初中数学新定义与阅读理解创新型问题中考真题专题训练及答案解析
2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题(含解析)
yxO2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：2※3= ；（2）若5※m= ．（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ） 【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b>a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ：b ：c ； （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），D是半圆的中点，C ，D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．①求证：△ACE 是奇异三角形；②当△A CE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．【答案】（1）真命题．（2）a ：b ：c=1（3）①见解析②60°或120°． 【解析】1．然后分两种情况讨论.试题解析：解：（1）真命题． （2分）ADB（3）在Rt ΔABC 中，a 2+b 2=c 2，①证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt ΔACB 中，AC 2+BC 2=AB 2； 在Rt ΔADB 中，AD 2+BD 2=AB 2．∵D是半圆的中点，∴， ∴AD=BD ， （6分），∴AB 2=AD 2+BD 2=2AD 2， （7分） 又∵CB=CE ．AE=AD ，∴AC 2+CE 2=2AE 2． ∴ΔACE 是奇异三角形． （8分）⋂⋂=BD AD ⋂ADB考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a －b ≥0，∴a ＋b ≥a＝b 时，等号成立.结论：在a ＋b ≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥a ＝b 时，a ＋b 有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时，m 有最小值 ； 若m ＞0，只有当m ＝ 时，2m 有最小值 .（2）如图，已知直线L 1：y ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y （x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试 求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积.【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，8（2） （3）232--=x y 2=m m m 1+1=m∴A （-2，0）又点B （2，m∴设直线的解析式为：，则有，解得：∴直线的解析式为：；2--=x y 2L ⎩⎨⎧-=-=21b k ⎩⎨⎧-=+=+-4202b k b k b kx y +=2L )4,2(,4--=B m4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)
新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． 【详解】 令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3． 故选C ． 【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--． 故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时， 即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+， 则213x +>， 解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >； 当212x x +<-时， 即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-， 则23x ->， 解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可． 【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在， 当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意， 此时，=1b a -． 故选：Ｃ 【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。
初中数学 中考模拟复习专题51 新定义和阅读理解型问题考试卷及答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ；（2）若5※m=，则m= ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）评卷人得分试题2:我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△A CE是直角三角形时，求∠AOC的度数．试题3:阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立.结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2. 根据上述内容，回答下列问题：（1）若m＞0，只有当m＝时，m＋有最小值；若m＞0，只有当m＝时，2m＋有最小值 .（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.试题4:如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
中考数学压轴题专题-创新型与新定义综合问题(解析版)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 75︒的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 如图1，作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .设1AC =，则2BD BA ==，3BC =.tan 75tan DC DB BC DAC AC AC +︒=∠==23231+==+.请解决下列问题：（1）类比求解：求出tan 22.5︒的值；（2）问题解决：如图2，某住宅楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22.5︒时，住宅在建筑物的墙上留下高3m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，住宅楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B ，F ，C 在一条直线上）.求住宅楼AB 的高度（结果保留根号）；（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =；在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =.他将DEF ∆的斜边DF 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿CA 方向移动.在移动过程中，D ，F 两点始终在CA 边上（移动开始时点F 与点C 重合）.探究在DEF ∆移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒？如果存在，直接写出CD 的长度；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）21-；（2）住宅楼的高为()823m +.（3）存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，CD 的长为22+.【分析】（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；（2）在Rt ABF ∆中，设AB 为x m 得出13BC BF FC x =+=+，在Rt AEM ∆中，根据tan 22.5AM ME ︒=列出关于x 的方程32113x x -=-+求解即可； （3）因为在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，所以=2FE ；假设在DEF ∆移动过程中，存在某个位置使得22.5ECD ∠=︒，因为45EFD ∠=︒，所以CF=FE=2，所以CD 的长为22+.【详解】（1）如图，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，设1AC =，则1BC AC ==.