根与系数的关系练习题 (1)
一元二次方程根与系数的关系练习
：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1+一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是() A ．2k > B ．2,1k k <≠且 C ．2k < D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．6．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一（附答案详解）1．若x=1是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式△=b 2－4ac 和完全平方式M=2)2(b a +的关系是（ ）A ．△=MB ．△>MC ．△<MD ．大小关系不能确定2．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（ ）A ．0B ．iC ．﹣1D ．13．我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.4．阅读材料：设一元二次方程(≠0)的两根为，，则两根与方程的系数之间有如下关系：+＝－，·＝.根据该材料完成下列填空： 已知，是方程的两根，则（1）+＝ ,； （2）（）（）＝ . 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一根，那么的值是________． 6．已知如下一元二次方程:第1个方程: 01232=-+x x ；第2个方程: 01452=-+x x ；第3个方程: 01672=-+x x ； ⋯⋯按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为 ；第n (n 为正整数)个方程为 ，其两个实数根为 . 7．已知，，满足，，则关于的一元二次方程的根是________． 8．设是一元二次方程的两个实数根，且，则a =__________. 9．阅读：一元二次方程的根，与系数存在下列关系：，；理解并完成下列各题：若关于的方程的两根为、．求和；求．10．如果21,x x 分别是一元二次方程a 2x +b x +c =0（a ≠0）的两根，请你解决下列问题： （1）推导根与系数的关系：21x x +＝-a b ， 21x x ＝ac（2）已知1x ，2x 是方程2x -4x +2=0的两个实根，利用根与系数的关系求221)(x x -的值； （3）已知sin a ，cos a （0090a ＜＜）是关于x 的方程22x -0)13(=++m x 的两个根，求角a 的度数．11．阅读理解：若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理．问题解决：请你参考根与系数关系定理，解答下列问题：（1）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．（2）求方程2x2﹣3x=5的两根之和，两根之积．12．如果一元二次方程的两根为、，那么就有：，；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．如：的两根为、，则，．（1）如果方程的两根为、，且满足，，则________，________；（2）已知、是关于的方程的两实根，求的最大值．13．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；（2）若，求的值和此时方程的两根．答案： 1．A解：把x=1代入)0(02≠=++a c bx ax 得a+b+c=0. 即b=-a-c ，△△=b 2-4ac=（-a-c ）2-4ac=a 2-2ac+c2=（a-c ）2，M=（2a+b ）2=（2a-a-c ）2=（a-c ）2， 则△=M ． 2．B 解：3．-2解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x +2=0的两个根，△x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1﹣2）（x 2﹣2）=x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4=2﹣2×4+4=﹣2． 故答案为：－2． 4．（1）2011，2012；（2）2解：（1）根据题意得m+n=2012，mn=2013； （2）△m ，n 是方程x 2-2012x+2013=0的两根， △m 2-2012m+2013=0，n 2-2012n+2013=0， △m 2-2012m=-2013，n 2-2012n=-2013，△（m 2-2013m+2014）（n 2-2013n+2014）=（-m-2013+2014）（-n-2013+2014） =（-m+1）（-n+1）=mn-（m+n ）+1=2013-2012+1=2． 5．0或3解：△a 是一元二次方程x 2−3x +m =0的一个根,−a 是一元二次方程x 2+3x −m =0的一个根， △a 2−3a +m =0△,a 2−3a −m =0△，+△,得2(a 2−3a )=0， △a =或 故选：或 6．17x 2+16x-1=0，(2n+1)x 2+2nx-1=0，x 1=-1，1212+=n x 解：由题意得第8个方程为17x 2+16x-1=0，第n (n 为正整数)个方程为(2n+1)x 2+2nx-1=0[]01)12()1(=-++x n x ，解得x 1=-1，1212+=n x .7．； 解：△，△△-△得： 3a=b ，c=2a ， △ax 2+bx+c=0， △x==，△x 1==-1，x 2==-2；故答案为：x 1=-1；x 2=-2．8．8解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根， △x 2+5x 2-3=0，x 1x 2=-3， △2x 1（x 22+6x 2-3）+a=3， △2x 1x 2+a=3，△-6+a=3，△a=8，故答案是：8． 9．，；．解：△关于的方程的两根为、，△，；．10．（1）推导过程；（2）8；（3）30°或60°.解：（1）因为1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，所以224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥，即2142b b ac x a-+-=，2224(40)2b b ac x b ac a---=-≥∴1x +2x =242b b ac a -+-+242b b ac a ---=ba -；1x 2x =242b b ac a -+-×242b b ac a -+-=c a（2）△x 1，x 2是方程x 2-4x+2=0的两根， △x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42-4×2=8； （3）由题意得，31sin cos 2a a ++=，sin cos 2m a a = △2423sin cos 4a a ++=（） 即 1+23122m ⨯=+ △32m =△原方程变为22x -3(31)02x ++=，解这个方程得：112x =，232x = ∴1sin 2a =或3sin 2a =即030=a 或060a = 答：a 的值是30°或60° 11．（1）﹣2（2）x 1+x 2=32，x 1x 2=﹣52解：（1）设一元二次方程的两根为x 1，x 2，且x 1=﹣1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x 2=﹣3， 解得：x 2=﹣2． 故答案是：﹣2．（2）解：原方程可以转化为：2x 2﹣3x ﹣5=0， △a =2，b =﹣3，c =﹣5，△b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）=49＞0， △方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个实数根分别x 1，x 2，则 x 1+x 2=３２，x 1x 2=﹣５２． 12．（1）（2）解：（1）由韦达定理得，，解得m=4，n=-1；（2）△、是关于的方程的两实根，△，，△=．△的最大值是．13．（1）存在，12（2），；，解：（1）存在．△，是一元二次方程的两个实数根，△且，△的取值范围为且，根据根与系数的关系得，，△，△，△，△；（2）△，△，即，△，解得，，当时，原方程变形为，解得，；当时，原方程变形为，解得，．。
