南京市秦淮区2019-2020学年第一学期期中试卷九年级数学(含答案)
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
A
D
C
B
二、填空题
题号
7
8
答案 =x1 0= , x2 1
1
题号
12
13
答案
108°
5π
9 6 14 (10 + x)(500 −10x) = 8000
10 65°
15 70°
11 8.7 16 8 5−3
【解析】 15.连接圆心与各切点，易得 4 对全等三角形， 已知∠AOB = α + β =110 °，
即 B 队的方差大于 A 队的方差.
⑵③
23. 解：⑴如图，作△ABC 任两边的中垂线的交点即为外接圆圆心
⑵DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接 AO 并延长交 BC 于点 H ∵BO=CO，AB=AC ∴AO 是 BC 的垂直平分线 ∴AH⊥BC，即∠AHB=90° ∵DE∥BC ∴∠HAD=∠AHB=90° ∴DE 与⊙O 相切
生产数量的增长率 10 月份生产数量
产品 A
200
产品 B
100
x
⑵若 9 月份两种产品出厂单价的和为 90 元，10 月份该工厂的总收入增加了 4.4x，求 x 的值.
27、（10 分）在△ABC 中，∠C=α． O 是△ABC 的内切圆， P 分别与 CA 的延长线、CB
的延长线以及直线 AB 均只有一个公共点， O 的半径为 m， P 的半径为 n．
A
A
B
B
E
F
C
C
D
（第 12 题）
（第 13 题）
13、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1 cm，则经过 A、B、C 三点的弧长是 _____________cm（结果保留π）．
14、某超市销售一种水果，每月可售出 500 千克，每千克盈利 10 元．经市场分析，售价每 涨 1 元，月销售量将减少 10 千克．如果该超市销售这种水果每月盈利 8000 元，那么该水果 的单价涨了多少元？设水果单价涨了 x 元，根据题意，可列方程为_____________．
15、如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA、OB、OC、OD．若 ∠AOB =110° ，则
∠COD 的度数是_____________°．
C D
A
P
D
E
O
M
A
B
（第 15 题）
B
F
C
（第 16 题）
16、如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、BC 上的动点，且 EF=6，M 为 EF 中点，P 是边 AD 上的一个动点，则 CP+PM 的最小值是_____________．
2
O
同理，
（该同学画的图）
∵四边形的内角和为 360° ∴ 即
数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整.
7
26、（10 分）某小型工厂 9 月份生产的 A、B 两种产品数量分别为 200 件和 100 件，A、B
两种产品出厂单价之比为 2:1，由于订单的增加，工厂提高了 A、B 两种产品的生产数量和
B
D O
A
C
（第 10 题） 11.小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如下表所 示：
环数
8
9
10
次数
4
5
1
那么他射中环数的平均数是_____________环．
2
12、如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中 A、B、C、D、E 是正五边 形的五个顶点，则 ∠AFE 的度数是_____________°．
出厂单价，10 月份 A 产品生产数量的增长率和 A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产
数量的增长率是 A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是 A 产品出厂
单价的增长率的 2 倍.设 B 产品生产数量的增长率为 x(x>0).
⑴用含有 x 的代数式填表（不需化简）：
9 月份生产数量
∴C’B= 8 5
∴CP+PM 最小值为 8 5-3
.
A
E
M
B
F
C'
P
D
C
9
三、解答题 17、解： a = 1,b = −3, c = −2
b2 − 4ac = (−3)2 − 4 ×1× (−2) = 17
=x −= b ± b2 − 4ac 3 ± 17
2a
2
= ∴ x1
3 + 2= 17 , x2
3
三、解答题 17、（6 分）解方程 x2 − 3x − 2 =0 ．
18、（6 分）解方程 ( x + 1)2 = (2x + 1)2 ．
19、（8 分）已知 x = 2 时，代数式 x2 − 2mx + 4 的值等于 −4 ．x 为何值时，这个代数式的值 是 −1 ？
20、（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 6x − m =0 ． ⑴若方程有两个实数根，求 m 的取值范围； ⑵在⑴中，设 x1 、 x2 是该方程的两个根，且 x1 + x2 − 2x1x2 = 0 ，求 m 的值．
20、解：⑴由题意得： b2 − 4a=c 36+4m ≥ 0 ∴ m ≥ −9
⑵ x1 + x2 = − 6 ， x1x2 = − m
代入 x1 + x2 − 2x1x2 = 0 得 −6 + 2m =0 ∴m=3
21、⑴证明：过点 O 作 OH⊥AB，交 AB 于点 H ∵OH⊥AB ∴AH=BH，CH=DH ∴AH-CH=BH-DH 即 AC=BD
⑴当 α=90°时，AC=6，BC=8 时，m=_______，n=________．
⑵当 α 取下列度数时，求△ABC 的面积（用含有 m、n 的代数式表示）．
①如图①，α=90°；
②如图②，α=60°．
P
A
O
C
B①Biblioteka A OC（第 27 题图）
P
B ②
8
2019【秦淮区】初三（上）数学期中试卷（答案）
南京市秦淮区2019-2020学年第一学期期中试卷
九年级数学
一、选择题（每小题 2 分，共 12 分）
1、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（
A．等腰三角形
B．平行四边形
C．直角三角形
） D．圆
2、一个圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 5，则该圆锥的侧面积是（ ）
A． 9π
B．16π
C． 20π
8O
7
A
C
3 4
5 6
B
如图 2 ∵ O=A O=B O=C OD ∴ ∠1=∠6 ， ∠2=∠3 ， ∠4=∠5 ∴ ∠1+∠2+∠5=∠3+∠4+∠6 即 ∠DAB + ∠DCB = ∠ADC + ∠ABC = 180° 综上：圆内接四边形对角互补
10
⑵ 11 3
解析：连接 OC 则 OA=6，OC=4 设 CH=x，则 AH=CH+AC=x+3
在 Rt△OHC 中， OH 2 =OC2 − CH 2 =42 − x2
在 Rt△OHA 中， OH 2 = OA2 − AH 2 = 62 − ( x + 3)2
则 42 − x2 = 62 − ( x + 3)2
3 − 17 2
18、解： x + 1 =2x + 1或x + 1 =−(2x + 1)
∴
x1
=0,
x2
=− 2 3
19、解：将 x = 2 代入 x2 − 2mx + 4 =−4 中，解得 m = 3 则该代数式为 x2 − 6x + 4 当 x2 − 6x + 4= −1时，解得= x1 5= , x2 1 ∴当 x 为 5 或 1 时，这个代数式的值是-1
圆心，若⊙O 的半径为 4，则四边形 ABCD 的面积是（ ）
A．8
B．16 3
C．32
D． 32 3
A
B
O
D
C
（第 6 题）
二、填空题 7、方程 x2 = x 的解是_____________．
8、若 x = −1 是方程 x2 + px + q =0 的解，则 p − q 的值是_____________． 9、数据 9，11，8，12，7，13 的极差是_____________． 10、如图，BC 是⊙O 的直径，A、D 是⊙O 上的两点，若 ∠ABC =25° ，则 ∠D 的度数是______°．
5
23、（8 分）如图，过点 A 的直线 DE 和正三角形 ABC 的边 BC 平行. ⑴利用直尺和圆规作△ABC 的外接圆 O（不写作法，保留作图痕迹）； ⑵求证：DE 是 O 的切线.
A
D
E
B
C
（第 23 题）
24、（8 分）
【阅读】x 与代数式 x2 + 2x −1的部分对应值如下表：
x
… -3 -2
D． 25π
3、在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：
87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．87，87
B．87，85
C．83，87
D．83，85
4、用“配方法”解一元二次方程 x2 −16x + 24 = 0 ，下列变形结果，正确的是（ ）
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC 是Rt ABC ∆和Rt DBC ∆的公共斜边，则A 、B 、C 、D 在以BC 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC ∆的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则图②中“四点共圆”的组数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 ． 8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为 ．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 ．（结果保留)π10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为 ．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 ．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 ．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 ．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 ．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 ．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根，则常数m 的值是 ．三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程（1）(3)5(3)x x x +=+（2）22410x x ++=18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，AC BC =，AC 、BC 分别交O 于点D 、E ，连接DE ，求证：//DE AB ．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90ABM ∠=︒，O 分别切AB 、BM 于点D 、E ．AC 切O 于点F ，交BM 于点(C C 与B 不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O 半径为1，4AD =，求AC 的长．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25)300m．求这个生物园的边ABm，面积是2的长．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，425．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC∆始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O 的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题 小明的思路第1步把1，2-代入到第1个方程中求出m 的值；第2步把m 的值代入到第1个方程中求出b a-的值； 第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，其中常数a 、b 、c是ABC ∆三边的长，判断ABC ∆的形状．2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能【考点】8M ：点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上；当d r <时，点在圆内．【解答】解：3OP <，∴点P 在O 内部．故选：A ．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上，当d r <时，点在圆内．2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=【考点】AC ：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：2100(1)81x -=．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【考点】AA ：根的判别式【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△24b ac =-的值的符号就可以了．【解答】解：1a =，2b =，4c =，∴△2242414120b ac =-=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：D ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=【考点】6A ：解一元二次方程-配方法；5A ：解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：2410x x +-=，2445x x ∴++=，2(2)5x ∴+=，故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒【考点】4M ：圆心角、弧、弦的关系；5M ：圆周角定理；6M ：圆内接四边形的性质【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：四边形ABCD为O的内接四边形，110∠=︒，BCD∴∠=︒-∠=︒，18070A BCD由圆周角定理得，2140BOD A∠=∠=︒，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC是Rt ABC∆的公共斜边，则A、∆和Rt DBCB、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC∆的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为()A．2B．3C．4D．6【考点】@4：四点共圆【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A、F、H、)E，以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B、F、H、)D，以CH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(C 、D 、H 、)E ， 以AB 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、E 、D 、)B ， 以BC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B 、F 、E 、)C ， 以AC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、F 、D 、)C ， 共6组． 故选：D ．【点评】本题考查了四点共圆的判断方法．关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 (2)0x x -= ． 【考点】AB ：根与系数的关系【分析】根据以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是(0)(2)0x x --=，即(2)0x x -=． 故答案为：(2)0x x -=．【点评】本题考查了一元二次方程和根与系数的关系，注意：以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=．8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为π ．【考点】MN ：弧长的计算【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为60︒，∴此扇形的弧长为603180ππ⨯=． 故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题的关键．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 2π ．（结果保留)π【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥侧面积=圆周率⨯底面圆的半径⨯母线长，依此列式计算即可．【解答】解：圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为122ππ⨯⨯=．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为52．【考点】2M ：垂径定理；KQ ：勾股定理【分析】先利用垂径定理得到122CE DE CD ===，设OC r =，根据勾股定理得222(1)2r r -+=，然后解方程即可． 【解答】解：弦CD AB ⊥于点E ， 122CE DE CD ∴===，设OC r =，则1OE OA AE r =-=-， 在Rt COE ∆中，222(1)2r r -+=，解得52r =， 即OC 的长为52． 故答案为52． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 2019 ．【考点】3A ：一元二次方程的解【分析】把x m =代入方程求出222019m m +=，把(2)(2)m m m m ++代入求出即可． 【解答】解：根据题意，将x m =代入方程，得：2220190m m +-=，则222019m m +=，2(2)22019m m m m ∴+=+=． 