云南师大附中2020届高考适应性月考卷(六)理数-答案
如图 3，连接线段 O1O2，O1C，O2C ，
在圆台 O1O2 中， O1O2 ⊥ 平面B1CB2 ， O1C ⊂ 平面B1CB2 ，
所以 O1O2 ⊥ O1C ．
又 O1C = 1 ，所以在 △O1CO2 中， CO2 = 2 ．
在 △CA1 A2
中， CO2
=
1 2
A1 A2
，故
∠A1CA2
=
a1 a2 a3
an
…………………………………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1） A，B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费 15 + 15 = 30 （元），
A，C 一个包裹，B 一个包裹时，需花费 20 + 15 = 35 （元），
B，C 一个包裹，A 一个包裹时，需花费 25 + 10 = 35 （元），
90° ，即
A1C
⊥
A2C
．
图3
………………………………………………………………（6 分）
（2）解：由题意可知，三棱锥 C
−
A1DA2 的体积为VC− A1DA2
=
1 3
|
O1O2
| S△A1DA2
=
3 6
|
A1D
||
A2 D
|
，
又在直角三角形 A1DA2 中， A1D2 + A2 D2 = A1 A22 = 16 ≥ 2 | A1D || A2 D | ，
综上，A，B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为 30 元.
…………………………………………………………………………（6 分）
（2）由 题 意 知 ， 每 日 揽 包 裹 数 超 过
200
件的概率为
1 3
，
X
可取
0，1，2，3，4 ，
X
∼
B
4，13
，
P( X
=
k)
=
Ck4
1 k 3
可知，当
x ∈ (2，4] 时，
f
(x)
=
x
1 −
2
，
f
′(x)=
−
(x
1 − 2)2
，
所以 f (3) = 1 ， f ′(3) = −1， f (x) 在 x = 3 处的切线方程为 y −1 = −(x − 3) ，即 y = −x + 4 ．
16．由题意作图 2，取线段 OD 的中点 G ，连接 EG ， CG ，可知
当 n = 1 时， a1 = S1 = 22 −1 − 2 = 1满足 an = 2n −1 ．
综上，当 n ∈ N* 时， an = 2n −1 ．
………………………………………（6 分）
理科数学参考答案·第 3 页（共 9 页）
（2）证明：当 n ∈ N* 时， 2n − 1≥ 2n−1 ，
=
25 5
，故选
B．
理科数学参考答案·第 2 页（共 9 页）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
答案
−1
14
15
16
4
y = −x + 4
2π
【解析】
13． ∀x ∈ (0，+ ∞)，x2 − 2x − m ≥ 0 ，只需 (x2 − 2x)min ≥ m ，当 x = 1 时， x2 − 2x 有最小值 −1 ， 所以 m ≤ −1， m 的最大值为 −1 ．
云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（六） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B C A D A B D C
9 10 11 12 ADDB
【解析】 1．因为 A = {x|0 < x < 2}， B = {0，1} ，所以 A B = {x|0 ≤ x < 2} ，故选 B．
理科数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
则
A1A2
A2C
n n
= =
0， 0，
4y
3 2
= x
0，
−
3 2
y
+
取 n = (2，0，−1) ， 3z = 0，
则
cosn，A1D
=
|
n n
||
A1D A1D
|
=
2
4 2×
= 5
10 ， 5
所以 A1D 与平面 CA1 A2 所成角的正弦值为
EG ⊥ AD ， CG ⊥ AD ，所以 ∠EGC 即为二面角 E − AD − C 的
平面角，即
cos
∠EGC
=
1 3
，又
EG
=
CG
=
3 ，由余弦定理可 2
图2
得 EC = 1．又因为 EG CG = G ，所以 AD ⊥ 平面EGC ，所以 AD ⊥ EC . 由 AD∥EF ，得
EF ⊥ EC . 因此在三棱锥 O − CEF 中， OC = OF = OE = EC = EF = 1 ， FC = 2 ，三棱锥
11．在 Rt△ADC 中，DC = 2r sinα ，故①不正确；因为 BD = DC ，所以 ∠BAC = 2α ，在 Rt△ABC
中， AB = 2r cos 2α ，故②正确；因为 AE = AB ， BD = DC ，易知 △ADB 与 △ADE 全等，
故
DE
=
BD
=
DC
，
DF
⊥
EC
，所以
3
，
a2
=
log3
4
=
2 log3
2
=
2 log2
3
，因为 log2
3
>
log2
2
2
=
3 2
>
2 ，所以 a1 > a2 ；
a7
=
log8
9
=
2 3
log
2
3<
a1 ；T6
=
log2
3× log3
4 ×× log7
8
=
log2 8
=
3 ；T7
= T6
× log8
9
，因为
T6 > 0，log8 9 > 1 ，所以 T7 > T6 ，故选 D．
f (x) = ex cos 2x ， f ′(x) = ex (cos 2x − 2sin 2x) =
5ex cos(2x + ϕ) ，其中 cosϕ =
5 5
，
sin ϕ
=
25 5
，当
2x +ϕ
=
π 2
+
2kπ，k ∈ Z
时，
f (x)
有极大值，此时
cos 2x
=
cos
π 2
−
ϕ
=
sin ϕ
2． (1 − i)(1 − i3 ) = (1 − i)(1 + i) = 2 ，故选 C．
3．因为
a
(a
−
b)
=
2 a
−
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=|
a
|2
−
|
a
||
b
|
cos 30° ，所以 |
b
|=
3 ，故选 A．
x + y ≥1，
4．如图
1，作出不等式组 2x − y ≥ 2， 表示的平面区域， y ≤1
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明：设圆 O1 ， O2 的半径分别为 r ， 2r ，
因为圆台的侧面积为 6π ，
所以
6π
=
1 2
×
2(2πr
+
4πr)
，可得
r
=
1
，
因此，在等腰梯形 A1 A2 B2B1 中， A1 A2 = 2B1B2 = 4 ， A1B1 = 2 ， O1O2 = 3 ．
直角坐标系 O2 − xyz .