根与系数的关系韦达定理练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题共14小题1．下列一元二次方程中;两根之和为2的是A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时;小明看错一次项系数;解得两根为2;﹣3;而小华看错常数项;解错两根为﹣2;5;那么原方程为A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．2011 锦江区模拟若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2;则x1+2x2+2的值为A．﹣4 B．6C．8D．124．2007 泰安若x1;x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根;则2x12﹣2x1+x22+3的值是A．19 B．15 C．11 D．35．2006 贺州已知a;b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根;则a2﹣ab+4a的值是A．6B．0C．7D．﹣16．1997 天津若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3;则两根之积为A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+m﹣5x+7=0的两个根;则a2+ma+7b2+mb+7=A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中;∠C=90°;两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣m﹣1x+m+4=0的两个实数根;则m的值为A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根;则m2+2m+n的值为A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根;那么x13﹣4x22+19的值等于A．﹣4 B．8C．6D．012．m;n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根;则m2﹣2007m+2009n2﹣2007n+2009的值是A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根;则x12﹣x1﹣1x22﹣x2﹣1的值为A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m;n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根;则m2+n的值为A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题共5小题15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2;则x1x2+x1+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1;x2;则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1;x2;满足x12+x22=2;则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解;若m﹣1n﹣1=﹣6;则a的值为_________．三．解答题共11小题20．已知关于x的一元二次方程x2+2m﹣3x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足;求m的值．21．是否存在实数m;使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于若存在;求出m；若不存在;说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2;则当k为何值时;方程两根之比为1：3 23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣2m﹣1x+4m﹣1=0的两个根;求m的值．24．实数k为何值时;方程x2+2k﹣1x+1+k2=0的两实数根的平方和最小;并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+2k﹣1x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2;试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+kk+4=0的两个根;且满足x1﹣1x2﹣1=;求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．1求k的取值范围；2如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数;求k的值．28．已知x1;x2是一元二次方程a﹣6x2+2ax+a=0的两个实数根．1是否存在实数a;使﹣x1+x1x2=4+x2成立若存在;求出a的值；若不存在;请你说明理由；2求使x1+1x2+1为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．1若方程有两个实数根;求m的范围；2若方程的两个实数根为x1;x2;且x1+3x2=3;求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．1求实数m的取值范围；2如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22;且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题共14小题1．下列一元二次方程中;两根之和为2的是A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0;所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时;需注意;一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时;小明看错一次项系数;解得两根为2;﹣3;而小华看错常数项;解错两根为﹣2;5;那么原方程为A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数;解得两根为2;﹣3;两根之积正确；小华看错常数项;解错两根为﹣2;5;两根之和正确;故设这个一元二次方程的两根是α、β;可得：αβ=﹣6;α+β=﹣3;那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0;故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系;若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根;则有x1+x2=﹣;x1x2=．3．2011 锦江区模拟若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2;则x1+2x2+2的值为A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据x1+2x2+2=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2x1+x2+4;根据一元二次方程根与系数的关系;即两根的和与积;代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3;x1x2=﹣2．又∵x1+2x2+2=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2x1+x2+4．