故答案为：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把22m m -当作一个整体来代入．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 3 ．【考点】MC ：切线的性质【分析】根据切线长定理可得AD BC AB CD +=+，即可求AD 的长度． 【解答】解：O 与四边形ABCD 各边相切， AD BC AB CD ∴+=+， 5AB =，6BC =，4CD =， 3AD ∴=，故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 32或32 ．【考点】KQ ：勾股定理；KM ：等边三角形的判定与性质；2M ：垂径定理；JC ：平行线之间的距离【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1所示，2AB =，22CD =， 1AF ∴=，2CE =，2OA OC ==，22222(2)2EO OC CE ∴=-=-=，223OF OA AF =-=， 32EF OF OE ∴=-=-；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2所示，2AB =，22CD =， 1AE ∴=，2CF =，2OA OC ==，同法可得EO =，OF ，EF OF OE ∴=+=综上所述：AB 和CD【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键，注意辅助线的作法要正确．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 11或5- ．【考点】AB ：根与系数的关系【分析】由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =；又知两根之差为8，即12||8x x -=，根据22121212()()4x x x x x x -=+-，建立等量关系求k ．【解答】解：由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =． 由已知两根之差为8，得12||8x x -=，即212()64x x -=． 则21212()464x x x x +-=，2(3)4364k k +-⨯=， 解得11k =或5-． 故答案为：11或5-．【点评】考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 12 ．【考点】LE：正方形的性质；MM：正多边形和圆【分析】根据中心角的度数360∠的度数，则=︒÷边数，列式计算分别求出AOB∠，BOCn=︒÷中心角．∠=︒，则边数360AOC30【解答】解：连接OC，AB是O内接正方形的一边，∴∠=︒÷=︒，360490AOBBC是O内接正六边形的一边，BOC∴∠=︒÷=︒，360660∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AOC AOB BOC906030∴=︒÷︒=；3603012n故答案为：12；【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210++=有公共根，则常数x x mx mx++=和20m的值是2-．【考点】3A：一元二次方程的解【分析】先设公共根为t ，则210t mt ++=，20t t m ++=，把两方程相减得到(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△0<，不符合题意；如果1m ≠，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出110m ++=，解得m 的值即可．【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t ， 则210t mt ++=①， 20t t m ++=②，①-②得(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△2141130=-⨯⨯=-<，不符合题意； 如果1m ≠，那么1t =，把1t =代入①，得110m ++=，解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程 （1）(3)5(3)x x x +=+ （2）22410x x ++=【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法；6A ：解一元二次方程-配方法 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）(3)5(3)0x x x +-+=，(3)(5)0x x ∴+-=，则30x +=或50x -=， 解得3x =-或5x =；（2）2a =，4b =，1c =，∴△2442180=-⨯⨯=>，则42222x-±-±==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB是O的直径，AC BC=，AC、BC分别交O于点D、E，连接DE，求证：//DE AB．【考点】5M：圆周角定理【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明AC BC=，A B∴∠=∠，四边形ABCD是内接于O，CDE B∴∠=∠，CDE A∴∠=∠，//DE AB∴．【点评】此题考查圆周角定理，关键是内接四边形的性质解答．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为1x-，1x+，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为1x -，1x +， 由勾股定理得222(1)(1)x x x +=-+， 即(4)0x x -=， 10x ∴=，24x =，当0x =时，110x -=-<，1x -表示三角形的边长，不能为负数， 0x ∴=舍去，当4x =，1413x -=-=，1415x +=+=，∴它的三边长为3，4，5．【点评】考查了勾股定理，一元二次方程的应用，此题较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 【考点】1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；AA ：根的判别式【分析】（1）由x 的一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ，可得0k ≠且△0>即可求出k 的取值范围， （2）根据根与系数的关系及12113x x +=-，即可求出k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， 0k ∴≠且△2(21)4(2)0k k k =+-+>，解得：14k <且0k ≠， k ∴的取值范围：14k <且0k ≠． （2）一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ， 1221k x x k +∴+=-，122k x x k+=， 12113x x +=-，∴12123x x x x +=-， ∴2132k k k k +-=-+， 解得：5k =-． 故k 的值是5-．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．【考点】5M ：圆周角定理【分析】连接AC ，利用圆周角定理得出CAB CFB ∠=∠，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC ，CAB ∠与CFB ∠所对弧为BC ，CAB CFB ∴∠=∠， 90CAB CBA ∠+∠=︒， 90BCE CBA ∠+∠=︒∴∠=∠=∠．BCE CAB CFB【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90∠=︒，O分别切AB、BM于点D、E．ACABM切O于点F，交BM于点(C C与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O半径为1，4AD=，求AC的长．【考点】3N：作图-复杂作图；MC：切线的性质【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF CE x==，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．O是ABC∆的内切圆，D，E，F是切点，∴∠=∠=∠=︒，90OEB ODB B∴四边形OEBD是矩形，1OE OD ==，∴四边形OEBD 是正方形，1BD BE ∴==，4AF AD ==，设CF CE x ==，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，222(4)5(1)x x ∴+=++， 53x ∴=， 517433AC AF CF ∴=+=+=． 【点评】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m 的篱笆围城一个矩形生物园ABCD ，生物园的一面靠墙MN （墙MN 可利用的长度为25)m ，面积是2300m ．求这个生物园的边AB 的长．【考点】AD ：一元二次方程的应用【分析】可设宽为x m ，则长为(502)x m -，根据等量关系：面积是2300m ．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为x m ，则长为(502)x m -．由题意，得(502)300x x -=，解得110x =，215x =．50225x -，12.5x ∴，15x ∴=．答：生物园的边AB的长15m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，4【考点】MD：切线的判定【分析】（1）连接OC，OA OCOCE∠=︒；∠=∠，再由已知条件，可得90=，则OCA OAC（2）由CE是O的切线，得DCE CAE CAB∽，∠=∠=∠，从而求得CDE ABC∆∆∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例即可求得．ACE ABC【解答】解：（1）连接OC，=，OA OC∴∠=∠，OCA OAC=BC CDDC BC∴=，∴∠=∠，BAC CAD∴∠=∠，OCA CAD//∴，OC AEE∠=︒90∴⊥，OC CE∴是O的切线；CE（2）CE是O的切线，DCE CAE CAB ∴∠=∠=∠， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，ACB E ∴∠=∠，CDE ABC ∴∆∆∽，ACE ABC ∆∆∽， ∴CE CD ED AC AB BC ==，AE AC AC AB= 3BC =，4AC =，5AB ∴=，3CD =，∴345CE =，335ED =，445AE = 125CE ∴=，95ED =，165AE =， 75AD AE ED ∴=-=．【点评】考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．25．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 的半径为2，O 到定点A 的距离为5，点B 在O 上，点P 是线段AB 的中点，若B 在O 上运动一周．（1）点P 的运动路径是一个圆；（2）ABC ∆始终是一个等边三角形，直接写出PC 长的取值范围．（1）思路引导【考点】4O ：轨迹；KK ：等边三角形的性质【分析】（1）连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，则HP 是ABO ∆的中位线，得出112HP OB ==，即P 点到H 点的距离固定为1，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC 的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，如图1所示： 则HP 是ABO ∆的中位线，112HP OB ∴==， P ∴点到H 点的距离固定为1，B ∴在O 上运动一周，点P 运动的路径是以点H 为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO 并延长AO 交O 于点M 、N ，如图2所示：ABC ∆是等边三角形，点P 是线段AB 的中点，PC AB ∴⊥，1122PA PB AB BC ===，PC AB ∴==， 当点B 运动到点M 位置时，点P 运动到点P '位置，PC 最短，523AM OA OM =-=-=，1322AP AM '∴==，PC ∴=； 当点B 运动到点N 位置时，点P 运动到点P ''位置，PC 最长，527AN OA ON =+=+=，1722AP AN ''∴==，PC ∴；PC ∴73PC ．【点评】本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P是O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）根据点P是O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB 之间的夹角为60︒，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y x b=-+的距离2OP=时，线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求出b的值即可．②利用①中结论，结合图象即可解决问题．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是O的领域点，图③中点P不是O的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB之间的夹角为60︒，如图1，PA、PB与O分别相切于点A、B，90OAP OBP∴∠=∠=︒，1302APO BPO APB∠=∠=∠=︒．2OP OA ∴=．设O 的半径为r ，则点P 刚好是O 的领域点时2OP r =．所以若点P 是O 的领域点，则需点满足12OP <．（3）①如图2中，当点O 到直线y x b =-+的距离2OP =时，线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点，(,0)M b ，(0,)N b ，OM ON ∴=，OP MN ⊥，PM PN ∴=，2OP PM PN ∴===，22OM ON ∴==22b ∴=∴当线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点时22b =②观察图象可知，当线段MN 上存在O 的领域点，b 的取值范围为122b <．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，点P 是O 的领域点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 11x =-，24x =- ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【考点】7A ：解一元二次方程-公式法；68：最简分式；AA ：根的判别式；1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；KS ：勾股定理的逆定理 【分析】（1）把11x =，22x =-分别代入原方程求得12m =，于是得到原方程为：1()02a x b ++=，求得94b a -=，将12m =和94b a -=代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把11x =，22x =-分别代入原方程得，22(1)0(2)0a m b a m b ⎧++=⎨-++=⎩， 解得：12m =，∴原方程为：1()02a xb ++=， 94b a ∴-=， 将12m =和94b a -=代入第2个方程得，259()24x +=， 解得：11x =-，24x =-；故答案为：11x =-，24x =-；（2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则2x +”的值为1或2-；故答案为：1或2-；（3）2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，∴观察原方程可得1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，由方程的结构特点可得，展开得：220mx mx m -+=，∴二次项系数和常数项相等，即222222a b c a -=-，222a b c ∴=+，ABC ∴∆是直角三角形，且90A ∠=︒．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义，勾股定理的逆定理，正确的理解题意是解题的关键．。
2019-2020学年江苏省南京市玄武区九年级(上)期中数学试卷(PDF版 含解析)
14．（2 分）如图，某单位院内有一块长 30m ，宽 20m 的长方形花园，计划在花园内修两条 纵向平行和一条横向弯折的道路（所有道路的进出口宽度都相等，且每段道路的对边互相平 行），其余的地方种植花草．已知种植花草的面积为 532m2 ，设道路进出口的宽度为 xm ， 根据条件，可列出方程 ．
9．（2 分）若 x1 ， x2 是一元二次方程 x2 2x 4 0 的两个实数根，则 x1 x2 x1x2 ．
10．（2 分）某种商品原来售价 100 元，连续两次降价后售价为 64 元，则平均每次降价的百
分率是 ．
11．（2 分）如图，点 A 、 B 、 C 在 O 上，若 A 105 ，则 BOC
3．（2 分）甲袋中装有 3 个白球和 2 个红球，乙袋中装有 30 个白球和 20 个红球，这些球除
颜色外都相同．把两只袋子中的球搅匀，并分别从中任意摸出一个球，从甲袋中摸出红球记
为事件 A ，从乙袋中摸出红球记为事件 B ，则 ( )
A． P （A） P （B）
B． P （A） P （B）
值范围为 ． （3）点 D 是边 AB 上一点， BD m ，请直接写出边 AC 上使得 BED 为直角时点 E 的个数 及相应的 m 的取值范围．
2019-2020 学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2 分）已知 O 的半径为 4cm ，点 A 到圆心 O 的距离为 3cm ，则点 A 与 O 的位置关系
22．（6 分）已知 O ，请用无刻度的直尺完成下列作图． （1）如图①，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，且 AB AD ，画出 BCD 的角平分线； （2）如图②， AB 和 AD 是 O 的切线，切点分别是 B 、D ，点 C 在 O 上，画出 BCD 的 角平分线．
