产销不平衡的运输问题运筹学共32页
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产销不平衡的运输问题
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B 2（12+2B）103
4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
运输问题
B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B 2（12+2B）103
4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B 4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij0,此时的解为最优解。
z821 451 2441 12986 244 2462
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
B1 A1 6 A2 6 销量 150
运输问题
B2 4 5 150
B3 产量 6 300 5 300 200
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
产销不平衡的运输问题运筹学
50
B
14 13 19 15 60
C
19 20 23
50
最低需要 量
30
70
0
10
最高需要 量
50
70
30 不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 1”
2
3 4’ 4”
产量
16
16
13 22 17 17
50
14
14
13 19 15 15
60
19
19
20
23 M
M
50
M
0
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
解: 本题产量为25，销量为29，是销大于产问题
虚设一个产地 A3，由于并没有生产，所以运 价为零，得运输模型.
如果各销地不满足时，单位缺货费为 4，3，7，
则运输模型为
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
A2
15
638
bj
8 7 14
Bj Ai
6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发 生变化。
运输问题
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
产销不平衡的运输问题及其求解方法
cij xij
i 1 j 1
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
j 1
m
所以这是一个产销平衡的运输问题。
产销平衡表(表3-26),单位运价表(表3-27)
需求地区 化工厂
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ
A B C D 销量(万吨)
产量 （万吨） 50 60 50 50
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’ 16 14 19 M 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
A B C D
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优 方案如表3-28所示
需求地区 化工厂
Ⅰ
’
Ⅰ
’’
Ⅱ 50 20 0 70
Ⅲ
Ⅳ
’
Ⅳ
’’
A B C D 销量(万吨)
10 30 30
30 20 50
30 30
20 20
10
产量 （万吨） 50 60 50 50 210
第4节
港口城市 A B C D E F 每天到达 0 1 2 3 0 1 每天需求 1 2 0 1 3 0 余缺数 -1 -1 2 2 -3 1
为使配备船只数最少，应做到周转的空船数为最 少。因此建立以下运输问题，其产销平衡表见 表3-37。
港 口 C D F 每天缺少船只 A B E 每天多余船只 2 2 1
产销不平衡的运输问题资料共32页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第三节 产销不平衡的运输问题及其
B4 M 0 M M 0 5
产量 6 5 7 4 3
A1′ A1'' A2 A 3′ A 3'' 销量
管理工程学院
12
《运筹学》
13
例：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化 肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相 同，已知各化肥厂年产量，各地区年需要量 及各化肥厂到各地区单位化肥的运价表如表 所示，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
16 14 19 M 16 14 19 0 13 13 20 M
Ⅲ Ⅳ´ Ⅳ´´
22 19 23 0 17 15 M M 17 15 M 0
产 量 50 60 50 50
销量 30
20
70
30
10
50
管理工程学院
15
《运筹学》
16
例：设有A1、A2 、A3三个产地生产某种物资， 其产量分别为7、5、7t，B1、B2 、B3 、B4四 个销地需要该种物资，销量分别为2、3、4、 6t，各产销地之间单位运价见表。又知产地 的物资若有剩余，将发生存储费用，三个产 地单位物资的存储费用分别为2，2，1。试 决定总运费最少的调运方案。
管理工程学院
13
《运筹学》
14
需求地区 化肥厂
Ⅰ
16 14 19 30 50
Ⅱ
13 13 20 70 70
Ⅲ
22 19 23 0 30
Ⅳ
17 15 — 10 不限
产 量(万t)
A B C 最低需求(万t) 最高需求(万t)
50 60 50
管理工程学院
14
《运筹学》
15
销地 产地 A B C D
Ⅰ´ Ⅰ´´ Ⅱ
3.3产销不平衡的运输问题
算检验 数如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
产销不平衡的运输问题
盐城师范学院运筹学期末论文题目: 产销不平衡的运输问题姓名: 许凯波二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 114 班学号: 11211434成绩评定:产销不平衡的运输问题在实际生产生活中，会经常碰到把某种东西从某地运到另一个地方，比如：把一批衣服从上海运到盐城，采用哪种运输方式更节约成本？这就是一个最简单运输问题。
解决运输问题，找到其最优方案有很大使用价值或者说可以带来很大的经济利益。
下面主要看一类运输问题：产销不平衡的运输问题。
所谓产销不平衡的运输问题是指：某种物品有m 个地点生产，n 个地点需要，物品从不同的产地运往不同的需要地运费也不相同，其次该物品的总产量与总的需要量也不正好相等。
如何分配才能既满足需要又使成本最少，即最优分配方案。
解决该问题主要有以下几步：1.初始方案的给定最小元素法：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价处开始确定供需关系，依次类推，一直到给出全部方案为止。
下面将以具体的例子来进一步说明此方法。
2.最优性检验与方案的调整位势法:首先将最小元素法确定的初始调运方案表有数字格的地方换上单位运价表中对应格的运价；然后在得到的新表格的右面和下面增加一行和一列，并填上一些数字，使表中各个数刚好等于他所在行和列的这些新填数字之和。
通常用iu （i =1，2，…）和iv （j =1,2，…）来代表这些新填的数字。
iu 和iv 分别称为第i 行和第j 列的位势。
任一空格的检验数为：גij =)(ijij ij v u c +-如果表中出现有负的检验数时，对方案进行调整，用闭合回路法，下面将以具体例子作详细说明。
例.已知运输问题的产销地的供需量与单位运价表如下图，求出最优解。
表1B1B2B3B4产量产地销地A18 4 1 2 7A2 6 9 4 7 25A3 5 3 4 3 26销量10 10 20 15〖解〗产地总产量为58，销地总销量为55,这是一个产大于销的运输问题。
【2019年整理】产销不平衡的运输问题
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产 量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表 1 A 16 2 13 3 22 4 17 产量 50
11
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
B
C
14
19 30
13
20 70
19
23 0
15
60
50
最低需要 量
最高需要 量10源自507030
不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
11 12
1n
21
22
2n
m1
m2
mn
Bn 1 产量 0 x1n 1 a1 0 x2 n 1 a 2 0 xmn 1 a m bn 1
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产 量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表 1 A 16 2 13 3 22 4 17 产量 50
11
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
B
C
14
19 30
13
20 70
19
23 0
15
60
50
最低需要 量
最高需要 量10源自507030
不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
11 12
1n
21
22
2n
m1
m2
mn
Bn 1 产量 0 x1n 1 a1 0 x2 n 1 a 2 0 xmn 1 a m bn 1