将x1+x2=3、x1x2=﹣2代入;得x1+2x2+2=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2x1+x2+4=﹣2+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．2007 泰安若x1;x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根;则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值;先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式;代入数值计算即可．解答：解：∵x1;x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4;x1x2=﹣4;x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+x1+x22﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．2006 贺州已知a;b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根;则a2﹣ab+4a的值是A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a;b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根;可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0;b2+4b﹣3=0;a+b=﹣4;ab=﹣3；再根据问题的需要;灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3;根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣﹣3=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系;再根据根与系数的关系求出ab的值;把所求的代数式化成已知条件的形式;代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系为：x1+x2=﹣;x1 x2=．6．1997 天津若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3;则两根之积为A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程;求出a的值后;再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3;∴a=1;∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系;在列方程时要注意各系数的数值与正负;避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a;则另一个根为3a;然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系;整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍;∴设一根为a;则另一根为3a;由根与系数的关系;得：a3a=n;a+3a=﹣m;整理得：3m2=16n;故选B．点评：本题考查了根与系数的关系;解题的关键是熟练记忆根与系数的关系;难度不大．8．a、b是方程x2+m﹣5x+7=0的两个根;则a2+ma+7b2+mb+7= A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义;知a、b满足方程x2+m﹣5x+7=0①;又由韦达定理知ab=7②；所以;根据①②来求代数式a2+ma+7b2+mb+7的值;并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+m﹣5x+7=0的两个根;∴a、b满足方程x2+m﹣5x+7=0;∴a2+ma+7﹣5a=0;即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0;即b2+mb+7=5b；又由韦达定理;知a b=7；∴a2+ma+7b2+mb+7=25ab=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式a2+ma+7b2+mb+7的值时;采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中;∠C=90°;两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣m﹣1x+m+4=0的两个实数根;则m的值为A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25;即a2+b2=a+b2﹣2ab①;然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组;即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中;∠C=90°;两条直角边a、b;∴a2+b2=25;又∵a2+b2=a+b2﹣2ab;∴a+b2﹣2ab=25;①∵a、b是关于x的方程x2﹣m﹣1x+m+4=0的两个实数根;∴a+b=m﹣1;②ab=m+4;③由①②③;解得m=﹣4;或m=8；当m=﹣4时;ab=0;∴a=0或b=0;不合题意∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时;需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根;则m2+2m+n的值为A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根;根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1;并且m2+m﹣2012=0;然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n;把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根;∴m+n=﹣1;并且m2+m﹣2012=0;∴m2+m=2011;∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系;将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根;那么x13﹣4x22+19的值等于A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次;对代数式进行化简;然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0;x22+x2﹣3=0;即x12=3﹣x1;x22=3﹣x2;所以x13﹣4x22+19=x13﹣x1﹣43﹣x2+19=3x1﹣x12+4x2+7=3x1﹣3﹣x1+4x2+7=4x1+x2+4;又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1;所以原式=4×﹣1+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算;则计算繁难;解题的关键是利用根的定义及变形;使多项式降次;如x12=3﹣x1;x22=3﹣x2．12．m;n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根;则代数式m2﹣2007m+2009n2﹣2007n+2009的值是A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义;得m2﹣2008m+2009=0;n2﹣2008n+2009=0;则有m2﹣2007m=m﹣2009;n2﹣2007n=n﹣2009;再根据根与系数的关系;得mn=2009;进行求解．解答：解：∵m;n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根;∴m2﹣2008m+2009=0;n2﹣2008n+2009=0;mn=2009．