左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译
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左孝凌离散数学1
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
公式与翻译
• 联结词旳优先级：┐、∧、∨、→、。
则：
P∧Q→R 是合式公式
等价于Wff ： （（P∧Q）→R ）命题公式外层旳括号能够省略
等价于Wff ： （P∧Q）→R
不等价于Wff ： P∧（Q→R）
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
P Q ┐P∨Q
TT T TF F FT T
P→Q
T F T
FF T
T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
1.4.2 等价公式
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P↔ Q相应旳真值相同，如表1-4.6所示。
表1-4.6
P Q P↔Q TT T TF F FT F FF T
公式与翻译
• 1.3.2 复合命题旳符号化(翻译) • 自然语言旳语句用Wff 形式化：
① 要精确拟定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当旳联结词，尤其要善于辨认自然语言中旳联 结词（有时它们被省略），否定词旳位置要放精确。 ③ 必要时能够进行改述，即变化原来旳论述方式， 但要确保体现意思一致。 ④ 需要旳括号不能省略，而能够省略旳括号， 在需要提升公式可读性时亦可不省略。
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。
P Q R PQ (P Q) ∧R
00 0 00 1
01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
20
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。
Chapter2_谓词逻辑2(34谓词公式与变元约束)
离散数学
从上述两个例子可以看出，命题的符号表达式与论域有关。当 论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为 特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词 。如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。 如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词 有关。 特性谓词的添加方法如下： 如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“→”；如 果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“∧”。
y的辖域为R(x,y)。
xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域
y的辖域
x的辖域
离散数学
一、概念 1、指导变元、作用域、约束变元、自由变元
量 词
约 束 变 元
自 由 变 元
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
通常，一个量词的辖域是公式的子公式。因 此，确定一个量词的辖域即是找出位于该量词之后 的相邻接的子公式，具体地讲： 若量词后有括号，则括号内的子公式就是该 量词的辖域； 若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为 该量词的辖域。 判定给定公式中个体变元是约束变元还是自 由变元，关键是要看它在公式中是约束出现，还是 自由出现。
离散数学
例题2
小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命 题可以表示为D(f(a)).
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为: xy((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))
像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数，一般地用小写的 英文字母f,g,h….表示客体函数。
离散数学左孝陵第四章
（1）f：X→Y中，若 x, y f ，则称x为自变量， 与x对应的y称作f作用下的象点（值）； 也可用y=f(x)表示 x, y f ，y称作函数f在x点处的值。
§1 函数的概念
（2）X中每一个元素均有定义， ∴函数f的定义域 domf X （3）对应于某一个 x X ，其值f(x)是唯一的，即
设A=，则A的后继集合可写成： A+={}={}，（A+）+={}{{}}={，{}} （（A+）+）+={，{}}{{，{}}}={，{}，{，{}}} 令：=0 则+=0+=1，（+）+=1+=2 上述求0的后继集合而得到N={0，1，2，} Peano公理 (1)0N (这里规定0=) (2) nNn+N (这里n+是n的后继数) (3)若SN，且(ⅰ)0S (ⅱ)nSn+S，则可得S=N
f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1 f (i )
3
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则： (1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f ( xi ) f ( x j ) 也是双射函数。
1.基数的概念 对于有限集：集合中不同元素的个数。 对于无限集：？ 是否所有无限集的基数都一样？ 为了比较两个集合的“大小”，确定有限集和无限集的概念， 我们首先引进自然数集合。
§1 函数的概念
（2）X中每一个元素均有定义， ∴函数f的定义域 domf X （3）对应于某一个 x X ，其值f(x)是唯一的，即
设A=，则A的后继集合可写成： A+={}={}，（A+）+={}{{}}={，{}} （（A+）+）+={，{}}{{，{}}}={，{}，{，{}}} 令：=0 则+=0+=1，（+）+=1+=2 上述求0的后继集合而得到N={0，1，2，} Peano公理 (1)0N (这里规定0=) (2) nNn+N (这里n+是n的后继数) (3)若SN，且(ⅰ)0S (ⅱ)nSn+S，则可得S=N
f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1 f (i )
3
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则： (1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f ( xi ) f ( x j ) 也是双射函数。
1.基数的概念 对于有限集：集合中不同元素的个数。 对于无限集：？ 是否所有无限集的基数都一样？ 为了比较两个集合的“大小”，确定有限集和无限集的概念， 我们首先引进自然数集合。
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例4将下列命题符号化。
(1)只要不下雨，我就骑自行车上班。
(2)只有不下雨，我才骑自行车上班。
(3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。
(3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。
(4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。
(5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。
解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上
∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是”
P Q P ∧Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。
解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
自然语言中的“或”具有二义性，有时表示
不相容的或。
例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥
性的或。
P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A
左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑
15
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)
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第4页
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
离散数学19.谓词公式与翻译
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
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25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
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对个体刻划深度 的不同就可翻译成 不同的谓词公式.
