重庆市巴蜀中学 高三3月月考数学(理)试题
重庆市巴蜀中学月考(一)2024届高三数学答案
数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。
重庆市巴蜀中学高三(下)3月月考数学试卷(理.docx
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx4．已知等差数列数列{an }满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．66．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．C ．D ．37．若α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），则tan α等于（ ） A ．﹣ B ．﹣ C ．﹣ D ．﹣38．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与其交于A ，B 两点，若|AF|=4，则|BF|=（ ）A ．2B ．C ．D ．19．已知圆C ：（x ﹣）2+（y ﹣1）2=1和两点A （﹣t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π11．已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB=120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R ），则•的最小值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣112．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5=______．14．函数f （x ）=2sinxcos （x ﹣），x ∈[0，]的最小值为______．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥AB ，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=______．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知， ==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵1≤2x≤8，∴0≤x≤3，∴A=[0，3]，（x2﹣x）＞1，∵log2∴，∴x＞2或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：A3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=xtanxB ．f （x ）=xe xC ．f （x ）=x+2lnxD ．f （x ）=x ﹣sinx【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f （x ）+f （﹣x ）=0，即函数f （x ）为奇函数；②f （x ）存在零点，即函数图象与x 轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案．【解答】解：对于A ，f （x ）=xtanx ，不是奇函数，故不满足条件①；对于B ，f （x ）=xe x ，不是奇函数，故不满足条件①；对于C ，f （x ）=x+lnx ，（x ＞0），不是奇函数，故不满足条件①；对于D ，f （x ）=x ﹣sinx 既是奇函数，且函数图象与x 有交点，故f （x ）符合输出的条件． 故选：D ．4．已知等差数列数列{a n }满足a n+1+a n =4n ，则a 1=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+1+a n =4n ，写出a 2+a 1，a 3+a 2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，且a n+1+a n =4n ，∴a 2+a 1=4，a 3+a 2=8，两式相减得a 3﹣a 1=8﹣4=4，∵数列{a n }是等差数列∴2d=4，即d=2，则a 2+a 1=2a 1+d=4=2a 1+2即a 1=1．故选：B ．5．已知实数x ，y 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵，∴的最小值为4．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），可得5（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），可得：cosα+sinα=．1+2sinαcosα=．，解得：tanα=．故选：A．8．过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A．2 B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|=4，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设A（x，y），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y==2，即A（3，2），则AF的斜率k==，则直线AF的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以设圆上一点P（x0，y），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，kAP•k BP=﹣1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．【解答】解：设P点坐标（x0，y），kAP•k BP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|==1，即t=1．故t的最小值为1．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出||的范围，用，，表示出，代入数量积公式得出关于||的式子，根据||的范围得出答案．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ），∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=．∴||＜1．∴•=（）•（）=﹣（）+．∵MN是单位圆O的直径，∴=﹣1， =，∴•=﹣1+．∴﹣≤•＜0．则•的最小值为﹣，故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用换元法设m=f （x ），将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可． 【解答】解：设m=f （x ）， 作出函数f （x ）的图象如图： 则m ≥1时，m=f （x ）有两个根， 当m ＜1时，m=f （x ）有1个根，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根， 则等价为m 2+m+t=0有2个不同的实根，且m ≥1或m ＜1， 当m=1时，t=﹣2，此时由m 2+m ﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f （x ）=1有两个根，f （x ）=﹣2有1个根，满足条件当m ≠1时，设h （m ）=m 2+m+t ，则h （1）＜0即可，即1+1+t ＜0， 则t ＜﹣2， 综上t ≤﹣2， 故选：A ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5= 1 ． 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5．相减即可得出． 【解答】解：由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5， 令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5． 相减可得：2（a 1+a 3+a 5）=2， 则a 1+a 3+a 5=1． 故答案为：1．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为0 ．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴当x=0时，2x﹣=﹣，函数f（x）=sin（2x﹣）+最小值为0．故答案为：0．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率．【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m==18，∴恰有一个空盒的概率是p=．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|= 2 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CE⊥AD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC．【解答】解：过C作CE⊥AD交AD延长线于E．则△ABD∽△ECD．∴=．∴DE=，∴AE=AD+DE=．∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=30°，∴AC==2．故答案为：2．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程 17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）由题意可得﹣1=2（﹣1），即可证明{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n 项和，再利用放缩法即可证明． 【解答】证明：（1）∵a n+1=，∴2a n+1﹣a n+1a n =a n ， ∴﹣1=2（﹣1），∵a 1=， ∴﹣1=2，∴{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴﹣1=2n ，∴a n =，（2）b n ==n •（）n ，令S n =1•（）1+2•（）2+…+n •（）n ，∴S n =1•（）2+2•（）3+…+（n ﹣1）•（）n +n •（）n+1， ∴S n =+（）2+（）3+…+（）n ﹣n •（）n+1=1﹣，∴Sn=2﹣＜2，故：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，∴后四组的频数27，24，21，18，∴所以视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）由题意可知9人中年级在1﹣50名给我951﹣1000名的人数分别为3人好6人，∴X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1，E（X）=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，∴BD=，∴∠BDC=45°，又BC=，∴CD=2，∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴，∴PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=﹣3，则=（1，﹣3，﹣2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值为．20．若椭圆（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点F 内分成了3：1的两段． （1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（1）由c+=3（c ﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，知2y 2+y 1=0，由，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程． 【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c ﹣），… ∴b=c ，∴a 2=2b 2，… ∴e===．…（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①… 由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2， 由，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时， =﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx 图象的直线斜率为k ，只须0＜a ＜k ． 令切点A （x 0，lnx 0）， 故k=y ′|x=x 0=，又k=，故 =，解得，x 0=e ，故k=，故0＜a ＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2． 由（1）可知x 1，x 2分别是方程lnx ﹣ax=0的两个根， 即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2所以原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2=a （x 1+λx 2），因为λ＞0，0＜x 1＜x 2， 所以原式等价于a ＞，又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2作差得，ln =a （x 1﹣x 2），所以原式等价于＞，因为0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t ∈（0，1），则不等式lnt ＜在t ∈（0，1）上恒成立． 令h （t ）=lnt ﹣，t ∈（0，1），又h ′（t ）=，当λ2≥1时，可见t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos （θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年9月28日。
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期3月质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期3月质量检测数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】先求出复数z,再求zi得解. 【详解】 由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅I ，则实数m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与 直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C . 【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.3．已知两个单位向量12,e e u r u u r ，若()1212-⊥u r u u r u r e e e ，则12,e e u r u u r的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由已知可求出12e e ⋅u r u u r，再由向量夹角公式，即可求解.【详解】因为()1212-⊥u r u u r u r e e e ，所以()12102=-⋅u r u u r u r e e e ，所以11222=⋅u r u u r u r e e e ，所以12,cos e e <>=u r u u r 12，又因为[]12,0,e e π<∈>u r u u r ，所以12,e e π3<>=u r u u r .故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角，意在考查逻辑推理，数学运算，属于基础题. 4．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值. 【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.5．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．0CD ．2【答案】B 【解析】由88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求ϕ，然后代入即可求解． 【详解】 解：由f （8π﹣x ）＝f （8π+x ）可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， 1,42k k Z πϕππ+=+∈, 故33,2sin 04844k f k ππππϕππ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．6．已知平面α⊥平面β，直线,m l ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，即可得出结论. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥； 若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选:C. 