人教中考数学反比例函数-经典压轴题附答案
反比例函数压轴题精选(含答案)
2009-2013年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。
(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。
经典例题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6=),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y xBy x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．∴ 反比例函数的表达式为xy 10=． ∵ 点C ﹙5，n∴ 2510==n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ，∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，．点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，．过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x =上，当8y =时，1x=．∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·．解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．图2图3图4例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43，即k=12。
中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习附答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
中考数学反比例函数-经典压轴题附详细答案
中考数学反比例函数-经典压轴题附详细答案一、反比例函数1．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．【答案】（1）解：如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，∵OC=0D=1，∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设小正方形的边长为a，易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．解得a= ，所以小正方形边长为，∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，易知△ADE≌△BAO≌△CBF此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，∴OF=BF+OB=2，∴C点坐标为（2﹣m，2），∴2m=2（2﹣m），解得m=1．反比例函数的解析式为y= ．（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣；⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x 轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，∴2×3n=（5n+2）×1=m，∴n=2，m=12，∴A（2，6），B（12，1），∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，∴，解得，∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，解得a=7±2 ．（3）（0，6）或（0，8）【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m﹣7|．∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．∴|m﹣7|=1．∴m1=6，m2=8．∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．故答案为（0，6）或（0，8）．【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.2．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．4．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.（1）当m＝2时，求n的值；（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积.【答案】（1）解：∵点A（m，n）在双曲线y＝上，∴mn＝6，∵m＝2，∴n＝3；（2）解：由（1）知，mn＝6，∵m＝3，∴n＝2，∴A（3，2），∵OD：OE＝1：2，设OD＝a，则OE＝2a，∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，∴D（a，0），E（0，﹣2a），∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，∴6﹣2a＝2，∴a＝2，∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，∵双曲线的解析式为y＝②，联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2，﹣3）；（3）解：∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），∴E（0，﹣n），D（ m，0），∴直线DE的解析式为y＝ x﹣n，∵mn＝6，∴m＝，∴y＝ x﹣n③，∵双曲线的解析式为y＝④，联立③④解得，∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，∴P（﹣2m，﹣2n），∵A（m，n），∴直线AB的解析式为y＝x⑤.联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或∴B（﹣m，﹣n），∵E（0，﹣n），∴BE∥x轴，∴S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝ mn＝3.【解析】【分析】（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设OD＝a，则OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（ m，0），求得直线DE 的解析式为y＝ x﹣n，又mn＝6，得y＝ x﹣n，与y＝联立得，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y＝ x与双曲线联立解得B （﹣m，﹣n），再根据S△PBE＝ BE×|y E﹣y P|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.5．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得 =﹣，∴直线AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析
中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
中考数学与反比例函数有关的压轴题及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，∴k= ×1= ，∴反比例函数表达式为y= .（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC= ，AC=1，∵OA⊥OB，OC⊥AB，∴∠A=∠COB，∴tan∠A= =tan∠COB= ，∴OC2=AC•BC，即BC=3，∴AB=4，∴S△AOB= × ×4=2 ，∴S△AOP= S△AOB= ，设点P的坐标为（m，0），∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，∵P是x轴的负半轴上的点，∴m=﹣2 ，∴点P的坐标为（﹣2 ，0）（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，∴∠COB=60°，∴∠ABO=30°，∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBD=60°，∴∠ABD=90°，∴BD∥x轴，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，∴E（﹣，﹣1），∵﹣ ×（﹣1）= ，∴点E在该反比例函数图象上【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC•BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，∴ = ，且OB=4，∴OA=2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴ = ，即 = ，解得CE=3，∴C（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣（2）解：设D（x，﹣），∵D在第四象限，∴DF=x，OF= ，∴S△DFO= DF•OF= x× =3，由（1）可知OA=2，∴AF=x+ ，∴S△BAF= AF•OB= （x+ ）×4=2（x+ ），∵S△BAF=4S△DFO，∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，∵D在第四象限，∴x=3﹣不合题意，舍去，∴D（3+ ，3﹣）（3）解：∵D在第四象限，∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或（舍去），∴D（6，﹣1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．6．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,①求证：△△；②求DF的长.【答案】（1）解：连结BD（2）解：①②【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.7．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.8．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，∴∠ADC=∠AEB=90°∵二次函数与y轴交于点C，点C坐标为（0，2）∵点A坐标（3，3）∴DA=AE=3∵∠DAC+∠CAE=90°∠EAB+∠CAE=90°∴∠DAC=∠EAB∴△ACD≌△ABE∴EB=CD=3-2=1OB=3+1=4∴点B的坐标为（4，0）将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中得：解得：二次函数的解析式为：（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：m1=1；m2= （舍）∴m=1∴点Q坐标为(1,4)由勾股定理得：BC=2设圆的圆心为N∵圆经过点O，且∠COB=90°∴BC是圆N的直径，∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）由勾股定理得，QN=半径r= ，则≤QM≤（3）解：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为综上所述，旋转中心P的坐标为或【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q （m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P 的坐标.9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.10．综合与探究如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，∴，解得：；∴ .（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵，解得：，∴A( )，B( )，过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，∴AC= ，OC= ，在RtΔAOC中OA= ，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( )，AA′= ，∵B( )，∴A′B=2-(- )= ，又∵A( )，B( )，∴AD= ，BD= ，在RtΔABD中AB= ，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．①当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P为：；②当AB为对角线时，有，解得：，∴点P为：；③当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P为：；综合上述， , ,【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．11．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，与交于，延长线与交于点，连接 .（1）求证： .（2）求证：（3）若，求的值.【答案】（1）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，（3）解：由(1)得，，，∴，由(2) ，∴，∵，∴，在中，，∴【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）∴y=-x2-6x-5．（2）解：如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴ =∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）解：如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x=2．∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2-x1＜x2-2，∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．