参数取值问题的题型与方法教材
1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。
2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。
例11．已知 ，试讨论 的值变化时，方程 表示的曲线的形状。
解：（1）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线；
（2）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线；
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x< a+5
要使上式恒成立，只需 a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,
在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程（不含k），则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
解：设 ，则由 可得： ，
解之得： （1）
设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
整理得2t2 4t+4 a+ >0,( t [ 1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2 4t+4 a+ 则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[ 1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即 >a 2.(下同)
例2．已知函数f(x)在定义域（ ，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(k sinx) f(k2 sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k sinx≤k2 sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于
对于任意x∈R恒成立。
不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即 1≤k≤1----------(3)
不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2 k+ ≥[(sinx )2]max= ,
即
解得a 8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10. =0,即（4+a）2 16=0,∴a=0或a= 8.
a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t= 2<0，不合题意；
a= 8时，f(x)=(t 2)2=0,得t=2>0,符合题意。
解：排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为
y=f(x)=(log32a 6 log3a+1)x+1 log32a,x∈[0,1].
一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。故有：
说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
∴ a+5>3即 >a+2
上式等价于 或 ，解得 a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1 2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5 4sinx+ 即
a+1 2sin2x<5 4sinx+ ,令sinx=t,则t [ 1,1],
当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．
说明由本题可见, 0３年试题强调实验尝试,探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．
例5．当x (1,2)时，不等式(x 1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
∴a= 8.
20. >0,即a< 8或a>0时，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴 ，即a< 4.
∴a< 8
综合可得a 8.
三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。
二、直接根据图像判断
若把等式或不数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1<x4<2，则 的取值范围是（）
即k≤ 1或k≥2,-----------(4)
由（3）、（4）求交集，得k= 1,故存在k= 1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。
解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。
充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。
研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。
解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。
解：设F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a.
ⅰ)当 =4（a 1)(a+2)<0时，即 2<a<1时，对一切x [ 1,+ )，F(x) 0恒成立；
ⅱ）当 =4（a 1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：
即
得 3 a 2;
综合可得a的取值范围为[ 3，1]
说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例9．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得 ，
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形.
当 时， ， ，
所以 = = = .
由 ,解得 ，
所以 ，
综上 .
思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.
由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
例10．已知椭圆C: 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
参数取值问题的题型与方法
（Ⅰ）参数取值问题的探讨
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x R时，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 恒成立，求实数a的取值范围。
【高考数学经典题型】根据方程根的个数求参数取值范围(一题多解)
1 / 3数形结合，巧解含参方程若存在[]1,2∈m ，使得关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_________.