∴2222112BD BA BC AC ==+=+=∴tan 22.5tan AC AC ADC DC BD BC ︒=∠==+()()12121212121-===-++-.（2）如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M .在Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒，设AB 为x m .∴BF AB x ==. ∴13BC BF FC x =+=+.∵在Rt AEM ∆中，22.5AEM ∠=︒，∴3AM AB BM AB CE x =-=-=-，13ME BC x ==+.∵tan 22.5AM ME ︒=， ∴32113x x -=+. ∴()()132102************x -==--+ 16268232==. 答：住宅楼的高为()823m .（3）存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，理由如下：当22.5ECD ∠=︒时，∵45EFD ∠=︒，∴∠ECF=∠CEF，∴CF=EF，∵90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，∴2EF =22CD CF DF =+=+.【点睛】本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力.【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=73．【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2，BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE73【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O 交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP 并延长交AB 于点E ，则DE 为半圆O 的切线．证明：连接OP OD ，．由作图可知，DP DC OP OC ==，，又OD OD =．.OPD OCD SSS ∴≌（）90OPD OCD ∴∠=∠=︒，∴DE 是半圆O 的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接OE .请判断∠BOE 和CDO ∠的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE BE CD ，，之间的数量关系；（3）如图4，已知点P 为正方形ABCD 的一个“奇妙点”，点O 为BC 的中点，连接DP 并延长交AB 于点E ，连接CP 并延长交AB 于点F ，请写出BE 和AB 的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点E F G H ，，，为正方形ABCD 的四个“奇妙点”．连接AG BH CE DF ，，，，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【答案】（1）BOE CDO ∠=∠，理由见解析；（2）DE BE CD =+；（3）14BE AB =，理由见解析；（4）答案不唯一，如：ABH 的面积等于正方形EFGH 的面积；正方形EFGH 的面积等于正方形ABCD 面积的15等． 【分析】（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出BOP PDC ∠=∠，再由边边边定理可证得POE BOE ≌，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；（2）由（1）可知OPD OCD ≌、POE BOE ≌，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论； （3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知BOE CDO ∠=∠，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得 1===5RtDFC Rt DAG Rt ABH Rt BCE EFGH ABCD S S S S S S ==正方形正方形，即可提出猜想． 【详解】解：（1）结论：BOE CDO ∠=∠理由如下：∵OPD OCD ≌∴90OPD OCD ∠=∠=︒，POD COD ∠=∠，12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴360180POC PDC OPD OCD ∠+∠=-∠-∠=︒︒∵180POC BOP ∠+∠=︒∴BOP PDC ∠=∠在Rt POE △和Rt BOE △中∵OE OE =，OP OB =∴POE BOE ≌∴12POE BOE BOP ∠=∠=∠ ∵12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴BOE CDO ∠=∠；（2）∵由（1）可知，OPD OCD ≌、POE BOE ≌∴DP CD =，PE BE =∵DE DP PE =+∴DE BE CD =+∴线段DE 、BE 、CD 之间的数量关系是DE BE CD =+；（3）结论：14BE AB = 理由：连接OE 、OD ，如图：由（1）可知，BOE CDO ∠=∠∵90B OCD ∠=∠=︒∴tan tan BOE CDO ∠=∠∵点O 为BC 的中点 ∴12BE OC BO DC == ∴11112224BE BO BC BC ==⨯= ∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴14BE AB =； （4）延长DF 交BC 于点O ，连接DE 、OE ，如图：∵由前面的结论可知OED OCD ≌ ∴DE DC =∵此图为赵爽弦图即DF CE ⊥∴EF CF =同理可得FG DG =、GH AH =、HE BE =∵四边形EFGH 是正方形∴EF FG GH HE ===∴EF FG GH HE CF DG AH BE =======∴在Rt EHQ 和Rt DGQ 中，()90EQH DQG QHE QGD EH DG ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩对顶角相等∴()Rt EHQ Rt DGQ AAS ≌∴Rt EHQ Rt DGQ S S =∴Rt DEFEFGH S S =正方形∴1===5Rt DFC Rt DAG Rt ABH Rt BCEEFGH ABCD S S S S S S==正方形正方形∴答案不唯一，例如，ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15等等．【点睛】本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，a n，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d ＝（a1+2d）+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（______）d（3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．【答案】（1）5，25；（2）n﹣1；（3）第2018项，理由见解析．【分析】（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；（2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；（3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项.【详解】解：（1）由题意可得，d＝15﹣10＝5，第5项是：15+5+5＝25，故答案为：5，25；（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d，故答案为：n﹣1；（3）﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2，∴a n＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3，令﹣2n﹣3＝﹣4039，解得，n＝2018，即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项.【点睛】此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．【解析】（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算220172018+++++的值，采用以下方法：12222设220172018S12222=+++++①则220182019=++++②2S2222②-①得2019-=-2S S21∴2201720182019S 1222221=+++++=- （1）291222++++= ;（2）210333+++ = ;（3）求2n 1a a a ++++的和（0a > ，n 是正整数，请写出计算过程 ）.