培优专题5_因式分解小结(含答案)
因式分解 含答案
因式分解1. 什么是因式分解因式分解是将一个代数式或多项式拆分成若干个因子的过程。
通过因式分解，可以将一个复杂的代数式或多项式简化成更简单的形式，有助于我们进一步研究和理解代数运算的规律。
2. 因式分解的目的因式分解的目的是寻找出多项式中的共同因子，并将其从多项式中提取出来，使多项式变得简化。
这不仅有助于运算的简化，还能帮助我们在求解方程、解析几何、几何构图等问题中提供更多的数学工具和便利。
3. 因式分解的基本原则在进行因式分解时，需要遵循以下基本原则：(1) 公因式提取原则当多项式中各项存在相同的因子时，可以将这个共同的因子提取出来，作为一个新的因式。
例如，对于多项式3x^2 + 6x，我们可以发现它们都可以被3整除，因此可以将3提取出来，得到3(x^2 + 2x)。
(2) 二次方差积公式二次方差积公式是因式分解中非常常用的方法，它可以将形如a^2 - b^2的多项式进行因式分解。
二次方差积公式的形式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以使用二次方差积公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。
(3) 三项和差公式三项和差公式是因式分解中的另一个常用方法，它可以将形如a^3 + b3或a3 - b^3的多项式进行因式分解。
三项和差公式的形式为：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) 或 a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
例如，对于多项式x^3 + 8，我们可以使用三项和差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x^2 - 2x + 4)。
4. 示例下面是一些关于因式分解的示例：(1) 示例一：因式分解2x^2 + 4xy首先，我们可以观察到2是2x2和4xy的公因子，因此可以将2提取出来，得到2(x2 + 2xy)。
(2) 示例二：因式分解x^2 - 9y2 根据二次方差积公式，我们可以将x2 - 9y^2进行因式分解，得到(x + 3y)(x - 3y)。
精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
初中数学培优：因式分解小结(含答案)
因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式解二：原式=2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：设，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
新初中数学因式分解知识点总复习含答案解析
新初中数学因式分解知识点总复习含答案解析一、选择题1．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ yB ．x ≥ yC ．x < yD ．x > y【答案】D【解析】【分析】判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系．【详解】解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>,0x y ∴->，x y ∴>，故选:D ．【点睛】本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.3．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )A ．22m n --B ．2216x y -+C ．22b a -D ．22449a n -【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．【详解】下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --．故选A ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2x （x +3）＝2x 2+6xB ．24xy 2＝3x •8y 2C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 2-x+2=x （x-1）+2B ．x 2-x=x （x-1）C ．x-1=x （1-1x ）D ．（x-1）2=x 2-2x+1【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、x 2-x+2=x （x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；B 、x 2-x=x （x-1），故选项正确；C 、x-1=x （1-1x），不是分解因式，故选项错误； D 、（x-1）2=x 2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．6．设a ，b ，c 是ABC V 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.【详解】解：∵a 3-b 3=a 2b-ab 2+ac 2-bc 2，∴a 3-b 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2=0，（a 3-a 2b ）+（ab 2-b 3）-（ac 2-bc 2）=0，a 2（a-b ）+b 2（a-b ）-c 2（a-b ）=0，（a-b ）（a 2+b 2-c 2）=0，所以a-b=0或a 2+b 2-c 2=0．所以a=b 或a 2+b 2=c 2．故选：D.【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.7．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×13=83， 故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．8．已知2021201920102010201020092011x -=⨯⨯，那么x 的值为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】【分析】将2021201920102010-进行因式分解为2019201020092011⨯⨯，因为左右两边相等，故可以求出x 得值．【详解】解：2021201920102010- ()()()2019220192019220192019=201020102010=20102010120102010120101201020092011⨯-⨯-=⨯-⨯+=⨯⨯∴2019201020092011201020092011x ⨯⨯=⨯⨯∴x=2019故选：B ．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．9．下列分解因式，正确的是（ ）A ．()()2x 1x 1x 1+-=+B ．()()29y 3y y 3-+=+-C ．()2x 2x l x x 21++=++D ．()()22x 4y x 4y x 4y -=+- 【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 是分解因式；C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；D. x 2−4y 2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.故选B.【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．10．若a 2-b 2=14，a-b=12，则a+b 的值为（ ） A ．-12 B ．1 C ．12 D ．2【答案】C【解析】【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．【详解】∵a 2－b 2=（a+b ）(a-b)=12(a+b)=14∴a+b=12故选C. 点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