点 A1(0，− 2，0) ， A2 (0，2，0) ， D(2，0，0) ，
由
∠B1B2C
=
60°
可知
C
3 ，1 ， 22
3
，
A1D
=
(2，2，0)
，
A1 A2
=
(0，4，0)
，
A2C =
3 2
，−
3 2
，
3
，
设平面 CA1A2 的法向量 n = (x，y，z) ，
10 ． 5
………………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）抛物线 C：x2 = 4 y ，点 F (0，1) ，
由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y = kx + 1 ，
代入抛物线方程 x2 = 4 y ，可得 x2 − 4kx − 4 = 0 ，
有两个不同的交点”发生的概率为 1 ，故选 A． 3
6．由题意知，当 x = 1 时， (2x −1)(x + a)3 = 27 ，所以 a = 2 ， (2x −1)(x + 2)3 展开式中 x2 项为
2xC32 22 x − C13 2x2 = 18x2 ， x2 项的系数为18 ，故选 B．
FC
=r
−
AB 2
=
r(1 − cos 2α )
2020届云师大附中高三高考适应性月考(六)数学(文)试题 (解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（六）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2lo |g 1A x x =<，集合{}2|B x x =∈<N ，则A B =U （ ） A ．{}1|0x x << B ．{}|02x x ≤<C ．{}|22x x -<<D ．{}0,1【答案】D【解析】先化简集合A ，B ，再求A B U . 【详解】因为{}|02A x x =<<，{}0,1B =， 所以{}|02A B x x =≤<U ， 故选:B . 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数()()31i 1i --=（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【答案】C【解析】由2i 1=-，利用复数的四则运算即可得到答案. 【详解】()()()31i 1i 1i 1i 2()--=-+=.故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3．已知平面向量,a b r r 的夹角为30°，()112a a ab =⋅-=-r r r r ,，则b =r （ ）A B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】利用数量积运算律得()2a a b a a b ⋅-=-⋅r r r r r r，再利用数量积定义计算即可.【详解】因为()22cos30a a b a a b a ab ⋅-=-⋅=-︒r r r r r r r r r ，所以311||22b -=-r ，解得3b =r .故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及到向量数量积的定义及运算律，是一道基础题.4．已知实数x y ，满足约束条件1,22,1,x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则yx 的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．23【答案】D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，数形结合即可解决. 【详解】如图，作出不等式组1221x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域，yx的几何意义为可行域内的点与点()0,0连线的斜率，由图可知，当312x y ==，时，yx有最大值23.故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意准确的画出可行域，找准最优解，本题是一道基础题.5．某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是（ ）A ．高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数B ．高一年级得分方差大于高二年级得分方差C ．高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数D ．高一年级班级得分最低为34 【答案】C【解析】分别算出高一、高二的中位数即可判断选项A ；由茎叶图的的分布可判断选项B ；分别算出高一、高二的平均数即可判断选项C ；D 选项由图可看出正误. 【详解】高一年级成绩的中位数为555655.52+=，高二年级成绩的中位数为525352.52+=， 所以A 不正确；高一年级各班级得分分布更集中更均匀，故高一年级得分方差小于高二年级得分方差，故B 不正确；高一年级得分平均数434546515556576364705510+++++++++=高二年级得分平均数364547505253616465775510+++++++++=，故C 正确； 高一年级各班级得分的最低分为43，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题考查茎叶图及其应用，涉及了中位数、方差、平均数、最小值的知识，要注意茎叶图中，中间是高位，是一道基础题.6．在区间()0,3上随机地取一个数,k 则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A【解析】先求出直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点时k 的范围，然后再利用几何概型的概率计算公式计算即可.【详解】双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为y x =±，当()0,1k ∈时，y kx =与曲线C 有两个不同的交点；当[)1,3k ∈时，y kx =与曲线C 没有交点，由几何概型的概率计算公式知，“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点”发生的概率为101303-=-， 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型（长度型）的概率计算，涉及到直线与双曲线的位置关系，由本题中直线过原点，可以数形结合即可，本题是一道容易题.7．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,5sinA a c a ==>则角C 的大小为（ ） A ．3π B ．2π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由sin ,A a ==及正弦定理得到sin B ，结合,c a b >>得到cos ,cos A B ，最后利用()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+即可得到答案. 【详解】在ABC V 中，,sin 5a A ==由正弦定理得sin A B =，所以sin 10B =.由题意知，,c a b >>所以cos A B ==，在ABC V 中，A B C π++=，所以()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，所以34C π=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理及两角和的余弦公式在三角形中的应用，考查学生运算能力，要注意A B C π++=这一隐含条件，是一道基础题.8．在如图四个三棱柱中，,A B 为三棱柱的两个顶点，,,E F G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A 、B 中均可证明平面EFG 与AB 所在平面平行，利用面面平行的性质可得；选项D 利用线面平行的判定定理；选项C 显然相交. 【详解】选项A 、B 中易证得平面EFG 与AB 所在平面平行，由面面平行可知，直线AB 与平面EFG 平行，选项A 、B 正确；选项C 中，直线AB 与平面EFG 相交；选项D 中，//AB FG AB ⊄,平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，所以直线AB 与平面EFG 平行. 故选：C. 【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的判定及面面平行的性质定理，考查学生对定理的熟练程度，是一道容易题.9．已知数列{}n a 满足：对*n ∀∈N ，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是（ ） A ．12a a > B ．17a a >C ．63T =D ．76T T <【答案】D【解析】A. 根据2123log l 22og 32>==a ，2333log 4log 332=<=a 判断. B. 根据7822log 9log 33==a 判断.C.根据 62372log 3log 4log 8log 8=⨯⨯⨯=T L 判断.D. 根据768log 9T T =⨯判断. 【详解】因为2123log l og 32>==a，2333log 4log 2=<=a ，所以12a a >；故A 正确.78212log 9log 33a a ==<，故B 正确.62372log 3log 4log 8log 83T =⨯⨯⨯==L ，故C 正确.768log 9T T =⨯，因为60T >，8log 91>，所以76T T >，故D 错误.故选：D . 【点睛】本题主要考查数列项的比较大小和累乘法，还考查了对数的换底公式对数函数的单调性，属于中档题.10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与抛物线()2:20E y px p =>有公共焦点,F 椭圆C 与抛物线E 交于,A B 两点，且,,A B F 三点共线，则椭圆C 的离心率为（ ）A1 BC．2D【答案】A【解析】AB OF ⊥，不妨设A 在第一象限，则点A 即可写成,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，也可写成2(,)bA c a ，然后由22pc b p a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即可建立a ，b ，c 的方程. 【详解】O 为坐标原点，由题意知AB OF ⊥，不妨设A 在第一象限，则点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为A 在椭圆上，所以2(,)b A c a ，由22pc bp a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22b ac =，即222a c ac -=，所以2210e e +-=，解得21e =±-，又(0,1)e ∈，故椭圆C 的离心率为21-. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的离心率问题，求椭圆的离心率问题关键是建立起a ，b ，c ，三者间的等式或不等关系，本题属于基础题.11．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D【解析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确；因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.12．已知定义在R 上的偶函数()(),0)0(xf x e sin wx w ϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则o coswx =（ ）A 5B 25C ．35D ．45【答案】B【解析】利用偶函数的性质可以出()y sin wx ϕ=+的奇偶性，然后根据正弦型函数的性质,可以求出函数的解析式，然后对函数()f x 进行求导，结合函数奇偶性、辅助角公式进行求解即可. 