∴m2﹣2007m+2009n2﹣2007n+2009=m﹣2009+2009n﹣2009+2009=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根;则x12﹣x1﹣1x22﹣x2﹣1的值为A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义;将x1、x2分别代入原方程;求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根;∴x12+x1﹣1=0;即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0;即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1 x2=﹣1∴x12﹣x1﹣1x22﹣x2﹣1=﹣2x1﹣2x2=4x1x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系;将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m;n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根;则m2+n的值为A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义;将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m;n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根;∴m2﹣m﹣2012=0;即m2=m+2012；又由韦达定理知;m+n=1;∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题共5小题15．2014 广州若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2;则x1x2+x1+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0;然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知;方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根;则△=b2﹣4ac=4m2﹣4m2+3m﹣2=8﹣12m≥0;∴m≤;∵x1x2+x1+x22=x2+x12﹣x1x2=﹣2m2﹣m2+3m﹣2=3m2﹣3m+2=3m2﹣m+﹣+2=3m﹣ 2 +；∴当m=时;有最小值；∵＜;∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系;考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：1△＞0方程有两个不相等的实数根；2△=0方程有两个相等的实数根；3△＜0方程没有实数根．16．2013 江阴市一模若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1;x2;则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1 x2的值;再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得;x1 x2=﹣1;x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2x1+x2+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识;在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1x2=时;要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1;x2;满足x12+x22=2;则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系;根据x12+x22=x1+x22﹣2x1x2;即可得到关于a的方程;求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a;x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=x1+x22﹣2x1x2=2a2﹣2a2﹣2a+2=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0;得a1=﹣3;a2=1．又方程有两实数根;△≥0即2a2﹣4a2﹣2a+2≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积;根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示;即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知;两根之和等于﹣;两根之积等于;由两个一元二次方程分别找出a;b和c的值;计算出两根之和;然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0;得到：a=2;b=3;c=﹣1;∵b2﹣4ac=9+8=17＞0;即方程有两个不等的实数根;设两根分别为x1和x2;则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0;找出a=1;b=﹣5;c=7;∵b2﹣4ac=25﹣∴此方程没有实数根．综上;两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系;是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解;若m﹣1n﹣1=﹣6;则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解;得出m+n=3;mn=a;整理m﹣1n﹣1=﹣6;整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣解;∴m+n=3;mn=a;∵m﹣1n﹣1=﹣6;∴mn﹣m+n+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系：若方程的两根为x1;x2;则x1+x2=﹣;x1x2=．三．解答题共11小题20．2004 重庆已知关于x的一元二次方程x2+2m﹣3x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足;求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围;利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积;将转化为关于m的方程;求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零;得2m﹣32﹣4m2＞0;解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣2m﹣3;αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3;m2=1．∵m2=1＞;故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式;根与系数的关系的综合运用．21．1998 内江是否存在实数m;使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于若存在;求出m；若不存在;说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系;两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2;则有：;∴．