【点睛】本题考查命题充要条件的判断，考查空间垂直间的关系，熟记定理是解题的关键，属于基础题. 7．若)233131log ,,a b e c e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较,,a b c 的大小. 【详解】)2133221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选;B . 【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.8．若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2=α（ ）A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【答案】D【解析】用诱导公式结合同角间的商的关系，从已知等式可求出sin ,cos αα，即可求解. 【详解】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos 3cos sin ααα=-，所以cos 0α=或1sin 3α=-，故2cos 22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=. 故选:D . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养，属于基础题.9．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.【考点】1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.11．已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且123,,d d d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =± B．y = C．y = D．3y x =±【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ，由已知可得2AF BF p +=，根据抛物线定义可得12y y p +=，利用点差法可得()()1212122222y y y y py py a b-+-=，从而可求得渐近线方程． 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ， 由已知有2AF BF p +=，即12y y p +=，由22112222222211x y a b x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得()()2212121222y y y y x x a b -+-=， 即()()1212122222y y y y py py a b -+-=，故2212b a =， ∴渐近线方程为2y x =±， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题．12．已知正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱111,,AA BB CC 分别交于,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为（ ） AB ．3C．D ．6【答案】B【解析】由题意画出图形，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，可得0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．【详解】以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，),1,)MN b a QN b c =-=--u u u u r u u u r ，所以0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，()()20b a b c ∴--+=，即()()2b a b c --=1||||2S MN QN ∴=⋅=u u u ur u u u r=()211642()()22b a bc ≥+⨯--+- 11616432=++= 故选：B.【点睛】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．二、填空题13．已知()525012512x a a x a x a x -=++++L ，则012345a a a a a a -+--+的值为__________. 【答案】243【解析】取1x =-代入即可得到结果. 【详解】令1x =-得：()501234512a a a a a a +=-+-+-，012345243a a a a a a ∴-+-+-=. 故答案为：243. 【点睛】本题考查与二项展开式各项系数和有关的计算，处理此类问题通常采用赋值法来进行求解.14．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,2a c =C 大小为_____.【答案】6π【解析】根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为,A C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.【详解】因为()cos sin cos cos ,A C C B -= 所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -= 因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =， 则tan 1A =，所以4A π=，又sin a A =1sin 2C =， 因为c a <，所以04C π<<，故6C π=.故答案为:6π. 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.15．高三年级有四个老师分别为a b c d ,,,，这四位老师要去监考四个班级,,,A B C D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，则不同的监考方式有_________种.（用数字作答） 【答案】9【解析】在a 老师监考B 班或C 班和监考D 班两种情况下分别求得监考方式种数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若a 老师监考B 班或C 班，则共有：1236C =种监考方式； 若a 老师监考D 班，则共有：2213A +=种监考方式；由分类加法计数原理可知，不同的监考方式共有639+=种监考方式. 故答案为：9. 【点睛】本题考查排列组合的计数问题的求解，涉及到分类加法计数原理的应用，关键是能够根据限制条件进行准确分类. 16．函数1()ln||1xf x a x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >. 同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U . 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞U【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）2n b n =；（2）1244323n n n ++-- 【解析】（1）根据等差数列的定义，可得{}n b 是等差数列，进而求出通项公式； （2）由已知求出{}n c 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和. 【详解】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.（2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1444142n n n +-⨯=-- 1244323n n n ++=--. 方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， 即12n n b b +-=， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=. （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题. 18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. ()20P K k … 0.050.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.828【答案】（1）0.025a =，74.5分；（2）表格见解析，有【解析】（1）根据频率和为1，求出a ，按照平均数公式，即可求解；（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论. 【详解】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =.因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=， 所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”. 【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题.19．在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥I 平面1A BD .（1）证明：1B C P 平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）437【解析】（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =I ， ∴1A O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA u u u r u u u r u u u r为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()1,0,1,0,AB AA AD ===-u u u r u u u r u u u r设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =r，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(n =r .设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,m =u r .∴1cos ,7m n m n m n⋅<>===⋅u r ru r r ur r ， 设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α==，∴二面角1B AA D --的正弦值为7. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ∴在1AB C V 中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)的离心率为3，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.已知l 上存在点P ，使得PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m . 【详解】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===，=，解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=.所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x xm +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.21．已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈.（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()()g x f x x =-两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1212x x x x +<，证明见解析【解析】（1）利用函数有两个极值点可知()0f x '=在()0,∞+上有两个不等实根，将问题转化为2y ax =与()ln 1g x x =+在()0,∞+有两个不同的交点的问题，通过数形结合的方式确定相切为临界状态，进而利用过某点处切线的求解方法可求得结果；（2）根据12,x x 为()0g x '=的两根可得到1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩，设12x x >，则121x t x =>，由方程组可求得ln 12t t x e-=，将12x x +与12x x ⋅的大小比较问题转化为比较1211,1x x +的大小关系，进一步将问题化为比较()()1ln 1ln ,0t t t t -+-大小关系，设()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-，利用导数可求得()0m t <，进而得到结论.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()ln 12f x x ax '=+-，()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=在()0,∞+上有两个不等实根，令()ln 1g x x =+，则2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，当y kx =与()g x 相切时，设切点为()00,ln 1x x +， 则()0000ln 11x g x k x x +'===，解得：011x k =⎧⎨=⎩， 则当021a <<时，2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，10,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有两个极值点.（2）1212x x x x +<，证明如下：由题意得：()1ln 21ln 2g x x ax x ax '=+--=-， 12,x x 为()0g x '=的两个根，不妨设12x x >，则121x t x =>， 则11122212ln ln 2ln ln 2ln ln ln x t x ax x x ax x x t⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎩，解得：ln 122ln ln 1t t t x x e t -=⇒=-，要考虑1212,x x x x +大小关系即考虑1211,1x x +的大小关系， 即考虑211,1t x t +⨯的大小关系即考虑ln 11,1t t t e t--+⨯的大小关系，即考虑ln 1+ln ,01t tt t+--的大小关系即()()1ln 1ln ,0t t t t -+-的大小关系， 令()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-， 则()()212ln 1ln ln 111m t t t t t t ⎛⎫'=+--=+- ⎪++⎝⎭， 由()ln 1x x ≤+知：()()121011t m t t t t t -'≤-=<++， ()m t ∴在()1,+∞上单调递减，()()10m t m ∴<=，即12111x x +<， 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题考查根据导数极值点的个数求解参数范围和比较大小的问题；构造函数比较大小的关键是能够通过引入第三变量，将双变量问题转化为单变量问题，进而通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值得到大小关系. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-= ∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=. （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥.【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c++++≥，利用基本不等式即可得证.【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥，1436+==当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立， 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。
重庆市巴蜀中学高2020届高三3月质量检测数学(理)试题(PDF版,无答案)
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y为
B. 3
C. 2 7
D. 6
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 已知（1 2x）5 a0 a1x a2 x2 a5 x5 ，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 的值为__________.