【详解】因为()()xf x e sin wx ϕ=+为偶函数，xy e =为偶函数，所以()y sin wx ϕ=+为偶函数， 又0ϕπ<≤，所以2ϕπ=，由图象及3044f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知2w =， 所以()2xf x e cos x =，因为()y f x =和2y cos x =为偶函数， 所以只需考虑0x ≥的情况， 当0x ≥时，()2xf x e cos x =()()()'2222,x x f x e cos x sin x cos x ϕ=-+其中cos sin ϕϕ==当22,2x k k Z πϕπ+=+∈时，()f x 有极大值，此时2sin 2cos x cos πϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了正弦型函数的性质，考查了利用导数研究函数的极值，考查了数学运算能力.二、填空题13．命题“()0,x ∀∈+∞，220x x m --≥”为真命题，则实数m 的最大值为________________． 【答案】1-【解析】由题意()2,0,20x x x m ∀∈+∞--≥，转化为()2min2x xm -≥，只需求出函数22y x x =-的最小值即可. 【详解】()2,0,20x x x m ∀∈+∞--≥，只需()2min 2x x m -≥，又当1x =时，22y x x =-有最小值1,-所以1m ≤-，m 的最大值为1-. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查与命题真假有关得不等式恒成立问题，一般恒成立问题转化为最值或取值范围来处理，是一道基础题.14．设a R ∈，已知直线:20l ax y a +-=与圆()22:24C x y -+=交于,A B 两点，则弦AB 的长为_________________． 【答案】4【解析】直线20ax y a +-=恒过定点20（，），而圆心也为20（，），可得弦AB 为圆C 的直径. 【详解】圆()2:24C x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，直线:20l ax y a +-=过定点()2,0，所以弦AB 为圆C 的直径，故弦AB 的长为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及直线恒过定点的问题，是一道基础题.15．已知函数()(]()1,0,22,(2,),x f x x f x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩则()f x 在3x =处的切线方程为________________． 【答案】4y x =-+【解析】先求出当]4(2x ∈，时()f x 的解析式，然后利用导数的几何意义即可求得切线方程. 【详解】由()(]()1,0,22,(2,),x f x x f x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈+∞⎩可知， 当]4(2x ∈，时，()12f x x =-，()()212f x x '=--所以()()31'31f f ==-，， ()f x 在3x =处的切线方程为()13y x -=--，即4y x =-+.故答案为：4y x =-+. 【点睛】本题考查利用导数求()f x 在某点处的切线方程，涉及到函数解析式的求法，是一道容易题.16．已知平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点,O 将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --，则当二面角E AD C --的平面角余弦值为13时，三棱锥O CEF -的外接球表面积为________________． 【答案】2π【解析】由题意作图，取线段OD 的中点G ，连接EG CG ，，根据等边三角形的性质，结合二面角平面角的定义可以判断EGC ∠即为二面角E AD C --的平面角，结合余弦定理、线面垂直的判定定理和性质、四点共球的性质进行求解即可. 【详解】由题意作图，取线段OD 的中点G ，连接EG CG ，，可知EG AD CG AD ⊥⊥，，所以EGC ∠即为二面角E AD C --的平面角， 即13cos EGC ∠=，又3EG CG ==， 由余弦定理可得1EC =. 又因为,EG CG G ⋂= 所以AD ⊥平面,EGC 所以AD EC ⊥， 由//,AD EF 得.EF EC ⊥因此在三棱锥O CEF -中，12,OC OF OE EC EF FC ======，三棱锥O CEF -外接球球心为线段FC 的中点，半径为2所以外接球表面积为2π. 【点睛】本题考查了二面角的定义，考查了三棱锥外接球表面积，考查了推理论证能力和数学运算能力.三、解答题17．改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）对该快递点近5天的每日揽包裹数(单位:件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的日揽包裹数均超过100件的概率.【答案】（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2）310. 【解析】（1）分 ,A B 一个包裹，C 一个包裹，A C ，一个包裹，B 一个包裹，B C ，一个包裹，A 一个包裹三种情况讨论；（2）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2天的日揽包裹数均超过100件”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】解:() 1,A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)，A C ，一个包裹，B 一个包裹时，需花费201535+=(元)，B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)，综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元.()25天中有3天的日揽包裹数超过100件，记这三天为123,,,a a a 其余两天为12,,b b 从5天中随机抽出2天的所有基本事件如下：()()()121311,,,,,a a a a a b ，()()()()()()122321223132,,,,,,a b a a a b a b a b a b ，，，，，，()12,,b b一共10种，2天的日揽包裹数均超过100件的基本事件有，()()()121323,,,,,a a a a a a 一共3种，所以从这5天中随机抽出2天，2天的日揽件数均超过100件的概率为310【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第二问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n N ∈时，122n n S n +=--.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当*n N ∈时，证明:（i ）11122n n n a a +-≤+ （ii ）31241232 2.n na a a a a a a n a ++++⋅<++⋅⋅ 【答案】（1）21nn a =-；（2）（i ）详见解析；（ii ）详见解析.【解析】（1）利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩即可；（2）由1212n n --≥得11121112221212n n n n n n a a ++--==+≤+--；从而31241232111121222n n n a a a a a a a a n +-≤+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+，再利用等比数列求和公式即可. 【详解】（1）解:当2n ≥时，112121n nn n n n S n a S S --=--=-=-，， 当1n =时，2112121a S ==--=满足21nn a =-.综上，当*n N ∈时，21nn a =-.（2）证明:当*n N ∈时，1212n n --≥，所以11121112221212n n nn n n a a ++--==+≤+-- 所以312412*********212122212nn n n a a a a a a a a n n +-⎛⎫- ⎪⎝⎭≤++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅-+=1221222n n n ⎡⎤⎛⎫=+-<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦综上可得，当*n N ∈时，312412322n na a a a a a a n a ++++⋅<⋅++⋅. 【点睛】本题考查已知n S 与n a 的关系求通项以及利用等比数列求和公式证明不等式，考查学生基本计算能力，是一道基础题.19．如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形1221A A B B ，1212//A A B B ，12122A A B B =，112A B =，圆台12O O 的侧面积为6π.若点C ，D 分别为圆1O ，2O 上的动点且点C ，D在平面1221A A B B 的同侧.（1）求证：12AC A C ⊥； （2）若1260B B C ∠=︒，则当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，求多面体1221CDA A B B 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）43332+ 【解析】（1）由圆台侧面积求出上下底半径，计算圆台的高，计算2O C ，由直角三角形性质得12AC A C ⊥； （2）三棱锥12C A DA -的高就是12O O ，表示出三棱锥12C A DA -的体积，求出最大值时1A D ，2A D ，多面体1221CDA A B B 分为三棱锥12C A DA -和四棱锥1221C A A B B -，分别计算体积后相加即得． 【详解】解：（1）设1O ，2O 的半径分别为r ，2r ， 因为圆台的侧面积为6π， 所以()16π22π4π2r r =⨯+，可得1r =. 因此，在等腰梯形1221A A B B 中，121224A A B B ==，112A B =，123OO =. 如图，连接线段12O O ，1O C ，2O C ，在圆台12O O 中，12O O ⊥平面12B CB ，1O C ⊂平面12B CB ， 所以121O O O C ⊥.又11O C =，所以在12O CO ∆中，22CO =. 在12CA A ∆中，21212CO A A =，故1290ACA ∠=︒，即12AC A C ⊥. （2）由题意可知，三棱锥12C A DA -的体积为121212121336C A DA A DA V O O SD A D -∆==， 又在直角三角形12A DA 中，222121212162A D A D A A A D A D +==≥， 所以当且仅当1222A D A D ==，即点D 为弧12A A 的中点时，12C A DA V -有最大值3. 过点C 作12CM O B ⊥交12O B 于点M ，因为12O O ⊥平面12B CB ，CM ⊂平面12B CB ，所以12O O CM ⊥，12O O ⊂平面1221A A B B ，12O B ⊂平面1221A A B B ，12121O O O B O ⋂=，所以CM ⊥平面1221A A B B .又2160B O C ∠=︒，则点C 到平面1221A A B B 的距离CM =，所以四棱锥1221C A A B B -的体积()122111324322C A A B B V -=⨯+=. 综上，当三棱锥12C A DA -体积最大值时，多面体12122132C A DA C A A B B V V V --=+= 【点睛】本题考查多面体的体积，解题时把多面体分割成几个基本几何体，分别计算体积后相加． 20．已知抛物线21:4C y x =的焦点为,F 过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且(2)AF BF λλ=≥. （1）求直线l 斜率的取值范围；（2）过点A B ，分别作抛物线C 的切线交于点P ，求FP AB ⋅u u u r u u u r.