【答案】（1）1021-; （2）11312- ; （3）n+1或 n 11a 1S a +--=. 【解析】 【分析】（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S 即可； （2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S 即可； （3）利用（2）的方法计算． 【详解】（1）设S=1+2+22+…+29① 则2S=2+22+…+210 ② ②-①得2S-S=S=210-1 ∴S=1+2+22+…+29=210-1； 故答案为210-1（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①， 则3S=32+33+34+35+…+311 ②， ②-①得2S=311-1，所以S=11312-，即3+32+33+34+…+310=11312-；故答案为11312-；（3）设S=1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n ①， 则aS=a+a 2+a 3+a 4+..+a n +a n+1②，②-①得：（a-1）S=a n+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a 不等于1时，a-1才能做分母，所以S=111n a a +--，即1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n=111n a a +--. 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-（1）若2,k =则新函数y = ；（2）若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ；（3）设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值； ②求n 与m 的函数解析式；（4）请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值． 【答案】（1）261-+x x ；（2）5,12-；（3）①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；（4）1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】（1）将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；（3）①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值； ②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；（4）先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．【详解】 （1）当k=2时1222=42y x x =⋅⋅++221=2342y y y x x x =--+--=261-+x x（2）2221232kx (22)(3)y y y x x k x k x k =-=-+--=-++- ∵新函数的解析式为：22,y x bx =+- ∴b=(22)k -+，－2=(3－k) 解得：k=5，b=－12 （3）①新函数()2213y x k x k =-++-项点为(),m n .()22132y x k k k ∴=----+.21,3 2.m k n k k =+⎧∴⎨=--+⎩ 223173224n k k k ⎛⎫∴=--+=-++ ⎪⎝⎭当32k =-时，174n =最大值 ∴新函数y 的顶点的绿坐标有最大值，最大值为174②21,3 2.m k n k k =+⎧⎨=--+⎩将1k m =-代入232n k k =--+得:24n m m ∴=--+（4）∵点A 是12y kx k =+的定点坐标1(21)y x k =+，当x=12-时，y=0∴A(12-，0)∵点B 是新函数2(22)(3)y x k x k =-++-上的定点2(21)(23)y x k x x =--+-+当x=12-时，y=174 ∴点B(12-，174) ∵点C 是2223y x x =-+的定点22(1)2y x =-+∴C(1，2)∵四边形ABCD 是平行四边形，存在如下图3种情况：根据平行四边形的性质，易知：图1中，点D(1，94-) 图2中，点D(1，254) 图3中，点D(-2，94)当点D(1，94-)时，代入新函数2(22)(3)y x k x k =-++-解得：k=1712同理可得1712k =-或3512k =- ∴1712=k 或1712k =-或3512k =-【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在第（4）问，解题关键是先确定定点A 、B 和顶点C 的坐标，根据平行四边形的性质得出点D 的坐标．【变式3-1】特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.【答案】（1）①②③（2）①2,124n n n P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21y x =+．③不平行，直线n n C A 的斜率（比例系数）为k n +，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭， 即：n P 顶点满足关系式21y x =+.②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=． C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=． ∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1，∴C n C n –1. ③n n C A 与11n n C A --不平行． 理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y =1x的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ．分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y =1x的图象于点D ．点E ，F ，G 的横坐标分别为n ﹣1，n ，n +1（n >1）．小红通过观察反比例函数y =1x的图象，并运用几何知识得出结论： AE +BG =2CF ，CF >DF ， 由此得出一个关于11n -，11n +，2n，之间数量关系的命题： 若n >1，则__________． （2）证明命题小东认为：可以通过“若a ﹣b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．【解析】（1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=11n-，BG=11n+，DF=1n，∴11n-+11n+>2n．故答案为：11n-+11n+>2n．（2）方法一：∵11n-+11n+﹣2n=22222(1)(1)n n n n nn n n++--+-+=2(1)(1)n n n-+，∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0，∴11n-+11n+﹣2n>0，∴11n-+11n+>2n．方法二：∵11112n nn+-+=221nn->1，∴11n-+11n+>2n．【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝a(a b) b(a b)⎧≤⎨>⎩（1）请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是．【答案】（1）y ＝x(x 0)x(0x 1)1(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，图象见解析； （2）0．【解析】【分析】（1）根据新运算可得到y= ()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞ ，分别讨论x ＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x ⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，（2）观察（1）中图象，即可得到当x=0时，y 有最小值，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意得：y ＝()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞， 当x ＜0时，|x |＝﹣x ，当0≤x ≤1时，|x |＝x ，即y ＝()x(x 0)x 0x 11(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，该函数图象如下图所示：（2）由图象可知：当x ＝0时，y 有最小值0．故答案为：（1）()()()00111x x x x x -⎧⎪≤≤⎨⎪⎩＜＞，图象见解析；（2）0．