2016届浙江省杭州市第一学期期中杭州地区七校联考 高三理科数学试题
浙江省杭州市七校高三数学上学期期中联考试题 文
浙江省杭州市七校2016届高三数学上学期期中联考试题 文一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,4}，B ＝{1,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1} B ．{1,5} C ．{1,4} D ．{1,4,5}2、设a ，b 是实数，则“0ab >”是“0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件已知3、设为等差数列的前项和，且，则（）A．78 B．91 C． 39 D．20154、已知函数()2cos(2)6f x x π=+，下面四个结论中正确的是 （ ）A.函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C. 函数()f x 的图象关于直线6x π=对称D. 函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到 5、函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A.()sin f x x x =+B.()cos xf x x=C.()cos f x x x =D.()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6、在ABC ∆中，()()00cos 16,sin 16,2sin 29,2cos 29,BA BC ==u u ru u u r则ABC ∆面积为（ ）A ．22 B. 2 C ．23 D ．427、若(,),4παπ∈且3cos 24sin(),4παα=-则α2sin 的值为（ ） A ．79 B ．19- C ．79- D ．198、已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．20a -<<B ．20a -<≤C ．20a -<<或12a <<D ．20a -<<或1a =二、填空题：（本大题共7个小题，第9—12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.）9、2lg0.01log 16+=__________；116221[(2)]()4---=2π-32π-32π2π0xy10、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 构成等比数列{}n b 的前3项，则93=a a ；又若2d =，则数列{}n b 的前n 项的和n S = ．11、设函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((2))f f = ；满足不等式()4≤f x 的x 的取值范围是 ．12、若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-10y a y x y x . 若4=a ，则y x z +=2的最大值为 ；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则=a .13、若12,e e u r u u r 是两个单位向量，且12e e ⋅u r u u r = 12，若12122,32=+=-+r u r u u r r u r u u r a e e b e e ，则向量r g a b r= 。
【真题】16年浙江省杭州市七校联考高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∪N=（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2}D．{x|x≤2}2．（5分）函数f（x）=x3+cos（﹣x）+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣23．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=2sin（2x+），x∈[0，]的图象与直线y=m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos （C﹣A）=1，则（）A．a，b，c成等比数列 B．a，b，c成等差数列C．a，c，b成等比数列 D．a，c，b成等差数列7．（5分）已知点A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉l，实数x满足关系式x2+2x+=0，则下列结论中正确的个数有（）①2﹣•≥0 ②2﹣•＜0③x的值有且只有一个④x的值有两个⑤点B是线段AC的中点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+2对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分．9．（6分）计算：log2=，2=．10．（6分）记公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=9，a3，a5，a8成等比数列，则公差d=；数列{a n}的前n项和为S n=．11．（5分）已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）满足，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为，在方向上投影的最大值为．12．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，且满足f（x+1）=，当2≥x2＞x1≥1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣2016），b=f（2015），c=f（π），则a，b，c的大小关系为．13．（6分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为°F函数，给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=；⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|．其中是°F函数的序号为．（少选或多选一律不给分）三.解答题：本大题共5题，共73分．解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且成等差数列（1）求角A的值（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．17．（14分）已知向量=（sinωx﹣cosωx，sinωx），=（sinωx+cosωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；（II）若y=f（x）的图象经过点（，0），若集合A={x|f（x）=t，x∈[0，]}仅有一个元素，求实数t的取值范围．18．（14分）在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且DM=1，DN=2，∠MDN=；（I）试用向量，表示向量，；（II）求||，||；（III）设O为△ADM的重心（三角形三条中线的交点），若=x+y，求x，y的值．19．（15分）已知等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），且a2+a5=，a3a4=．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=a n•（log2a n），求b n的前n项和T n；（III）设该等比数列{a n}的前n项和为S n，正整数m，n满足＜，求出所有符合条件的m，n的值．20．（15分）已知函数f（x）=（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∪N=（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2}D．{x|x≤2}【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，∴M∪N={x|x≤2}．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x3+cos（﹣x）+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）=x3+cos（﹣x）+1，∴f（x）=x3+sinx+1，∵f（a）=2，∴f（a）=a3+sina+1=2，∴a3+sina=1，∴f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣1+1=0．故选：B．3．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：取A=，则sinA=，由sinA＞⇔．∴“A＞”是“sinA＞”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0，则k=1，又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a＞1，则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1），函数图象必过原点，且为增函数，故选：C．5．（5分）已知函数y=2sin（2x+），x∈[0，]的图象与直线y=m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．【解答】解：由函数y=4sin（2x+）（x∈[0，]）的图象可得，函数取得最值有2个x值，分别为x=和x=，由正弦函数图象的对称性可得x1+x2=2×=，x2+x3 =2×=．故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=，故选：C．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos （C﹣A）=1，则（）A．a，b，c成等比数列 B．a，b，c成等差数列C．a，c，b成等比数列 D．