上海中远实验学校数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213-- 【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.2．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣12（a+b）•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12（a+b）2﹣32ab=12×102﹣32×20=50﹣30=20．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.3．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．4．请你观察下列式子：2(1)(1)1x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……根据上面的规律，解答下列问题：（1）当3x =时，计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．【答案】（1）201831-；（2）3；（3）2018554- 【解析】【分析】（1）根据已知的等式发现规律即可求解；（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.【详解】（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-()()4325111x x x x x x -++++=-……∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+故x=3时，201720162015(31)(333-+++…323331)++++=201831-故填：201831-；（2）201720162015222a =+++…322221++++=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，∵2018÷4=504…2，∴20182的个位数为4，∴201821-的个位数为3，故填：3；（3）201720162015555+++…32555+++=1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54×（201751-） =2018554- 【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.5．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．6．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系． ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a ﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b ）2的值；【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.【解析】【分析】（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，∴阴影部分的面积=（m-n）2方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，∵a-b=5，ab=-6，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]⋯=22003(1) (1)(1)(1)(1)xx x x x+++++个=（1+x）2005，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．8．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P 为“半期数”∴a +b =5，c +d =11，∴b =5﹣a ，d =11﹣c ，∴P =1000a +100（5﹣a ）+10c +11﹣c =900a +9c +511．∵Q =200+10a +c ，∴441Q ﹣4P =88991，∴441（200+10a +c ）﹣4（900a +9c +511）=88991 化简得：2a +c =7①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．9．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。
2023年九年级中考数学专题培优训练：因式分解【含答案】
2023年九年级中考数学专题培优训练：因式分解一、选择题1.对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是( )A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解2.下列各式中计算正确的是( )A.(a+b)(b﹣a)=a2﹣b2B.(﹣m﹣n)2=m2+2mn+n2C.2m3÷m3=2mD.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=﹣b2c23.多项式12ab3＋8a3b的各项公因式是( )A.abB.2abC.4abD.4ab24.把多项式ax3﹣2ax2＋ax分解因式，结果正确的是( )A.ax(x2﹣2x)B.ax2(x﹣2)C.ax(x＋1)(x﹣1)D.ax(x﹣1)25.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x-3)．则a，b的值分别是( )A.a=2，b=3B.a=－2，b=－3C.a=－2，b=3D.a=2，b=－36.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.727.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2＋15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x＋19B.2x﹣19C.2x＋15D.2x﹣158.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题9.多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x＋1的公因式是.10.若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是(写出一个即可).11.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.12.一个长方形的面积为a3﹣2ab+a，宽为a，则长方形的长为．13.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a+b= ________14.观察下列式：(x2﹣1)÷(x﹣1)=x+1；(x3﹣1)÷(x﹣1)=x2+x+1；(x4﹣1)÷(x﹣1)=x3+x2+x+1；(x5﹣1)÷(x﹣1)=x4+x3+x2+x+1．①(x7﹣1)÷(x﹣1)= ；②根据①的结果，则1+2+22+23+24+25+26+27= ．三、解答题15.因式分解：(a+4)(a﹣4)+3(a+2)16.因式分解：(p－4)(p＋1)＋3p.17.因式分解：6xy2－9x2y－y3；18.因式分解：m4﹣2m2+1.19.若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x﹣2)，试求a，b的值．20.阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3)；(2)x2﹣4x﹣5=x2+(1﹣5)x+1×(﹣5)=(x+1)(x﹣5)．请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．21.在形如a b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2，根据以上信息回答下列问题：(1)计算：log381= ，log33= ，log636= ，logx16=4，则x= .(2)设a x=M，a y=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想loga MN和loga的结果，并证明.