14.已知 △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ．若 cos Asin C cos C cos B, a 2, c 2 ，则角 C 大
2
3 cos(
)
，则
cos 2
C． a c b
D． c b a
A． 1
B． 7 9
C． 0 或 7 9
D．
1或
7 9
9．已知
AB
是圆 C
:x
12
y2
1的直径，点
P
为直线
x
y
1
0
上任意一点，则
PA
PB
的最小值
是（ ）
A．1
B．0
C． 2
D． 2 1
10. 射线测厚技术原理公式为 I I0et ，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度， e 是自然对数的
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据： K 2
n(ad bc)2
,n a bc d .
重庆市巴蜀中学高三3月月考理数试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则=a （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D考点：复数的运算与概念．2. 若集合{}821≤≤=xx A ，{}1)(log 22>-=x x x B ，则=B A （ ）A ．]3,2(B ．]3,2[C ．]2,0()0,( -∞D ．]3,0[)1,( --∞ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意{|03}A x x =≤≤，2{|2}{|12}B x x x x x x =->=<->或，所以{|23}A B x x =<≤．故选A ．考点：指数与对数不等式，集合的运算．3. 某流程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．x x x f tan )(=B ．xxe x f =)( C ．x x x f ln 2)(+= D ．x x x f sin )(-=【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图知，输出的函数是存在零点的奇函数．题中A 是偶函数，B ，C 非奇非偶函数，只有D 是奇函数，它也存在零点．故选D ． 考点：程序框图，函数的奇偶性，函数的零点． 4. 已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B考点：等差数列的概念．5. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥>0620y x x y x ，则x y x 22++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C 【解析】考点：简单线性规划的非线性应用．6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x 的值为（） A ．2 B ．25 C ．3 D ．23【答案】C考点：三视图，棱锥的体积．7. 若),2(ππα∈，且)4sin(22cos 5απα-=，则αtan 等于（ ） A ．34- B ．31- C ．43- D ．3-【答案】A 【解析】试题分析：由5cos 2sin()4παα=-得225(cos sin )cos cossin )44ππαααα-=-，即5(cos sin )(cos sin )cos sin αααααα-+=-，因为(,)2παπ∈，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=①，平方得12sin cos 25αα=-②，①②联立再由(,)2παπ∈解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以sin 4tan cos 3ααα==，故选A ． 考点：两角差的正弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．8. 过抛物线x y 42=的焦点F 作直线l 与其交于B A ,两点，若4=AF ，则=BF （ ） A ．2 B ．34 C ．32D ．1【答案】B考点：抛物线的焦点弦的性质．【名师点睛】与焦点弦有关的常用结论(如图所示)(1)y 1y 2=-p 2,2124p x x =.(2)|AB|=x 1+x 2+p ＝2sin pθ(θ为AB 的倾斜角). (3)S △AOB =22sin p θ(θ为AB 的倾斜角).(4)11AF BF +为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切. (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切. (7)∠CFD=90°.本题用上述性质4可很快得出结论：1114BF +=，则43BF =． 9. 已知圆1)1()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-t t B t A ，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，则11t t -≤≤+，解得13t ≤≤．所以t 的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．10. 已知三棱锥ABC P -中，4=PA ，32==AC AB ，6=BC ，ABC PA 面⊥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π32C ．π64D ．π128 【答案】C考点：棱锥的外接球，球的表面积．11. 已知B A ,是单位圆上的两点，O 为圆心，且120=∠AOB ，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)()1(R ∈-+=λλλ，则CN CM ⋅的最小值为（ ） A ．21-B ．41-C ．43- D ．1- 【答案】C考点：向量的数量积，向量的线性运算．【名师点睛】1．若存在实数λ，使得AB AC λ=，则,,A B C 三点共线． 2．O 是直线AB 外一点，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数,x y ，使得OP xOA yOB =+，且1x y +=．或者存在实数λ，使得(1)OP OA OB λλ=+-．12. 已知实数⎩⎨⎧<-≥=,0),lg(,0,)(x x x e x f x 若关于x 的方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A ．]2,(--∞B ．),1[+∞C ．]1,2[-D ．),1[]2,(+∞--∞ 【答案】A 【解析】试题分析：作出函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，当1m ≥时直线y m =与()f x 的图象有两个交点，当1m <时直线y m =与()f x 的图象有一个交点，题意要求方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则方程20m m t ++=必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当110t ++=，即2t =-时，方程220m m +-=的两根为1和－2，符合题意，当110t ++<，即2t <-时，方程20m m t ++=有两不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意，综上有2t ≤-．故选A ．考点：函数的零点，方程根的分布，数形结合思想． 【名师点睛】1．函数零点的概念（1）函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点．（2）由函数y ＝f (x )在闭区间上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示．所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间上有零点的充分不必要条件． 2．函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.【答案】1考点：二项式定理的应用． 14. 函数]43,0[),3cos(sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的最小值为______. 【答案】0考点：两角和与差的正弦公式，三角函数的最值．15. 把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是_____. 