收敛级数的性质
数列与级数的极限与收敛
数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。
了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。
本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。
一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。
如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。
数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。
记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。
例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。
2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。
记作lim(a_n) = ±∞。
例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。
二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。
收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。
1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。
收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。
例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。
2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。
发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。
例如，数列n是一个发散数列。
三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。
如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。
级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。
记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。
例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。
2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。
发散级数的部分和没有明确的趋近性。
高等数学：一致收敛
2n
2
xe
n2 x 2
2(n 1) xe
2
( n 1) 2 x 2
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
由于
S ( x) S ( x0 )
x x0
[Sn ( x) rn ( x)] [Sn ( x0 ) rn ( x0 )] Sn ( x) Sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
n 1
un ( x) 一致收敛于和函数S(x)
部分和序列 S n ( x) 一致收敛于S(x)
余项 rn ( x) 一致收敛于 0
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几何解释 : (如图)
0, N Z , 当n > N 时, S ( x) S n ( x) 表示 曲线 y S n ( x) 总位于曲线 y S ( x) 与 y S ( x)
之间.
y S ( x)
y S ( x)
y S ( x)
y S n ( x)
I
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x
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例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x n)( x n 1)
在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: (k 1,2,) ( x k )( x k 1) x k x k 1 1 1 1 1 S n ( x) ( )( ) x 1 x 2 x2 x3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