(3)计算：①log2(2×4×8×16×32×64)；②log3；③log93+log927.22.若z＝3x(3y﹣x)﹣(4x﹣3y)(x＋3y).(1)若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；(2)若y＝x＋1，求z的最小值.参考答案1.C2.B3.C.4.D.5.B6.A7.A8.C9.答案为：x﹣110.答案为：﹣111.答案为：2m＋312.答案为：a2﹣2b+1．13.答案为：15.14.答案为：①x6+x5+x4+x3+x2+x+1；② 28﹣1．15.解：原式=a2﹣16+3a+6=a2+3a﹣10=(a﹣2)(a+5).16.解：原式=(p＋2)(p－2)．17.解：原式=－y(3x－y)2.18.解：原式=(m+1)2(m﹣1)2.19.解：由题意，得x2+ax+b=(x+1)(x﹣2)．而(x+1)(x﹣2)=x2﹣x﹣2，所以x2+ax+b=x2﹣x﹣2．比较两边系数，得a=﹣1，b=﹣2．20.解：x2﹣7x﹣18=x2+(﹣9+2)x+(﹣9)×2=(x﹣9)(x+2)．21.解：(1)log381=log334=4，log33=1，log636=log662=2，logx16=4，则x=2；(2)loga MN=logaM+logaN；loga=logaM﹣logaN；证明：loga MN=logaa x•a y=logaa x+y=x+y；logaM+logaN=x+y，则loga MN=logaM+logaN；loga =loga=logaa x﹣y=x﹣y；logaM﹣logaN=x﹣y，则loga=logaM﹣logaN；(3)①原式=log22+log24+log28+log216+log232+log264=1+2+3+4+5+6=21；②原式=log3243﹣log381=5﹣4=1；③原式=log93×27=log981=2.22.解：(1)z＝3x(3y﹣x)﹣(4x﹣3y)(x＋3y) ＝9xy﹣3x2﹣(4x2＋9xy﹣9y2)＝9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy＋9y2＝﹣7x2＋9y2，∵x是3的倍数，∴z能被9整除.(2)当y＝x＋1时，则z＝﹣7x2＋9(x＋1)2＝2x2＋18x＋9＝2(x＋92)2﹣632，∵2(x＋92)2≥0，∴z的最小值是﹣632.。
《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案
整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。
专题05 因式分解(学生版)
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题05 因式分解考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.43姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023春•鼓楼区校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2．（2分）（2022春•赣榆区期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+1＝x（x+）D．a2b+ab2＝ab（a+b）3．（2分）（2021春•沭阳县期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2C．ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1 D．8x3y2＝2x3•4y24．（2分）（2023秋•平山县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2D．x2+1＝x（x+）5．（2分）（2023春•东台市月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（x+3）2＝x2+6x+9 B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）C．3xy2＝3x•y•y D．x2+2x+2＝x（x+2）+26．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣57．（2分）（2022春•高新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20238．（2分）（2022春•江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．20199．（2分）（2020春•高邮市期末）利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（）A．99×（69+32）＝99×101＝9999B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝19810．（2分）（2023秋•海门市校级月考）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15 D．16评卷人得分二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．12．（2分）（2023春•盐都区期中）4a2b2c，6ab3的公因式为．13．（2分）（2023春•姜堰区期末）如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是．14．（2分）（2023春•姜堰区期末）已知a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2b+ab2的值是．15．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝．16．（2分）（2023春•高新区期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝．17．（2分）（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．18．（2分）（2022春•海州区校级期末）若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值．19．（2分）（2023春•梁溪区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．（2分）（2023春•鼓楼区校级月考）n为自然数，若9n2+5n﹣26为两个连续自然数之积，则n的值是．20．评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•秦淮区校级月考）分解因式（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．22．（6分）（2023春•宿豫区期末）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2023、5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；（3）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．当G（M）是整数，且P（M）＝3时，求出所有满足条件的M．23．（8分）（2023春•新吴区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，请你画出示意图，并根据该图写出对应的乘法公式．24．（8分）（2023春•泗洪县期中）小明同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，分别标上记号．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个拼图的面积关系写出一个恒等式：；当他拼成如图③所示的一个大长方形时，其长为（a+2b），宽为（a+b），仔细观察图形，可以完成因式分解：a2+3ab+2b2＝．（2）请你利用1张1号纸片，6张2号纸片和5张3号纸片，拼出一个长方形，在下面虚线区域画出图形并仿图③标出边长．（3）根据所画的图形，写出一个恒等式：．25．（8分）（2023春•鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．26．（8分）（2023春•江都区期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？27．（8分）（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．28．（8分）（2022春•高新区月考）【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M．【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x*1＝±4x；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方，∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，。