a，c，b成等差数列【解答】解：在△ABC中，由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得：cosB+cos（A ﹣C）=1﹣cos2B，∵cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B，∴上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，∴﹣2sinAsin（﹣C）=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：ac=b2，则a，b，c成等比数列．故选：A．7．（5分）已知点A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉l，实数x满足关系式x2+2x+=0，则下列结论中正确的个数有（）①2﹣•≥0 ②2﹣•＜0③x的值有且只有一个④x的值有两个⑤点B是线段AC的中点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，由存在实数x满足式x2+2x+=0，△≥0，得出①正确、②错误；由式x2+2x+=0，得出式=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由式=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．所以正确结论为③⑤．故选：B．8．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+2对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：a n2+=a n2+[na1+n（n﹣1）d]2=a n2+[a1+（n﹣1）d]2，令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t+）2+2a12﹣，当t=﹣时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=+1，∵不等式a n2+2对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m≤．∴实数m的最大值为．故选：D．二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分．9．（6分）计算：log2=，2=．【解答】解：log2=log2=﹣；2===3．故答案为：；．10．（6分）记公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=9，a3，a5，a8成等比数列，则公差d=1；数列{a n}的前n项和为S n=．【解答】解：a3，a5，a8成等比数列，即有a52=a3a8，即为（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），化简可得2d2=a1d，（d≠0），即有a1=2d，又S3=9，可得3a1+d=9，即a1+d=3，解方程可得a1=2，d=1，S n=na1+n（n﹣1）d=2n+n（n﹣1）=．故答案为：1，．11．（5分）已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）满足，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为，在方向上投影的最大值为．【解答】解：由已知得到平面区域如图，P所在区域即为阴影部分，由得到C（﹣2，0）B（1，），所以其面积为，令在方向上投影为，所以y=，过B时z最大，所以，在方向上投影的最大值为；故答案为：，．12．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，且满足f（x+1）=，当2≥x2＞x1≥1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣2016），b=f（2015），c=f（π），则a，b，c的大小关系为a＞c＞b．【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴y=f（x+1）的图象关于y轴对称∵函数y=f（x）的图象向左平移1个单位可得y=f（x+1）的图象，∴y=f（x）的图象关于x=1对称．∵f（x+1）=，∴f（x+2）==f（x），∴函数f（x）是周期为2的函数．∵当2≥x2＞x1≥1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴函数f（x）在[1，2]上单调递增．∴a=f（﹣2016）=f（0）=f（2），b=f（2015）=f（1），c=f（π）=f（π﹣2），∵1＜π﹣2＜2，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．13．（6分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sinA，∴由余弦定理可得﹣2bc•cosA+2bc=bc•sinA，∴4﹣4cosA=sinA，∴==4，故答案为4．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为°F函数，给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=；⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|．其中是°F函数的序号为①④⑤．（少选或多选一律不给分）【解答】解：由题意对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为°F函数；对于②，x→∞时，=|x|→+∞，因此|f（x）|＜m|x|，不成立，故其不是°F 函数；对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是°F函数；对于④，f（x）=；|f（x）|=|x|≤|x|，故对任意的m＞，都有|f（x）|＜m|x|，故其是°F函数；对于⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，因此f（x）具有单调性，或f（x）≡0，因此满足对一切实数均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|．综上可得：①④⑤正确．故答案为：①④⑤．三.解答题：本大题共5题，共73分．解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且成等差数列（1）求角A的值（2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）成等差数列，⇒=+，⇒整理可得：=⇒sinAcosB=2sinCcosA﹣sinBcosA⇒2sinCcosA=sin（A+B）=sinC⇒cosA=⇒A=．（2）∵a=，b+c=5，∴由余弦定理可得：a2=10=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，可解得：bc=5．=bccosA==．∴S△ABC17．（14分）已知向量=（sinωx﹣cosωx，sinωx），=（sinωx+cosωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（I）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；（II）若y=f（x）的图象经过点（，0），若集合A={x|f（x）=t，x∈[0，]}仅有一个元素，求实数t的取值范围．【解答】解：=．（I）由f（x）的图象关于直线x=π对称知：，所以．由知，该函数的最小正周期．所以2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，所以+≤x≤π+，所以该函数的单调减区间为；（I I）y=f（x）的图象经过点（，0），得．所以f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣1，∵集合A={x|f（x）=t，x∈[0，]仅有一个元素，∴f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣1与y=t在x∈[0，]上只有一个交点，∴实数t的取值范围为t=1或﹣2≤t＜0．18．（14分）在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且DM=1，DN=2，∠MDN=；（I）试用向量，表示向量，；（II）求||，||；（III）设O为△ADM的重心（三角形三条中线的交点），若=x+y，求x，y的值．【解答】解：（I）如右图所示，=+=﹣；=+=+=﹣；（II）由（I）知；所以；（III）由重心性质知：，所以有：所以；19．（15分）已知等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），且a2+a5=，a3a4=．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=a n•（log2a n），求b n的前n项和T n；（III）设该等比数列{a n}的前n项和为S n，正整数m，n满足＜，求出所有符合条件的m，n的值．【解答】解：（I）由等比数列的性质可知：a3a4=a2•a5=，a2+a5=，∴a2，a5是方程x2﹣x+=0，由题意可知：a2＞a5，解得：a2=1，a5=，由等比数列的性质可知：a5=a2•q3，解得q=，a n=a2•（）n﹣2=（）n﹣2；∴数列{a n}的通项公式为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）由（I）可知：，b n的前n项和T n，T n=b1+b2+b3+…+b n，=2+0+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+，T n=1+0+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+，两式相减可得：T n=1﹣（+++…+）﹣，=1﹣﹣，=1﹣（1﹣）﹣，=﹣，=∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（III）、，由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）2n（4﹣m）为偶数，因此只能取2n（4﹣m）=4，∴有﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）20．