江苏南京市秦淮区九年级上册数学期中试卷附答案
CO【秦淮区数学】2020 九上期中考试试卷+答案一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。
在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ）A ． 2x - 2 = 0B ． 2x 2 - x = 0 C. x 2 + y = 2D ． 1= 2x 22、数据 2，5，4， -3 ， -1 的极差是（）A ．6B ．7C ．8D ．9 3、用配方法解方程 x 2 - 2x - 4 = 0 时，原方程应变形为（ ）A ． ( x - 1)2= 3B ． ( x +1)2=4C ． ( x - 1)2= 5D ． ( x - 2)2= 84、已知 x 1、x 2 是一元二次方程 x - ax - 2 = 0 的两个根，下列结论正确的是（ ）2A ． x 1 ≠ x 2B ． x 1 + x 2 > 0C ． x 1 ⋅ x 2 > 0D ． x 1 < 0，x 2 < 05、如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，AE 与 BG 交于点 P ，则∠APG 的度数为（ ）A ．108°B ．112.5°C ．120°D ．135°ABHC PG ABDF E（第5 题） （第6 题） 6、如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的弦，BC =3．将 B C 沿着 BC 折叠后恰好经过点 O ，则 AB 的长为（ ）A. 2B. 2 C ．4D ．523E二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7、方程 x 2 = 2 的解是．8、若 x =2 是一元二次方程 x 2 - mx + 8 = 0 的一个解，则 m 的值是．9、若一个正方形的半径是 3，则这个正方形的边长是．10、如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，其内切圆分与 AC 、AB 、BC 相切于点 D 、E 、F ， 若 AE =4，BE =6，则 CD 的长为 ．11、小王前三次打靶的成绩如图所示，他第四次打靶的成绩是a 环，且这四次成绩的中位数恰好也是众数，则a = ．12、如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r = 5cm ，则该圆锥的母线长l =12 cm ，扇形的圆心角θ = °．AD CFB序号（第 10 题） （第 11 题） （第 12 题）13、在圆内接四边形 ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为 3：4：6，则∠D =°．14、在平面直角坐标系中，一个圆经过 O （0，0），A （3，9），B （6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ． 15、如图，菱形OABC 的顶点 A ， B ， C 在 O 上，过点 B 作 O 的切线，与OA 的延长线交于点 D ．若 O 的半径为 2，则 BD 的长为 ．PCQAOE BD（第 15 题）（第 16 题）16、如图，成绩（环）896三、解答题（本大题共7 小题，共88 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（6 分）解方程x2 - 2x - 2 = 0 ．18、（6 分）解方程(x + 1)2= 5(x + 1) ．19、（8 分）⑴若关于x 的方程(x - 3)(x - 2) =p（p 为常数）有两个不相等的实数根，求p 的取值范围；⑵关于x 的方程(x - 3)(x+2) =p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）（原题是(x - 3)(x - 2) =p2，答案不唯一，我们做了更改）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根20、（8 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1 元，商场平均每天可多售出2 件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，那么衬衫的单价降了多少元？22.47. 78 7 7.8 8.21、（8 分）A ，B 两家餐饮店规模相当，国庆假期 1~8 日的日盈利情况如图所示．⑴分别求这两家餐饮店国庆假期的日平均盈利；⑵若 A ，B 两家餐饮店国庆假期的日盈利的方差分别是 s 2 和 s 2 ，则 s 2s 2 ．ABAB(填“＞”、“ = ”、“＜”)日盈利（万元） 10 9 8 8 7 .86 5 5.64 3 3 2 .2 1 1.5A 餐饮店B 餐饮店22、（6 分）如图，在△ABC 中， AB =AC ，点 A 在以 BC 为直径的半圆外，请用无．刻．度．的． 直．尺．画出半圆的圆心O （保留画图痕迹，不写画法）． （第 22 题）6.56.6 8 8.299.223、（8 分）如图为一个摩天轮示意图．该摩天轮的圆半径为4.8m，摩天轮上最低点A 与地面的距离为0.8m（即AC=0.8m）．摩天轮绕点O逆时针旋转t s 后，点A 转动到点B ，旋转角为θ°（0≤θ≤360）．已知摩天轮60s 转动一周．⑴θ与t 之间的函数表达式是；⑵当t=22.5 时，求点A 的运动路径长和点B 与地面的距离．BO θ°A（第23 题）24、（10 分）阅读下面解方程的途径．方程的解是解方程⑴按照上述途径，填写下面的空格.方程的解是①解方程②③⑵已知关于x 的方程ax2 +bx +c = 0 的解是x1 =1，x2 =2（a、b、c 均为常数），求关于x 的方程a(kx +m)2 +b(kx +m) +c = 0 （k 、m 为常数，k ≠0 ）的解（用含k 、m 的代数式表示）．25、（8 分）如图，AB 是 O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC⊥OA ，OC 交AB 于点P ．⑴求证∠1=2∠A ；⑵若PC =2OP ，AP=，则 O 的半径长为．（第25 题）26、（10 分）某企业今年1 月份生产甲、乙、丙三种不同类型的口罩共70 万个，其中甲种口罩的产量是乙种口罩的2 倍，乙种口罩比丙种口罩多10 万个．为了应对“新冠”疫情，该企业决定迅速扩大产能，在接下来的两个月中，乙种口罩产量的月平均增长率比甲种口罩产量的月平均增长率小1，丙种口罩产量的月平均增长率是甲种口罩产量的月平均增长率的2 倍．3 月份该企业口罩总产量是690 万个．⑴1 月份该企业分别生产甲、乙、丙三种口罩万个、万个、万个；⑵求甲种口罩产量的月平均增长率．527、（10 分）半圆O 的直径AB = 8 ，C 为半圆上一点．⑴若AC = 6 ，则BC 的长是；⑵①如图①，若D 是AC 的中点，且AD = 2 ，求BC 的长；②如图②，若D、E 是AC 的三等分点，且AD = 2 ，直接写出BC 的长．C3CO【秦淮区数学】2020 九上期中考试答案一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分。
南京市秦淮区2023-2024学年初三上学期期中考试数学试卷(含解析)
南京秦淮区2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测九年级数学一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A . 210x -=B .2110x -= C . 20x x -=D . 20x y -=2．一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ） A . 3B . 4C . 9D . 123．如图，点C 在O 上，OC 平分弦AB ，连接OA ，BC ，若40A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A . 50︒B . 60︒C . 65︒D . 70︒4．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）A . 80B . 82C . 84D . 865．以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（ ） A . ①B . ②③C . ③④D . ②③④6．图①是一张长28cm ，宽16cm 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为280cm 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A . (282)(162)80x x --=B . (2822)(162)80x x -⨯-=C . 1(282)(162)802x x ⨯--=D .1(282)(162)802x x --=二、填空题．（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程24x =的根是 ．8．一组数据7，10，7，2，7的极差是 ．9．若将一元二次方程21616x x +=化为2()x m n +=的形式，则m n += ．10．如图，在ABC ∆中，92A ∠=︒，则点A 在以线段BC 为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”）11．如图，在O 中，弦AB 的长度是弦CD 长度的两倍，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则A O B ∠ 2COD ∠．（填“>”“<”或“=”）12．小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环．13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x ，根据题意可列方程为 ．14．如图，四边形ABCD 的各边都与O 相切，若28AB CD cm ==，则四边形ABCD 的周长为 cm ．15．如图，O 的半径为2，AB 是弦，点C 在优弧AB 上．将O 沿AB 折叠后，连接CB ，CB 交AB 于点D ．若108ADB ∠=︒，则ADB 的长是 （结果保留π）．16．在ABC ∆中，135A ∠=︒，3AB =，AC =，则其外接圆的半径是 ．三、解答题．（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：2410x x -+=．18．（6分）解方程：3(2)2x x x -=-．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程20(0,0)ax bx c a c ++=≠≠．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．20．（7分）如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，2AB =，连接DG ． （1）求证DG AB ∥； （2）DG 的长为 ．21．（8分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=． （1）当该方程有实数根时，求m 的范围；（2）若该方程的两个根1x ，2x 满足1212x x x x +=⋅，求m 的值．22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A ，B 进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A ，B 的合格产品数量如下表：23．（6分）如图，已知直线l 和点A ，B ．在直线l 上确定点C ，使以A ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C ．）24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．25．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是它的外接圆，点D 在AC 上且CD CB =，连接AD ，BD ，CD ，BD 与AC 交于点E ．（1）判断AED ∆的形状，并证明； （2）当AD BE =时，求BAC ∠的度数．26．（10分）如图①，C ，D 分别是半圆O 的直径AB 上的点，点E ，F 在AB 上，且四边形CDEF 是正方形．（1）若AB =CDEF 的面积为 ；（2）如图②，点G ，H ，M 分别在AB ，AB ，DE 上，连接HG ，HM ，四边形DGHM 是正方形，且其面积为16． ①求AB 的值；②如图③，点N ，P ，Q 分别在HM ，AB ，EM 上，连接PN ，PQ ，四边形MNPQ 是正方形．直接写出正方形MNPQ 与正方形DGHM 的面积比．27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知ABC ∆．求作：ABC ∆的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，直接写出它的准切圆的半径长．南京市秦淮区2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测九年级数学一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A . 210x -=B .2110x -= C . 20x x -=D . 20x y -=【答案】C ．【解析】解：A 、210x -=，是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、2110x -=，是分式方程，故B 不符合题意； C 、20x x -=，是一元二次方程，故C 符合题意； D 、20x y -=，是二元一次方程，故D 不符合题意；故选：C ．2．一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ） A . 3B . 4C . 9D . 12【答案】C ．【解析】设该圆锥的母线长为l ，根据题意得124362l ππ⨯⨯⨯=，解得9l =，即该圆锥的母线长是9． 故选：C ．3．如图，点C 在O 上，OC 平分弦AB ，连接OA ，BC ，若40A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A . 50︒B . 60︒C . 65︒D . 70︒【答案】C ．【解析】OA OB =，40A ∠=︒， 40B ∴∠=︒， OC 平分弦AB ，OC AB ∴⊥，904050BOC ∴∠=︒-︒=︒， OC OB =,18050652OCB ︒-︒∴∠==︒, 故选：C ．4．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）A . 80B . 82C . 84D . 86【答案】B . 【解析】平均成绩为4802100260100808210⨯+⨯+⨯++=，故选：B .5．以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（ ） A . ①B . ②③C . ③④D . ②③④【答案】C .【解析】根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补， ∴只有矩形、正方形有外接圆，故③④一定有外接圆． 故选：C .6．图①是一张长28cm ，宽16cm 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为280cm 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A . (282)(162)80x x --=B . (2822)(162)80x x -⨯-=C . 1(282)(162)802x x ⨯--=D .1(282)(162)802x x --=【答案】D .【解析】设该盒子的高为xcm ，则纸盒底面的长为1(282)2x cm -，宽为(162)x cm -，纸盒的底面（图中阴影部分）面积是280cm ， ∴1(282)(162)802x x --=， 故选：D .二、填空题．（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程24x =的根是 ． 【答案】122,2x x ==-． 【解析】两边开平方得， 2x =±．故答案为：122,2x x ==-．8．一组数据7，10，7，2，7的极差是 ． 【答案】8．【解析】极差为：1028-=． 故答案为：8．9．若将一元二次方程21616x x +=化为2()x m n +=的形式，则m n += ． 【答案】88．【解析】21616x x +=，216641664x x ++=+，2(8)80x +=， 所以8m =，80n =， 所以88088m n +=+=． 故答案为：88．10．如图，在ABC ∆中，92A ∠=︒，则点A 在以线段BC 为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”）【答案】内．【解析】若点D 在以线段BC 为直径的圆上，则90D ∠=︒， 因为9290A D ∠=︒>∠=︒，所以点A 在以线段BC 为直径的圆内， 故答案为：内．11．如图，在O 中，弦AB 的长度是弦CD 长度的两倍，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则A O B ∠ 2COD ∠．（填“>”“<”或“=”）【答案】>．【解析】过点O 作OE AB ⊥交AB 于点F ，连接BE .∴12AF BF AB ==，AE BE =， ∴12AOE BOE AOB ∠=∠=∠， 又2AB CD =， ∴BF CD =，在Rt BEF ∆中，BE BF >， ∴BE CD >， ∴BOE COD ∠>∠， ∴12AOB COD ∠>∠， 即2AOB COD ∠>∠， 故答案为：>．12．小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环．【答案】8．【解析】总次数为23455120+++++=，所以中位数取第10与第11的平均数， 所以中位数为8882+=， 故答案为：8．13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为x ，根据题意可列方程为 ． 【答案】220(1)24x +=．【解析】设平均每月营业额的增长率为x ， 则九月份的营业额为：20(1)x +， 十月份的营业额为：220(1)x +， 则由题意列方程为：220(1)24x +=． 故答案为：220(1)24x +=．14．如图，四边形ABCD 的各边都与O 相切，若28AB CD cm ==，则四边形ABCD 的周长为 cm ．