【答案】（1）4k ≥或4k ≤-；（2）0.【解析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程消y ，利用根与系数的关系解决； （2）利用导数分步求出直线AP ，BP 的方程，解方程组得到点P 的坐标，然后再利用数量积坐标运算即可. 【详解】解:()1抛物线2:4C x y =，点()0,1,F 由题意知直线l 的斜率存在，设直线:1,l y kx =+代入抛物线方程24x y =，可得2440,x kx --=设点()()1122,,,A x y B x y ，因为>0∆，所以124x x k +=，124,x x =-因为AF BF λ=，所以12,x x λ=-又()222144x k x λλ-=-=-，， 可得()22111244k λλλλ-⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，当2λ≥时，218k ≥所以4k ≥或4k ≤-. ()2对211,'42y x y x ==则直线()1111:2AP y y x x x -=-， 又2111,4y x =所以直线21111:24AP y x x x =-同理可得直线22211:24BP y x x x =-，所以点1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,1P k -，因此()2,2,FP k =-u u u r 2121(),AB x x y y =--u u u r ， ()()()()222121212122212FP AB k x x y y k x x x x ⋅=---=---=u u u r u u u r ()()2121202x x x x k ⎛⎫-- +=⎪⎝⎭，综上，0FP AB ⋅=u u u r u u u r【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及了导数求切线方程、数量积坐标运算等知识，一般在解决直线与抛物线位置关系的题，一般要用到根与系数的关系，本题是一道中档题.21．已知函数()2ln 2f x x x x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间[]()m n m n ∈∈Z Z ，，内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛+ ⎝⎭，单调减区间为12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）()g x 存在两个零点，详见解析； n m -的最小值为3【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()g x '，分类讨论()g x '的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定(1,)2π，(,3)2π，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】解：（1）()2ln 2f x x x x =+-的定义域为()0,∞+，()2122122x x f x x x x-++'=+-=，令()0f x '=，得112x +=，212x =（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）()2ln 2cos g x x x x x =+--，当()0,1x ∈时，()122sin g x x x x'=+-+， 因为()122f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在()0,∞+上单调递增，又()1cos101g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭， 所以存在唯一()10,1x ∈，使得()10g x =. 当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()122sin g x x x x '=+-+，()212cos 0x x g x =--+'<'， 所以()g x '单调递减， 又π22π102πg ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭，所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为()1cos101g =->，所以()0g x >，故不存在零点. 当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()122sin g x x x x '=+-+，()212cos 0x x g x =--+'<'，所以()g x '单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()1224sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=.当0π,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2πππln π0224g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，()2ln 2cos20g =->，()3ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一()22,3x ∈，使得()20g x =.当[)3,x ∈+∞时，()2212130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点.综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且()10,1x ∈，()02,3x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．在平面直角坐标系0x y 中，曲线C 的方程为1,,x cosa y sina =+⎧⎨=⎩(a 为参数，且(0,)a π∈)，若点M 为曲线C 上的动点，直线OM 交直线2x =于点P .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的极坐标方程及点P 轨迹的极坐标方程；（2）当3PM =时，求点P 的极坐标. 【答案】（1）: 20,2C cos πρθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=；,:220P cos πρθθ⎛⎫⎛⎫=⎪⎝∈ ⎪⎝⎭⎭；（2）4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==即可；（2）设()10,M ρθ，点20(),P ρθ，则102022cos cos ρθρθ==，，由3PM =可得213ρρ-=，再代入计算即可.【详解】解: ()1曲线C 的普通方程为()()22110x y y -+=>，极坐标方程为0 2c 2os ,ρπθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭，点P 的普通方程为()20x y =>，所以点P 轨迹的极坐标方程为2cos 0,2ρπθθ⎪⎛⎫∈⎛⎝⎫= ⎪ ⎭⎝⎭()2设点()10,M ρθ，点20(),P ρθ，则102022cos cos ρθρθ==， 由3PM =可得213ρρ-=， 即0022cos 3cos θθ-=， 00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q001cos ,23πθθ∴==所以224cos 3ρπ==，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程互化以及求点的极坐标，考查学生计算能力，是一道基础题.23．设函数()11f x x x =+--的最大值为M . （1）求M 的值；第 21 页 共 21 页 （2）设正数,,a b c 满足a b c M ++≤，求证: 43ab ac bc ++≤【答案】（1）2；（2）详见解析. 【解析】（1）化简()f x 解析式，分别求每段的最值或取值范围即可；（2）利用柯西不等式.【详解】()1解: ()2,1,2,11,2,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩所以，当11x -<<时，()22,f x -<<综上，当1x ≥时，()f x 有最大值2， 2.M =()2证明:02a b c <++≤Q ，()24a b c ∴++≤， ()22224a b c ab ac bc ∴+++++≤，又由柯西不等式知222a b c ab ac bc ++++≥所以()34,ab ac bc ++≤ 所以43ab ac bc ++≤【点睛】本题考查求绝对值函数（分段函数）的最值以及利用柯西不等式证明不等式，是一道基础题.。
云南师大附中2020届高考适应性月考卷(六)文数-答案
如图 3，连接线段 O1O2，O1C，O2C ，
在圆台 O1O2 中， O1O2⊥平面B1CB2 ， O1C ⊂ 平面B1CB2 ，
所以 O1O2 ⊥ O1C .
又 O1C = 1 ，所以在 △O1CO2 中， CO2 = 2 .
在 △CA1 A2
中， CO2
=
1 2
A1 A2
，故
∠A1CA2
=
90° ，即
A1C
⊥
A2C
．
图3
…………………………………………………………（6 分）
（2）由题意可知，三棱锥 C −
A1DA2 的体积为 VC− A1DA2
=
1 3
|O1O2
|S△A1DA2
=
3 6
|A1
D||A2
D|
，
又在直角三角形 A1DA2 中， A1D2 + A2 D2 = A1 A22 = 16 ≥ 2|A1D||A2D| ，
方差，故 B 不正确；高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数，故 C 正确；高一年级 各班级得分的最低分为 43，故选 C．
6．双曲线 C：x2 − y2 = 1的渐近线方程为 y = ±x ，当 k ∈ (0，1) 时， y = kx 与曲线 C 有两个不同
的交点；当 k ∈[1，3) 时，y = kx 与曲线 C 没有交点，所以“直线 y = kx 与双曲线 C：x2 − y2 = 1
AD∥EF ，得 EF ⊥ 平面EGC ， EF ⊥ EC ， 因此在三棱锥
O − CEF 中， OC = OF = OE = EC = EF = 1 ， FC = 2 ，三棱
图2
锥 O − CEF 外接球球心为线段 FC 的中点，半径为
云南师大附中2020届高考适应性月考卷及其答案(理数)
0
.
3 1 ，
17.（云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）某调研机构，对本地 22,50 岁的人群随
机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100 人为“低碳族”，该100 人的年龄情况对应的频率 分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数；
NO
2
所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 2
则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S π ． 4
16.（云南师大附中
2020
届高考适应性月考卷（一）理数）设
F1
,
F2
为椭圆 C
:
x2 4
y2
1 的两个焦
点， M 为 C 上一点，且 △MF1F2 的内心 I 的纵坐标为 2 3 ，则 F1MF2 的余弦值为____________. 答案：0. 解析：（黑龙江七台河）
（2）若在“低碳族”且年龄在 30,34 ，34,38 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估
算每个年龄段应各抽取多少人？
答案：见解析. 解析：（黑龙江七台河）
第一套 - 3
（1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x 24 0.04 28 0.08 32 0.16 36 0.44 40 0.16 44 0.1 48 0.0 2 35.92 36 ，
正切值为 2 ，则点 N 的轨迹围成的封闭图像的面积为
.