13第十三讲绝对收敛级数的性质-级数的乘积
13第⼗三讲绝对收敛级数的性质-级数的乘积数学分析第⼗⼆章数项级数级数的乘积第⼗三讲数学分析第⼗⼆章数项级数由此可以⽴刻推⼴到收敛级数∞=∑1n n u 与有限项和的乘积,即12111(),mm n k n n n k a a a u a u ∞∞===+++=∑∑∑ 那么⽆穷级数之间的乘积是否也有上述性质?12,(11)n n u u u u A =++++=∑ 12.(12)nn vv v v B =++++=∑ 将级数(11)与(12)中每⼀项所有可能的乘积列成下表设有收敛级数2. 级数的乘积=∑∑,n n a u au ∑n u 由定理12.2知道, 若为收敛级数, a 为常数, 则数学分析第⼗⼆章数项级数111213121222323132333123(13)n n n n n n n n u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u vi j u v 这些乘积可以按各种⽅法排成不同的级数, 的有按正⽅形顺序或按对⾓线顺序.按正⽅形顺序依11u v +1323333231(14) u v u v u v u v u v +++++ 常⽤次相加后,有122221u v u v u v +++数学分析第⼗⼆章数项级数111221132231.(15)u v u v u v u v u v u v ++++++按对⾓线顺序依次相加就是111213121222323132333123(13)n n n n n n n n u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v数学分析第⼗⼆章数项级数定理12.14（柯西定理）i j u v 则对(13)中且其和等于AB.∑∑都绝对收敛，若级数n n v u ,∑n w 按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛,211,11n r r r r r=+++++<-例2 等⽐级数∑2()n r 将按(15)的顺序排列, 则得到2222111()()(),(1)n nn r r r r r r r r +=++++++++++-2123(1).nr r n r =++++++ 是绝对收敛的.注级数乘积在幂级数(第⼗四章)中有重要应⽤.。
级数的收敛-定义说明解析
级数的收敛-概述说明以及解释1.引言1.1 概述级数是数学中非常重要的概念之一。
它是无穷个数相加的结果。
对于一个给定的级数，我们关心的是它是否收敛，即是否存在一个有限的和。
若级数的和为有限值，则称其为收敛级数；若级数的和为无穷大或无穷小，则称其为发散级数。
级数的研究与应用广泛存在于数学的各个领域，如数学分析、物理学、工程学等。
在实际问题中，级数的收敛性质有助于我们对数值计算的理解和掌握。
同时，级数的收敛性也与解析函数、无穷级数、数列极限等数学概念存在密切的联系，因此具有很高的研究价值。
本文主要围绕级数的收敛展开讨论，旨在介绍级数的基本概念、性质以及判定方法。
首先，我们将介绍级数的定义和基本性质，包括级数的收敛和发散的判定条件以及级数的线性运算法则。
接着，我们将详细介绍常用的判定级数收敛的方法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，我们将探讨级数在实际问题中的应用，例如级数的近似计算和级数在物理问题中的应用等。
通过本文的学习，读者将能够掌握级数收敛的基本概念和判定方法，进一步理解数学中的级数概念，并能够应用所学知识解决相关问题。
同时，我们也将思考级数收敛的一些深层次问题，并展望级数收敛领域的未来研究方向。
总之，级数的收敛是数学中的重要概念之一，具有广泛的应用价值和研究意义。
本文将以系统而全面的方式介绍级数的收敛性质和判定方法，希望能够为读者提供一定的参考和帮助。
1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引子：对级数的收敛进行简要说明2. 正文：详细介绍级数的定义和基本性质、收敛级数的判定方法以及收敛级数的应用3. 结论：总结级数的收敛的重要性，对于级数收敛的思考，以及展望级数收敛的未来研究方向在正文部分中，我们将会详细讨论级数的定义和基本性质，包括级数的概念、无穷级数的收敛性和发散性判定等内容。
然后，我们会介绍收敛级数的判定方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法等。
收敛性_精品文档
收敛性概述：在数学和计算机科学中，收敛性是指序列、级数、函数或算法等逐渐趋近于某个值或状态的性质。
它是数学分析和数值计算中的重要概念，具有广泛的应用。
序列的收敛性：序列是指一系列按特定顺序排列的数。
收敛性可以用来描述序列是否趋向于某个确定的值。
一个序列可以是收敛的，也可以是发散的。
如果序列的项逐渐趋近于某个值，我们称该序列是收敛的。
而如果序列的项不存在有限的极限值，我们称该序列是发散的。
级数的收敛性：级数是指无穷多个数按顺序相加得到的数列。
级数的收敛性描述了级数的和是否趋近于某个确定的值。