练习
例1：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 解：
8
（1）凡正数都大于零 解：令M(x):x是正数。F(x): x大于零。则符号化为： （x）(M(x)F(x)) （2）存在小于2的素数。 解：令E(x): x 小于 2 。 S(x):x 是素数。则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)) 真值为0。
再对x和y加以限制
R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书
C(x)：x是红的 E(y)：y是图书
a ：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
a：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
R(a) Q(b) F (a, b)
例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解 设 M(x)：x是人。 P(x)：x是聪明的。 命题符号化为：
x(M ( x) P( x)) (x( M ( x) P( x)))
由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，强调的 重点不同，会影响到命题符号化的形式不同。见例题4。
例题4 这只大红书柜摆满了那些古书。
约定：最外层括号可以省略；量词后面如果有括号，则不能省略
3
2.3谓词公式与翻译
• 二、谓词公式的翻译（符号化）
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词 逻辑的翻译或符号化；一般，符号化的步骤如下： (1)正确理解给定命题。必要时把命题改述，使其中每个原子 命题、原子命题之间的关系明显表达出来。 (2)把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨 论时，要给出特性谓词。 (3)找出恰当量词。应注意全称量词后跟条件式，存在量词后 跟合取式。 (4)用恰当的联结词把给定命题表示出来。
10
练习2
• 1、 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y))) (2)（x)(L(x) ∧(y)(J(y)A(x,y)))
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
• 小结：本节介绍了谓词合式公式的概念，重 点掌握谓词公式的翻译. 作业: P63 (5)
14
12
练习2
（2）设：P(x,y):x在y连续. Q(x,y):x大于y. f在a点连续，当且仅当对每个ε>0， (2)符号化为:
P(f,a)(ε)(Q(ε,0) x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。 ((δ )Q(δ,0)∧ (x)(Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱)) ))
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。
解：令M(x)：x是人.Q(x):x参加考试。H(x):x能取得好成 绩。则符号化为： (x)( (M(x)∧Q(x))H(x) ) 或 (x)( (M(x)∧Q(x))∧ H(x) )
存在一个δ >0，使得对所有x，若︱
当且仅当： 每个ε>0: (ε)Q(ε,0) 存在δ >0：(δ) Q(δ,0) ∧ 对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε： (x)((Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱))
13
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
11
练习2
• 2、在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1） P63 (6)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚 的巨著. （2）P63 (7) :f在a点连续，当且仅当对每个ε>0，存在一个
δ >0，使得对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。
解: (1)设：S(x):x是大学生. A(x):x戴眼镜. B(x):x用功. E(y):y是大的. G(y):y是厚的. D(y):y是巨著. F(x,y):x看y.a:那位 b:这本 (1)符号化为: A(a)∧B(a)∧S(a)∧E(b)∧G(b)∧D(b)∧F(a,b)
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x)：x是书柜 设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式
2.7谓词演算的推理理论
2
2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
练习
例1：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 解：
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（1）凡正数都大于零 解：令M(x):x是正数。F(x): x大于零。则符号化为： （x）(M(x)F(x)) （2）存在小于2的素数。 解：令E(x): x 小于 2 。 S(x):x 是素数。则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)) 真值为0。
再对x和y加以限制
R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书
C(x)：x是红的 E(y)：y是图书
a ：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
a：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
R(a) Q(b) F (a, b)
例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解 设 M(x)：x是人。 P(x)：x是聪明的。 命题符号化为：
x(M ( x) P( x)) (x( M ( x) P( x)))
由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，强调的 重点不同，会影响到命题符号化的形式不同。见例题4。
例题4 这只大红书柜摆满了那些古书。
约定：最外层括号可以省略；量词后面如果有括号，则不能省略
3
2.3谓词公式与翻译
• 二、谓词公式的翻译（符号化）
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词 逻辑的翻译或符号化；一般，符号化的步骤如下： (1)正确理解给定命题。必要时把命题改述，使其中每个原子 命题、原子命题之间的关系明显表达出来。 (2)把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨 论时，要给出特性谓词。 (3)找出恰当量词。应注意全称量词后跟条件式，存在量词后 跟合取式。 (4)用恰当的联结词把给定命题表示出来。
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练习2
• 1、 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y))) (2)（x)(L(x) ∧(y)(J(y)A(x,y)))
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
• 小结：本节介绍了谓词合式公式的概念，重 点掌握谓词公式的翻译. 作业: P63 (5)
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练习2
（2）设：P(x,y):x在y连续. Q(x,y):x大于y. f在a点连续，当且仅当对每个ε>0， (2)符号化为:
P(f,a)(ε)(Q(ε,0) x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。 ((δ )Q(δ,0)∧ (x)(Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱)) ))
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。
解：令M(x)：x是人.Q(x):x参加考试。H(x):x能取得好成 绩。则符号化为： (x)( (M(x)∧Q(x))H(x) ) 或 (x)( (M(x)∧Q(x))∧ H(x) )
存在一个δ >0，使得对所有x，若︱
当且仅当： 每个ε>0: (ε)Q(ε,0) 存在δ >0：(δ) Q(δ,0) ∧ 对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε： (x)((Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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练习2
• 2、在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1） P63 (6)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚 的巨著. （2）P63 (7) :f在a点连续，当且仅当对每个ε>0，存在一个
δ >0，使得对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。
解: (1)设：S(x):x是大学生. A(x):x戴眼镜. B(x):x用功. E(y):y是大的. G(y):y是厚的. D(y):y是巨著. F(x,y):x看y.a:那位 b:这本 (1)符号化为: A(a)∧B(a)∧S(a)∧E(b)∧G(b)∧D(b)∧F(a,b)
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x)：x是书柜 设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
离散数学(Discrete Mathematics)
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第二章 谓词逻辑
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式
2.7谓词演算的推理理论
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2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.