a c 5 ，sin A sin C
所以 n (1, 2, 2) ，又 PB (1,1, 1) ，
设直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为
n PB
所以 sin
3 ，故直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为
3
.
n PB 3
3
20、（1） a1 1, an1 an t n , a2 1 t, a3 a2 t 2 t 2 t 1，
▲
，单调增区间是 ▲ .
14、二项式
2x2
1 x
6
的展开式的常数项为
▲
，所有项的系数和为 ▲ .
15、若数列
2n
2n 1 2n1 1
的前
k
项的和不小于
2018 2019
，则 k 的最小值为
▲
．
16、在 1，2，3，……，9 这 9 个自然数中，任取 3 个数．记这 3 个数中奇数的个数为 X，则 X 的数学期望 EX 等于 ▲ .
1
1 3
1 3
2
1 3
n1
1
1 3n
1 1
3 2
1
1 3n
.
3
第6页
所以： bn
n3
2an
n
1 3n1
111
Tn
1 30
2 31
3 32
1 n 3n1
……. ①
1 3
Tn
1 1 2 1 3 1
31
32
33
n 1 3n
…….
②
①-②可得：
2 3
Tn
1
1 31
1 32
1 3n1
n
1 3n
1
1 3n
1 1
n
1 3n
3 2
1
1 3n
n
1 3n
3
Tn
9 4
3 2
n
9 4
1 3n
21、（1）由题意得焦点 F(0,1) ．设 A(x0, y0 )(x0 0, y0 0) ，
20、已知数列 an 满足 a1 1, an1 an t n ， n N* （1）若an 是递增数列，且 a1, 2a2,3a3 成等差数列，求an 的通项公式； （2）在（1）的条件下，令 bn n 3 2an ，求数列bn 的前 n 项和Tn .
的（
）
A．充分必要条件
C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x y 2 5、若变量 x, y 满足 2x 3y 9 ，则 x2 y2 的最大值是（ ）