（15分）已知函数f（x）=（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵当x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，∴令t=2x，则有0＜t＜2a，当x＜a时，f（x）＜1恒成立，转化为t2﹣4×﹣1＜0在t∈（0，2a）上恒成立，设g（x）=t2﹣4•﹣1，根据图象可知，即，解得：a≤log45；（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，即f（x）=（x﹣）2+1﹣；当≤a时，即a≥0时，f（x）min=f（a）=1；当＞a时，即﹣4≤a＜0，f（x）min=f（）=1﹣；当x＜a时，f（x）=4x﹣42x﹣a，令t=2x，t∈（0，2a），则h（t）=t2﹣t=﹣；当＜2a，即a＞时，h（t）min=h=﹣；当≥2a ，即a ≤时，h （t ）在开区间t ∈（0，2a ）上单调递减，h （t ）∈（4a﹣4，0），无最小值，综上，x ≥a 与x ＜a ，所以当a ＞时，1＞﹣，函数f （x ）min =﹣；当0≤a ≤时，4a ﹣4＜0＜1，函数f （x ）无最小值； 当﹣4≤a ＜0时，4a ﹣4＜﹣3≤1﹣，函数f （x ）无最小值．综上所述，当a ＞时，函数f （x ）有最小值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省杭州市高三数学上学期期中七校联考试题 理 新人教A版
数学学科试题(理)考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定的区域内填写班级、准考证号、姓名和座位号，并进行正确的填涂.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的1.给出下列命题：⑴若b a //，c b //，则c a //；⑵有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑶零向量的方向是任意的，零向量与任何一向量都共线；⑷2a =.其中正确的命题个数A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数123,0()log ,0+⎧≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，若0()3,>f x 则0x 的取值范围是A.08>xB.0008<>x x 或C.008<<xD. 00008<<<x x 或3.下列命题正确的是A.α、β都是第二象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>B.α、β都是第三象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ>C.α、β都是第四象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>D.α、β都是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ> 4.已知正项等差数列n a 的前n 项和为n S ，且1545S ，M 是5a ，11a 的等比中项，则M 的最大值为A.3B.6C.9D.365.△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于A.32B.43C.1D.236.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1，其中b a ,为常数．则函数b a x g x+=)(的大致图象是A ．B ．C ．D ． 7.在∆ABC ，已知1=•=•CB AB AC AB ，则|AB |的值为A .1 B.2 C.3 D. 28.对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A.1和2B.1和3C.2和4D.4和6 9. 已知1,0b a t >>>, 若x a a t =+，则xb 与b t +的大小关系为A.xb >b t + B.xb =b t + C.xb <b t + D.不能确定10.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A.11260 B.1840 C.1504 D.1360二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上 11.若“2280xx ”是“x m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为 ▲ .12.已知函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在区间为(,1),()k k k Z +∈，则k = ▲ . 13.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3121n n a n b n -=+，则88S T = ▲ . 1-11-1y ox1-11-1yox1-11-1yox1-11-1yox图11-11-1yo x14.已知3(0,),cos()245ππαα∈+=，则cos cos2αα＝ ▲ . 15.已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如图3所示．则函数()f x 的解析式为 ▲ .16.在四边形ABCD 中，)1,1(==DC AB ，BD BDBC BCBA BA3=+，则四边形ABCD 的面积为 ▲ . 17.若函数f (x )=||xx a e e +在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上增函数,则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.（本题12分）设函数)21)(32lg()(--=x x x f 的定义域为集合A ，函数2234)(a ax x x g -+-=（0>a ）的定义域为集合B . （1）当1=a 时，求集合B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围.19.(本题14分) 已知ABC ∆中，(3sin ,sin ),(sin ,cos )AB x x AC x x =-= ⑴设()f x AB AC =⋅，若()0f A =，求角A 的值；⑵若对任意的实数t ，恒有||||AB t AC BC -≥，求ABC ∆面积的最大值.20.(本题14分)设函数1(12)()1(23)x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩,()()g x f x ax =-,[]1,3x ∈, 其中0a ≥.记函数g(x )的最大值与最小值的差为()h a ，求()h a 的表达式并求()h a 的最小值.图321.(本题16分)已知数列{}n a 中，11a ，且点),(1+n n a a P (*∈N n )在直线01=+-y x 上.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵若函数N n a n a n a n a n n f n∈++++++++=(1111)(321 且)2≥n ，求函数()f n 的最小值； ⑶设1nnb a ，n S 表示数列n b 的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式()g n , 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出()g n 的解析式,并加以证明；若不存在,说明理由.22. 已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数. ⑴当1-=a 时，求)(x f 的最大值；⑵若)(x f 在区间（0，e ］上的最大值为3-，求a 的值； ⑶当1-=a 时，试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解.高三理科数学期中联考答案CACAB DBAAB 11.2- 12.1k = 13.5414.4815.2sin()44y x ππ=+11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18. 解：（1）由函数)21)(32lg()(--=x x x f 有意义，得：0)21)(32(>--x x ，即21<x 或23>x ，所以),23()21,(+∞-∞= A ， 3分 当1=a 时，函数34)(2-+-=x x x g 有意义，得：0342≥-+-x x ，即0342≤+-x x ，31≤≤∴x ，{}31≤≤=∴x x B ，⎥⎦⎤ ⎝⎛=∴3,23B A 6分（2）由函数2234)(a x x x g -+-=（0>a ）有意义得03422≥-+-a x x ，即0)3)((≤--a x a x ，0>a ，a x a 3≤≤∴，∴[]a a B 3,=， 8分 若B B A = ，则A B ⊆， 10分∴⎪⎩⎪⎨⎧<>2130a a 或23>a ，得610<<a 或23>a ，即),23()61,0(+∞∈ a 12分19.解：2()3sin cos f x ABAC x x x =⋅=-+sin 22x=+sin(2)3x π=+-sin(2)32A π+=且⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+32,332ππππA 6A π=7分(2) ||||AB t AC BC -≥BC AC ∴⊥2||4sin 2,||1AB x AC =≤=2S ∴≤14分 20.