【答案】32 【解析】试题分析：把3个不同的球放入3个不同的盒子中共有3327=种不同放法，恰有一个空盒的方法是22333618C A =⨯=，因此所求概率为182273=． 考点：古典概型．【名师点睛】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法， (2)列表法， (3)利用树状图列举． (4)应用排列组合的知识计算．16. 如图，在ABC ∆中， 120=∠BAC ，AB AD ⊥，BC =，1AD =，则AC =_____.【答案】2 【解析】试题分析：在ABC ∆中，sin sin120AC BC B =︒①，在ABD ∆中，sin ADBD B=②，①÷②得sin120AC BC AD BD =︒，所以112sin120BC AC BD =⋅⋅=︒．考点：正弦定理．【名师点睛】1．把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2．选用正弦定理或余弦定理的原则如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3．在已知两边及其一边对角用正弦定理解三角形时，要注意可能有两解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，311=a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n . （1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ； （2）设n nn a na b -=1，求证：21<∑=ni i b .【答案】（1）证明见解析，121+=nn a ；（2）见解析．试题解析：（1）由已知得：1211-=+n n a a ；∴)11(2111-=-+nn a a ，考点：等比数列的证明，等比数列的通项公式，错位相减法求和． 【名师点睛】1．等比数列常用的三种判定方法 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．2．证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． 18. （本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在0.5以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否具有相关性，对年级名次在501-名和1000951-名的学生进行了调查，得到下表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查队他们的良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在501-的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=【答案】（1）820；（2）有关；（3）分布列见解析，期望为1．（2）841.3110.47330027735050)9321841(10022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，因此在犯错误的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系.（3）依题意9人中年级名次在501-名和1000951-名的人数分别为3人和6人，所以X 的取值为3,2,1,0，8420)0(3936===C C X P ，8445)1(391326===C C C X P ，8418)2(392316===C C C X P ，841)3(3933===C C X P ， X 的分布列为：所以1)(=X E .考点：频率分布直方图，独立性检验，随机变量分布列与数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，⊥PD 底面ABCD ，CD AB ∥，CD AD ⊥，1==AB AD ，2=BC .（1）求证：面⊥PBD 面PBC ；（2）设H 为CD 上一点，满足2=，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为36，求二面角C PB H --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）721. 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，根据其判定定理，就要证线面垂直，而要证线面垂直，就要证线线垂直，观察图形，有PD ⊥平面ABCD ，则有PD BC ⊥，再由已知由勾股定理可证BC BD ⊥，由此可得结论；考点：面面垂直的判定，二面角．【名师点睛】空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cosθ= |cos<m1,m2>|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ=|cos<m,n>|.(3)求二面角的大小如图①,AB ,CD 是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=<> .如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos <n 1,n 2>或-cos <n 1,n 2> . 20.（本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 内分成了1:3的两段.（1）求椭圆的离心率；（2）过点)0,1(-C 的直线l 交椭圆于不同两点B A ,，且2=，当A O B ∆的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）直线方程为12-=y x 或12--=y x ，椭圆方程为125522=+y x . 【解析】试题分析：（1）求椭圆的离心率，只要列出关于,,a b c 的一个等式，由线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 内分成了1:3的两段可得)2(32bc b c -=+，化简后可得离心率；（2）本小题是直线与椭圆相交问题，可设直线l 方程为1x ky =-，交点为1122(,),(,)A x y B x y ，由2AC CB =可得2120y y +=①，由（1）222a b =，因此椭圆方程可为22222x y b +=，把1x ky =-代入后可得1212,y y y y +，结合①可求得12,y y （只用k 表示），求纵坐标y 不求横坐标x 的目的是OAB ∆的面积可表示为1212111222S y y y y =+=-232k k =⋅+，由基本不等式知识可求得当k 时，S 取得最大值，从而求得直线与椭圆方程．考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆相交问题． 21.（本小题满分12分） 已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为21,x x ，且21x x <，已知0>λ，若不等式λλ+>⋅121e x x 恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）ea 10<<；（2）1≥λ.试题解析：（1）依题意，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，即方程0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同的解，也即xxa ln =在),0(+∞上有两个不同的解，令x x x g ln )(=，2ln 1)(x xx g -='，所以当e x <<0时，0)(>'x g ，当e x >时，0)(<'x g ， 所以)(x g 在),0(e 上单增，在),(+∞e 上单减，所以ee g x g 1)()(max ==，又0)1(=g ，当1>x 时0)(>x g ，10<<x 时，0)(<x g ，所以ea 10<<.（2）λλ+>⋅121ex x 等价于21ln ln 1x x λλ+<+，因为21,x x 为方程0ln =-ax x 的两根，11ln ax x =，22ln ax x =，所以)(ln ln 1212121x x a ax ax x x λλλλ+=+=+<+，因为210,0x x <<>λ，考点：导数与极值，不等式恒成立问题，函数的单调性，转化与化归思想． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，且AC AB 2=.（1）求证：AD BE 2=；（2）当1=AC ，2=BC 时，求AD 的长.【答案】（1）见解析；（2）32=AD . 