答案： π . 4
解析：（湖北十堰）
如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O ，连接 ON ，
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(六)理数 -答案
理科数学参考答案·第1页（共10页）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B B B C C D C A C 【解析】1．{|13}A x x =<<，{|21}B x x x =><-或，∴{|23}A B x x =<< ，故选D ．2．因为点(34)Z -，关于原点的对称点为(34)Z '-，，所以向量(34)OZ '=-，，复数34i z =-+，则||5z ==，故选D ．3．对于B ，43210(2)11011121202121227=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；对于D ，21(3)22123231=⨯+⨯+⨯325=；对于A ，210(4)130********=⨯+⨯+⨯=，∴四个数中最大的是28，即(4)130，故选A ．4．由题意得，1)S =++=+++……144=-=，解得2024k =，即当2024k =时，满足判断框内的条件，2025k =时，不满足判断框内的条件，结束运行，所以判断框内应填入的条件是“2025k <？”，故选B ．5．设圆的半径为1，当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1、顶角为1︒的等腰三角形，则圆内接正多边形的面积为111sin13602S =⨯⨯⨯︒⨯= 180sin1︒，圆的面积为π，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，既有180sin1π︒=，故选B ．6．设11()A x y ，，22()B x y ，，则有21122288x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，两式相减得2212128()x x y y -=-，∴1212128y y x x x x -+=- 2184==，∴14AB k =，∴直线l 的方程为12(1)4y x -=-，即470x y -+=，故选B ．理科数学参考答案·第2页（共10页）7．因为e 1e 1e 1()cos()cos cos ()e 11e e 1x x x x x x f x x x x f x --+++-=-==-=---- ，所以函数()f x 为奇函数，故排除A ，B ；又当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除D ，故选C ．8．由题意知，2()0||||||cos 0a a b a a b a b -=⇒-= <，> ，代入||a ，||b的值得cos 2a b = <，>，2()||||||cos 122a c a ab a a b a b =+=+== <，> ，||c ===，所以向量a 在向量c 上的投影为||a c c == C ． 9．如图1，该几何体可看成由长方体1111ABCD A B C D -和四棱锥S ABCD -组合而成，该几何体的表面积为四棱锥的侧面积、长方体的侧面积和一个底面面积之和，其中12BB BC ==，4AB =，SA SB ==面SAB ⊥平面ABCD ，BC CD ⊥，则可得BC SB ⊥，AD SA ⊥，故SC SD ==，则122SBC SAD S S ==⨯⨯=△△． 又等腰△SCD底边上的高为=，故142SCD S =⨯⨯=△，14242SAB S =⨯⨯=△，则该几何体的表面积242222422436S =⨯+++⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ． 10．由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，得ππ22T T =⇒=，所以2π2Tω==，()sin(2)f x x ϕ=+，又其一个对称中心为5π012⎛⎫⎪⎝⎭，，即有5π2π12k ϕ⨯+=，k ∈Z ，则5ππ6k ϕ=-+，k ∈Z ．又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π()sin 26g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，函数ππ()()sin 2cos 2cos 2163y f x g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，故选C ．11．由题意可得：22222112212221||||||2||||cos 44222PF F F PF F F PF PF F c c c c =+-∠=+-22121cos 8(1cos )PF F c PF F ∠=-∠，即1||PF = ，∴122||||||a PF PF =-=图1理科数学参考答案·第3页（共10页）2|c - ．∵2160120PF F ︒<∠<︒，∴2111cos 22PF F -<∠<，112<-213cos 2PF F ∠<，∴22<<，∴0<-22)c c <，∴022)a c <<，∴12c a +>，∴12e ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，故选A ． 12．()e (1)0x f x x -'=-<，()f x 在区间[12]，上是单调减函数，∴221()e e f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，1()g x x x '=- 210x x -=>，()g x 在区间[12]，上是单调增函数，所以1()2ln 22g x a a ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦，． 1x ∃，2[12]x ∈，使得12()()f xg x =，∴{|()}{|()}y y f x y y g x ==≠∅ ，当{|()}{|()}y y f x y y g x ===∅ 时，得222ln 2e a -+<或11e 2a <+，∴22ln 22e a <+-或11e 2a >-，所以()()f x g x ≠∅ ，得2211ln22ee 2a ⎡⎤∈+--⎢⎥⎣⎦，，故选C ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．作出可行域如图2中的阴影部分所示，22z x y =+的几何含义为原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方，易知原点到直线210x y -+=的距离5d==，即原点到阴影区域的最小值，而215d =，则22z x y =+的最小值为15． 14．如图3，连接BD ，在ABD △中，由余弦定理得：222222cos 10BD AD AB AD AB DAB =+-∠=+2101002-⨯⨯=，∴10BD =，∴ABD △为等腰三角形，120BDA ∠=︒．∵ADC ∠+ 360A ABC BCD ∠+∠+∠=︒，∴90BCD ∠=︒，∴45BDC CBD ∠=∠=︒，∴BCD △为等图2图3理科数学参考答案·第4页（共10页）腰直角三角形.设BC DC x ==，则22210x x +=，∴x =，∴ABCD ABD BCD S S S =+△△21110sin 302568.322=⨯⨯︒+⨯=+≈，∴四边形ABCD 的面积大约为268.3m ．15．①：23201x x x -+=⇒=或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，①正确；②：易知221x y +≤表示圆221x y +=上及其内部的点，而||||1x y +≤表示如图4的阴影部分区域，则概率2πS P S ==阴影圆，②正确；③：令2(0)x t t =>，故③中方程等价于210t t m ++-=，而命题P 是假命题，则210(0)t t m t ++-=>无解，由于对称轴102t =-<，只需11m m -⇒≥0≤即可，③不正确；④：因为()cos g x x =为偶函数，所以()cos cos ||g x x x ==，所以()cos |cos |f x x x =+，且(2π)cos(2π)|cos(2π)|()f x x x f x +=+++=，所以()f x 的最小正周期为2πT =．另解：我们还可以作出()f x 的图象，如图5，易得最小正周期2πT =．所以④正确，故答案为①②④．16．∵(2)(2)f x f x +=-，∴(4)()f x f x +=，∴()f x 是周期为4的周期函数．令3π()sin02f x x x =-=，得3πsin 2x x =，在同一坐标系下画出πsin2y x =与3y x =的图象．由图6知，当[22)x ∈-，时，函数3π()sin2f x x x =-有3个零点．又∵66941671=⨯+，就是说，在区间[0669)，上有167个完整的周期，零点个数为1673501⨯=，所以函数3π()sin2f x x x =-在区间[0669)，上共有502个零点，故答案为502．图4图5图6理科数学参考答案·第5页（共10页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（1）解：由12311112231n na a a na n ++++=+…，① 当1n =时，11a =； 当2n ≥时，123111112(1)23(1)n n a a a n a n--++++=-…，② ①-②，得122(1)21(1)n n n na n n n n -=-=++， ∴12n n a +=， ∴12n n a +=对1n =也适合． 综上，*1()2n n a n +=∈N ． …………………………………………………（6分）（2）证明：114114(1)(2)12n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 11111111114422334451222n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…．…………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AD BC ∥． 因为AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， 所以BC ∥平面P AD ．因为直线a 为平面P AD 与平面PBC 的交线，AD ⊂平面P AD ， 所以a AD ∥．因为AD ⊂平面ABCD ，a ⊄平面ABCD ， 所以a ∥平面ABCD ．…………………………………………………（6分）（2）解：因为PA PD =，点E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥． 因为PE CD ⊥，AD CD D = ，AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．理科数学参考答案·第6页（共10页）以点E 为坐标原点，EC ，ED ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立如图7所示的空间直角坐标系，因为22AB PE ==，所以(001)P ，，，(010)D ，，，00)C ，， 所以(011)PD =- ，，，01)PC =- ，． 设平面PDC 的一个法向量()m x y z =，，， 则有00m PD m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即00y z z -=⎧⎪-=，，取y =，得(1m =．取平面P AD 的一个法向量为(100)n =，，．设二面角A PD C --的大小为θ，所以cos ||||m n m n θ==……………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）应该选择模型①．…………………………………………………（2分）（2）因为x y c d = ，两边取常用对数得lg lg()lg lg x y c d c d x ==+ ， 设lg y z =，所以lg lg z c d x =+ ．因为7150.96i i i x z ==∑，123456747x ++++++==，722221127140i i x ==+++=∑…，216x =， 所以717221750.9674 1.63lg 0.191407167i i i ii x zx zd xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，把样本数据中心点(4 1.63)，代入lg lg z c d x =+ ，得lg 0.87c =，所以ˆ0.870.19zx =+. 则lg 0.870.19y x =+，所以y 关于x 的回归方程为0.870.19ˆ10x y+=． 把10x =代入上式得：0.870.19 2.770.77ˆ101010010589x y+===⨯=， 故活动推出第10天进店消费的人次为589．…………………………………………（7分）图7理科数学参考答案·第7页（共10页）（3）从残差图易知，7天中有5天为“消费正常日”，X 的可能取值为1，2，3．125237C C 1(1)C 7P X === ，215237C C 4(2)C 7P X === ，3537C 2(3)C 7P X ===，所以X 的分布列为：故X 的期望为14215()1237777E X =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）设动圆M 的半径为r ，由题意知：12||||(1)(5)62MF MF r r +=++-=>， 根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F ，2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆， ∴2228b a c =-=，∴E 的方程为22198x y +=． …………………………………………………（5分）（2）直线l 的方向向量为(12)(12)a =-=--，，，∴直线l 的斜率为2-． 设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2244369720x mx m -+-=．∵直线l 与椭圆E 有两个交点，∴22(36)444(972)0m m ∆=--⨯⨯->，∴m -<<．…………………………………………………（7分）理科数学参考答案·第8页（共10页）设11()A x y ，，22()B x y ，，123644m x x +=，21297244m x x -= ，…………………………………………………（8分）∵AOB ∠为锐角，∴0OA OB >， ∴12120x x y y +>，…………………………………………………（9分）∴1212(2)(2)0x x x m x m +-+-+> ， ∴2121252()0x x m x x m -++> ， ∴225(972)23604444m m mm -⨯-+>， 即2173600m ->，∴m >或m < ……………………………………………（11分）综上，直线l 的纵截距m的取值范围为1717m ⎛⎫⎛∈-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ．…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：当0a =时，函数21()ln 2(0)2f x x b x x =++>，则()bf x x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[12]，上单调递增， 所以min 5()(1)()2f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =．（i ）1，即[10)b ∈-，时，()f x 在区间[12]，上单调递增，由上知，此时5()2g b =． （ii）当12<<时，即(41)b ∈--，时，()f x在区间[1上单调递减，在区间2)上单调递增，所以min ()ln()222b bf x f b ==-+-+．（iii2时，即(4]b ∈-∞-，时，()f x 在区间[12]，上单调递减， 此时，min ()(2)ln 24f x f b ==+．理科数学参考答案·第9页（共10页）综上，512()ln()24122ln 244b b bg b b b b b ⎧-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+-⎪⎪⎩，≥，，，，，≤已知()g b 为非减函数，所以5max{()}2g b =． ……………………………（6分）（2）证明：原式转化为求证21()52f x x >． 当1b =时，211()x ax f x x a x x++'=++=，所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根， 所以12x x a +=-，121x x = ．因为12x x <且10x >，20x >，∴21x >，221a x x =--， 所以22222221221()ln 2()12ln 212x a x f x x x x x x x +++==++．令1()ln 2(1)2g x x x x x x =++>，则21()ln 302g x x x'=-++>， 所以()g x 在区间(1)+∞，上单调递增，所以5()(1)2g x g >=，即21()52f x x >． ∴1252()0x f x -<．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由23121t x t y t -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，，所以232(1)112111t t x t t t ---===----，得2x ≠， 消去参数t 得1C 的普通方程为240(2)x y x +-=≠．…………………………………………………（3分）由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得2222cos sin 1y αα+=+=，理科数学参考答案·第10页（共10页）整理得曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得其极坐标方程为2221sin ρθ=+．……………………………………………（5分）（2）设曲线2C上任意一点的坐标为sin )αα，， ……………………（6分） 则曲线2C 上的点到曲线1C的距离d ==其中tan ϕ=，…………………………………………………（9分）当sin()1αϕ+=时，经验证，该最值取得到，min 5d =．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）241()4211241x x f x x x x x -+⎧⎪=-+-<<⎨⎪-⎩，，，，，≥，≤-易知当(1)x ∈-∞，时，()f x 单调递减，当[1)x ∈+∞，时，()f x 单调递增，所以()(1)2f x f =-≥，即()f x 有最小值2-，无最大值．………………………………………………………（5分）（2）x ∀∈R ，不等式()|22|f x m x >++恒成立，即|33||1||22|x x m x --+>++， 整理得，3|1|3|1|x x m --+>．设3|1|3|1|y x x =--+，由图象可知，函数3|1|3|1|y x x =--+的最小值是6-， 所以6m <-，即实数m 的取值范围是(6)-∞-，．……………………………………………………（10分）。