解：1(12)()(1)1(23)axx g x a x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩当12x ≤≤时，max min ()1,()12g x a g x a =-=- 2分 当23x ≤≤时，若01a ≤≤，则[]()2,3g x 在上递增，max min ()23,()12g x a g x a =-=- 4分若1a >，则[]()2,3g x 在上递减，max min ()12,()23g x a g x a =-=- 6分max min 10()23,()122a g x a g x a ∴≤≤=-=-时，max min 11()1,()122a g x a g x a ≤≤=-=-时， max min 1()1,()23a g x a g x a ≥=-=-时， 9分11021()12211a a h a a a a a ⎧-≤≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩12分()h a 的最小值为1214分21．解：（1）把P 点代入直线01=+-y x 得：11=-+n n a a ， 1分∴{}n a 是公差为1的等差数列，又11=a ，因此可得：n a n = )(*∈N n 4分（2）由（1）)2(,21312111)(≥+++++++=n n n n n n f 6分 ∵0)22)(12(111221121)()1(>++=+-+++=-+n n n n n n f n f ∴{})(n f 是递增数列 8分因此1274131)2()(=+=≥f n f ，即127)(min =n f 10分 （3）∵n b n 1=，∴nS n 1312111 +++=. 11分有[]11)1(31)3(21)2(11)1(321-⋅--+⋅-+⋅-+⋅-=++++n n n n n n S S S S n1)1111()11312111(个-1n ++++--++++⋅=n n1)11312111(+--++++⋅=n n n)1()1111312111(-⋅=+--+++⋅=n S n nn n 15分当2≥n 时,)(n g 存在,且n n g =)(. 16分22. 解：(1) 当a =-1时，f （x ）=-x +ln x ，f ′(x )=－1+1x x=1分 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数max ()f x =f （1）=-1 4分 (2) ∵f ′(x )=a +1x ，x ∈(0,e ］，1x ∈1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5分 ① 若a ≥1e-，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0,e ］上增函数∴max ()f x =f （e ）=ae +1≥0.不合题意 7分 ② 若a <1e -，则由f ′(x )>01a x ⇒+>0，即0<x <1a- 由f (x )<01a x ⇒+<0，即1a -<x ≤e . 从而f (x )在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上增函数,在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数∴max ()f x =f 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-1+ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9分令-1+ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3，则ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2∴1a -=2e -，即a=2e --. ∵2e --<1e-,∴a=2e -为所求 10分(3) 由（1）知当a =-1时max ()f x =f （1）=-1，∴|f （x ）|≥1 11分 又令g （x ）=ln 12x x +,g ′（x ）=21ln xx-,令g ′(x )=0，得x =e , 当0<x <e 时，g ′(x )>0,g (x ) 在 (0,e )单调递增；当x >e 时,g ′(x )<0，g (x ) 在(e ,+∞)单调递减∴max ()g x =g （e ）= 112e +<1, ∴g(x)<1 14分 ∴|f （x ）|>g (x ),即|f (x )|> ln 12x x +∴方程|f （x ）|=ln 12x x +没有实数解. 16分。
【真题】16年浙江省杭州市萧山中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2015-2016学年浙江省杭州市萧山中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U={1，a，5，7}，集合M={1，a2﹣3a+3}，∁U M={5，7}，则实数a的值为（）A．1或3 B．3 C．1 D．﹣1或﹣32．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3．（5分）已知函数f（x）=在区间（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B． C．（0，3]D．（0，3）4．（5分）若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．﹣12 B．C．﹣9 D．5．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M={（x，y）|y=}②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“Ω集合”的序号是（）A．②③B．③④C．①②④D．①③④6．（5分）函数y=tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣67．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10] D．[3，11]8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．（6分）设，为单位向量，且，的夹角为，若=+3，=2，则•=，向量在方向上的射影为．10．（6分）值域为，不等式f（x）＜1的解集为．11．（6分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．12．（6分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2 ）=；2f（2015）=．13．（4分）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．14．（4分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．15．（4分）设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1；（2）对任意实数x1，x2都有f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）=g（x1﹣x2）．则当n＞2，n∈N*时，2[f（x）]n+2[g（x）]n的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（15分）已知函数，且给定条件p：“”，（1）求f（x）的最大值及最小值（2）若又给条件q：“|f（x）﹣m|＜2“且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（15分）在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．18．（15分）设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边（1）若AB边上的中线CM=AB=2，求a+b的最大值；（2）若AB边上的高h=，求的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2﹣1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．20．（14分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=1时．f（2x）=，求x的值；（2）若b＜0，b为常数，任意x∈[0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市萧山中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U={1，a，5，7}，集合M={1，a2﹣3a+3}，∁U M={5，7}，则实数a的值为（）A．1或3 B．3 C．1 D．﹣1或﹣3【解答】解：∵全集U={1，a，5，7}，集合M={1，a2﹣3a+3}，∁U M={5，7}，∴a2﹣3a+3=a，解得a=3或a=1（与元素的唯一性矛盾，舍去），∴实数a的值为3．故选：B．2．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）=在区间（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B． C．（0，3]D．（0，3）【解答】解：∵函数f（x）=在区间（0，1）上是减函数，∴y=3﹣ax在区间（0，1）上是减函数，∴a＞0，又∵3﹣ax≥0，即a≤，x∈（0，1）∴0＜a≤3．故选：C．4．（5分）若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．﹣12 B．C．﹣9 D．【解答】解：当k≥0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9，与k≥0矛盾；当k＜0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9．综上，k=﹣9．故选：C．5．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M={（x，y）|y=}②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“Ω集合”的序号是（）A．②③B．