答案：3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解法一：分离参数由题意得：321=−++x x t m m m ，令()3232,01,01⎧−>⎪⎪++=⎨⎪−+<⎪++⎩x xx m m m f x x x x m m m ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2222313=1−'−=+++x x mf x m m m m m，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 所以()()23391≥=−+m m f x f m ，如图作出()f x 图像， 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有()230<<mt ，因为()()23=mg m 在[]1,2上单调递增，所以()()min 31>==t g m g ， 综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法二：直接求导由题意得，()()220−−+=x m x m m t ，令()()()3232,0,0⎧−−+>⎪=⎨−+−+<⎪⎩x mx m m t x f x x mx m m t x ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2=3'−f x x m ，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有03<m f ，且0<t ；化解得()23331>=m t m m2⎡⎣m ， 由题意知min3331⎛>= +⎝t m m ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法三：切线法①当=0t 时，原方程化为20−=x m ，只有两个实数根，不合题意，舍； ②当>0t 可作出()2=−f x x m 和()()2+=m m t g x x的草图如图，易知只有两个实数根，不合题意，舍；3 / 3③当<0t 时，考虑临界情况，即()f x 与()g x 图像相切时，如图，设切点为()()00,x f x ，在()0,∈+∞x 上，此时()2'=f x x ，()()22+'=−mm t g x x，有：()()202022002①②⎧+⎪=−⎪⎨+⎪−=⎪⎩m m t x x m m t x m x ，①②得03=m x ，此时解得()02323119192=−=+++m t m m m， 要使关于x 的方程()22+−=mm t x m x知有四个不等的实数根，则有()0min 39>=−t t ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .评论与赏析：本题是一个关于x 的方程，其中含有两个参数t 和m ，根据此方程有4个不相等的实数根，从而进行数形结合来求解. 而在解法一中，多数老师利用分离参数t ，从而根据函数的单调性做出()f x 的图像，使得当此方程有4个不等的实数根的时候相当于两个函数图像有4个交点，从而得出t 的取值范围，这是比较普遍的做法. 而解法二直接求导，就是根据方程变形，然后把含有t 的一个函数关系式进行求导，其实本质上和解法一类似，故不再赘述. 而解法三利用数形结合讨论t 的取值范围，从而利用图像交点的个数进行求解，当讨论0<t 的时候，根据图像相切从而得出此时的切点坐标，然后再回归到前两种解法中来，第三种解法笔者认为更好一些.。
巧用分离参数法求参数的取值范围
巧用分离参数法求参数的取值范围作者：李惠来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第09期一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．20当0a≥2x2－12x a≤2x2+12x在（0,12］恒成立．令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)max a≤g(x)min∵0且f′(x)=4x+12x2>12，g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．∴f′(x)>0,g′(x)∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．∴f(x)max=f(12)=－12，g(x)min=g(12)=32.所以a的取值范围是［－12,32］．点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)e x在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．∵f′(x)=(2x－a)e x+(x2－ax+5)e x=e x(x2－ax+2x－a+5)=e x［x2+(2－a)x+5－a］∴e x［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．方法一：（转化为恒成立问题）x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．方法二：（转化为二次方程实根分布问题）10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．20当 >0即a>4或a综上得a的取值范围是a≤4．求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
一．含参数导数问题的分类讨论问题求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
。
练习：已知函数当时，讨论的单调性.二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．恒成立分参例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
求取值范围的题
求取值范围的题
（实用版）
目录
1.求取值范围的题目概述
2.求取值范围的方法
3.求取值范围的实际应用
4.结论
正文
一、求取值范围的题目概述
求取值范围的题目是数学中的一种题型，主要目的是要求解某个数学函数或者变量的取值范围。
在解决这类题目时，需要运用数学知识，如代数、几何、函数等，来确定变量或函数的取值范围。
这类题目不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、求取值范围的方法
求取值范围的方法有多种，主要包括以下几种：
1.代数法：通过列方程、解方程来求解变量或函数的取值范围。
2.几何法：利用几何图形的性质来求解变量或函数的取值范围。
3.函数法：利用函数的性质，如单调性、周期性等来求解函数的取值范围。
4.数形结合法：将代数与几何相结合，利用数形结合的思想来求解变量或函数的取值范围。
三、求取值范围的实际应用
求取值范围在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如：
1.在物理学中，求解物体的运动范围；
2.在经济学中，求解某个经济指标的取值范围；
3.在工程领域，求解某个工程设计的参数范围等。
通过求取值范围，可以帮助我们更好地理解问题，为实际问题提供解决方案。
四、结论
求取值范围的题目是数学中的一种重要题型，掌握求取值范围的方法不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
怎样求不等式恒成立问题中参数的取值
求不等式恒成立问题中参数的取值问题是高考试题中的常见题型.此类问题综合性较强，不仅考查了不等式，还考查了函数、方程、导数、求最值的方法.求不等式恒成立问题中参数的取值的方法有很多，本文主要介绍参变分离法、数形结合法、基本不等式法.一、参变分离法参变分离法是求不等式恒成立问题中参数的取值的常规方法，是指将不等式中的参数a 与变量f (x )分离在不等式的两侧，将问题转化为a ≤f (x )min 或a ≥f (x )max ，求得f (x )的最值，便能确定a 的取值范围.例1.当x ≥2时，不等式x ln x ≥kx -2(k +1)恒成立，求k 的最大整数值.解：将原不等式变形可得k ≤x ln 2+2x -2(x >2)，令g (x )=x ln x +2x -2，对g (x )函数求导g ′(x )=x -2ln x -4(x -2)2，设h (x )=x -2ln x -4，对函数h (x )求导h ′(x )=1-2x，∴函数h (x )在（2,+∞）上单调递增，而h (8)=6ln 2-4>0，h (9)=4ln 3-5<0，∴g ′(x )零点x 0∈(8,9)，即h (x 0)=0，x 0-2ln x 0-4=0，∴当2<x <x 0时，g ′(x )<0,函数g (x )单调递减，当x >x 0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，∴g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0+2x 0-2=x 0-22，k ≤g (x 0)，而3<x 0-22<72，∴k 最大整数值为3.在本题中，首先通过变形分离出参数，构造出新的函数，然后通过二次求导确定函数的的单调性以及最值，进而求得参数k 的取值.二、数形结合法在解答不等式恒成立问题时，我们可以首先将不等式进行变形，然后构造出适当的函数，绘制出相应的函数图象，借助图形来讨论曲线的临界位置，建立新的不等式，进而确定参数的取值.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2)，若∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．解：当x ≥0时，f (x )=ìíîïï-x ,0≤x <a 2,-a 2,a 2≤x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a2作出函数的图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象，如图所示，由题意，要使∀x ∈R ，f (x -1)≤f (x )恒成立，应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈éëêû.这里主要运用了数形结合法.