【点睛】本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象．【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1） 概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．（2） 问题探究：如图2，小红画了一个ABC Rt ∆，其中90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，并将ABC Rt ∆沿B ∠的平分线BB '方向平移得到'''C B A ∆，连结AA '、BC '．小红要使平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB '的长）？（3） 应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠+∠=︒，AC 、BD 为对角线，2AC =．试探究BC 、CD 、BD 的数量关系．【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或5或2或1422的距离；（3）BC2+CD2=2BD2．【解析】试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；（III）当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2∴x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），∴BB′=x=（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴BB′=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将∆ABC（BC >AB ）绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到∆DBE ，连接AD 、DC ，四边形ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求∠DCB 的度数.【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°.【解析】【分析】（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；（3）连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB 的度数.【详解】解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；（2），则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；（3）连接CE，由旋转的性质得：△ABC ≌△DBE ，则BC=BE ，AC=BD ，∵∠CBE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BC=CE ，∠BCE=60°，∵四边形ABCD 为勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边， ∴， ∴，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE ﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，11AB A B =11BC B C =11CD C D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且11BC B C =11CD C D ， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ，∵11AB A B =11BC B C =11CD C D ，∴11BD B D =11AB A B ， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1，∴∠ABD =∠A 1B 1D 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11AB A B ，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11AB A B =11BC B C =11CD C D =11AD A D ，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2中，∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似，∴DE AE =EF AB ， ∵EF =OE +OF ，∴DE AE =OE OF AB+， ∵EF ∥AB ∥CD ，∴DE AD =OE AB ，DE OC OF AD AB AB==， ∴DE AD +DE AD =OE AB +OF AB ，∴2DE AD =DE AE， ∵AD =DE +AE ，∴2DE AE +=1AE， ∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴21S S =1． 【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．1．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（ ）A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++= D ．()222349m n ++=【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=， 又,a b 满足等式：229a b +=， ∴()222349m n ++=， 故选D ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．2．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：（1）当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<（不合题意，舍去）；（2）当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>（舍去），∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为（ ）A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==【答案】B 【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x 2-x+1-1=0，求出方程的解；当x ＜1时方程为x 2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案． 【详解】当x≥1时，方程为x 2-x+1-1=0，∴x 1=0（舍去），x 2=1；当x ＜1时，方程为x 2+x-1-1=0， ∴x 1=-2，x 2=1（舍去）， ∴方程的解是x 1=-2，x 2=1． 故选：B ． 【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122xc b D c b =，1122ya c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（ ）A ．21732D ==-- B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=2132-=2×（-2）-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意； B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；D 、方程组的解：x=147x D D -=-=2，y=217y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____． 【答案】65 【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值． 【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…， ∴第m 组有m 个连续的偶数， ∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+ (44)44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035，∴2020是第45组第1010－990＝20个数， ∴m ＝45，n ＝20， ∴m +n ＝65． 故答案为：65． 【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键． 5．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____． 