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7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()()()()()()解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()()()()()[()]()()()2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212()()()()()()()()解二：将常数-4拆成--13，则有原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412()()()()()()()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：()()x x x 2241021100--++=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 223710027231005145610022设y x x =-25，则原式无论取何值都有的值一定是非负数=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 14610081644041021100222224. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()()()()A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333322333223333332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨：例1.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2证明： a b c ab bc 222166100--++=∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b ca b c a b c a b c a c b2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：x x x x +=+=12133，则__________ 解：x xx x x x 3321111+=+-+()()=++--=⨯=()[()]x x x x11212122说明：利用x xx x 222112+=+-()等式化繁为易。
题型展示：1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。
解：100)4)(3)(7(2----x x x=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100585165407341002222222说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。
一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。
解：a a a a 22221++++()()=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 22222222221211()()()()∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算。
【实战模拟】 1. 分解因式：（）（）131083108233315543222x x x x x a a a a ---+++-++-()()（）（）323352476223x xy y x y x x --+-+-+2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。
3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。
4. 求证：n n 35+是6的倍数。
（其中n 为整数）5. 已知：a 、b 、c 是非零实数，且a b c a b c b c a c a b22211111113++=+++++=-，()()()，求a+b+c的值。
6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。
【试题答案】1. （1）解：)8103()8103(223-----=x x x x x 原式=---=-++-+()()()()()()x x x x x x x x 3221310811432（2）解：原式=+-++-[()][()]a a a a 2233315=+-+-=+-++=+-++()()()()()()()()a a a a a a a a a a a a 22222323834324112（3）解：原式=-++-+()()x y x y x y 3352 =-+++()()x y x y 312x-3y 1x+y 2（4）解：原式=---767633x x x=---=---=+---++=-+---=-+-=-+-776671617116111776661613233232222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()()()()()()2. 解： x y x y xy 2222+=+-()=+=36238∴+=+-+=⨯+=x y x y x xy y 33226381234()()()3. 解： x x y xy y 32230+--=∴-+-=+-=∴-=+=∴==∴()()()()x y xy x y x y x y x y x y x y cm 332200014749即又面积为4. 证明：n n 35+=-+=+-+n n n n n n n36116()()当为整数时，是的倍数。
是的倍数n n n n n n ()()-+∴+1165635. 解： abc ≠0，用abc 乘以第二个条件等式的两边，得：11)(10)(2)()(000))((0)()()(322222222222222±=++∴=++∴=++=++=++-++=++=++=++=++++∴=++++++++-=+++++c b a c b a c b a ac bc ab c b a c b a ac bc ab ac bc ab c b a ac bc ab c b a abc abc abc c a ac c b bc b a ab abcac bc c b ab b a c a 则若或则即说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。
6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。
解： ()a b c a b 2222224+--=+-++--=+---=+++--+--()()[()][()]()()()()a b c ab a b c ab a b c a b c a b c a b c a b c a b c 222222222222a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b a b c a b ,,()为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知，，，++>+->-+>--<∴+--<∴+-<00004042222222222。