一个级数可以是收敛的，也可以是发散的。
如果级数的部分和逐渐趋近于某个值，我们称该级数是收敛的。
如果级数的部分和不存在有限的极限值，我们称该级数是发散的。
函数的收敛性：函数收敛性是指一个函数在某个点或者在整个定义域内趋近于某个值或状态。
函数的收敛性可以描述函数在连续性、导数性和积分性方面的趋势。
如果函数在某个点趋近于某个值，我们称该函数在该点是收敛的。
如果函数在整个定义域内趋近于某个值，我们称该函数是收敛的。
函数的收敛性在数学分析和数值计算中都有重要的应用。
算法的收敛性：在计算机科学中，算法的收敛性用来描述算法是否能够在有限步骤内达到预定的目标。
一个算法可以是收敛的，也可以是发散的。
如果一个算法在有限步骤内能够停止并生成正确的结果，我们称该算法是收敛的。
否则，称该算法是发散的。
算法的收敛性是算法分析和优化的重要指标之一。
应用：收敛性在数学和计算机科学中具有广泛的应用。
在数学分析中，收敛性是研究序列和级数性质的基础，它可以帮助我们了解数列和级数的趋势和极限。
在数值计算中，收敛性是评估数值算法有效性的重要标准，它可以帮助我们选择合适的数值算法，并确定算法的收敛速度。
在计算机科学中，收敛性是分析和优化算法的基础，它可以帮助我们设计高效的算法，提高计算机程序的执行效率。
总结：收敛性是数学和计算机科学中的一个重要概念，用来描述序列、级数、函数或算法等的趋势和极限。
03第三讲 收敛级数的性质与例子
数学分析第十二章数项级数收敛级数的性质(II)例子第三讲数学分析第十二章数项级数定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. ∑,.nuS 为收敛级数其和为∑n u 下面证明加证设括号后的级数111()k k n n k u u -∞+=++∑ 收敛, 11,,k k k n n v u u 则-+=++-∞+=++∑111()k k n n k uu 且其和也是.S 111,n v u u =++ 为此,记1221,n n v u u +=++11.kn ki i i i u v ===∑∑1k k v ，∞==∑数学分析第十二章数项级数注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是, 若为收敛级数∑n u 的部分和数列, {}n S 时也收敛.例如(11)(11)(11)0000,-+-++-+=+++= 收敛, 但级数1111-+-+却是发散的.则级数{}kkn v S ∑的部分和数列是,{}lim ,n n n S S S →∞=因收敛,{}k n S 故也收敛，lim ,k n k S S →∞=.k v S ∑即级数收敛,且它的和也等于{}.nS 它是的一个子列数学分析第十二章数项级数例6 判别下列级数的敛散性：111111212131314141-+-+-+-+-+-+解考虑加括号的级数111121213131⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭11,4141 ⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭其一般项112,111n u n n n =-=--+由于级数221n n ∞=-∑112n n∞==∑发散，从而原级数发散.数学分析第十二章数项级数*例7 证明级数1213n n n ∞=-∑收敛，并求其和.121,3nn k k k S =-=∑lim ,n n S →∞证令若能求出就能得到所要的结论. 13n n S S -111112121333n k k k k k -++=+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑11112133n k k k -+=+=+∑由于+--1213n n 1111212133n k n k k n -++=----∑111212133n nk k k k k k +==--=-∑∑数学分析第十二章数项级数11111221333n k n k n -++=-=+-∑12111121213333n k n k n --+=-=+⋅-∑12121,333n n n +-=--所以132121,2333n n n n S +-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭于是132121lim 1.2333n n n n n S +→∞-⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这样就证明了级数1213n n n ∞=-∑收敛, 并且其和为1.复习思考题数学分析第十二章数项级数,()1n nn n u vu v 讨论级数与之间性.收敛±∑∑∑的关系.,,2.n n n n u v u v ∑∑∑设级数均收敛问是否一定收敛.3.n k u v 若，均为正项级数且都发散，∑∑±∑∑(),,nn n n uv u v 是否一定发散？问。
数列与级数的收敛性及其数学推论