【解析】试题分析：（1）先分析图形，由于CD 是ACB ∠的平分线，因此有AD DE =，因此要证2BE DE =，再结合已知2AB AC =，因此我们只要证明BCA BDE ∆∆~即可，这由对应角相等即可证明；（2）由割线定理有BE BC BD BA ⋅=⋅，即2()AD BC BA AD BA ⋅=-⋅，由此可得AD 长．考点：相似三角形的判断与性质，切割线定理． 23.（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线)0(cos 2:>=a a C θρ，23)3cos(:=-πθρl ，C 与l 有且只有一个公共点. （1）求a ；（2）O 为极点，B A ,为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.【答案】（1）1a =；（2）32. 【解析】试题分析：（1）由公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程，由题意直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆半径可求得a ；（2）本小题用极坐标来求比较简便，利用圆的对称性，只要设AOx θ∠=，（[0,)2πθ∈），则有()OA ρθ=，()3OB πρθ=-，这样可把OA OB +表示为θ的三角函数，由三角函数的知识可求得最大值．试题解析：（1）C 的直角坐标方程为222)(a y a x =+-，l 的方程为：033=-+y x ，由已知得123=⇒=-a a a .（2）因为C 为圆，由圆的对称性，设)2,0[,πθθ∈=∠AOx ，则)3cos(2cos 2)3()(πθθπθρθρ-+=-+=+OB OA32)3sin(32sin 3cos 3≤+=+πθθθ， 所以当6πθ=时，OB OA +的最大值为32.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切，两角和与差的正弦公式，三角函数的最值．24.（本小题满分10分） 设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式5)(≤x f ；（2）若函数)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4321≤≤-x ；（2）33≤≤-a .当3>a 时，)(x f 在R 上递增，无最小值. 综上：33≤≤-a .考点：解绝对值不等式，分段函数，函数的单调性与最值．。
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高三上学期月考卷及参考答案
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高三上学期月考卷一、非连续性文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：所谓“闲笔”，就是用点缀穿插的手段，打破描写的单一性，使不同的节奏、不同的气氛互相交织，从而增加生活情景的空间感和真实感。
其多是主要情节以外的“非情节”因素，去掉它们几乎不影响情节的完整性。
但是，增加这些富于多重审美功能的“闲笔”，却会使小说增色不少。
“闲笔”具有延宕故事情节，延长读者审美感受时值的审美功效。
艺术之所以存在，就是为了使人感觉到事物，而不是仅仅认知事物。
艺术的技巧就是使对象陌生。
使形式变得困难，增加感受的难度和时值。
因为感觉过程本身就是审美目的，所以必须设法延长。
而“闲笔”因丰富了情节含量，改变了叙事节奏，增强了悬念，产生了陌生化效果，从而使审美增加感受的难度和时值，所以才增强了小说的吸引力。
如金圣叹评点《水浒传》第三十九回，宋江、戴宗即将问斩，情况万分危急，“此时只须云：只等午时三刻，便要开刀，一句便过耳”。
可作者偏偏写了一大段“闲文”，以延宕情节。
先写早晨派人打扫法场，接着又写各将宋江、戴宗以胶水刷头发，然后六七十个狱卒一齐推拥出来，次又写押到十字路口，用枪棒团团围住。
总之，这段“闲文”是细之又细，不厌其烦，其作用就在于使急事缓出，以“闲闲之笔”来丰富情节，调动读者的审美期待心理，增加悬念。
“闲笔”还能调节叙述节奏，“舒气杀势”，从而使情节摇曳多姿，富于情趣。
这在历史演义小说中表现得最为典型。
因历史演义小说一般采用编年体叙事，容易使叙事因平铺直叙而流于呆板单调，从而使读者产生审美疲劳。
而小说家克服这一弊端的法宝就是巧妙地穿插“闲笔”，这一点在《三国演义》中表现得尤为明显。
如第四十八回写曹操横槊赋诗，当时“天色向晚，东山月上，皎皎如同白日，长江一带，如横素练”，时已醉酒的曹操，横槊船头，对景而歌，战争的壮美与“闲笔”的优美和谐地交织在一起，让人丝毫感觉不到肃杀的战争气氛。
重庆市巴蜀中学2023-2024学年高三下3月月考数学答案
数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C D B D 【解析】 3．提升的比例为33221022log (12500)log (2500)12lg 211log (2.510)113%log (11000)log (1000)3+--≈-=⨯-=≈+，故选B ．4．122234344C A C A 725625P +==，故选C ． 5．由题()f x 为偶函数，221log (log 3)3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴0.1232log 3202>>>>∵且()f x 在(02)，上单调递减，所以b c a <<，故选C ．6．212112132222()02n n n n n n n n a a a a a a a a a λ+++++=-⇒-=-==->⇒< ，故选D ． 另解：21211213222222n n n n n n n a a a a a a a a a λ+++++=-⇒-=-==-=- ，若1λ=，则12n n a -=符合；若1λ≠，则11222222(22)n n n n a a a a λλλ++-=-⇒+-=+-. ①当2λ=时，2n a =不符合；②当2λ≠时，12(2)22n naλλ-=-+-，112(2)0n n n a a λ-+-=->恒成立，则2λ<，故选D ．7．π()sin 222sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，()0f x =在(0π)，上恰有两解，πππ22π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，，∵则2ππ7π142π33323ωω<-⇒<≤≤，故选B． 8．由题可得OA OB ⊥，记AB 的中点为M ，则M 的轨迹为222C x y +=：，1122|6||6|x x ++++表示1122()()Ax y B x y ，，，到直线60x +=的距离之和的2倍，即M 到直线60x ++=的距离的4倍，所以其最小值为12-，故选D ．数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 1011 答案 ABD ACDBD【解析】9．选项C 中，比如数据4，4，4，4，4+的均值为4，标准差为1，故C 错误，故选ABD ．10．动点M 满足MA 与MB 的斜率之积为12-，设()M x y ，，2212y y x x -+=-⇒ 221(0)84x y x Γ+=≠：，故A 正确；2BC y x =+：，设2sin )M θθ，，则1|||2sin 2||)2|2MBC S BC d θθθϕ==-+=++△2+≤，故C 正确；MBC △面积无最小值，故B错误；()()(0)M x y N x y H x --，，，，，，1122MN HN PM PN PM MN y y k k k k k k x x ===-=-，，MPN △为以NMP ∠为直角的直角三角形，故D 正确，故选ACD ． 11．由题可知CFB θ=∠，当π2θ=时，AC 与EF 所成角等于AC 与AB 所成角CAB ∠，此时cos 3ABCAB AC∠===，故A 错误；记AB 的中点为M ， ABG △∵为等腰直角三角形，则C ABG -的外心在过点M 且垂直于平面ABG的直线上，MF ==设OM t =，则有222211(1)2R t R t R t ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨==-+⎪⎪⎩⎩，，故C ABG -的外接球的体积为，故B 正确；过C 作CH BF ⊥，垂足为H ，则sinCH AH θ==，π3θ=时，AC 与平面ABFE 所成角为CAH ∠，此时tan sin CAH CAH ∠=∠=D 正确；AC == 1πcos 23θθ⇒=⇒=，故C 错误，故选BD ．数学参考答案·第3页（共8页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】13．