【答案】24．【解析】如图，E ，F ，G ，H 是切点四边形ABCD 各边与O 相切AH AE ∴=，DH DG =，CG CF =，BE BF =AH DH CF BF AE DG CG BE ∴+++=+++AD BC CD AB ∴+=+ 28AB CD cm ==∴四边形ABCD 的周长为(84)224cm +⨯=故答案为：24．15．如图，O 的半径为2，AB 是弦，点C 在优弧AB 上．将O 沿AB 折叠后，连接CB ，CB 交AB 于点D ．若108ADB ∠=︒，则ADB 的长是 （结果保留π）．【答案】85π． 【解析】补全圆，取'D 与D 关于AB 对称，连接OA ，OB ，AC ，'108AD B ADB ∴∠=∠=︒，由内接四边形定理可得180'18010872ACB AD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 2144AOB ACB ∴∠=∠=︒， ∴ADB 的长144281805ππ⋅==， 故答案为：85π．16．在ABC ∆中，135A ∠=︒，3AB =，AC =，则其外接圆的半径是 ．． 【解析】作CD AB ⊥， 135A ∠=︒，∴45CAD ∠=︒，在Rt ACD ∆中，AC 45CAD ∠=︒， ∴1CD AD ==， ∴134BD =+=，在Rt BCD ∆中，BC = 135A ∠=︒，∴AC 在优弧上所对的圆周角为18013545︒-︒=︒， ∴90BOC ∠=︒，在Rt BOC ∆中，BC =OB OC =，∴OB OC ==，即r =. 三、解答题．（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：2410x x -+=．【答案】12x =，2x ． 【解析】2410x x -+=，2443x x ∴-+=，2(2)3x ∴-=，2x ∴=解得12x =，22x =． 18．（6分）解方程：3(2)2x x x -=-． 【答案】12x =，213x =． 【解析】3(2)2x x x -=-，3(2)(2)0x x x ∴---=， 则(2)(31)0x x --=， 20x ∴-=或310x -=，解得12x =，213x =． 19．（8分）已知关于x 的一元二次方程20(0,0)ax bx c a c ++=≠≠．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； （2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【答案】（1）见解析．【解析】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同， ∴0ac <，∴0ac ->，20b >，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->∴该方程一定有两个不相等的实数根.（2）不是，反例2304x x +-=（答案不唯一） 理由如下：方程有两个不相等的实数根 ∴240b ac ∆=->，满足24b ac >即可，反例：216b =，3ac =，即2304x x +-=，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同. 20．（7分）如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，2AB =，连接DG ． （1）求证DG AB ∥； （2）DG 的长为 ．【答案】（1）见解析；（2）2+． 【解析】（1）证明：连接AD ，1802458BAD ︒∠=⨯=︒，1802458ADG ︒∠=⨯=︒， ∴BAD ADG ∠=∠， ∴DG AB ∥.（2）由题可得，四边形DGFE 为等腰梯形， 作EP DG ⊥，FQ DG ⊥，正八边形ABCDEFGH ，2AB =∴EF AB ∥，2GF EF AB ===，135GFE DEF ∠=∠=︒， ∴EF DG ∥，∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒，在Rt QGF ∆中，45DGF ∠=︒，2GF =，QG QF ∴==，同理可得DP EP = 易证四边形PQFE 是矩形，2PQ EF ∴==，22DG ∴=．21．（8分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=． （1）当该方程有实数根时，求m 的范围；（2）若该方程的两个根1x ，2x 满足1212x x x x +=⋅，求m 的值．【答案】（1）14m ≤；（2）1m =-- 【解析】（1）关于x 的方程22(21)0x m x m +-+=有实数根， ∴22(21)40m m --∆=≥，解得：14m ≤． 故m 的取值范围是14m ≤． （2）22(21)0x m x m +-+=∴12(21)x x m +=--，212x x m ⋅=，1212x x x x +=⋅， ∴2(21)m m --=，解得11m =-+21m =- 又14m ≤， ∴1m =-22．（9分）某工厂对新建的两条生产线A ，B 进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A ，B 的合格产品数量如下表：【答案】（1）B 比较稳定；（2）见解析. 【解析】（1）8291888386865A x ++++==，2162549010.85A S ++++==，8588868982865B x ++++==，214091665B S ++++==，∴A B x x =，22A B S S >， ∴B 比较稳定.（2）8586868687865A x ++++==2100010.45A S ++++==，9294949892945B x ++++==，24001644.85B S ++++==，综上，经过本次调试，A ，B 生产线的合格产品数量均变得更加稳定，B 生产线合格产品数量有提升.23．（6分）如图，已知直线l 和点A ，B ．在直线l 上确定点C ，使以A ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C ．）【答案】见解析．【解析】即1234,,,C C C C 为所求24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价． 【答案】100元或110元．【解析】设月饼每盒降了x 元．根据题意，得(202)(12080)1200x x +--=， 解得：120x =或210x =， ∴120100x -=或110答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元．25．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，O 是它的外接圆，点D 在AC 上且CD CB =，连接AD ，BD ，CD ，BD 与AC 交于点E ．（1）判断AED ∆的形状，并证明； （2）当AD BE =时，求BAC ∠的度数．【答案】（1）AED ∆为等腰三角形，证明见解析；（2）36︒. 【解析】（1）AED ∆为等腰三角形， 证明：设BDC α∠=，ACD β∠=， ∴AED αβ∠=+，CD CB =， ∴CD CB =，∴DBC BDC α∠=∠=，AD AD =，∴ABD ACD β∠=∠=，AB AC =，∴ACB ABC αβ∠=∠=+，AB AB =，∴ADB ACB αβ∠=∠=+， ∴ADB AED ∠=∠， ∴AD AE =，∴AED ∆为等腰三角形.（2）AD BE =，∴AE BE =，∴BAE EBA β∠=∠=，又BC BC =，∴BAE BDC ∠=∠， ∴αβ=，∴5180ABC ACB BAC α∠+∠+∠==︒，∴36α=︒， ∴36BAC ∠=︒.26．（10分）如图①，C ，D 分别是半圆O 的直径AB 上的点，点E ，F 在AB 上，且四边形CDEF是正方形．（1）若AB =CDEF 的面积为 ；（2）如图②，点G ，H ，M 分别在AB ，AB ，DE 上，连接HG ，HM ，四边形DGHM 是正方形，且其面积为16． ①求AB 的值；②如图③，点N ，P ，Q 分别在HM ，AB ，EM 上，连接PN ，PQ ，四边形MNPQ 是正方形．直接写出正方形MNPQ 与正方形DGHM 的面积比．【答案】（1）16；（2）①AB =． 【解析】（1）连接OF四边形CDEF 是正方形， 2FC CO ∴=，2222FC CO OF +== 解得：2CO =，4FC = ∴正方形的边长为4， ∴正方形CDEF 的面积为16.（2）①连接OE ，ON ，四边形DGHM 是正方形， ∴4NG DG ==，设OD x =，则2DE x =，在Rt ODE ∆中，2222(2)5OE x x x =+=，在Rt ONG ∆中，2224(4)ON x =++， ∴2224(4)5x x ++=，解得124,2x x ==-（舍）∴OE =∴AB =.②连接OP ，DH ，4MD OD ==，且90MDO ∠=︒， ∴45MOD OMD ∠=∠=︒，又45PMN ∠=︒，∴180OMD DMH PMN ∠=∠+∠=︒，∴,,O M P 共线，∴OM DH ==MP =∴22MNPQ DGHMS MP S OM ==正正. 27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知ABC ∆．求作：ABC ∆的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，直接写出它的准切圆的半径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12345654353,4,,,,3322r r r r r r ======．【解析】（1）如图所示（其中一种情况）（2）证明：如图所示：过C 且与AB ，BC 相切， 连OC ，∴90OCB ∠=︒，O 到,AB BC 的距离相等，∴O 在ABC ∠角平分线上， ∴1302OBC ABC ∠=∠=︒， ∴在Rt ABC ∆中，12OC OB =， ∴22223BC OB OC OC =-=， ∴OC =若1O 是ABC ∆外接圆， ∴2120BOC BAC ∠=∠=︒， 作1O M BC =，OB OC =，∴1O M 平分1BO C ∠， ∴111602BO M BO C ∠=∠=︒， 同理，在1Rt BO M ∆中，112BO O M =， ∴222211134BM O B O M O B =-=，∴1O B ，12BM BC =， ∴1O B =，∴1O B OC =.（3）12345654353,4,,,,3322r r r r r r ======．。
江苏省南京市秦淮区2018~2019学年第一学期九年级上册期中数学测试卷(PDF版,含答案)
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C
D
23． （8 分）甲、乙两名射击队员在相同条件下分别射靶 5 次，成绩统计如下（单位：环） ： 甲 乙 7 7 8 7 8 7 8 9 9 10
⑴分别计算甲、乙两人成绩的平均数； ⑵比较两人的成绩， 更稳定； （填“甲”或“乙” ） ⑶如果甲、乙两人分别再射击一次，都命中了 8 环，分别记甲、乙两人 6 次成绩的方差
2
18．(6 分)已知 y1 x 2 9 ， y2 3 x ，x 为何值时，y1 与 y2 相等？
19．(6 分)求证：无论 k 为何值，关于 x 的一元二次方程 x x 2 k x 2 0 必有两个实数 根．
为 40°．求∠AOC 的度数． 20．(8 分)如图，AB、CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB， CE
A
E D O
B
C
26． （10 分）某校数学兴趣班上学期共有 32 名学生，本学期又有若干名学生新加入了该兴 趣班．王老师上学期和本学期各买了 a 本笔记本平均分给全班学生．与上学期相比，本 5 学期全班学生人数增加的百分率恰好是每名学生分得的笔记本数减少的百分率的 ． 4 ⑴当 a=160 时． ①上学期该兴趣班每名学生分得的笔记本数是 ； ②求本学期新加入该班的学生的人数． ⑵当 a≠160 时，本学期新算说明理由．
B
F
A C O
D
D C
（第 4 题）
O E
（第 6 题）
A
E
B
（第 12 题）
5．某班第一小组共有 6 名学生，某次数学考试的成绩分别为（单位：分） ：72，80，77，81， 89，81，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A．81 分、80.5 分 B．89 分、80.5 分 C．81 分、81 分 D．89 分、81 分 6． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 三个切点分别为 D、 E、 F． 若 BF=3，AF=4，则△ABC 的面积是（ ） A．6 B ．7 C． 7 3 D．12 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 7．一元二次方程 x 2 x 0 的解为 ． （结果保留 π） ． 8．圆锥的母线长为 12，底面圆的半径为 6，则圆锥的 侧面积是
江苏省南京市秦淮区2019~2020学年第一学期九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2019/2020学年度第一学期第二阶段学业质量监测试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．．上）．．．相应位置1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是A．朝上一面的数字恰好是6 B．朝上一面的数字是2的整数倍C．朝上一面的数字是3的整数倍D．朝上一面的数字不小于22．下列方程是一元二次方程的是A．3x2＝2x＋1 B．2x3－3x＝0 C．x2－y2＝1 D．x＋2y＝0 3．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是A．45°B．60°C．90°D．180°4．已知α、β是一元二次方程2x2－2x－1＝0的两个实数根，则α＋β的值为A．－1 B．0 C．1 D．25．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm，方差为k cm2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm，此时全班．．同学身高的方差为k′ cm2，那么k′与k的大小关系是A．k′＞k B．k′＜k C．k′＝k D．无法判断6．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3，则方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解为A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝－2，x2＝4C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝－2，x2＝2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡．相应位置．．．．上） 7．方程x 2＝4的解为 ▲ ．8．一个圆锥的底面圆的半径为3 cm ，母线长为9 cm ，则该圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 9．将一元二次方程x 2＋4x －1＝0变形为(x ＋m )2＝k 的形式为 ▲ ． 10．小华在一次射击训练中的6次成绩（单位：环）分别为：9，8，9，10，8，8，则他这6次成绩的中位数比众数多 ▲ 环． 11．如图，⊙O 是一个油罐的截面图．已知⊙O 的直径为5 m ，油的最大深度CD ＝4 m （CD ⊥AB ），则油面宽度AB 为 ▲ m ． 12．若关于x 的一元二次方程 －(x ＋a )2＝b 有实数根，则b 的取值范围是 ▲ ．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则△ABC 内切圆的半径是 ▲ ． 14．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程 ▲ ．15．如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在⊙O 上，若AB ＝23 cm ，⊙O 的半径为2 cm ，则阴影部分的面积是 ▲ cm 2．（结果保留根号和 ）16．如图，∠AOB ＝45°，点P 、Q 都在射线OA 上，OP ＝2，OQ ＝6．M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程x 2＝2x ．18．（6分）解方程2x 2＋3x －1＝0．（第16题） （第15题）（第11题）19．（8分）已知关于x的方程(x－m)2＋2(x－m)＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为－1，则另一个根为▲．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，分别连接AC、BC．过点B作直线BD，使∠CBD＝∠A．求证：直线BD与⊙O相切．（第20题）21．（8分）用一根长12cm的铁丝能否围成面积是7cm2的矩形？请通过计算说明理由．22．（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“A”，错误的写“B”．小明在做判断题时，每道题都在“A”或“B”中随机写了一个．（1）小明做对第1题的概率是▲ ；（2）求小明这3道题全做对的概率．23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝210，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．（1）求⊙O的半径；且P A＝2，请直接写出．．．．⊙P的半径的长．（第23题）24．（8分）甲、乙两名同学5次数学练习（满分120分）的成绩如下表：（单位：分）已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为▲分，方差为▲分2；（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他们俩观点的理由．25．（8分）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．用无刻．．度的直尺．．．．完成以下画图：（不写画法）（1）在图①中画⊙O 的一个内接正六边形ABCDEF ； （2）在图②中画⊙O 的一个内接正八边形ABCDEFGH ．26．（7分）某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B两种产品出厂单价之比为2∶1．由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍．设B 产品生产数量的增长率为x （x ＞0），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值．（第25题）②①27．（12分）数学概念若点P 在△ABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CP A 中有两个角相等，则称P 是△ABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是△ABC 的“强等角点”． 理解概念（1）若点P 是△ABC 的等角点，且∠APB ＝100°，则∠BPC 的度数是 ▲ °． （2） 已知点D 在△ABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC ＋∠BAC ＜180°．作△BCD 的外接圆O ，连接AD ，交⊙O 于点P ．当△BCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是△ABC 的等角点． （要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①，DB ＝DC ．②如图②，BC ＝BD ．深入思考（3）如图③，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q ．（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点， 其中，正确的有 ▲ ．（填序号）（第27题）①②ABC③2019/2020学年度第一学期第二阶段学业质量监测九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分）7．x 1＝2，x 2＝－2 8．27π 9．(x ＋2)2＝5 10．0.5 11．4 12．b ≤0 13．2 14．x [120－0.5(x －60)]＝8800 15．12－33－43π 16．42－2 3三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）解：移项，得x 2－2x ＝0． ……………………………………………………………2分原方程可变形为x (x －2)＝0．………………………………………………… 4分 x ＝0或x －2＝0．所以x 1＝0，x 2＝2．………………………………………………… 6分18．（本题6分）解：方法一∵a ＝2，b ＝3，c ＝－1，………………………………………………… 1分 ∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－1)＝17＞0．…………………………………………3分∴x ＝－3±172×2＝－3±174．………………………………………………… 4分∴x 1＝－3＋174，x 2＝－3－174．…………………………………………… 6分方法二移项，得2x 2＋3x ＝1．两边都除以2，得x 2＋32x ＝12．………………………………………………… 1分配方，得x 2＋32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝12＋⎝⎛⎭⎫342．⎝⎛⎭⎫x ＋342＝1716．………………………………………………… 3分 解这个方程，得x ＋34＝±174．………………………………………………… 4分所以x 1＝－3＋174，x 2＝－3－174．………………………………………… 6分19．（本题8分）（1）证明：方法一原方程可化为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m ＝0．……………………………1分∵a ＝1，b ＝－2(m －1)，c ＝m 2－2m ，…………………………… 2分∴b 2－4ac ＝[－2(m －1)]2－4(m 2－2m )＝4＞0．……………………… 4分∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根．……………… 5分方法二原方程可化为(x －m )(x －m ＋2)＝0．………………………… 2分x －m ＝0或x －m ＋2＝0．x 1＝m ，x 2＝m －2．………………………………………………… 4分 ∵m ＞m －2，∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根．……………… 5分 （2）1或－3．……………………8分20．（本题8分）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°．……………………3分∴∠A ＋∠ABC ＝90°．……………………4分 ∵∠CBD ＝∠A ，∴∠ABD ＝∠CBD ＋∠ABC ＝90°，即AB ⊥BD ．……………………6分 ∵点B 在⊙O 上，……………………7分 ∴直线BD 与⊙O 相切．……………………8分21．（本题8分）解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ．……………………1分根据题意，得x (6－x )＝7．……………………4分解这个方程，得x 1＝3＋2，x 2＝3－2．……………………6分当x 1＝3＋2时，6－x 1＝3－2；当x 2＝3－2时，6－x 2＝3＋2．…… 7分答：用一根长12 cm 的铁丝能围成面积是7 cm 2的矩形．……………………8分如果用二次函数的性质作答，那么请按下列评分标准给分：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ，围成的矩形面积为y cm 2．………1分 根据题意，得 y ＝x (6－x ) ……………………4分＝－x 2＋6x＝－(x －3)2＋9．……………………6分由－1＜0知，当x ＝3时，y 的值最大，最大值是9．∴当0＜x ＜6时，0＜y ≤9．∴y 的值可以是7．……………………7分答：用一根长12 cm 的铁丝能围成面积是7 cm 2的矩形．……………………8分22．（本题8分）解：（1）12．……………………2分（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，A ），（A ，B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ），共有8种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件H ）的结果只有1种，所以，P （H ）＝18．……………………8分23．（本题9分）解：（1）过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB 、OC ．……………………1分∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 垂直平分BC ． ∵OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，即O 在AD 上． ········· 2分 ∵BC ＝4，∴BD ＝12BC ＝2． ··································· 3分∵在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝210，∴AD ＝AB 2－BD 2＝6． ······································· 4分 设OA ＝OB ＝r ，则OD ＝6－r ．∵在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∴OD 2＋BD 2＝OB 2，即(6－r )2＋22＝r 2． ………6分解得r ＝103，即⊙O 的半径为103．……………………7分如果用相似三角形的相关知识求解，那么请按下列评分标准给分： 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．………1分 ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 垂直平分BC ． ∵OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，即O 在AD 上． ········· 2分 ∵BC ＝4，∴BD ＝12BC ＝2． ··································· 3分∵在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝210，∴AD ＝AB 2－BD 2＝6． ······································· 4分 ∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝10． ····························· 5分∵∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∠OAE ＝∠BAD ， ∴△OAE ∽△BAD ．……………………6分∴AE AD ＝AO AB ，即106＝AO210． ∴AO ＝103，即⊙O 的半径为103．……………………7分（2）25或217．……………………9分24．（本题8分）解：（1）100，10．……………………4分（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．……………8分25．（本题8分）解：（1）如图①，正六边形ABCDEF 即为所求．……………………4分（2）如图②，正八边形ABCDEFGH 即为所求．……………………8分26．（本题7分） 解：根据题意，得2(1＋2x )×200(1＋2x )＋(1＋4x )×100(1＋x )＝(2×200＋1×100)(1＋4.4x )．…4分 整理，得20x 2－x ＝0．解这个方程，得x 1＝0.05，x 2＝0（不合题意，舍去）．……………………6分 所以x 的值是0.05．……………………7分27．（本题12分）解：（1）100、130或160．……………………3分（2）选择①：连接PB 、PC ．∵DB ＝DC ，∴⌒DB ＝⌒DC ．∴∠BPD ＝∠CPD ．……………………4分 ∵∠APB ＋∠BPD ＝180°，∠APC ＋∠CPD ＝180°， ∴∠APB ＝∠APC ．……………………6分∴P 是△ABC 的等角点．……………………7分 选择②： 连接PB 、PC ．∵BC ＝BD ，∴⌒BC ＝⌒BD ．∴∠BDC ＝∠BPD ．……………………4分∵四边形PBDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠BDC ＋∠BPC ＝180°．……………………5分 ∵∠BPD ＋∠APB ＝180°，∴∠BPC ＝∠APB ．……………………6分 ∴P 是△ABC 的等角点．……………………7分（3）如图③，点Q 即为所求．……………………10分 （4）③⑤．……………………12分对于（4）中⑤的说明：由（3）可知，当△ABC 的三个内角都小于120°时，△ABC 必存在强等角点Q ．如图④，在三个内角都小于120°的△ABC 内任取一点Q ′，连接Q ′A 、Q ′B 、Q ′C ，将△Q ′AC 绕点A 逆时针旋转60°到△MAD ，连接Q ′M ． ∵由旋转得Q ′A ＝MA ，Q ′C ＝MD ，∠Q ′AM ＝60°， ∴△AQ ′M 是等边三角形． ∴Q ′M ＝Q ′A ．∴Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C ＝Q ′M ＋Q ′B ＋MD ． ∵B 、D 是定点，∴当B 、Q ′、M 、D 四点共线时，Q ′M ＋Q ′B ＋MD 最小，即Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C 最小． 而当Q ′为△ABC 的强等角点时，∠AQ ′B ＝∠BQ ′C ＝∠CQ ′A ＝120°＝∠AMD ． 此时便能保证B 、Q ′、M 、D 四点共线，进而使Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C 最小．① DABC ③Q②CABQ′MD④。
南京市秦淮区2019年中考一模试卷九年级数学(含答案)
27．（9 分）数学概念 在两个等腰三角形中，如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的 腰长和顶角的度数，那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形．
概念理解 ⑴如图①，在△ABC 中，AB＝AC，请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形（保留作图痕迹，
不写做法）． A
A
D
B
C
B
C
特例分析
（第 16 题）
2
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 3x x 2
17．（6 分）解不等式组 4x 2 x 4
1 x2 1 18．（6 分）计算 (1 )
xx
19．（8 分）已知二次函数 y (x m)2 2(x m) （ m 为常数）． ⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个不同的公共点； ⑵当 m 取什么值时，该函数的图像关于 y 轴对称？
b 2 2m
则对称轴为： x
m 1
2a
2
∵函数图像关于 y 轴对称
∴ x m 1=0 ，即 m 1
∴当 m 1时，该函数的图像关于 y 轴对称
20、⑴连接 AC、BD
∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点
∴△ABD 中 EH 是中位线, △CBD 中 FG 是中位线
20．（8 分）如图，在“飞镖形”ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点． ⑴求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
A
⑵“飞镖形”ABCD 满足条件__________时，四边形 EFGH 是菱形．
H E
C
G
F
D
B
21．（8 分）某中学九年级男生共 250 人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试， 相关数据的统计图如下．设学生引体向上测试成绩为 x（单位：个）．学校规定：当 0 x 2 时成绩等级为不合格．当 2 x 4 时成绩等级为及格，当 4 x 6 时成绩等级为良好， 当 x 6 时成绩等级为优秀．样本中引体向上成绩优秀的人数占 30%，成绩为 1 个和 2 个的人数相同．
南京市秦淮区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 ( 含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，854．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32二、填空题（共20分）7．方程x2＝x的解是．8．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是°．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是环．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是°．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是．三、解答题（共88分）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是（填写成员序号）．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数和之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝，n＝．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，则圆锥的侧面积为×8π×5＝20π，故选：C．3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，85【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．【解答】解：∵这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，∴这组数据的众数是87，这组数据的中位数是＝87．故选：A．4．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x2﹣16x+24＝0x2﹣16x+64＝﹣24+64（x﹣8）2＝40故选：D．5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120故选：C．6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH＝OA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC ＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．二．填空题（共10小题）7．方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1 ．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝18．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是 1 ．【分析】把x＝﹣1代入方程得到1﹣p+q＝0后移项即可求得答案．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，∴1﹣p+q＝0，∴p﹣q＝1，故答案为：1．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是 6 ．【分析】根据极差的定义即可求得．【解答】解：数据9，11，8，12，7，13的极差是13﹣7＝6；故答案为：6．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是65 °．【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝25°，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝∠C＝65°，故答案为：65．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是8.7 环．