13．小明利用函数与不等式的关系，对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：的范围的符号+﹣由表格可知不等式的解集为．②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：的范围的符号+﹣+由表格可知不等式的解集为________．③对于不等式，请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象；观察函数的图象补全下面的表格：的范围的符号+﹣________________由表格可知不等式的解集为________．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 ( 为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为________．②不等式的解集为________．【答案】（1）或；+；-；或（2）或或；或且【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或，故答案为：或；③当时，，当时，，由表格可知不等式的解集为或，故答案为：+，﹣，或；(2)①不等式的解集为或或，故答案为：或或；②不等式的解集为或且，故答案为：或且【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性，借此来判断相应的不等式的解集.（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．14．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．15．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.【答案】（1）15（2）解：如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B+∠BAE=90°，∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE= ，∴BE=5﹣ = .（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，∴A、B、F共线，∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍去），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=90°，解得，∠B=15°；【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；。
中考数学压轴题专项训练反比例函数含解析
2021年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3)，B（﹣3，a）,(1)求一次函数和反比例函数解析式;（2)连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在,直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解:（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B(﹣3,a）在反比例函数y1＝的图象上,∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1,∴B（﹣3，﹣1），∵点A(1，3），B(﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴,∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2)如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝,∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0）,②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上,∵A（1，3），∴P（2，0)，即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时,点P的坐标为(﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B,与图象G交于点C．(1)求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A,C 之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0)时，直接写出区域W内的整点个数;②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象,求k的取值范围．解:(1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，(2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1,解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示,区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过(6，1)时，1＝6k﹣1，解得k＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1,解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0）,A（6，0），B（4，3）,C（0,3)．动点P从点O 出发,以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC 向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值;（3)连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k 的值是否变化？若不变化,请求出k的值；若变化,请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t,0），点Q的坐标为（4﹣t，3）,∴PE＝3,EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|,∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+｜4﹣t|2＝t2﹣20t+25,∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为:．(2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．(3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴,∴OD＝3．∵CB∥OA,∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，,，∴，，∴点D的坐标为,∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8)，B(n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积;（3）若P（x1，y1），Q（x2,y2)是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时,y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1)将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3(m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3,2）,反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n,﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6,解得n＝1,∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1,﹣6）代入y＝kx+b得,解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2)设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6,＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图,平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1)求反比例函数的表达式与点D的坐标；(2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：(1)由题意A(1,0)，B(0，﹣1）,∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA,∴AE＝3,∵EC⊥x轴,∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°,∴EC＝AE＝3，∴C（4,3)，∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3,﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴｜a﹣1﹣｜＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±(舍弃），∴M（6，5）或(﹣2，﹣3），观察图象可知:当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD 的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝(x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P 点的坐标；（3）在（2）的条件下,以点C、D、P为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点M的坐标．解：（1)设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为(﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2,得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4,∴点D的坐标为(2,4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4,2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8,∴反比例函数解析式为y＝．（2)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时△PCD的周长取最小值,如图2所示．∵点D的坐标为（2,4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C(4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得:，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0,解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（,0)．（3)设点M的坐标为（x,y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，,解得:，∴点M2的坐标为(，6）；③当CP为对角线时,,解得：,∴点M3的坐标为(，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（,2），(，6)或(，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n)，B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；(2)若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M 的坐标;（3)根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B(m，2）∴n＝﹣2﹣4,2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A(1，﹣6）把A(1,﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N(﹣2，0），设M(m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16,∴｜m+2｜×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；(3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图,在平面直角坐标系中，点A（3,5）与点C关于原点O 对称，分别过点A、C作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D,连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0)．