运筹学-第2章运输问题
运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
运筹学excel运输问题实验报告(一)
运筹学excel运输问题实验报告(一)运筹学Excel运输问题实验报告实验目的通过运用Excel软件解决运输问题，加深对运输问题的理解和应用。
实验内容本实验以四个工厂向四个销售点的运输为例，运用Excel软件求解运输问题，主要步骤如下：1.构建运输问题表格，包括工厂、销售点、单位运输成本、每个工厂的供应量、每个销售点的需求量等内容。
2.使用Excel软件的线性规划求解工具求解该运输问题，确定每条路径上的运输量和总运输成本。
3.对结果进行分析和解释，得出优化方案。
实验步骤1.构建运输问题表格工厂/销售点 A B C D 供应量1 4元/吨8元/吨10元/吨11元/吨35吨2 3元/吨7元/吨9元/吨10元/吨50吨3 5元/吨6元/吨11元/吨8元/吨25吨4 8元/吨7元/吨6元/吨9元/吨30吨需求量45吨35吨25吨40吨2.使用Excel软件的线性规划求解工具求解该运输问题在Excel软件中选择solver，按照下列步骤完成求解：1.添加目标函数：Total Cost=4AB+8AC+10AD+11AE+3BA+7BC+9BD+10BE+5CA+6CB+11CD+8CE+8DA+7DB+6DC+9DE2.添加约束条件：•A供应量: A1+A2+A3+A4=35•B供应量: B1+B2+B3+B4=50•C供应量: C1+C2+C3+C4=25•D供应量: D1+D2+D3+D4=30•A销售量: A1+B1+C1+D1=45•B销售量: A2+B2+C2+D2=35•C销售量: A3+B3+C3+D3=25•D销售量: A4+B4+C4+D4=403.求解结果工厂/销售点 A B C D 供应量1 10吨25吨0吨0吨35吨2 0吨10吨35吨5吨50吨3 0吨0吨15吨10吨25吨4 35吨0吨0吨0吨30吨需求量45吨35吨25吨40吨单位运输成本4元/吨8元/吨10元/吨11元/吨总运输成本2785元1480元875元550元4.结果分析和解释通过求解结果可知，工厂1最终向A销售10吨、向B销售25吨；工厂2最终向B销售10吨、向C销售35吨、向D销售5吨；工厂3最终向C销售15吨、向D销售10吨；工厂4最终向A销售35吨。
运筹学 运输问题1汇总
4 运输问题1、运输问题表上作业法的基本步骤。
答：表上作业法的基本步骤可参照单纯形法归纳如下：（1）找出初始基可行解：即要在阶产销平衡表上给出“”个数字格（基变量）；（2）求各非基变量（空格）的检验数，判断当前的基可行解是否是最优解，如已得到最优解，则停止计算，否则转到下一步；(3确定入基变量，若，那么选取为入基变量；(4确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；（5）在表上用闭合回路法调整运输方案；（6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。
2、“最小元素法”和“伏格尔”法的基本思想及基本操作。
答：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止。
伏格尔法把费用增量定义为给定行或列次小元素与最小元素的差（如果存在两个或两个以上的最小元素费用增量定义为零）。
最大差对应的行或列中的最小元素确定了产品的供应关系，即优先避免最大的费用增量发生。
当产地或销地中的一方在数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤，即可得到一个初始的基可行解。
3、闭合回路的构成以及利用闭合回路法求检验数的基本操作。
答：判断基可行解的最优性，需计算空格（非基变量）的检验数。
闭合回路法即通过闭合回路求空格检验数的方法。
从给定的初始方案的任一空格出发寻找闭合回路，闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运价，单位运价前的“+”、“-”号表示运量的调整方向。
空格处单位运量调整所引起的运费增量就是空格的检验数。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空格的检验数。
4、利用位势法求检验数以及利用闭合回路进行方案调整的基本操作。
答：位势法求解非基变量检验数的基本步骤：第一步：把方案表中基变量格填入其相应的运价并令；让每一个基变量都有，可求得所有的位势；第二步：利用计算各非基变量的检验数方案的优化基本步骤：在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学运输问题案例
运筹学运输问题案例
以下是一个简单的运筹学运输问题的案例：
假设有一个公司需要将产品从三个工厂运输到四个销售点。
工厂和销售点的位置以及它们之间的运输成本如下：
工厂A到销售点1：10元
工厂A到销售点2：20元
工厂A到销售点3：30元
工厂A到销售点4：40元
工厂B到销售点1：20元
工厂B到销售点2：30元
工厂B到销售点3：10元
工厂B到销售点4：40元
工厂C到销售点1：30元
工厂C到销售点2：10元
工厂C到销售点3：20元
工厂C到销售点4：20元
公司希望找到一种运输策略，使得总运输成本最低。
可以使用运筹学中的运输模型来解决这个问题。
首先，我们需要确定每个工厂向每个销售点运输的货物数量。
为了最小化总成本，可以使用线性规划来求解这个问题。
在Excel或其他电子表格软件中，可以使用“Solver”插件来找到最优解。
根据最优解，我们可以计算出最低总运输成本。
例如，如果最优解是工厂A 向销售点1运输3个单位，向销售点2运输2个单位，向销售点3运输1
个单位，向销售点4运输0个单位；工厂B向销售点1运输2个单位，向
销售点2运输3个单位，向销售点3运输0个单位，向销售点4运输1个
单位；工厂C向销售点1运输1个单位，向销售点2运输0个单位，向销
售点3运输3个单位，向销售点4运输2个单位，那么最低总运输成本为150元。
运筹学中的运输问题例题
在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。
以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。
每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。
给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。
供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。
在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。
解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。
通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
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To
From
Chicago
St. Louis
Cincinnati Supply
6
8
10
Kansas City
150
150
7
11
Omaha
175
25 Des Moines
4
100
5
11
175
12 150
275
Demand
200
100
300
2020/9/27
特点：数字格（行数+列数-1），空格（其余）
11
优先满足运输表中西北角(即左上角)上空格的供销需求.