【分析】求出所有数据的和，再除以数据的总个数即可得出答案．【解答】解：根据题意得：＝8.7（环），答：他射中环数的平均数是8.7环；故答案为：8.7．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是108 °．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠DAB，根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵五角星里面是正五边形，∴∠BFD＝＝108°，∴∠AFE＝∠BFD＝108°．故答案为：108．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解答】解：连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：＝．故答案为14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为（10+x）（500﹣10x）＝8000 ．【分析】根据已知直接得出每千克水果获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量；利用每千克水果品获利×月销售量＝总利润，进而求出答案．【解答】解：设水果单价涨了x元，由题意可得：每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；由题意可列方程（10+x）（500﹣10x）＝8000，故答案为：（10+x）（500﹣10x）＝8000．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是70 °．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是8﹣3 ．【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，∵BC＝CD＝8，∴CC′＝16，∴C′D＝＝＝8，∴CP+PM的最小值是8﹣3，故答案为：8﹣3．三．解答题（共11小题）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：两边开方得：x+1＝±（2x+1），解得：x1＝0，x2＝﹣．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝2x2﹣2mx+4＝﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣6x+4＝﹣1，再通过解该方程求得x的值即可．【解答】解：由题意得4﹣4m+4＝﹣4，即3﹣m＝0，解得m＝3；（2分）∴x2﹣6x+4＝﹣1，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，得x1＝1，x2＝5．（4分）20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）根据题意得：△＝36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9，（2）根据题意得：x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，∵x1+x2﹣2x1x2＝0，∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，解得：m＝3（符合题意），即m的值为3．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，∴CD＝2CH＝．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是③（填写成员序号）．【分析】（1）根据平均数，方差的定义即可得到结论；（2）根据方差的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵B礼仪队成员身高的平均数为＝169（cm），∴B礼仪队成员身高的方差为×[（168﹣169）2×2+（169﹣169）2×2+（171﹣169）2]＝1.2（cm2），∵A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，∴B礼仪队成员身高的方差大于A礼仪队成员身高的方差；（2）∵B礼仪队成员身高的平均数为169cm，∴B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人的身高必须最接近平均数，故这个候选人是③，故答案为：③．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆；（2）延长AO交BC于G，如图，先判断AG垂直平分BC，再利用平行线的性质得到AG⊥DE，然后根据切线的判定定理可得到结论．【解答】（1）如图，⊙O为所作；（2）证明：延长AO交BC于G，如图，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AG垂直平分BC，∵DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数0 和 1 之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．【分析】（1）根据x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值的表即可得出答案；（2）根据方程﹣x2+2x+m＝0有一个根在1和2之间知，解之可得．【解答】解：（1）∵当x＝1时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝0时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，∴方程的另一个根在0和1之间；故答案为0，1；（2）∵y＝﹣x2+2x+m＝0中k＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为直线x＝1，由题意可知一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，∴，解得：﹣1＜m＜0．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．【分析】如图1，如图2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AO＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠8，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠7+∠8+∠3+∠4+＝∠1+∠2+∠5+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°；如图2，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠6，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠1+∠2+∠5＝∠3+∠4+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°，综上所述，圆内接四边形对角互补．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．【解答】解：（1）由题意，得：故答案是：2x；200（1+2x）；100（1+x）；（2）90×＝60（元）90×＝30（元）60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）＝（60×200+30×100）（1+4.4x）解得x1＝0（舍去），x2＝．即x的值是．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝ 2 ，n＝12 ．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．【分析】（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由面积法可得m的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n的值；（2）①由于α＝90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示；②连接CP，由切线长定理得∠PCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．【解答】解：（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴×6×8＝×10m+×6m+×8m∴m＝2由已知，四边形DPEC为正方形∴n＝PD＝由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE∴n＝＝＝＝12（2）如图①，由切线的性质，可知PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，PD＝PE＝PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC同（1），根据面积法可知m＝①如图①∵n＝＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn②如图②，连接CP，由切线长定理得：CD＝CE＝＝＝＝∵PD⊥CD，PE⊥BC∴CP平分∠ACB∴∠PCE＝30°∴n＝PE＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn。
南京市秦淮区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
2022/2023学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷九年级数学（满分：120分 考试时间：120分钟）注意：1．选择题答案请用2B 铅笔填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上． 2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．已知⊙O 的半径是5 cm ，线段OP 的长为4 cm ，则点P A ．在⊙O 外 B ．在⊙O 上C ．在⊙O 内D ．不能确定2．下列方程中，是一元二次方程的是A ．x －1x ＝0B ．3x 2＝1C ．2x －y ＝5D ．y 2＋x ＋2＝03．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是A ．3πB ．6πC ．12πD ．24π4．用配方法解方程x 2－8x ＋5＝0时，原方程应变形为A ．(x －8)2＝21B ．(x －8)2＝11C ．(x －4)2＝21D ．(x －4)2＝115．如图，在⊙O 中，直径EF 与弦CD 相交于点M ，F 为⌒CD 中点．若CD ＝2，EM ＝5，则⊙O 的半径长为 A ．4B ．3C ．135D ．1256．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是A ．8，8，8B ．4，10，10C ．4，8，10D ．6，8，10ECO M DF（第5题）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7．方程x 2＝9的根是 ▲ ．8．关于x 的一元二次方程(x －2)2＝a －1有实数根，则a 的取值范围是 ▲ ． 9．一个扇形的半径为2 cm ，弧长为3π cm ，则此扇形的面积为 ▲ cm 2． 10．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为 ▲ °．11．已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m －2022的值是 ▲ ． 12．如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BC 的长是 ▲ ．13．某企业2020年盈利2 000万元，2022年盈利2 420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x ，根据题意，可列出方程 ▲ ． 14．正六边形的外接圆半径是2，则其内切圆半径是 ▲ ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2．若P 为矩形内一点，且∠BPC ≤45°，则所有符合条件的点P 形成的区域的面积是 ▲ ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝23．⊙C 的半径长为1，P 是△ABC 边上一动点（可以与顶点重合），并且点P 到⊙C 的切线长为m ．若满足条件的点P 的位置有4个，则m 的取值范围是 ▲ ．BAC D（第12题）BCA（第16题） （第10题）BACDO ABCD（第15题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．（6分）解方程x2－2x－1＝0．18．（6分）解方程(x＋2)2＝3(x＋2)．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2＋k－2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．20．（8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，OA ∥CD ． （1）若∠ABC ＝70°，求∠BAD 的度数；（2）求证⌒AB ＝⌒AD ．21．（7分）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 过点B 、C 且与AB 、AC 分别相交于点D 、E ．求证BD ＝CE ．BA CDO（第20题）DBCEAO （第21题）22．（7分）如图所示，面积为4500 m 2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10 m ，求绿化区的面积．23．（8分）已知α、β是关于x 的一元二次方程(x －m )(x －n )－2(x －m )＝0的两个实数根．（1）若α＝β，则m 与n 满足关系 ▲ ； （2）若β＜α＜0，求m ＋n 的范围．（第22题）休闲区域休闲区域24．（8分）如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，点C在⊙O 上，且PC ＝P A ． （1）求证：PC 与⊙O 相切；（2）过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D ，若CD ＝P A ＝23，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．25．（8分）商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15 000元的利润，销售单价应为多少元？BACD（第24题）OP26．（11分）【习题再现】（1）完成原习题； 【逆向思考】（2）如图②，I 为△ABC 内一点，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ．若DB ＝DI ＝DC ，求证：I 为△ABC 的内心．【迁移运用】（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC 的内心I ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）（友情提醒：如完全用课本所学的方法作图，本题最多得1分）D BC AI②BCA③（教材P74 第10题）如图①，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线 交△ABC 的外接圆于点D ．BD 和ID 相等吗？为什么？D BCAI ①27．（11分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 边上的动点，AC ＝6，BC ＝8，经过C 、D 的⊙O 交AC 边于点M ，交BC 边于点N ，且．点．M ．、．N ．不与点．．．C ．重合．．． （1）若点D 运动到AB 的中点．①如图①，当点M 与点A 重合时，求线段MN 的长； ②如图②，连接MN ，若MN ∥AB ，求线段MN 的长；（2）如图③，点D 在运动过程中，⊙O 半径r 的范围为 ▲ ．C B DA M N O ② A C OD N （M ） B ① A B C DMN O ③2022-2023学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷九年级数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．x 1＝3，x 2＝－3 8．a ≥19．310．35 11．－2021 12．3＋1 13．2000(1＋x )2＝2420 14．3 15．3－π216．2＜m ＜3三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：移项，得x 2－2x ＝1．配方，得 (x －1)2＝2． ·························································································· 2分 由此可得x －1＝±2． ························································································· 4分 所以x 1＝2＋1，x 2＝－2＋1． ·············································································· 6分 18．（本题6分）解：移项，得(x ＋2)2－3(x ＋2)＝0．(x ＋2)(x ＋2－3)＝0．(x ＋2)(x －1)＝0． ································································································· 4分 所以x 1＝－2，x 2＝1． ··························································································· 6分 19．