③④C．①②④D．①③④【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足Ω集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足Ω集合的定义，不是Ω集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足Ω集合的定义，所以是Ω集合；正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3），对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），满足Ω集合的定义，所以M是Ω集合；正确．对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是Ω集合．所以②③正确．故选：A．6．（5分）函数y=tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【解答】解：因为y=tan（x﹣）=0⇒x﹣=kπ⇒x=4k+2，由图得x=2；故A（2，0）由y=tan（x ）=1⇒x﹣=k ⇒x=4k+3，由图得x=3，故B（3，1）所以=（5，1），=（1，1）．∴（）=5×1+1×1=6．故选：A．7．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10] D．[3，11]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）==1+2×，设k=，则k=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则BD的斜率k=1，AD的斜率为k=，即1≤k≤5，则2≤2k≤10，3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：D．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选：D．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．（6分）设，为单位向量，且，的夹角为，若=+3，=2，则•=，向量在方向上的射影为．【解答】解：，为单位向量，且，的夹角为，可得•=||•||•cos60°=；若=+3，=2，则•=22+6•=2+6×=5，||=2，可得向量在方向上的射影为=．故答案为：，．10．（6分）值域为（﹣∞，2] ，不等式f（x）＜1的解集为（﹣2，﹣）∪（，2）．【解答】解：∵0＜4﹣x2≤4，∴log2（4﹣x2）≤log24=2．令log2（4﹣x2）＜1得0＜4﹣x2＜2，解得﹣2＜x＜﹣或＜x＜2．故答案为（﹣∞，2]，（﹣2，﹣）∪（，2）．11．（6分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）12．（6分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f （2 ）=﹣1；2f（2015）=2．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（2 ）=f（1）﹣f（0）=f（0）﹣f（﹣1）﹣f（0）=﹣f（﹣1）=﹣log22=﹣1；∵f（2015）=f（2014）﹣f（2013）=f（2013）﹣f（2012）﹣f（2013）=﹣f（2012）=﹣[f（2011）﹣f（2010）]=﹣[f（2010）﹣f（2009）﹣f（2010）]=f （2009），∴当x＞3时满足f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），周期为6，∴f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=f（﹣1）=log22=1，∴2f（2015）=2．故答案为：﹣1，2．13．（4分）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（3，4）．【解答】解：因为函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，因为区间，由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则，即．说明方程有两个大于实数根．由得：．令，则t∈（0，3）．则m=﹣t2+4t．令g（t）=﹣t2+4t，图象如图，由t∈（0，3），所以m∈（3，4）．所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（3，4）．故答案为（3，4）．14．（4分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：315．（4分）设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1；（2）对任意实数x1，x2都有f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）=g（x1﹣x2）．则当n＞2，n∈N*时，2[f（x）]n+2[g（x）]n的最大值为2．【解答】解：令x1=x2=x，得：得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，∴f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|f n（x）|≤f2（x），|g n（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1，即2[f（x）]n+2[g（x）]n的最大值为：2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（15分）已知函数，且给定条件p：“”，（1）求f（x）的最大值及最小值（2）若又给条件q：“|f（x）﹣m|＜2“且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2[1﹣cos（+2x）]﹣2cos2x﹣1=2sin2x﹣2cos2x+1 =4sin（2x﹣）+1．又∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，即3≤4sin（2x﹣）+1≤5∴f（x）max=5，f（x）min=3（2）∵|f（x）﹣m|＜2，∴m﹣2＜f（x）＜m+2又p是q的充分条件∵，∴3＜m＜5．17．（15分）在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．【解答】解：（1）．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8=|AB||AC|sin∠BAC（2）由面积公式S△ABC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S=|AB||AC|sin∠BAC=≤△ABC等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．18．（15分）设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边（1）若AB边上的中线CM=AB=2，求a+b的最大值；（2）若AB边上的高h=，求的取值范围．【解答】（本题满分为15分）解：（1）∵b2=AM2+CM2﹣2AM•CMcos∠CMA=5﹣4cos∠CMA，a2=BM2+CM2﹣2BM•CMcos∠CMB=5﹣4cos（π﹣∠CMA）=5+4cos∠CMA，∴a2+b2=10，∴，故当且仅当a=b时，，…（8分）（2）由，可得c2=2absinC=a2+b2﹣2abcosC，解得：2ab（sinC+cosC）=a2+b2，∴，又2ab（sinC+cosC）=a2+b2≥2ab，∴，得．…（15分）19．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2﹣1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若A=ϕ，则△=4a2﹣4（a+2）=4（a﹣2）（a+1）＜0⇒﹣1＜a ＜2，若A≠ϕ，则．综上可得：．（2）g（x）=x2﹣2ax+a+2+|x2﹣1|=．若a=0，则g（x）=，无零点；若a≠0，则﹣2ax+a+3在（0，1）单调，∴其在（0，1）内至多有一个零点．①若0＜x1＜1≤x2＜3，则，解得，3＜a≤，经检验，a=时不成立，②若1≤x1＜x2＜3，由，解得，1+＜a≤3，综上所述，实数a的取值范围是（1+，）．20．（14分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=1时．f（2x）=，求x的值；（2）若b＜0，b为常数，任意x∈[0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，b=1时，f（x）=x|x﹣a|+b=x|x﹣1|+1，若x≥1时，则f（x）=x2﹣x+1，当x＜1时，f（x）=﹣x2+x+1，设t=2x，若x≥0，则t≥1，此时由f（2x）=，得t2﹣t+1=，即（t﹣）2=，∴t==，∴x=log2．当x＜0时，t＜1，此时由f（2x）=，得﹣t2+t+1=，即﹣（t ﹣）2+=，∴t=，∴x=log2=﹣1．（2）∵b＜0∴当x=0时，f（x）=b＜0恒成立，∴a∈R 当0＜x≤1时，f（x）＜0，即|x2﹣ax|＜b，∴b＜x2﹣ax＜﹣b，∴（x）max＜x＜（x）min恒成立令g（x）=x，则当b＜0时，g（x）在[0，1]上是增函数，∴a＞g max=g（1）=1+b，令h（x）=x，当﹣1≤b＜0时，在（0，1]上x=x+，当x=时，取得最小值2，此时要使a 存在，则满足，即﹣1≤b＜﹣3+2，当b＜﹣1时，在（0，1]上h（x）=x，为减函数，当x=1时，函数取得最小值，∴（x）min=1﹣b，综上所述，当﹣1≤b＜﹣3+2时，a的取值范围是（1+b，2），当b＜﹣1时，a的取值范围是（1+b，1﹣b）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省杭州市七校高三数学上学期期中联考 理.doc