(1）求直线AD对应的函数关系式;(2)求k的值；(3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1)设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2,0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3,5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3,﹣5)，∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3,a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3,﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×(﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式;(2）已知点C（0,8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝,OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5),把B（0,﹣5），A（4,3)代入y＝kx+b得:∴y＝2x﹣5；(2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上,∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC,∴CD＝BD，∴x2+(8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝,∴点M的坐标为（,）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0)的第一象限内的图象上，OA ＝3，OC＝5,动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；(2)连接PO、PA，求PO+PA的最小值;（3)若点Q是平面内一点,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形,则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知:点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为(5，3)．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y ＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA 取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0,6）．∵点A的坐标为（3，0)，∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴,AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为(m，3),分两种情况考虑,如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即(m﹣3)2+(3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1,m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1,3），点P2的坐标为（7，3)．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴,∴点Q1的坐标为（﹣1,8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3)2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+,同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2）,点Q4的坐标为（3+,﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q 的坐标为（﹣1，8），（7，8），(3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1)若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3)在(2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD,求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝,y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝,OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝,∴+＝10,∴x1＝1,y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限,∴点C的坐标为（1,3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C(1，3)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限,∴点D的坐标为（3，1)．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1,3）,D（3,1）代入y＝kx+b，得：，解得:，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x 轴、y轴上,D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB,BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为(4，2）①则OA的长是8，AB的长是4；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由;③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．(2）若点D的坐标为(m,n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1)①∵点D的坐标为（4,2),∴点B的坐标为（8，4)，∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下:∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2)，∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8,4)，BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4）,点E的坐标为（8，1），∴BF＝6,BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P,此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8,﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b(a≠0），将D（4,2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b,得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为(，0)时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m,n）,∴k＝mn，∴点F的坐标为（m,2n)，点E的坐标为（2m，n)，∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝(m ≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1,n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式;（2)结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解:（1)∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上,∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3),把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3)代入一次函数y＝kx+b中，得,解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时,x的取值范围是﹣3＜x＜0或x ＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A,点A的坐标为(8，a），AB⊥x轴,垂足为点B．(1）求反比例函数的解析式；（2)点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；(3）点D为射线OA上一点,在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32,∴反比例函数的解析式为y＝；（2)设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4,∠ABP＝90°,∴b2+42＝（b+2）2，解得,b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5;（3）设点D的坐标为（d，d)，∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5,0），S△ODP＝S△ABO,∴，解得,d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（,）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是（1,2），点B的坐标是（3，4)，过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得,线段AB＝＝．得出结论：（1)若A点的坐标为（x1，y1）,B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离;应用结论：（2)若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时,点P的坐标．（3)如图（2)若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A(1，2)点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0)上的点D处，试求A、D两点间的距离．解:（1）∵A点的坐标为（x1，y1),B点的坐标为(x2，y2），∴根据两点间的距离公式得,AB＝；(2）设点P（0，a）,∵A的坐标是(1，2），点B的坐标是（3,4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝,∴a＝5,∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A(1,2)点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝(x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2,∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2),∴AD＝4或．。
中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案
则
，
解得
．
故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
又∵ 点 F 在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴ k=12，
∴ 该函数的解析式为 y= （x＞0）
（2）解：由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，4），F（6，
∴ 当 k=12 时，S 有最大值．S 最大=3
【解析】【分析】）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双 曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点 B（6，m），与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点．
（1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1
， 是四边
形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象都经过点 A（3，3），
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．3．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）解：令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和进行比较得到y1＜y2，得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到，由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.5．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .6．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.7．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.8．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），∴k=4×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16．由直线y=kx+b过点A，B得：，解得，，∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；②若OP∥AB，OA∥BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；③若OB∥AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．9．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，∴C ，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得： .故点坐标为：或 .【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。