（本题8分）解：（1）根据题意，得b 2－4ac ＝(2k )2－4(k 2＋k －2) ························································· 2分＝－4k ＋8＞0． ································································· 3分解得k ＜2．··································································································· 4分 （2）因为k 为正整数且k ＜2，所以k ＝1．··································································································· 5分 所以方程可化为x 2＋2x ＝0，············································································· 6分 解得x 1＝0，x 2＝－2． ····················································································· 8分20．（本题8分）解：（1）∵OA ＝OB ，∠ABC ＝70°，∴∠ABO ＝∠BAO ＝70°． ······················································································ 1分 ∴∠BOA ＝40°． ·································································································· 2分∵OA ∥CD ，∴∠C ＝∠BOA ＝40°． ·························································································· 3分 ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠C ＋∠BAD ＝180°．∴∠BAD ＝140°． ································································································· 4分 （2）连接OD ． ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ． ···························································································· 5分 ∵OA ∥CD ，∴∠AOD ＝∠ODC ，∠AOB ＝∠OCD ． ···································································· 6分 ∴∠AOB ＝∠AOD ． ····························································································· 7分 ∴⌒AB ＝⌒AD ． ······································································································ 8分 21．（本题7分） 证明：方法一连接BE 、CD ． ∵ AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ． ······························································································ 2分 ∴DC ⌒＝BE ⌒． ······································································································ 4分 ∴DC ⌒－DE ⌒＝BE ⌒－DE ⌒，即 BD ⌒＝CD ⌒． ··································································· 5分 ∴BD ＝CE ． ······································································································· 7分 方法二 连接BE 、CD ． ∵ DE ⌒＝DE ⌒，∴∠ABE ＝∠ACD ． ······························································································ 2分 ∵AB ＝AC ，∠A ＝∠A ．∴△ABE ≌△ACD ． ······························································································ 4分 ∴ AD ＝AE ． ······································································································ 6分 ∴AB －AD ＝AC －AE ，即BD ＝CE ． ········································································ 7分 22．（本题7分） 解：方法一设小正方形的边长为x m ，则大正方形的边长为（x ＋10）m ，绿化区的面积为10x m 2． 根据题意，得 (2x ＋10) (x ＋10)＝4500． ··································································· 4分 整理，得x 2＋15x －2200＝0．解这个方程，得x 1＝－55（不合题意，舍去），x 2＝40． ··············································· 6分 所以10x ＝400．答：绿化区的面积为400 m 2． ················································································· 7分 方法二设小正方形的边长为x m ，则大正方形的边长为（x ＋10）m ，绿化区的面积为10x m 2．3根据题意，得x 2＋(x ＋10)2＋10x ＝4500． ·································································· 4分 整理，得x 2＋15x －2200＝0．解这个方程，得x 1＝－55（不合题意，舍去），x 2＝40． ··············································· 6分 所以10x ＝400．答：绿化区的面积为400 m 2． ················································································· 7分23．（本题8分）证明：（1）m ＝n ＋2． ································································································· 3分（2）方法一∵(x －m )(x －n )－2(x －m )＝0，∴(x －m )(x －n －2)＝0． ························································································· 4分 ∴方程的两根分别为m ，n ＋2． ·············································································· 5分 ∵方程的两根α、β满足β＜α＜0，∴m ＋n ＋2＜0． ·································································································· 7分 ∴m ＋n ＜－2． ·································································································· 8分 方法二将原方程整理为x 2－(m ＋n ＋2)x ＋mn ＋2m ＝0． ························································· 4分 ∴α＋β＝m ＋n ＋2． ······························································································ 5分 ∵方程的两根α、β满足β＜α＜0，∴m ＋n ＋2＜0． ·································································································· 7分 ∴m ＋n ＜－2． ·································································································· 8分24．（本题8分）（1）证明：连接OC 、OP ．∵P A 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥PB ． ······································································································ 2分 ∴∠P AO ＝90°．∵OA ＝OC ，P A ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OP A ≌△OPC ． ···························································································· 4分 ∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，即OB ⊥PB ． ··································································· 5分 又∵点B 在⊙O 上，∴PB 与⊙O 相切． ····························································································· 6分 （2）4π3－3． ········································································································ 8分 25．（本题8分）解法一：设该玩具销售单价应为x 元．根据题意，得(x －30)[600－50.5(x －50)]＝15000． ························································ 4分 解这个方程，得x 1＝60，x 2＝80． ·········································································· 7分 答：该商品每件实际售价应定为60元或80元． ······················································ 8分 解法二：设该玩具销售单价应涨了x 元，则销售单价应为(50＋x )元．根据题意，得(20＋x ) (600－50.5x )＝15000． ································································ 4分 解这个方程，得x 1＝10，x 2＝30．············································································ 7分。
2019-2020学年苏科版九年级第一学期期中考试数学试题附解答
2019-2020学年九年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. 平行四边形B. 圆C. 等边三角形D. 正五边形 【答案】B【解析】解：A 、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B 、圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C 、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D 、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B ．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 已知⊙O 的半径为6cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的交点个数为( ) A. 0 B. l C. 2 D. 无法确定 【答案】C【解析】解：∵⊙O 的半径为6cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，6cm >5cm ， ∴直线l 与⊙O 相交，∴直线l 与⊙O 有两个交点． 故选：C ．先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，当d <r时，直线与圆相交是解答此题的关键．3. −与方差S 2：( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】A【解析】解：∵S 甲2=6.5，S 乙2=6.5，S 丙2=17.5，S 丁2=14.5， ∴S 甲2=S 乙2<S 丁2<S 丙2，∵X 甲−=563，X 乙−=560， ∴X 甲−>X 乙−，∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A ．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 此题考查了平均数和方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4.当m取下列哪个值时，关于x的一元二次方程x2−2x+m=0没有实数根()A. −2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】解：由题意知，△=4−4m<0，∴m>1故选：D．方程没有实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．5.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C(0,9)，D(0,−1)，则线段AB的长度为()A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：连接EB，如图所示：∵C(0,9)，D(0,−1)，∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=1CD=5，OE=5−1=4，2∵AB⊥CD，AB，OB=√EB2−OE2=√52−42=3，∴AO=BO=12∴AB=2OB=6；故选：C．CD=5，OE=4，连接EB，由题意得出OD=1，OC=9，∴CD=10，得出EB=ED=12AB，由勾股定理求出OB，即可得出结果．由垂径定理得出AO=BO=12本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OB是解决问题的关键．6.如图，▱ABCD中，AD//BC，AD=8，CD=4，∠B=60∘.若点P在线段BC上，且△ADP为直角三角形，则符合要求的点P的个数有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：如图，连接AC，取BC的中点K，连接AK．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=4，∵BK=KC=4，∴BA=BK，∵∠B=60∘，∴△ABC是等边三角形，AK=BK=KC，∴∠BAC=90∘，∵AB//CD，∴∠ACD=∠BAC=90∘，∴以AD为直径作⊙O交BC于P2，P3，此时△ADP2，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1=90∘时，△DAP是直角三角形，∴符合条件的点P有三个，故选：B．如图，连接AC，取BC的中点K，连接AK.首先证明∠BAC=90∘，推出∠ACD=90∘，以AD为直径作⊙O交BC于P2，P3，此时△ADP2，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1=90∘时，△DAP是直角三角形，所以符合条件的点P有三个．本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.一个不透明的口袋中，装有除颜色以外其余都相同的红、黄两种球共15个，摇匀后从中任意摸出一球，记下颜色放回，摇匀再摸出一个，记下颜色放回….经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率为0.4，则估计袋中有红球______个.【答案】6【解析】解：设袋中有红球x个，根据题意得：x=0.4，15解得：x=6，答：袋中有红球6个；故答案为：6．设袋中有红球x个，根据摸到红球的频率列出方程，然后求解即可．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．8.2017年金砖国家峰会中，6名礼仪小姐的身高如下(单位：cm)：168，166，168，167，169，168，她们的身高的众数是______cm，中位数______cm．