浙江省杭州市高三上学期期中七校联考数学（理）试题一、选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合{}{}12,03A x x B x x =-<=<<，则AB = （ ▲ ）（A ）{}03x x <<（B ）{}13x x -<< （C ）{}12x x -<< （D ）{}23x x << 2、B A sin sin =是0)sin(=+B A 的 （ ▲ ） （A ）充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 3、公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列 {}n a 的公差等于 （ ▲ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、5sin 2cos -=+αα，则=αtan （ ▲ ） （A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）2- 5、下列命题中是假命题．．．的是 （ ▲ ） （A ）,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m mx m x f m R ),0(+∞且在上递减.（B ）有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02. （C ）βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R .（D ）,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数.6、.定义在R 上的可导函数()()22215f x x xf '=++，在闭区间[0,]m 上有最大值15， 最小值-1，则m 的取值范围是 （ ▲ ） （A ）2m ≥ （B ）24m ≤≤ （C ）4m ≥ （D ）48m ≤≤7、函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ▲ ）（A ）8 （B ）10（ C ）87 （D ）478、已知正数组成的等差数列{}n a 的前和为100，那么714a a ⋅的最大值为 （ ▲ ） （A ）25 （B ）50 （C ）100 （D ）不存在9、已知向量a 与向量b 的夹角为0120，若向量b a c +=且c a ⊥，则||||b a 的值为（ ▲ ）（A ）2 （B ）3（C ）21 （D ）33210、已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当[]1,0∈x ，x x f =)(，若在区间(]1,1-内m mx x f x g --=)()(有两个不同零点，则实数m 的取值范围是 （ ▲ ） （A ）210<≤m （B ）3131<≤-m （C ）310<≤m （D ）210≤<m二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11、锐角α满足31)45sin(=︒-α, 则=αsin ▲ 12、关于x 的方程232log 02a x x ++=的解集只有一个子集．则实数a 的取值范围是 ▲13、已知数列{}n a 中，32a =,71a =,若1{}1n a +为等差数列，则11a = ▲ .14、定义运算22a b ab a b ⊕=+，则015cos 15sin ⊕的值是 ▲ .15、设e x =是函数x a x x f ln )()(2-= (R a ∈)的一个极小值点，则实数a的值等于 ▲16、已知实数x ，y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+-≤-+10103y m y mx y x ，若目标函数y x z -=的最小值为21-，则实数=m ▲17、实数,x y 满足224455,x y xy +-=设22,S x y =+则S 的最小值为 ▲ .三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18 （本题满分14分）设全集是实数集R ，A ＝{}03722≤+-x x x ，B ＝{x 02<+a x }，(1)当4-=a 时，求A B 和A B(2)若(∁R A )B ＝B ，求实数a 的取值范围。
高考数学(理)答案(pdf版)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．B 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．B
8．B
ห้องสมุดไป่ตู้
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 9．5 10．－ln3，1－e 11．2，0 12．(2,2)，x＋y＝0 13．
1 1 1 1 1 1 2 an a1 3 a1 3 a1 1 1 ) ＝ 3(1 n ) ＜3． n 1 3 3 1 1 ， 3n 1 a1
所以 Sn
1 1 a1 a2 1 1 (1 a1 3
……………………………8 分
19． （本题满分 15 分） 解： （Ⅰ）设 A(a，0)，B(0,b)，C(x,y)，则 BA ＝(a，－b)， AC ＝(x－a，y)．
3 6 ， 2 6
14．12
15．
4 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本题满分 15 分） 证明 （1）在△ABC 中，由正弦定理 得 (1＋ 3 )sinC＝2sinB，
b c ， sin B sin C
5π C ＝cosC＋ 3 sinC， 又因为 2sinB＝2 sin 6
＝ 解得 c＝2， 所以 a＝ 2 ，b＝1＋ 3 ． ……………………………8 分
17． （本题满分 15 分） （Ⅰ）证明 过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D， 因为面 A1BC⊥面 A1ABB1，面 A1BC∩面 A1ABB1＝A1B， 所以 AD⊥面 A1BC， 又因为 BC 平面 A1BC， 所以 AD⊥BC． 因为 AA1⊥平面 ABC，
浙江省杭州市2016届高三第一次高考科目教学质量检测理数试题 含答案
数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.设集合2{|20}A x x x =-≥，{|12}B x x =-<≤,则()R C A B =（ ）A ．{|10}x x -≤≤B ．{|02}x x <<C ．{|10}x x -<<D ．{|10}x x -<≤ 2。
若sin 2cos 5x x -=，则tan x =( ）A ．12- B ．12C ．2D ．—23。
某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的侧面PAB 的面积是（ ） A ．3B ．2C ．5D ．74。
命题:“200,10x R x ∃∈+>或00sin xx >"的否定是( ）A ．2,10x R x ∀∈+≤且sin x x ≤ B ．2,10x R x ∀∈+≤或sin x x ≤C ．200,10xR x ∃∈+≤且00sin x x > D ．200,10xR x ∃∈+≤或00sin x x ≤5。
设12()2log xf x x =-，满足()()()0(0)f a f b f c a b c <<<<.若函数()f x 存在零点0x ，则( ） A ．0xa < B ．0xa > C ．0xc< D ．0xc >6.设点P 为有公共焦点12F F 、的椭圆M 和双曲线Γ的一个交点，且123cos 5F PF ∠=,椭圆M 的离心率为1e ，双曲线Γ的离心率为2e 。
若212e e =，则1=e （ ） A ．75B ．74C ．105D ．1047。
在t R ABC ∆中，C ∠是直角，4CA =，3CB =,ABC ∆的内切圆交CA ，CB 于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界).若CP xCD yCE =+，则x y +的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88.记nS 是各项均为正数的等差数列{}na 的前n 项和，若11a≥,则（ ）A ．222222,ln ln ln m n m n m nm n S S S S S S ++≥≤ B ．222222,ln ln ln m nm n m n m n S S S S S S ++≤≤ C ．222222,ln ln ln m nm n m n m n SS S S S S ++≥≥D ．222222,ln ln ln m n m n m nm n SS S S S S ++≤≥ 非选择题部分(共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分.9.设ln 2a =，ln 3b =，则ab e e +=____________。