由题，设211222433t t PF t PF t a QF a QF a ==-=+=+，，，，在2RtPQF △中，2253QF PF =53t =，13.t a PF a ==，∴在12PF F △中，由勾股定理可得22221()()42PF PF c e +=⇒=14．11(())P x f x ，处切线方程为1111()ln y x x x x =---；22(())Q x f x ，处切线方程为2221()ln y x x x x =-+，两条切线互相垂直，则12121111x x x x -=-⇒= ， 1||||(01).||PA x QB ===∈，∴四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）由余弦定理及题目2222cos 2cos 2cos cos cos a c b bc A ac B bc A a B b A +-=⇒=⇒=，由正弦定理可得sincos sin cos sin()0A B B A A B =⇒-=， π2A B C ==，，∴∴625AM b b ===⇒=， c ==．………………………………………………………………………（6分）数学参考答案·第4页（共8页）（2）由（1）可知，2cos 2cos c a B a A ==，∴ 在ABM △中，222cos 364a AM c ac A =+-=， 222222144(2cos )2cos 3648cos 1a a A a A a A +-=⇒=+ 2221144sin cos sin 2429cos sin A AS a C A A==+≤ (=tan 3A ⇔=)， 所以ABC △面积的最大值为24．………………………………………………………（13分） 本题解法较多，其他方法可以参照公平性原则给分. 16．（本小题满分15分）解：（1）当1n =时，112222S a a a =⇒=； 当2n ≥时，112n n n S a a --=，又因为12n n n S a a +=，可得112()n n n n a a a a +-=-. 0n a >∵，可得112n n a a +--=，所以212{}{}n n a a -，均为等差数列，212212n n a n a n -=-=，，可得n a n =；………………………………………………………………………………（4分） 设等比数列的公比为q ，由题2316b b b +=， 2226(1)60b b q q q q+=⇒+-=∴. 因为{}n b 为正项等比数列，故2q =，由244b a ==，故2n n b =．…………………………………………………………………………………（7分） （2）由题112n n n n c a b n == ，231111222322nnT n =++++⨯⨯⨯ ， 存在16k =，使得1(4)2424n k k T n +<<≥．………………………………………………（9分） 证明如下： 当4n =时，3234111116222324224n T T =+++>=⨯⨯⨯； ……………………………………………………………………………………（11分） 当4n >时，2341111122232422n nT n =+++++⨯⨯⨯ 23411111222323232n⎛⎫<+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭数学参考答案·第5页（共8页）3161111712438224n -⎡⎤⎛⎫=+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即证．……………………………………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）由题，()f x 的定义域为2321(0)()ax x f x x -+'+∞=，，．①当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0)+∞，上单调递增，无极值点； ②当1a <且0a ≠时，1()0f x x a'=⇒=（i ）当0a <时，10a +<，故()f x在10a ⎛ ⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，不符合；（ⅱ）当01a <<时，()f x在0⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， ()f x 在(0)+∞，上有两个极值点，故01a <<．………………………………………（9分） （2）由（1）可知12x x ，为方程2210ax x -+=的两根，所以121221x x x x a a+==，.……………………………………………（11分）12122212122211()()ln ln ln 222f x f x a x a x a a a x x x x +=+++--=-+， 记()ln 2(01)()ln 0()g a a a a a g a a g a '=-+<<=->⇒，在(01)，上递增，又122e e g ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故1e a =．……………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）解：（1）存在，当点F 与点C 重合时，平面α⊥底面ABCD . 证明如下：如图1，由题11CC D △为正三角形，E 为11C D 的中点， 11CE D C ⊥∴.11D C DC ∥∵，CE DC ⊥∴.又∵侧面11DCC D ⊥底面ABCD ，CE ⊥∴底面ABCD .CE α⊆，∵∴α⊥底面ABCD ．…………………………………………………………（5分）图1数学参考答案·第6页（共8页）（2）过点D 在平面11DCC D 内作DZ DC ⊥，由题可得DZ ⊥平面ABCD . 取AB 的中点M ，连接DM ，在菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，DM AB ⊥∴，DM CD ⊥.所以DM DC DZ ，，两两互相垂直，以D 为坐标原点， DM DC DZ，，分别为x y z ，，轴正方向建系如图2，则11(000)0(02(03D A E C ，，，，，，，. 设1(01)CF CC λλ=<<，则(02)DF DC CF λ=+=+，，1(20)(01))(00A E EF CE λλ==-=，，，，，，可知(00CE =，为平面ABCD 的法向量. 设()n x y z =，，为平面α的法向量，有102001)0A E n y EF n y z λλ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=+-=⎪⎪⎩⎩，，，可取(2(1)1)).n λλλ=--- ， 记平面α与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，则有cos |cos |11n CE θ=〈〉==，可得23840λλ-+=， 可得23λ=或2（舍）， 此时F 为1CC 上靠近1C 的三等分点.……………………………………………（12分） 如图3，记α交1BB 于点G ，∵平面11DCC D ∥平面11ABB A ，1A G EF ∥∴，G 为1BB 上靠近B 的三等分点， 所以111A GB EFC -为三棱台，111111111π1πsin sin 233236A GB EFC S A B B G S EC C F ==== △△，h =，图2图3数学参考答案·第7页（共8页）11111117()36A GB EFC A GB EFC V S S h -=++=△△.又11116ABCD A B C D ABCD V S EC -==， 所以两部分体积之比为729．……………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分）解：（1）设001122334455()()()()()()P x y M x y N x y A x y B x y D x y ，，，，，，，，，，，， （i ）对于抛物线C ，242x xy y '==，，故M 处的切线方程为11111()2()02x y x x y x x y y =-+⇒-+=， 故N 处的切线方程为222()0.x x y y -+=M N ，∵处的切线交于点P ，故100120022()02()0x x y y x x y y -+=⎧⎨-+=⎩，， 即直线002()0MN x x y y -+=：，在第（1）问中，点P 在抛物线C 的准线上，即01y =-，0220MN x x y -+=：．……………………………………………………………………（5分） （ⅱ）将直线MN 的方程代入抛物线方程得20240x x x --=，故MN 的中点200022x P x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，故301211||422PMNS PP x x =-==△≥， 即PMN △面积的范围为[4)+∞，．