【答案】168 168【解析】解：∵168cm出现了3次，出现的次数最多，∴她们的身高的众数是168cm；把这些数从小到大排列为166，167，168，168，168，169，=168cm；则中位数是168+1682故答案为：168，168找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．此题考查了中位数和众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数．9.小明上学期数学的平时成绩80分，期中成绩90分，期末成绩85分，若学期总评成绩按平时：期中：期末=3：3：4计算，则小明上学期数学的总评成绩是______分.【答案】85【解析】解：根据题意，小明上学期数学的总评成绩是80×3+90×3+85×43+3+4=85(分)，故答案为：85．根据加权平均数的计算公式计算可得．本题考查了加权平均数的求法，要注意乘以各自的权，直接相加除以3是错误的求法．10.如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为1和−2，则b⋅c=______．【答案】−2【解析】解：根据题意得1+(−2)=−b，1×(−2)=c，所以b=1，c=−2，所以bc=−2．故答案为−2．根据根与系数的关系得到1+(−2)=−b，1×(−2)=c，然后分别求出b、c的值，再计算bc的值．本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．11.方程2(x+1)=x(x+1)的解为______．【答案】x1=−1，x2=2【解析】解：∵2(x+1)=x(x+1)，∴2(x+1)−x(x+1)=0，∴(x+1)(2−x)=0，则x+1=0或2−x=0，解得：x1=−1，x2=2，故答案为：x1=−1，x2=2．先移项得到2(x+1)−x(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．12.如图，已知CD是⊙O的直径，A、B在⊙O上，∠AOB=35∘，CA//OB，则∠BOD=______．【答案】35∘【解析】解：∵OA=OC，∴∠C=∠A，∵OB//AC，∴∠AOB=∠A，∠BOD=∠C，∴∠AOB=∠BOD=35∘，故答案为35∘只要证明∠AOB=∠BOD即可．本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=210∘，则∠CAD=______ ∘.【答案】30【解析】解：连接CE，如图，∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC=180∘，∵∠B+∠AED=210∘，∴∠CED=210∘−180∘=30∘，∴∠CAD=∠CED=30∘．故答案为30．连接CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质得到∠B+∠AEC=180∘，则可计算出∠CED=30∘，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．14.如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．【答案】10cm【解析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，Rl=300π得l=20π；则由题意得R=30，由12由2πr=l得r=10cm．故答案是：10cm．由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．15. 今年梦想企业一月份产值200万，二、三月份产值均以相同的增长率持续增长，结果三月份产值比二月份产值增加了22万.若设该企业二、三月份产值平均增长率为x ，根据题意可列方程______．【答案】200(1+x)2−200(1+x)=22 【解析】解：设该企业二、三月份产值平均增长率为x ，则该企业二月份产值为200(1+x)万，三月份产值为200(1+x)2万，根据题意得：200(1+x)2−200(1+x)=22． 故答案为：200(1+x)2−200(1+x)=22．设该企业二、三月份产值平均增长率为x ，则该企业二月份产值为200(1+x)万，三月份产值为200(1+x)2万，由三月份产值比二月份产值增加了22万，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16. 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙I 分别与斜边AB 、直角边BC 、CA 切于点D 、E 、F ，AD =3，BD =2，则Rt △ABC 的面积为______． 【答案】6【解析】解：∵Rt △ABC 的内切圆⊙I 分别与斜边AB 、直角边BC 、CA 切于点D 、E 、F ，AD =3，BD =2，∴AD =AF =3，BD =BE =2，FC =EC ， 设FC =EC =x ，则(3+x)2+(2+x)2=52，解得：x 1=1，x 2=−6(不合题意舍去)， 则AC =4，BC =3，故Rt △ABC 的面积为：12×4×3=6．故答案为：6．直接利用切线长定理得出AD =AF =3，BD =BE =2，FC =EC ，再结合勾股定理得出FC 的长，进而得出答案．此题主要考查了切线长定理以及勾股定理，正确得出FC 的长是解题关键．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分） 17. 解方程：(1)4x 2−2x −1=0； (2)(y +1)2=(3y −1)2．【答案】解：(1)4x 2−2x −1=0；解：a =4，b =−2，c =−1，b 2−4ac =20， ∴x =2±2√58， ∴x 1=1+√54，x 2=1−√54；(2)(y +1)2=(3y −1)2． 解：(y +1)=±(3y −1)y +1=3y −1或y +1=−3y +1 y 1=1，y 2=0．【解析】(1)找出a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；(2)移项，然后利用因式分解法即可求解．此题考查了解一元二次方程−公式法及因式分解法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．18. 如图，转盘A 中的4个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形面积相等.小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A 、B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜.这样的规则公平吗？为什么？【答案】解：列表如下： 1 1 2 3 4 2 2 4 6 9 336912以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果， ∴P(甲胜)=23，P(乙胜)=13，∵P(甲胜)>P(乙胜)， ∴规则不公平．【解析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查游戏公平性、列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．19. 一个不透明的口袋里装有白、红两种颜色的球，这些球除了颜色外都相同，其中白球1个，红球若干个.已知随机地从袋中摸出1个球，摸到白球的概率为13． (1)袋中有红色球______个；(2)从袋中任意摸出一球记下颜色放回、搅匀，再从中任意摸出一球，像这样有放回地先后摸球3次，请列出所有摸到球的可能结果，并求出三次都摸到红球的概率． 【答案】2 【解析】解：(1)袋中有红色球为：2个，故答案为：2；(2)画树状图得：以上共27个等可能的结果，其中三次都为红色的有8个结果，∴P(三次都为红色)=8．27(1)根据概率公式即可得到结论；(2)先利用画树状图展示所有27种等可能的结果数，再找出8次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．此题考查了树状图法与列表法求概率.此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.某区对即将参加2019年中考的3000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图表信息回答下列问题：视力频数(人)频率4.0≤x<4.3200.14.3≤x<4.6400.24.6≤x<4.9700.354.9≤x<5.2a0.35.2≤x<5.510b(1)在频数分布表中，a=______，b=______，并将频数分布直方图补充完整；(2)甲同学说“我的视力情况是这次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在什么范围内？(3)若视力在4.9以上(含4.9)均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？【答案】60 0.05【解析】解：(1)20÷0.1=200(人)，所以本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，则a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05；如图，(2)∵共有200个数据，其中位数是第100和第101个数据的平均数，而第100和第101个数据均落在4.6≤x<4.9，∴甲同学的视力情况在4.6≤x<4.9；(3)(0.3+0.05)×3000=1050答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有1050人．(1)先根据4.0≤x<4.3的频数和频率求得总人数，再根据频数=频率×总数分别求得a 和b，据此可补全图形；(2)根据中位数的定义求解可得；(3)用样本值后面两组的频率和乘以3000可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数．本题考查了频数(率)分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率.从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容.也考查了用样本估计总体．21.如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．(1)若∠B=50∘，∠C=70∘，则∠DFE的度数为______；(2)若∠DFE=50∘，求∠A的度数．【答案】60∘【解析】解：(1)连接ID、IE，∵∠B=50∘，∠C=70∘，∴∠A=60∘，∵⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，∴∠IDA=∠IEA=90∘，∴∠DIE=180∘−60∘=120∘，∴∠DFE的度数为：60∘；故答案为：60∘；(2)∵∠DFE=50∘，∴∠DIE=100∘，∵AB、AC分别与⊙I相切于点D、E，∴∠ADI=∠AEI=90∘，∴∠A=80∘．(1)直接利用切线的性质结合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；(2)利用圆周角定理得出∠DIE的度数，进而得出∠A的度数．此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．22.已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0．(1)若该方程有一个根为−1，求m的值；(2)求证：不论m为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】解：(1)x=−1代入得：1+m+m−2=0，；解得m=12(2)∵a=1，b=−m，c=m−2，∴b2−4ac=m2−4m+8，∴b2−4ac=(m−2)2+4，∵(m−2)2≥0，∴(m−2)2+4>0，∴不论m为任何实数，该方程都有两个不相等的实数．【解析】(1)根据方程的解的概念将x=−1代入，解关于m的方程即可得；(2)根据△=m2−4m+8=(m−2)2+4>0即可得．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)代入x=1求出m值；(2)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”．23.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．(1)求证：BD=CD；(2)若∠BAC=50∘，求∠EBC和∠EDC的度数．【答案】(1)证明：连接AD∵AB⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，又∵AB=AC，∴BD=CD．(2)∵AB=AC，∠BAC=50∘，(180∘−50∘)=65∘，∴∠ABC=∠C=12∵AB⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∵∠BAC=50∘，∴∠ABE=40∘，∴∠EBC=25∘，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180∘，∵∠EDC+∠BDE=180∘，∴∠EDC=∠BAC=50∘．【解析】(1)连接AD，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．(2)根据∠EBC=∠ABC−∠ABE，求出∠ABC，∠ABE即可，证明∠DEC=∠ABC即可求出∠DEC．本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．(1)求证：AB=AC；(2)若大圆的半径为5，且AB=8，求小圆的半径．【答案】(1)证明：连接OM、ON，∵大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AB，∴AM=12AB，AN=12AC，∴AB=AC；(2)解：连接AO，则AO=5∵AB=8，∴AM=4，在Rt△AOM中，OM2=OA2−AM2OM2=52−42，∴OM=3，即小圆的半径为3．【解析】(1)连接OM、ON，根据切线长定理得出AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AB，根据垂径定理得出AM=12AB，AN=12AC，即可证得结论；(2)连接AO，则AO=5，然后根据勾股定理即可求得．此题考查了切线的性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握性质定理是解本题的关键．25.某商店经销的某种商品，每件成本价为40元.经市场调研，售价为50元/件，可销售150件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件.如果商店将一批这种商品全部售完，盈利了1500元，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？【答案】解：设每件售价为x元，则可售出这种商品[150−5(x−50)]件，根据题意得：(x−40)[150−5(x−50)]=1500，整理得：x2−120x+3500=0，解得：x1=50，x2=70，当x=50时，150−5(x−50)=150；当x=70时，150−5(x−50)=50．答：每件售价为50元时，销售这种商品150件；每件售价为70元时，销售这种商品50件．【解析】设每件售价为x元，则可售出这种商品[150−5(x−50)]件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的角平分线BD交AC边于D.⊙O过B、D两点，且圆心O在AB边上．(1)用直尺和圆规作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)若AB=9，AD=3，求⊙O的半径．【答案】解：(1)如图所示：(2)连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵OB、OD是半径，OB=OD，∴∠ODB=∠ABD，∴∠CBD=∠ODB，∴OD//BC，∵∠C=90∘，∴∠ODA=90∘，∵D是半径的外端点，∴AC与⊙O相切．(3)设⊙O的半径为x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：32+x2=(9−x)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．【解析】(1)作线段AB的中垂线与AB交于点O，以O为圆心、OB长度为半径作图可得；(2)连接OD，由BD平分∠ABC知∠ABD=∠CBD，根据OB=OD知∠ODB=∠ABD，从而得∠CBD=∠ODB，再由OD//BC知∠C=90∘，据此即可得证；(3)设⊙O的半径为x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：32+x2=(9−x)2，解之即可得出x的值．此题考查了作图−复杂作图、切线的判定与性质等知识.此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．27.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半.那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100∘，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B=______ ∘，∠AP2B=______ ∘.(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=m∘(m<180∘)，点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数(用m的代数式表示)．【问题解决】(3)如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB=135∘.用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形(不写作法，保留作图痕迹)．【答案】50 130【解析】解：(1)∠AP1B=12∠AOB=12×100∘=50∘，∠AP2B=180∘−∠APB=180∘−50∘=130∘；故答案为50，130；(2)当P在优弧AB上时，∠A PB=12∠AOB=(m2)∘；当P在劣弧AB上时，∠A PB=180∘−(m2)∘；(3)如图劣弧AB(实线部分且不包含A、B两个端点)就是所满足条件的点C所组成的图形．(1)根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；(2)与(1)的求法一样(注意分类讨论)；(3)先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理．。