To From Kansas City Omaha Des Moines
Chicago 6
150
7 50
4
St. Louis Cincinnati
8
10
11
11
100
25
5 275 12
Supply 150 175 275
Demand
200
100
300
m+n-1。 证明(略) 原因是: 虽有m+n个约束条件，但由于总产量=总销量，导致只有
m+n-1个是独立的。因此有一个是多余的。 注：上述定理说明：解中非零变量的个数不超过m+n-1. 因此：非基变量的个数为：mn-(m+n-1) 定理2 运输问题一定有最优解。 原因：有可行解xij=aibj/Q. 且有下界.
运往三个货物需求地Chicago、St. Louis、Cincinnati，各供应地的 供应量、各需求地的需求量和各供应地运往各需求地的每单位物品的 运费如表。问如何安排运输，可是总费用最小？
To From Kansas City Omaha Des Moines
Chicago 6 7 4
St. Louis 8
2.2 运输问题的求解--表上作业法
产销平衡的运输问题求解
针对运输问题的特点，设计了一个方法--表上作业法。它是一种 求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。
步骤 第一步 第二步 第三步
描述
求初始基行可行解（初始调运方案） 表上给出m+n-1个数字格
求检验数并判断是否得到最优解当非基变 量的检验数σij 全都非负时得到最优解，若 存在检验数σij <0，说明还没有达到最优， 转第三步。计算表中空格检验数 调整运量，即换基，选一个变量出基，对 原运量进行调整得到新的基可行解，转入 第二步
方法 最小元素法、 西北角法、元 素差额法、
闭回路法和位 势法
表上调整（闭 回路调整）
2020/9/27
7
产销平衡的运输问题
mn
min Z
cij xij
i1 j1
s.t.
n
xij ai
j1
m
xij
bj
i1
xij
0
m ai
n
bj
i 1
j 1
2020/9/27
8
求初始基本可行解---西北角法
x11 x21
x12 x22
x13 x23
150 175
x31
x32
x33
275
x11 x21 x31 200
x12
x22
x32
100
x13 x23 x33 300
xij
0.(i
1,2,3;
j
1,2,3)
2020/9/27
3
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量
8
10
25
125
7
11
11
175
200 4 75 5
12
200
100
300
Supply 150 175 275 600
特点：数字格（行数+列数-1），空格（其余）
2020/9/27
10
求初始基本可行解----伏格尔法
对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运
价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总 运费。避免最小元素法有可能出现“顾此失彼”的坏事情。
第二章 运输问题
(Transportation Problem , TP)
运输问题的数学模型(单一物品的调 度运输问题。)
运输问题的求解 产销平衡的运输问题求解 产销不平衡的运输问题求解
应用举例 软件应用
2020/9/27
1
2.1 运输问题的数学模型
例1 现需将三个供应地Kansas City、Omaha、Des Moines的物品
B1 B2 B3 B4
产地
A1 A2 A3
×
3 11 13 9
×
74
3 5 10 2×8 10× 5
销量 3 6 5 6
列差额 2 5
3
产量
7 4 9
行差 额
7
7 1
第1步 求初始方案-方法3: 沃格尔(Vogel)法
单位 销地
运价
B1 B2 B3 B4
s.t.
供应地 约束
等
n
xij ai (i 1,m)
j1
式
m
xij
bj ( j 1,, n)
约 束
i1
xij
0(i
1,m,
j
1,, n)
m
n
ai bj
Hale Waihona Puke i 1j 1总产量=总销量
供需平衡
显然，运输问 题是一类特殊 的线性规划问 题
需求 地约 束
2020/9/27
5
关于运输问题的基本结论： 定理1: 设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为
第1步 求初始方案-方法3: 沃格尔(Vogel)法
单位 销地
运价
B1 B2 B3 B4
产地
A1 3 A2 1 A3 7
11 3 5 10
9 2×8 4 10× 5
销量 3 6 5 6
列差额 2
5
1
3
产量
7 4 9
行差额
7 1 1
第1步 求初始方案-方法3: 沃格尔(Vogel)法
单位 销地
运价
销地 产地
B1
B2
…
A1
x11 c11 x12 c12 …
A2
x21 c21 x22 c22 …
…
…
…
…
Am
销量
xm1 cm1 xm2 cm2 …
b1 b2 …
Bn 产量
x1n c1n a1 x2n c2n a2
…
…
xmn cmn am
bn
模型一般形式：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
600
特点：数字格（行数+列数-1），空格（其余）
2020/9/27
9
求初始基本可行解---最小元素法
就近供应，即从单位运价最小的地方开始供应（调运），然后次小， 直到最后供完为止。
To From
Kansas City
Omaha
Des Moines Demand
Chicago 6
St. Louis Cincinnati
Cincinnati 10
11
11
5
12
Supply 150 175 275
Demand
200
100
300
600
2020/9/27
2
设 xij (i 1,2,3; j 1,2,3) ，从供应地调往需求地的运输量
min f 6x11 8x12 10x13 7x21 11x22 11x23 4x31 5x32 12x33 s.t.