借助函数的图象来分析问题，能帮助我们快速打开解题的思路，提升解题的效率.三、基本不等式法基本不等式法是求最值问题的常用方法.在求不等式恒成立问题中参数的取值时，我们可以结合题意，将问题转化为求最值问题，构造满足基本不等式应用的条件，运用基本不等式来求得最值，进而得到参数的取值范围.例3.设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．解：因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x =0时，f (0)=0，则0≥a +1，所以a ≤-1，设x >0，则－x <0，所以f (x )=-f (-x )=-éëêùûú9(-x )+(a 2-x )+7=9x +a 2x -7.由基本不等式得9x +a 2x -7≥-7=-6a -7,由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需使-6a -7≥a +1，即使a ≤-87，结合a ≤-1，可得所求a 的取值范围是æèùû-∞,-87.在解答本题时，首先根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后运用基本不等式求得函数f (x )的最值，再结合题目条件建立使不等式恒成立的新的不等式，即可求出参数的取值范围.以上三种方法均有各自的特征，无论运用哪种方法来求不等式恒成立问题中参数的取值，都要首先将不等式进行变形，再构造函数，灵活运用函数的图象、性质或基本不等式来求得最值，再建立关于参数的不等式，解不等式求得参数的取值.（作者单位：江苏省包场高级中学）江望杰46。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---方程有解类问题
高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题01 方程有解类问题【方法精讲】1. 求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优. 2. 方程有解类应熟知的方法（分离函数）：函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题.3. 方程有解类应熟知的基本知识、方法：（1）若f (x )的值域为A ，则方程f (x )=a 有解⇔a A ∈. （2）若f (x )，g (x )的值域分别为A ，B ，则有：①∀x 1∈D ， ∃x 2∈E ② ∃x 1∈D ，∃x 2∈E .【典型例题】例1 （多选题）（2020x 的一元二次方程根12x x 、，且满足10x <的值是（ A ．－2； B ．－3【答案】BC【分析】分离参数得(m -B ≠∅()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为12x x 、，且满足12013x x <<<<. 【解析】将方程21+(+1)02x m x +=分离参数得：1(+1)+2m x x-= 设1()+2f x x x =，如图，则319(+1)26m <-<，所以25562m -<<- 选BC.例2 关于x 的方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，则实数m 的取值范围是______________．【答案】()1,+∞【解析】如下图，方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，即23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与21y m =-两个函数图象交点的横坐标为负值，即交点在y 轴的左侧，此时必需且只需211m ->，解之得1m > 故实数m 的取值范围是()1,+∞．例3 讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.【答案】当0a <时，方程无解；当0a =时，方程有2个解；当0a >时，方程有4个解. 【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x 与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；22468510f x () =23()xx 0<0当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.例4 已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2]【分析】易得()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+，若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可，即m －1≤－3且m ＋8≥3，解得52m -≤≤-． 【解析】x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1为增函数，值域为(0，3]，因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (x )在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域为[m －1，m ＋8]． 因为对任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以f (x )在[－2，2]上的值域是g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域的子集，所以8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-即实数m 的取值范围是[－5，－2]． 点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.【巩固训练】1. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.2.已知函数f (x )＝2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，函数g (x )＝kx －2k ＋2(k >0)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若存在x 1∈⎣⎡⎦⎤0，12及x 2∈⎣⎡⎦⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．3.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝g (x 2) ，求实数a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________． 5.已知函数()372x f x x --=+，()22g x x x =-，若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b += 成立，则实数b 的取值范围是 。
七年级含参数不等式的解题方法与技巧
七年级含参数不等式的解题方法与技巧七年级数学中，参数不等式是一种常见的题型，需要运用一些解题方法和技巧。
下面将介绍七年级含参数不等式的解题方法与技巧。
首先，当遇到含参数的不等式时，我们可以按照以下步骤进行解题：1. 确定参数的取值范围：首先要确定参数的取值范围，这可以通过题目中的条件来确定。
例如，如果题目中给出了参数的取值范围，我们需要根据这个范围来判断参数的取值。
2. 对参数进行分析：根据参数的取值范围，我们可以将不等式进行分类分析。
例如，如果参数取值范围为正数，则可以将不等式分为正数和零的情况进行讨论。
3. 进行不等式的求解：根据参数的取值范围和分类分析的结果，可以运用一些不等式的解题方法来求解不等式。
例如，可以使用图像法、试探法、逆推法等方法来求解不等式。
其次，对于含参数的不等式，我们需要注意以下解题技巧：1. 观察题目中的条件：有时候，题目中的条件可以给出一些有用的信息。
我们需要仔细观察这些信息，并灵活运用它们来解题。
2. 特殊取值法：对于一些含参数的不等式，我们可以通过给参数赋予一些特定的值来求解。
通过分析这些特殊取值的情况，我们可以得出不等式的解集。
3. 图像法：对于一些简单的不等式，我们可以将其转化为图像，通过观察图像的变化来求解不等式。
4. 逆推法：对于一些复杂的不等式，我们可以从答案出发，逆向推导出参数的取值范围。
通过这种方法，我们可以缩小参数的取值范围，进而求解不等式。
综上所述，解决七年级含参数不等式问题的关键是确定参数的取值范围，进行分类分析，灵活运用解题方法和技巧。
通过不断练习和思考，我们可以提高解决这类问题的能力。
“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过 与 的值域来得到。
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max