浙江省杭州市高三上学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设，，，则= （）A .B .C .D .2. （2分）将5名实习老师全部分配到高三年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A . 30种B . 90种C . 180种D . 270种3. （2分） (2017高一上·保定期末) 若函数f（ x）=ax3﹣bx+c为奇函数，则c=（）A . 0B . 1C . ﹣1D . ﹣24. （2分）设a=60.7 ， b=0.76 ， c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为（）A . c＜b＜aD . a＜c＜b5. （2分） (2020高二上·兰州期末) 已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则等于（）A . －1＋B . ＋1C . 1D . －16. （2分）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）若3a=2，则log38﹣2log36的值是（）A . a﹣2B .C . 5a﹣2D . 3a﹣a28. （2分）已知是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是（）A .D .9. （2分） (2016高二上·温州期末) 已知函数f（x）= ，若对任意的a∈（﹣3，+∞），关于x的方程f（x）=kx都有3个不同的根，则k等于（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 函数定义域为，值域为，则实数取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）现有四个函数①②③④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A . ①④②③D . ③④②①12. （2分）现有四个函数：① y=xsinx②y=xcosx ③ ④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A . ①④③②B . ④①②③C . ①④②③D . ③④②①二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知集合A={x|x﹣ =0，x∈R}，则满足A∪B={﹣1，0，1}的集合B的个数是________．14. （1分） (2016高二下·珠海期末) 定积分 dx的值为________．15. （1分） (2016高二上·郴州期中) 设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是________．16. （1分） (2017高三上·盐城期中) 设函数f（x）=|x﹣a|+ （a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高一上·尼勒克期中) 集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，a∈R，x∈R}，（1）求A的子集；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18. （5分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为．（Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求取得最值时对应的x的值．19. （10分） (2016高三上·桓台期中) 给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙有且只有一个是真命题；分别求出符合（1）（2）的实数a的取值范围．20. （5分） (2019高二下·昭通月考) 设（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，在内是否存在一实数，使成立？请说明理由.21. （10分） (2016高一上·嘉兴期中) 已知函数f（x）=x2﹣ax﹣2a2（x∈R）．（1）关于x的不等式f（x）＜0的解集为A，且A⊇[﹣1，2]，求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得当x∈R时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由．22. （5分）(2017·南阳模拟) 已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
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2016届浙江省杭州市第一学期期中杭州地区七校联考高三理科数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集R U =，{}22≤≤-=x x M ，{}1<=x x N ，那么M N ⋂=（ ▲ ） A ．{}12<≤-x x B ．{}12<<-x x C ．{}2-<x x D ．{}2≤x x 2、函数()3cos 12f x x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，若()2f a =, 则()f a -的值为（ ▲ ） A.3 B.0 C.1- D.2-3、在ABC ∆中，“3A π>”是“sin A >”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在R 上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图像是（ ▲ ）5、已知函数4sin(2)6y x π=+，70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与直线y m =有三个交点，其横坐标分别为123,,x x x ()123x x x <<，那么1232x x x ++的值是（ ▲ ） A.34π B. 43π C. 53π D. 32π6、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos2cos cos 1B B C A ++-=, 则（ ▲ ）A. ,,a b c 成等比数列B. ,,a b c 成等差数列C. ,,a c b 成等比数列D. ,,a c b 成等差数列7、已知点A BC 、、为直线l 上不同的三点，点O l ∉，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，则下列结论中正确的个数有（ ▲ ） ①.20OB OA OC -⋅≥ ②. 20OB OA OC -⋅<③.x 的值有且只有一个④. x 的值有两个 ⑤.点B 是线段AC 的中点 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n nS a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为（ ▲ ） A. 12 B. 13 C. 14 D.15二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。
9、计算：2log = ▲ ，24log 3log 32+= ▲ ．10、记公差d 不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为3358,9,,,n S S a a a =成等比数列， 则公差d = ▲ ；数列}{n a 的前n 项和为n S = ▲ ；11、已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为 ▲ ,则OP 在OA方向上的投影的最大值是 ▲ 。
12、已知函数)1(+x f 是偶函数,且满足()()11f x f x +=，当2121x x ≥>≥时，0))](()([1212>--x x x f x f 恒成立，设(2016)a f =-，(2015)b f =，()c f π=，则a ，b ，c 的大小关系为 ▲ 。
13、设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，三角形的面积为S ，若22)(c b a S --=，则AAcos 1sin -= ▲ 。
14、在等腰梯形ABCD 中，已知AB 平行CD ，2,1,60AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==, 则AE AF ⋅的最小值为 ▲ 。
15、已知函数()f x 定义域为R ，若存在常数M ，使()||||f x M x ≤对一切实数均成立，则称()f x 为0F 函数，给出下列函数：①()0f x =；②()2f x x =；③()sin cos f x x x =+；④()21xf x x x =++；⑤()f x 是定义域在R 上的奇函数，且满足对一切实数均有()()1212||||f x f x x x -≤-。
其中是0F 函数的序号为 ▲ 。
（少选或多选一律不给分）三. 解答题：本大题共5题，共73分。
解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本题满分14分）在 ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin sin cos ,,sin sin cos B C BA A A成等差数列 (I)、求角A 的值；(II)、若5a b c =+=时，求ABC ∆的面积。
17、（本题满分14分）已知向量()()sin cos ,sin ,sin cos a x x x b x x x ωωωωωω=-=+，设函数()f x a b λ=⋅+ 的图像关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
(I)、求函数()f x 的最小正周期及单调减区间；(II)、若()y f x =的图像经过点,05π⎛⎫⎪⎝⎭，若集合()3,0,5A x f x t x π⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭仅有一个元素，求实数t 的取值范围。
18、（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是线段,AB BC 的中点，且1,2,DM DN ==3MDN π∠=;(I)、试用向量,AB AD 表示向量,DM DN;(II)、求,AB AD；(III)、设O 为ADM ∆的重心（三角形三条中线的交点），若AO xAD yAM =+，求,x y 的值。
19、（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比为q ()01q <<，且253491,88a a a a +==． （I ）、求数列{}n a 的通项公式；（II ）、若()2log n n n b a a =⋅，求n b 的前n 项和n T ；（III ）、设该等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，正整数,m n 满足112n n S m S m +-<-，求出所有符合条件的,m n 的值．20、（本题满分15分）已知函数()21,442,x x ax ax x af x x a-⎧-+≥⎪=⎨-⨯<⎪⎩ （I ）、若x a <时，()1f x <恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）、若4a ≥-时，函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围。