2020届云南师大附中高考适应性月考数学(理)试题Word版含答案
2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
【适应】2020届云南师大附中高三高考适应性月考数学理试题版含解析
【关键字】适应2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝（）A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛2，4｝D. ｛｝【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点:集合的交集运算.2.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：复数的计算.3.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（）A、2B、±1 C. 1 D、一1【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：函数值.4.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率〕（）A、B、C、D、【答案】C【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C.考点：三视图.6.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．考点：向量的运算.7.已知，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，故选B．考点：诱导公式.8.设实数x,y满足则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，结合双勾函数的图象，得，故选D．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x 2+x+2y 的概率为（ ） A 、49 B 、59 C 、13 D 、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE 1⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ） A 2 B ．22C 33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时122tan 2EF BPC PF ∠===，故选B. 考点：基本不等式、三角形面积.11.设定义在（0，2π）上的函数f(x), 其导数函数为'()f x ，若()'()tan f x f x x <恒成立，则（ ） A 3()2()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π> C 2()()64f ππ> D 3()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.（1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩， 22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C 相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒ 242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图3.这是一个把k 进掉数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ． 【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图.14.若函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且 ||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-． 考点：椭圆的离心率. 16.设12014S =++S的最大整数［S ］等于【答案】2014 【解析】试题分析：21111(1)1n n n n n n ++⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭，所以111111111120151223201420152015S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S =． 考点：裂项相消法求和.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列｛an ｝的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．（I ）证明：数列11{}2n a -是等比数列； （II ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明详见解析；（2）11222n n nnS -=--. 【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列11{}2n a -是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出n a ，再计算n b ，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n 项和计算即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：11421112442n n n n n n na a a a a a a +++===++∵，∴， 111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴， 又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…，∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n nn n n S ++=-+． ………………………………（12分）考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，若P(ξ＝0)＝116.（I ）求p 的值：（II ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）12p =；（2）分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的机会；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………（6分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3， 1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………（12分）考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC ，M 为AB 的中点．（I ）证明：AC ⊥SB;（II ）求二面角S 一CM －A 的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB ⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC ⊥平面，通过作出辅助线得出SED ∠为二面角S CM A --的平面角，在直角三角形SDE 中，利用三角函数值，求二面角S 一CM －A 的余弦值；还可以利用向量法解决问题. 试题解析：方法一：几何法（Ⅰ）证明：如图4，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC DS AC DB DSDB D ⊥⊥=，且，，所以AC SDB ⊥平面，又SB SDB ⊂平面， 所以AC SB ⊥．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为SD AC SAC ABC ⊥⊥，平面平面，所以SD ABC ⊥平面. 如图4，过D 作DE CM ⊥于E ，连接SE ，则SE CM ⊥， 所以SED ∠为二面角S CM A --的平面角. ……………………………………（8分）由已知有1122DE AM ==，又SA SC =2AC =，所以1SD =，在Rt SDE △中，SE =，所以cos DE SED SE ∠=…………………………………………………（12分）方法二：向量法（Ⅰ）证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SACABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥． 如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(00)B ， 因为(200)AC =-，，，(01)SB =-，………………………………………………（3分）所以2000(1)0AC SB =-⨯+⨯-=， AC SB ⊥∴．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为M 是AB的中点，所以102M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴， (10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则30210n CM y nCS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得1y z ==-，所以(131)n =--，， 又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量， 15cos 5||||51n OS n OS n OS -〈〉===-∴，．………………………………………（11分）又二面角S CM A --的平面角为锐角， 所以二面角S CM A --． ………………………………………（12分）考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45||3OM ON -<t 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||3OMON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）222112b e e a ==-=∵∴，2212b a =∴，即222a b =． 又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，， 联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k kx x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++， 即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………（8分） 又45||3OM ON -<∵，即1245||3NM x <-224612k k +<+ 化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-（舍），2221211123t t k =-<<+∵，∴，即6113t ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±，61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴．……………………………………………………（12分）考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点（1，f(1)）处的切线斜率为2.（I ）求f(x)的单调区间；（11）若2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，求k 的最大值【答案】（1）减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）最大值为4. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x x k x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++，由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，，令()0f x '<，得210e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． …………………………（4分）（Ⅱ）由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x x x x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立， 令2ln ()1x x x g x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-， 令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增， 又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =， 当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min 0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴， 02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4． ………………………………………（12分）考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6. （I ）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =；（2）1.【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB •=.试题解析：（Ⅰ）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d ==， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=， 1l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）代入2233x y +=化简得2220t -=， 得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………（10分）考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m.（I ）当m ＝5时．解不等式f （x ）≥0;〔II ）若f （x ）≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；（2）(1]-∞，.试题解析：（Ⅰ）当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--，不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足； ②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足． 综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． ……………………（5分）（Ⅱ）设()|2||21|g x x x =++-，若3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立， 即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………………………………………………（10分） 考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020年云师大附中高三下期高考适应性月考理科数学试题及答案(解析版)
如图，在 中，
设 ，则 ，取 的中点分别为 则 分别为 和 的外接圆的圆心，连接 ，又直三棱柱 的外接球的球心为O，则O为 的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱 ，所以 ，所以三棱锥 的高为2，即 ，又三棱锥 体积为2，所以 .在 中， ，
所以 ，当且仅当 时取“=”，所以球O的表面积的最小值是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握 是解题的关键，属于中档题.