……………………………………………………（8分） （2）直线ND 与AB 互相平行. 证明如下：由120100120021202()022()04x x x x x y y x x y y x x y +⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩，，，A B P ，，∵三点共线， 则304043341234123040()[2()()2]0.PA PB y y y y k k x x x x x x x x x x x x x x --=⇒=⇒--+++=--数学参考答案·第8页（共8页）433412341202()()20x x x x x x x x x x -≠-+++=，，∵∴（*）…………………………（10分） 343422x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭，， M Q D ，，∵三点共线， 对于直线343444x x x xAB y x +=-：，代入24C x y =：，可得23434()0x x x x x x -++=， 即343422x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以直线MQ ：341113412()2y y y y y x x x x x +--=-+-，代入24C x y =：， 可得34121134124()402y y y x x x y x x x +----=+-， 所以22222134********51113413413484()2()2()2()2()y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+--=-=-=-+-+-+……………………………………………………………………………………（14分） 3434344AB y y x x k x x -+==-，221343422225251341234123425134()2()()()2444[2()]NDx x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x k x x x x x +--+-+-+-++--====--+由（*）代入上式可得344ND x x k +=， 所以AB ND k k =即证．…………………………………………………………………（17分）。
重庆市巴蜀中学20XX届高三数学3月适应性月考试题(八)理.doc
重庆市巴蜀中学2020 届高三适应性月考（八， 3 月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足(1 i) z 1 i 2018，则复数z 的模为（）A．1B ． 1C ． 2D ． 32{ x |2x52．已知全集U R，集合A { x || x 1| 1}，B 1}，则A C U B （）x 1A．{ x |1 x 2} B ． { x |1 x 2} C ． { x |1 x 2}D．{ x |1 x 4}3．在等差数列{ a n}中，a4, a7是函数f (x) x 2 3x 18 的两个零点，则{ a n } 的前10 项和等于（）A．15 B ． 15 C ． 30 D ．304．设m, n是两条不同的直线，, , 是三个不同的平面，给出下列命题：①若, ，则// ；②若, ，则// ；③若 m // n, m // ，则 n// .其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．35．甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重（每个人的体重都不一样）. 甲说：“我肯定最重” ；乙说：“我肯定不是最轻” ；丙说：“我虽然没有甲重，但也不是最轻”丁说：“那只有我是最轻的了”.为了确定谁轻谁重，现场称了体重，结果四人中仅有一人没有说对.根据上述对话判断四人中最重的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知n sin xdx ，则 ( x 1)n ( x 1) 5的展开式中x4的系数为（）A．15 B．15C．5 D．57．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（）A．60种B．54种C．48种D．24种8．如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是（）A.n 7?B.n 7?C.n 8 ?D.n8 ?9．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S1，俯视图中的三角形以长度为 3 的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S2，则 S1 : S2为（）A．5:1 B．5:2 C．5:4 D ．10 :110．把y sin x 的图象向左平移个单位（为实数），再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到 f ( x) 的图象，若 f (x) | f ( ) |对x R 恒成立，且2 6f ( ) f ( ) ，若 f ( ) 1 tan 10 ，则的可能取值为（）2 2 3A ．3B．5C．D．12412611．已知双曲线 x 2y 2 1的左、右顶点分别为 A, B ， P 为双曲线左支上一点，a2b 2等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（）A ． 15B． 15C． 15D． 15543212．已知 f ( x)x2a ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 4xy 3 0 ， a n(n 1, n *) ，n} 的前 n 项和为 n ，则下列选项正确的是（）N { aSA． S 20181 ln 2018 B ．S 2018 ln 2018 1C ． ln 2018S10091 D． ln 2018S2017二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）ABP 为1f '( n) n2x 3y4 013．已知 x, y 满足约束条件 x 20 （ x, y R ），则 x2y 2 的最大值为. x y14．抛物线 x 22 y 上一点 P 的纵坐标为3，则点 P 到抛物线焦点的距离为.15．数列 { a n } 中，a 1 1，aS3n（n N *,n 1），则数列{ S n } 的通项公式为.n 1n16．三角形 ABC 中一点 O 满足 | OA | | OB | | OC |，AB 的长度为 1，BC 边上的中点 M 与 O的连线分别交 BC,AC 于点 M ,D ，若 ADBC 3 ，则 AC 的长度为.三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）17．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，已知 m (c cosC,1) ，n (2, a cosB b cosA) ，且 m n .（ 1）若2 7 2 , 23 ，求 的值；c bSABC b（ 2）若 sin A cos A sin A cos A ，求实数 的取值范围 .18．某营养协会对全市 18岁男生的身高作调查，统计显示全市 18岁男生的身高服从正态分布N (172,36) ，现某校随机抽取了 100名 18岁男生的身高分析，结果这 100名学生的身高全部介于 160cm 到 196cm 之间 . 现将结果按如下方式分为 6组，第一组 [160,166) ，第二组 [166,172) ， ，第六组 [190,196] ，得到如图所示的频率分布直方图.（ 1）若全市 18岁男生共有 10000人，试估计该市身高在 178cm 以上的 18岁男生人数；（ 2）求 a 的值，并计算该校 18岁男生的身高的中位数（精确到小数点后三位）；（ 3）若身高 190cm 以上的学生校服需要单独定制，现从这 100名学生中身高在 184cm 以上的同学中任意抽取 3人，这三人中校服需要单独定制的人数记为 X ，求 X 的分布列和期望 .附：X~N(,2) ，则 P(3X3 ) 0.9974 ； X~N( , 2)，则 P( 2X 2 ) 0.9544 ；X~N(, 2)，则 P(X)0.6826 .19．如图，在正四棱锥 S ABCD 中，底边 AB 2，侧棱 SA 3 ， P 为侧棱 SD 上的点 .（ 1）若 SD平面 PAC ，求二面角 PACD 的余弦值的大小；（ 2）若 SP 2PD ，侧棱 SC 上是否存在一点 E ，使得 BE // 平面 PAC ，若存在，求 SE:EC的值；若不存在，试说明理由 .20．