【答案】201820182019． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【答案】20110 【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值．由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ． 故答案为20110． 【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 7．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵（）2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立． 结论：在a+b（a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值P ，则a+b，当且仅当a=b 时，a+b 有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若x ＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为 ．（2）探索应用：如图，已知A （-2，0），B （0，-3），点P 为双曲线y=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状． （3）已知x ＞0，则自变量x 为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？【答案】（1），12；（2）最小值为12，四边形ABCD 是菱形；（3）．。
新定义与阅读理解问题 九年级数学专项训练(含解析)
新定义与阅读理解问题一、单选题A．1B．4C．6D()(A．113︒B．92二、填空题16．定义一种新的运算：a☆三、解答题17．若定义一种运算：a b∆()(32-=--+⨯-2Δ32(3)23参考答案：1．A【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出4-※2的值．【详解】解：根据新定义得：4-※22422=-⨯+84=-+4=-，故选：A 2．B【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★，()336x +⨯=-解方程即可．【详解】解：根据新定义得()31012x =★★()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★()3104x +=★()36x =-★()336x +⨯=-5x =-故选：B 3．D【分析】据提供的“F ”运算，对正整数n 分情况(奇数、偶数)循环计算，由于449n =为奇数应先进行F ①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F ”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F ”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：344951352⨯+=，故选：A．8．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由10．12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．11．5【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x 的值即可．【详解】解：当4x ≥时，则1629x +=，解得13x =，不符合题意；当4x <时，则2429x +=，解得15=x ，25x =-（舍去），综上，x 的值为5．故答案为：5．12．3-【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数21y x =-+的“衍生函数”是解题的关键．【详解】解：由定义知，一次函数21y x =-+的“衍生函数”为()()210210x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∵点()2,P m -在一次函数的“衍生函数”图象上，20x =-<，∴()2213m =⨯-+=-．故答案为：3-．13．1【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键．由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，即()3434120a ⨯+++=，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O就是三角形的内心，过C时，且在等腰直角三角形∴当O、、过点O分别作弦CG CF DE。
中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)
中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。
（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。
专题31新定义与阅读理解创新型问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②；将（a，380）代入公式，建立方程可得出结论；若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．【解析】将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1，解得：x＝．经检验，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，∵MN＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2，∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，根据题意可知，需要分三种情况讨论，Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a＝（舍）；Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；综上，a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1，∴≤x≤，∵函数y＝4044x，∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，∴h＝2022；②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，∴h＝k；当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，∴h＝﹣k；综上所述：h＝|k|；（2）t﹣≥1，即t≥，函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，∴h＝，当t＝时，h有最大值；（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，①当2≤t﹣时，即t≥，此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝t﹣2，此时h的最小值为；②当t+≤2时，即t≤，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝2﹣t，此时h的最小值为；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，④当t＜2≤t+，即≤t＜2，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，h的函数图象如图所示：h的最小值为，由题意可得＝4+k，解得k＝﹣；综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝156或516；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，∵横坐标x＝±＝±3，∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），∴该点的横坐标为±＝±，∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），∴＝m，∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m，n均为正整数，∴n﹣1＝1，∴m＝1+2+1＝4，∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），则有﹣m＝，∴m＝±3，经检验，m＝±3的分式方程的解，∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，∴ac＝9，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜9．。