数列与级数的收敛性及其数学推论数列与级数是数学中重要的概念，通过研究它们的收敛性质可以得到许多重要的数学推论。
本文将依次介绍数列与级数的概念、收敛性以及与之相关的数学推论。
一、数列的概念和收敛性1. 数列的概念数列是指按照一定顺序排列的实数或复数的列表。
一般用an表示数列中第n项的数值。
例如，数列{1, 2, 3, 4, ...}可以表示为an=n，其中n为正整数。
2. 数列的收敛性数列的收敛性是指随着n的增大，数列的项逐渐接近某个固定的值。
如果数列的项无限接近于某个实数L，我们称该数列收敛，记作lim(n→∞)an=L。
如果数列的项无法无限接近于某个实数，我们称该数列发散。
二、级数的概念和收敛性1. 级数的概念级数是数列各项的和，常用符号∑表示。
级数的第n项和是数列前n项的和，表示为Sn = a1 + a2 + ... + an。
例如，级数1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 可以表示为∑(n=1 to ∞) 1/2^n。
2. 级数的收敛性级数的收敛性是指级数的部分和逐渐趋近于某个实数。
如果级数的部分和Sn无限接近于某个实数S，我们称该级数收敛，记作lim(n→∞) Sn=S。
如果级数的部分和无法无限接近于某个实数，我们称该级数发散。
三、数列与级数的数学推论1. 数列的极限唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限唯一。
也就是说，如果lim(n→∞)an=L1和lim(n→∞)an=L2，则L1=L2。
这个推论表明在数列收敛的情况下，数列的极限是唯一的。
2. 数列的有界性如果数列{an}收敛，那么它是有界的。
也就是说，存在一个正实数M，使得对于数列中的所有项an，都满足|an|≤M。
这个推论说明了收敛的数列不会无限增大或无限减小。
3. 收敛级数的部分和有界性如果级数∑an收敛，那么它的部分和Sn是有界的。
也就是说，存在一个正实数M，使得对于所有正整数n，都有|Sn| ≤ M。
这个推论说明了收敛级数的部分和总是有限的。
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∞
∞
，j = 1, 2,
）
组成的级数（按任意排法）均绝对收敛到 AB 。
证明：首先：将无穷级数按任意排法排列为： 则其部分和为： Cs =
∑a
k =1
∞
mk nk
b （ mk 和 nk 独立取遍自然数），
∑a
k =1
s
mk nk
b 。
要证该级数绝对收敛，考虑到：
∑a
k =1
s
mk nk
∑a
n =1
∞
n
收敛，由级数收敛
的四则运算法则，可以推出级数
∑ an+ 与 ∑ an− 均发散。
n =1 n =1
证毕 我们再回到级数的交换律的问题上来。级数和中，两项交换次序表示级数“更序”，下 面就来讨论一个级数“更序”以后得到的“更序级数”的性质：
5.1
收敛级数的性质
′ 是指： 定义： 级数 ∑ an 的更序级数 ∑ an
高等微积分讲义
例1. Leibniz 级数
∑
n =1
∞
( −1)
n
n −1
= ln 2 是条件收敛的，它不能重排。
解：
考虑上述级数的重排： 1 − 其部分和：
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − + 2 4 3 6 8 5 10 12
（一正两负）
S 3n = 1 −
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + + − − 2 4 3 6 8 2n − 1 4n − 2 4n 1 1 1 1 1 1 = − + − + + − 2 4 6 8 4n − 2 4 n 1⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ = ⎜1 − + − + + − ⎟ 2⎝ 2 3 4 2n − 1 2n ⎠
∞
同理：
∑ an′− = ∑ an− 。
n =1 n =1
∞
因此：
∑ an′ = ∑ an′+ + ∑ an′− = ∑ an+ + ∑ an− = ∑ an 。
n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
证毕
附注：若
∑a
n =1
∞
n
是条件收敛的，则上述结论不能成立。
5.2
an − an − − 级数 ∑ an 称为级数 ∑ an 的负部，其中 an = 。 2 n =1 n =1
显然，我们有：
+ − 引理： 级数 ∑ an 绝对收敛 ⇔ ∑ an 及 ∑ an 均收敛； ∞ ∞ ∞
+ − 级数 ∑ an 条件收敛 ⇒ ∑ an 及 ∑ an 均发散。 n =1 n =1 n =1
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
证明： 1)
级数
∑ an 绝对收敛 ⇔ ∑ an 及 ∑ an 均收敛，由级数收敛的四则运算
n =1
∞
∞
∞
法则，这等价于级数
∑a
n =1
∞
+ n
与
∑a
n =1
n =1 ∞
n =1
− n