设椭圆方程为x 2 y 2 1( a b 0) ，离心率为2， F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点，A为a 2b 22椭圆上一点且F 1 AF 2， F 1 AF 2 的面积为3 .33（ 1）求椭圆的方程；（ 2）已知点P(0,1) ，直线 l 不经过点 P 且与椭圆交于 B,C 两点，若直线 PB 与直线 PC 的斜率之和为 1，证明直线 l 过定点，并求出该定点 .21．已知函数 f (x) e x ( x 2ax 2) （ a R ） .（ 1）若 x (0,) 时， f ( x) 不单调，求 a 的取值范围；（ 2）设 g(x)x 2 e xb(x 2)2 , F ( x)f ( x)g(x) ，若 a 1， b (0, 1) 时， x ( 0,)4时， F ( x) 有最小值，求最小值的取值范围 .请考生在 22、 23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分 .22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为x1 t cosy t sin （ t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程4 cos .（ 1）当时， C 1交 C 2于 A, B 两点，求 | AB |；3（ 2）已知点 P(1, 2) ，点 Q 为曲线 C 2 上任意一点，求 OP OQ 的最大值 .23．选修 4-5 ：不等式选讲设 f ( x) | 2x a | | x a | (0 a 1) .（ 1）若 a1，解关于 x 的不等式 f ( x) 2 ；1（ 2）求证： f (t) f ( ) 6 .理科数学答案一、选择题123456789101112C C B A BD D D B A C A二、填空题13. 814.三、解答题7 15. S n 3n 2n 16. 7 217．（ 1）∵m n ，∴ m n 2c cosC a cos B bcos A 0，由正弦定理，得 2 sin C sin AcosB sin B cos A 0 ，∴ 2sin C cosC sin( A B) sin C .又∵ C (0, ) ，sin C 0 ，∴cosC 1，22∴ C 3由余弦定理 c2 a 2 b2 2ab cosC ，又 c 2 7b2 ，∴a 2 6 2ab，∴ a 2b 或 a 3b （舍去），bSABC 1ab sin C 2 3 ，∴ab 8，2∴ a 4, b 2 .（ 2）sin A cos A ，设 t sin A cos A 2 sin( A)，sin Acos A 4∵ A (0, ) ，∴ t (1, 2 ] ，3∴2t 2 [ 2 2, ) .1t 2 t 1t1 0.682618. (1) 172, 6 , P( 178) 0.1587 ,210000 0.1587 1587 （人）(2) (0.015 0.05 0.07 a 0.01 0.005) 6 1 ，∴a 0.017 . 设中位数为x ，则 0.015 6 0.05 6 ( x 172) 0.07 0.5，∴x 173.571.（3）身高[184,190)：100 0.01 6 6，身高 [190,196) ：100 0.005 6 3 ，X 的所有可能取值为0， 1， 2， 3，P( XC63 5， P(X 1)C62C31 15 0)C93，C93 21 28P( XC61C32 3 C33 1 2) ， P(X 3) ，C93 14 C93 84X的分布列如下：X012 3204518 1P84848484E(X ) 1 2 3 1.8484 8419. （ 1）如图，连接BD ，设AC 交 BD 于 O ，由题意知SO 平面ABCD ，以O 为坐标原点，OB,OC, OS 分别为x, y, z 轴，建立坐标系O xyz 如图所示.底边 AB 2 ，侧棱 SA 3 ，则高 SO 7 .（ 1）于是 S(0,0, 7) ， D(2 ,0,0) ， C(0, 2,0) ， OC(0, 2,0) ， DS ( 2,0,7)，由题设知，平面 PAC 的一个法向量 DS ( 2,0, 7 ) ，平面 DAC 的一个法向量OS (0,0, 7 ) ，设所求二面角为，则 cosDS OS 7 7 ，| DS ||OS |973故所求二面角的余弦值为7.3（ 2）假设在棱 SC 上存在一点 E 使得 BE // 平面 PAC ，在SC 上取点 E ，连接 EB ，设平面 PAC 的法向量为 n ( x, y, z) ， DP1DS ( 2,0, 7) ，333点 A(0,2 ,0) ， B( 2 ,0,0) ， AC (0,22 ,0)AP ADDP(2, 2,0)( 2,0, 7 ) (22,2,7) ，3333n AC2 2y 0，令 x1 ，则 n (1,0,2 14) ，则n AP 02 2x2 y7z 0733设CE t CS，BE BC CE BC t CS (2, 2,0) t (0,2, 7)(2 , 2 (1 t ), 7t ) ，而 BE n 0 ，∴t 1 ，2即当 SE: EC 1:1时， BE // 平面 PAC .20.(1) e c 2 a 2，由SF1AF2 1| AF1 || AF2 |sin3，∴ |AF1||AF2 | 4 ，2 3 3 3| AF1 | | AF2 | 2a ， | F1 F2 | 2c ，| F1F2 |2 | AF1 |2 | AF2 |2 2 | AF1 || AF2 | cos 3 (| AF1 | | AF2 |)2 4，∴ b2 1,a2 2,c2 1，∴椭圆的方程为x2 y2 1.2（ 2）设点B( x1, y1)，C (x2, y2)，直线l：y kx m(m 1) ，联立椭圆方程得(1 2k2 ) x2 4kmx 2m2 2 0( 4km)2 4(1 2k 2 )(2m2 2) 8(m2 2k2 1) 0 ，x1 x24km, x1x22m2 2 2k21 2k2，1k FB kFCy1 1 y2 11，x1 x2即( 2k 1) x1x2 ( m 1)( x1 x2 ) 0 ，2m2 2 4km (2k 1) 1 2k2 (m 1) 1 2k 2 0∴ k m 1，2∴直线 l ： y m 1 x m ，∴直线 l 过定点( 2, 1) .221. （1）f ( x) e x ( x2 ax 2) e x ( 2 x a) e x[ x2 ( a 2) x a 2] , ∵ x (0, ) 时， f ( x) 不单调，∴x2 ( a 2) x a 2 0在(0, ) 上有解，∴ a 2x2x 112 0 ，x 1 x 1∴ a 2 .（ 2）F (x) e x( x 2) b( x 2)2，F ' ( x) e x ( x 1) 2b( x 2) .设(x) e x (x 1) 2b( x 2) ，则' ( x) xe x 2b ，又 x (0, ) ，∵'( x) 0 ，∴ F ' (x) 单调递增，又 F '(1) 6b 0 ， F'(0) 4b 1 0 ，∴存在 t (0,1) ，使得 F '(t) 0 ，即 e t (t 1) 2b(t 2) 0 .x (0,t )时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递减，x (t , ) 时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递增，∴F ( x)min F (t) e t (t 2) b(t 2)2 e t (t 2) e t (t 1) (t 2)2 e t (1t 2 t 1) .2(t 2) 2 2 设h(t ) e t (1t 2 t 1) ，则 h' (t ) e t ( 1 t2 t 1 )2 2 2 2 2∵ h'(t ) 0 ，∴ h(t ) 单调递减，又 h(0) 1, h(1) e ，∴F ( x)min ( e, 1) .22. （1）消去t得C1：y 3(x 1) ，由 2 x2 y 2 得 C2：( x 2)2 y2 4，圆心为 ( 2,0) ，半径r 2 ，x cos| 3( 2 1) 0 | 3圆心到直线 C1的距离 d 2 2 ，(| AB |)2 d 2 22，∴|AB| 13.2（ 2）设点Q ( x, y)，则OP (1, 2)， PQ ( x 1, y 2) ，OP PQ x 2 y 5 ，又x 2 2cos y 2 sinOP PQ x 2 y 5 2 2cos 4sin 5 2 5 sin( ) 7 ，∴OP PQ的最大值为 2 5 7.23．（ 1）当 a1时， f ( x) | 2x 1 | | x 1 |,①当②当1时， 1 2 x 1 x2 ，∴ x 0 ；x 211时， 2x 1 1x 2，∴无解； x2③当 x 1 时， 2x1 x 12 ，∴ x4，4 3综上所述， x0 或 x.3（ 2）证明： f (t)f ( 1) | 2t a | | t a | | 21| | 1 a |t tt | (2t a) ( 2 a) | | (t a) 1 a) | | 2t 2 | t 1 1t ( | | 3 | t | 3 2 6 ，tt t t 当且仅当 t 1时取等号 .。