2015学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学（理科）参考答案一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。
9、 ，第二问，每空3分 10、 第一问1，第二问232n n+，每空3分11、3分 12、 b a c <<（或者a c b >>） 13、 4 14、291815、 ①④⑤（多选或少选都不给分）三. 解答题：本大题共5题，共73分。
解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本题满分14分） （I ）、由sin sin cos ,,sin sin cos B C B A A A 成等差数列知sin cos sin 2sin cos sin B B CA A A+= 法1sin cos cos sin 2sin cos sin()sin 2sin cos B A B A C A B A C C A ⇒+=⇒+== 所以1cos 23A A π=⇒=------------------------------------------------------------------------------6分 法222222222222222222122a c b b c a c b ac b c b c a bc b c a a a b c a bc+-⎛⎫+-⇒+=⇒+=⇒+-= ⎪+-+-⎝⎭所以1cos 23A A π=⇒=------------------------------------------------------------------------------6分 (II)、由余弦定理知()22223a b c bc b c bc =+-=+-------------------------------------------8分代入5a b c =+=得5bc =-------------------------------------------------------------------11分所以1sin 2S bc A ==-----------------------------------------------------------------------14分17、（本题满分14分）()()()sin cos sin cos cos f x a b x x x x x x λωωωωωωλ=⋅+=-+++2cos 22sin 26x x x πωωλωλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭------------------------------------------2分由()f x 的图像关于直线x π=对称知1112,1,62322k k k Zππωππω⎛⎫⎛⎫-=+⇒=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以56ω=----------------------------4分 （I ）、所以()52sin 36f x x πλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其最小正周期26553T ππ==---------------------6分单调减区间为266,,555k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(不用区间或集合表示扣1分) --------------8分 （I I ）、()y f x =的图像经过点,05π⎛⎫⎪⎝⎭得2sin 0156f ππλλ⎛⎫=+=⇒=- ⎪⎝⎭--------10分数形结合知实数t 的取值范围为1t =或20t -≤<---------------------------------------------14分18、（本题满分14分）（I ）、11,22DM AB AD DN AB AD =-=----------------------------------------------------4分(II)、由（I ）知2442,3333AD DN DM AB DN DM =-=------------------------------6分所以4,3AD AB ====分 (III)、由重心性质知：0AO DO MO ++=所以 ()()()()()01xAD yAM OA x AO DO y AO MO AOx y AO x DO y MO=+-=-+--=+-+-+-所以()()()11::1:1:13x y x y x y +---=⇒==--------------------------------------------14分19、（本题满分15分）（I ）、数列{}n a 的通项公式为212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------------------------------4分（II ）、()()222log 2n n n n n b a a --=⋅=错位相减法得22nn n T-=---------------------------9分（III ）、1412n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()1122462n n n S m m S m +-<⇒<-<--------------------11分 ()24n m -为偶数，因此只能取()24n m -=4,所以有122224234241n n n n m m m m ==⎧⎧==⎧⎧∨⇒∨⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩---------------------------------------15分 （采用特殊值求出答案最多给2分，即每组答案1分）20.（本小题满分15分）解: （1）因为a x <时,ax xx f -⨯-=244)(，所以令t x =2,则有at 20<<,所以1)(<x f 当a x <时恒成立，可转化为1242<⨯-att ， 即t t a124->在)2,0(a t ∈上恒成立, -------------------------------------------------------------2分. 令)2,0(,1)(at tt t g ∈-=,所以tt t g 1)(-=在)2,0(a 上单调递增, ------------------------3分. 所以a aag t g 212)2()(-=<,所以有: aaa 21224-≥. a a 225≥⇒5)2(2≤⇒a 52≤⇒a ----------------------------------------------------------4分. 5log 2≤⇒a .--------------------------------------------------------------------------------------5分.（2）当a x ≥时，1)(2+-=ax x x f ，即41)2()(22a a x x f -+-=①当02≥⇔≤a a a时，此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以)(x f 在),[+∞a 单调递增, 所以1)()(min ==a f x f ；-------------------------------------------------------------------------6分. ②当042<≤-⇔>a a a 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以)(x f 在)2,[aa 递减, 在),2(+∞a 单调递增,所以41)2()(2min a a f x f -==.---------------------------------------7分.所以由①②可得: 当a x ≥时有:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=0,104,41)(2min a a a x f .-------------------------8分. 当a x <时，ax x x f -⨯-=244)(,令t x=2,)2,0(at ∈，则a a a t t t t h 44)22(24)(22--=-=, ③当212222202>⇔>⇔<<a a a a 时，)(t h 在)22,0(a 递减，在)2,22(a a上递增 aa h t h 44)22()(min -==；-----------------------------------------------------------------------9分. ④当21222222≤⇔≤⇔≥a a a a时，)(t h 在)2,0(a 递减, )0,44())0(),2(()(-=∈a a h h t h所以,此时, )(t h 在)2,0(a上无最小值; -----------------------------------------------------------10分.所以由③④可得当a x <时有:当21>a 时, a t h x f 44)()(min min -==; 当21≤a 时,无最小值.----------------- ------------------------11分. 所以,由①②③④可得: 当21>a 时，因为144<-a ,所以函数a x f 44)(min -=;-------------------------------------12分. 当210≤≤a 时， 因为1044<<-a，函数)(x f 无最小值; -----------------------------13分. 当04<≤-a 时，413442a a-≤-<-，函数)(x f 无最小值.--------- ----------------14分.综上，当21>a 时，函数)(x f 有最小值为a 44-；当214≤≤-a 时，函数)(x f 无最小值． 所以函数)(x f 在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为),21(+∞.--------------15分.。