均收敛；
∞
2)
级数
∑a
n =1
∞
n
条件收敛 ⇔ 级数
∞
∑a
n =1
n
发散，级数
∞
b = am1 bn1 + am2 bn2 + ≤ a1b1 + ⎛ p = ⎜ ∑ ak ⎝ k =1
1≤ k ≤ s
+ ams bns + a p b2 + ⎞⎛ ∞ ⎞ ⎟i⎜ ∑ bk ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ + a1bq + + a p bq
+ a p b1 + a1b2 + ⎞⎛ q ⎟i⎜ ∑ bk ⎠ ⎝ k =1 ⎞ ⎛ ∞ ⎟ ≤ ⎜ ∑ ak ⎠ ⎝ k =1
高等微积分讲义
第5讲
收敛级数的性质
§1 结合律
收敛级数的结合律在叙述级数的性质时就已经讲到了， 这里为了统一起见， 我们仍将这 一性质列在这里。 一个收敛的级数对其相邻的项进行任意方式的结合以后， 新级数仍然收敛到原来的级数 和。 特别需要强调的是，该命题的逆命题不成立。
§2 交换律、Riemann 定理
∃m1 ，使得： a1+ + ∃m2 ，使得： a1+ +
以此类推， ∃ml ，使得：
a1+ +
+ + am + a1− + am + 1 1 +1
+ − + am + a2 + 2
+ + am + l −1 +1
+ + am > l − al− ， l
这样经过重排的级数：
a1+ +
+ + + am + a1− + am + 1 1 +1
+ − am + a2 + 2
+ + am + l −1 +1
+ + am + al− + l
发散到 +∞ 。 3)
A = −∞ ，与 2)同理。
证毕
§3 分配律
考虑两个级数的乘积：
∑ an × ∑ bn 。它是否与有限项和数的乘积一样，有对加法的分
n =1 n =1
∞
∞
配律呢？我们先来看这两个级数逐项相乘一共有多少项：
+ − + −
显然：Leabharlann ∑ an′+ 是 ∑ an+ 的重排，而 ∑ an′− 是 ∑ an− 的重排，
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
有引理知：
∑a
n =1
∞
+ n
是绝对收敛的，
∞ ∞
又由 1)知级数
∞
∑ an′+ 绝对收敛，并且： ∑ an′+ = ∑ an+ ，
n =1 n =1 n =1
其中： p = max mk ， q = max nk 。由于级数
1≤ k ≤ s ∞
∑ an 与 ∑ bn 均为绝对收敛的，
n =1 n =1
∞
∞
因而上式右端有界，即级数
∑a
k =1
mk nk
b 是绝对收敛的。
其次，由于级数是绝对收敛的，由 Riemann 定理，任意排法的级数和均为同一 和数，因此我们可以按正方形排法来计算级数和如下：
− + + an + am + 1 1 +1
+ − am + an + 2 1 +1
− + an 2
+ + am + l −1 +1
+ − + am + an + l l −1 +1
− + an + l
收敛至 A 。 2)
A = +∞ 。
与 1)同理，由
∑a
n =1
∞
+ n
= +∞ ，
+ am > 1 − a1− ， 1 + + am + a1− + am + 1 1 +1 + − + am > 2 − a2 ， 2
n =1 n =1
m1
∞
于零的项），则我们有：
+ ∃m1 ，使得： A ≤ ∑ ak+ < A + am ，（加到第 m1 项刚刚比 A 大） 1 k =1 m1 n1
同理， ∃n1 ，使得： A + an 1 <
−
∑a + ∑a
k =1 + k k =1
− k
≤ A，
依次继续下去， ∃ml , nl ，使得：
2） 正方形排法
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 ↓ ← a2b2 ← a2b3
a3b1 ↓ a3b2 ↓ ← a3b3
在什么条件下这些不同排法组成的级数收敛？下面的定理部分地回答了这一问题：
定理 3： 设级数 ∑ an = A ， 则由 ai b j（ i = 1, 2, ∑ bn = B 均绝对收敛，
∑a
k =1
∞
mk nk
b = a1b1 + a2b1 + a2b2 + a1b2 + = a1b1 + ( a2b1 + a2b2 + a1b2 ) + ( a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3 ) + = lim ∑ ( ak b1 + ak b2 +
n →∞ k =1 n
n n ⎛ k ⎞ Sn = ∑ ck = ∑ ⎜ ∑ ai bk +1−i ⎟ k =1 k =1 ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ n ⎛ n +1−i ⎞ n = ∑ ⎜ ∑ ai bk +1−i ⎟ = ∑ ai ⎜ ∑ bk +1−i ⎟ = ∑ ai ⎜ ∑ b j ⎟ = ∑ ai Bn +1−i i =1 ⎝ k =i ⎠ i =1 ⎝ k =i ⎠ i =1 ⎝ j =1 ⎠ i =1