4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后得余数r，则记为 ，如： ，则执行该程序框图输出的n等于（）
A．7B．6C．5D．8
【答案】A
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级
珍品
特级
优级
一级
【详解】
根据给定的程序框图，可知：
第一次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第二次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第三次执行循环体得 ， ，此时 且 ，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A．
云南师大附中2024届高考适应性月考卷(六)数学答案
数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CACBADBD【解析】1．{|ln }{|0}A x y x x x ===>，{|ln }{|}B y y x y y ===∈R ，则A B =R ，故选C ． 2．20232023i 2023i z =+=-，则2023i z =+，所以z 的虚部是1，故选A ．3．()f x ∵为奇函数，0x <∴时，0x ->，则1()e 3()x f x f x -+-=-=-，0x <∴时，1()e 3x f x -+=-+，则(1)12(1)(1)3e 66e g f --+-=-+=-+=-，故选C ．4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加实践活动，共有4216=种选法，周六、周日各有两位同学参加实践活动共有24C 6=种选法，46328P ==，故选B ． 5．因为43()4sin 3cos 5sin cos 5sin()55f x x x x x x ϕ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，又()f x 在0x 处取到最大值，所以0π2π()2x k k ϕ-=-+∈Z ，即0π2π2x k ϕ=-+()k ∈Z ，则04sin cos 5x ϕ=-=-，03cos sin 5x ϕ==，所以000π1sin sin 32x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭25=--，故选A ．000()0f x '=，解得20330x a +-=，则3a <，记二次函数2()33g x x a =+-的零点为10x x ，，且10x x <，则()f x 在10()()x x -∞+∞，，，上单调递增，在10()x x ，上单调递减，当x →-∞时，()0f x +→，因为0()f x 是最小值，所以0()0f x ≤，即02000()(363)e x f x x x a =-++ 00(66)e 0x x =-≤，解得01x ≥，故20330a x =-≤，故选B ．8．对于A ，1122nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，函数1()f x x x =+在(01)，上单调递减，则数列{}n b 的最小值为52，故A 错误；对于B ，数列{}n a 单调递增，且3212n n a >≥时，≥，函数1()f x x x =+在(1)+∞，上单调递增，则数列{}n b 单调递增，而12123425321314312236n b b b b ==+==+=<时，，又∴，所以数列{}n b 是单调递增数列，故B 错误；对于C ， 因为函数ln xy x=在(e )+∞，上单调递减，且max 11e y =<，所以3n ≥时，数列{}n a 单调递减，且01n a <<，又函数1()f x x x=+在(01)，上单调递减，则3n ≥时，数列{}n b 单调递增，故C 错误；对于D ，11121112|sin11|sin1.581|sin12|sin 2.580.5a a a a =≈≈=≈≈>，，，∵∴由函数1()f x x x=+在(01)，上单调递减知：1112b b <，故D 正确，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACACDABDABC【解析】9．当取11x =，22x =，33x =，23c =时，A 成立，B 不成立；C ：2()()()()D y D cx D c c D x =+=，故方差可能相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min |()()|||y y cx c cx c cx cx -=+-+=-，故极差可能相同，错误，故选AC ．10．对于A 选项，111463BDEG V =-⨯=，故而A 正确；对于B 选项，正四面体BDEG 的外接球即为正方体ABCD EFGH -的外接球，，故而B 选项错误；对于C 选项, 正四面体BDEG 的棱切球即为正方体ABCD EFGH -的内切球，故而半径为12，故而C选项正确；对于D 选项, 正四面体BDEG 的内切球的半径为正方体体对角线16，所以半径为6，由6，12，2成等比数列，所以D 选项正确，综上所述，故选ACD ．11．不妨设双曲线的渐近线方程为b y x a =，右焦点(0)F c ，，则点(0)F c ，到渐近线by x a=的距离为||FP b ==，在方程()a y x c b =--中，令0x =，得ac y b =，所以0ac Q b ⎛⎫⎪⎝⎭，，由||||FP OQ ≤，可得acb b≤，则20b ac -≤，即220c a ac --≤，即210e e --≤，解得1122e +≤≤，又因为1e >．所以112e +<≤，故选ABD ． 12．设()()exxf x g x =，则()e [()()()]x g x xf x f x xf x -''=+-，据题意()0g x '>，故()g x 是一个定义在R 上的增函数，则(0)(1)(2)g g g <<，即2(1)2(2)0e e f f <<，化简得(1)0f >，e (1)2(2)f f <，故A ，B 正确；又(ln 2)(2ln 2)g g <，即ln 2(ln 2)ln 4(2ln 2)24f f <，化简得(ln 2)(2ln 2)f f <，故C 正确；由于222(2)()(2)()[2(2)e ()]e e ex x x xxf x xf x xg x g x f x f x -=-=-，当0x <时，(2)()0g x g x -<，解得2(2)e ()0x f x f x ->，故D 选项不正确，故选ABC ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．根据题意，向量(31)a = ，，(22)b = ，，则(11)a b-=- ，，则有||a，||a b -=，()2a a b -= ，故cos a a b 〈-〉=，()5||||a a b a a b -=- ． 14．如图1，连接AC '，A C '交于点N ，取AB 的中点M ，连接MN ，则MNC ∠为异面直线所成的角或其补角，不妨令2AB =，则在三角形NMC 中，CN MN ==，CM ，由余弦定理可知：1cos 4MNC ∠=，所以异面直线BC '与A C '所成角的余弦值为14． 图115．设)A αα，，)B ββ，，[02π)α∈，，[02π)β∈，，由12OA OB k k ==-，整理得：cos cos sin sin 0αβαβ+=，即cos()0αβ-=，则π2αβ-=±或3π2±，所以22cos sin αβ=，2222||||2412(cos cos )36OA OB αβ+=++=．16．将()sin f x A x ω=的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为π()sin 4g x A x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当2π9π5ππ44T ω=-=≤，即2ω≥时，()g x 在5π9π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上至少存在两个最值点，满足题意；当02ω<≤时，π[π2π]4x ωωωω-∈，，所以πππ2()π2ππ2k k k ωω⎧-+⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩Z ≤，≥，解得11()422k k k ω+-+∈Z ≤≤. 当1k ≤时，解集为∅，不符合题意；当2k =时，解得5342ω≤≤；当3k =时，解得7542ω≤≤. 综上，实数ω的取值范围是537424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由余弦定理可得22222cos b a c ac B a ac =+-=+， 化简可得2cos a c a B =-，由正弦定理可得sin sin 2sin cos .A C A B =-又sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+， sin sin cos cos sin sin()A B A B A B A =-=-，∴A B A =-∴或π()A B A =--，即2B A =或πB =（舍去）.…………………（5分）（2）解：2B A =，∵ππ3C A B A =--=-，∴ ∴由正弦定理可得22sin sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin sin sin 22sin cos 2sin cos b a b a ac c C A A A A A A A a b ab ab b B A A A A A-++-======= 2232222sin cos cos sin sin 3cos sin 4cos 112cos 2sin cos 2cos 2cos 2cos A A A A A A A A A A A A A A+---====-.又0π0π0πA B C <<<<<<，，，∵0π02π0π3πA A A <<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩，，，∴解得π03A <<，1cos 1.2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴令cos t A =，则122b at a bt -=-∵函数122y t t =-在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 132022y t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，∴，即302b a a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，． …………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：由11112n n n n n n S a S a a a +++-=，有1112n n n n S S a a ++-=，又11a =，故111Sa =， 所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，即12n n n S a +=， 故1122n n n S a +++=，两式相减得112122n n n n n a a a ++++=-，即1122n n n n a a ++=， 所以11111n n a a a n n+====+ ，因此{}n a 的通项公式为n a n =.……………………………………………（8分）（2）解：设0121231C C C C n n n n n n S a a a a +=+++⋅⋅⋅+， 则由（1）知012C 2C 3C (1)C nn n n n S n =+++⋅⋅⋅++， 又1210(1)C C 3C 2C C n n n n n n n S n n -=+++⋅⋅⋅+++，两式相加得：0112202[C (1)C ](2C C )[3C (1)C ][(1)C C ]n n n n n n n n n n n n S n n n n --=++++++-+⋅⋅⋅+++． C C 01m n m n n m n -==⋅⋅⋅，，，，，∵ 0122(2)C (2)C (2)C (2)C n n n n n S n n n n =++++++⋅⋅⋅++∴ 012(2)(C C C C )n n n n n n =++++⋅⋅⋅+(2)2n n =+， 1(2)2n S n -=+∴．…………………………………………………（12分）（1）证明：由菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，则ADB △为边长为2的正三角形，即2DB =，又有PB =2DP =，所以222DB PD PB +=， 即DB PD ⊥．又AD DE ⊥，即AD DP ⊥，且AD DB D = ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥，如图2，连接AC ，与BD 交于点O ，则BD AC ⊥，且BD PD D = ， 所以AC ⊥平面PBD ，故而PB AC ⊥．…………………………………（5分）（2）解：取PB 的中点Q ，连接OQ ，如图3建立以OA OB OQ ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则00)A ，，(010)B ，，，(00)C ，，(012)P -，，，(10)AB = ，(022)PB =- ，，，10).CB =设1111()n x y z = ，，为平面PAB 的一个法向量，则1100n AB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即11110220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z =，则11x =，1y =，即1(1n =设2222()n x y z = ，，为平面PBC 的一个法向量，则2200n CB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22220220y y z +=-=⎪⎩，，令2z =21x =-，2y =，即2(1n =- 令二面角A PB C --的平面角为θ，则1212||5|cos |7||||n n n n θ==． 如图4，在三角形PAB 中，由题意知：PA PB ==2AB =，则PAB S =△， 令平面PAB 在平面PBC 上投影的面积为0S ，57=，所以07S =，所以平面PAB 在平面PBC上投影的面积为7. ………………………………（12分）图2图3图4解：（1） 当某局比赛开始，甲队先发球，乙队获取2分的概率为： ()1112111111211322232232223372P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=甲； 当某局比赛开始，乙队先发球，乙队获取2分的概率为： ()111212111221523232332233327P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=乙； 所以在前三局比赛中，乙队获得2分的概率13579.7227216P =+=………………………………………………………………………（6分）（2）方法一：在第五个回合中，甲队开球的概率：54411(1)23P P P =+-， 同理：43311(1)23P P P =+-，3222111111(1)(1)2323P P P P P P =+-=+-，， ∵10P =， ∴213P =，3718P =，443108P =，5259648P =， 又∵525916482P =< 故在第五个回合中，乙队开球的概率更大. …………………………………（12分）方法二：设在第i 个回合中，甲队开球的概率为i P ， 由全概率公式得：1111111(1)2363i i i i P P P P ---=+-=+， 即：1212565i i P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 由题意得：10P =，所以数列25i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭由是以25-为首项，16为公比的等比数列，所以：1221556i i P -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即：1221556i i P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以：4522125915566482P ⎛⎫=-⨯=< ⎪⎝⎭，故在第五个回合中，乙队开球的概率更大.…………………………………（12分）所以C 的方程为143-=． …………………………………（4分）（2）（i ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，， 联立223412y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，，整理得222(34)84120k x kmx m ----=. 由2222340Δ(8)4(34)(412)0k km k m ⎧-≠⎨=----->⎩，，得222340340k k m ⎧-≠⎨-+>⎩，（*）， 且122834km x x k +=-，212241234m x x k --=-， …………………………………（6分）即(8)360m k k +-=，解得2m k =-或14m k =-，且均满足（*），………………………………………………………………………（8分）………………………………………………………（12分）121212当2n =时，直线l 的方程为2x my =+，直线l 过定点(20)，，即点M ，不符合题意，舍去；当14n =时，直线l 的方程为14x my =+，直线l 过定点(140)，，符合题意； 直线l 经过一个不在双曲线C 上的定点，定点的坐标为(140)，．……………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）直线4e 10x y +-=的斜率为4e-，12(1)e ()x a x f x x --'=，由题可得，e e (2)44a f '==，故1a =，1e ()x x xf -=，e (2)2f =， 切线l 的方程为：(2)24e e y x =--，即e4y x =． …………………………（5分）（2）由题可得：21e ln x a x a -+≥恒成立，即21e ln 0x a x a ---≥恒成立， 设21()e ln x g x a x a -=--，0x >，211()e x g x a x-'=-，当0x >，()g x '在(0)+∞，上单调递增， 当0x →时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，∃∴唯一0(0)x ∈+∞，使得0()0g x '=，即01201e x a x -=． 当0(0)x x ∈，时，()g x 单调递减，0()x x ∈+∞，时，()g x 单调递增，000112min 000010011()()e ln e ln ln e x x x g x g x a x a x x x x ---==--=--=--0001ln ln x x x -=-≥. ()0g x ≥∵恒成立，min ()0g x ≥∴，0ln 0x -≥∴，则0(01]x ∈，， 令2(1)10g a '=-≥，此时满足题意，解得1a ≥， 当(01)a ∈，时，2(1)0g a a =-<，不满足题意， 综上，[1)a ∈+∞，.…………………………………（12分）。