又∵;∴m2﹣20=29;解得m=±7;∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=±72﹣40=9＞0∴存在实数±7;使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2;则当k为何值时;方程两根之比为1：3考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：;不妨设x1：x2=1：3;则可得x2=3x1;分别代入两个式子;即可求出k的值;再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：;不妨设x1：x2=1：3;则可得x2=3x1;分别代入上面两个式子;消去x1和x2;整理得：4k2﹣k=0;解得k=0或k=;当k=0时;显然不合题意;当k=时;其判别式△=1≥0;所以当k=时;方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系;解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程;注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣2m﹣1x+4m﹣1=0的两个根;求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1;ab=4m﹣1;再由勾股定理可得a2+b2=52;即a+b2﹣2ab=25;把上面两个式子代入可得关于m的方程;解出m的值;再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1;ab=4m﹣1;再由勾股定理可得a2+b2=52;即a+b2﹣2ab=25;把上面两个式子代入可得关于m的方程：2m1=25;整理可得：m2﹣3m﹣4=0;解得m=4或m=﹣1;当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0;但当m=﹣1时;ab=﹣8;不合题意a;b为三角形的边长;所以不能为负数;所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用;解题的关键是得出关于m的方程进行求解;容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时;方程x2+2k﹣1x+1+k2=0的两实数根的平方和最小;并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方于k的二次函数;求出取得最小值时k的值;再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2;由一元二次方程根与系数的关系可得：;令y=;则y==2k﹣12﹣21+k2=2k2﹣4k﹣1=2k﹣12﹣3;其为开口向上的二次函数;当k=1时;有最小值;但当k=1时;一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0;所以没有满足△≥0的k的值;所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系;解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+2k﹣1x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2;试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系;可求出x1+x2;x1 x2的值;再结合x1﹣x2=2;可求出k的值;再利用根的判别式;可求出k的取值范围;从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣2k﹣1;x1 x2==﹣2k;又∵x1﹣x2=2;∴x1﹣x22=22;∴x1+x22﹣4x1x2=4;∴2k﹣12﹣4﹣2k=4;∴k1=;k2=﹣;又∵△=2k﹣12﹣4×1×﹣2k=2k+12;方程有两个不等的实数根;∴2k+12＞0;∴k≠﹣;∴k1=;k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣;x1 x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+kk+4=0的两个根;且满足x1﹣1x2﹣1=;求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：x1﹣1x2﹣1=;即x1x2﹣x1+x2+1=;根据一元二次方程中根与系数示出两个根的和与积;代入x1x2﹣x1+x2+1=;即可得到一个关于k的方程;从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k;x1x2=kk+4;∵x1﹣1x2﹣1=;∴x1x2﹣x1+x2+1=;∴kk+4﹣k+1=;解得k=±3;当k=3时;方程为x2﹣3x+=0;△=9﹣21＜0;不合题意舍去；当k=﹣3时;方程为x2+3x﹣=0;△=9+3＞0;符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1;x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时;x1+x2=;x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．2011 南充关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．1求k的取值范围；2如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数;求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：1方程有两个实数根;必须满足△=b2﹣4ac≥0;从而求出实数k的取值范围；2先由一元二次方程根与系数的关系;得x1+x2=﹣2;x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1;即可求得k的取值范围;然后根据k为整数;求出k的值．解答：解：1∵方程有实数根;∴△=22﹣4k+1≥0;2分解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．4分2根据一元二次方程根与系数的关系;得x1+x2=﹣2;x1x2=k+15分x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣k+1．由已知;得﹣2﹣k+1＜﹣1;解得k＞﹣2．6分又由1k≤0;∴﹣2＜k≤0．7分∵k为整数;∴k的值为﹣1和0．8分点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时;一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．2012 怀化已知x1;x2是一元二次方程a﹣6x2+2ax+a=0的两个实数根．1是否存在实数a;使﹣x1+x1x2=4+x2成立若存在;求出a的值；若不存在;请你说明理由；2求使x1+1x2+1为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=;x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；1将已知等式变形为x1x2=4+x2+x1;即=4+;通过解该关于a的方程即可求得a的值；2根据限制性条件“x1+1x2+1为负整数”求得a的取值范围;然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1;x2是一元二次方程a﹣6x2+2ax+a=0的两个实数根;∴由根与系数的关系可知;x1x2=;x1+x2=﹣；∵一元二次方程a﹣6x2+2ax+a=0有两个实数根;∴△=4a2﹣4a﹣6 a≥0;且a﹣6≠0;解得;a≥0;且a≠6；1∵﹣x1+x1x2=4+x2;∴x1x2=4+x1+x2;即=4﹣;解得;a=24＞0；∴存在实数a;使﹣x1+x1x2=4+x2成立;a的值是24；2∵x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣;∴当x1+1x2+1为负整数时;a﹣6＞0;且a﹣6是6的约数;∴a﹣6=6;a﹣6=3;a﹣6=2;a﹣6=1;∴a=12;9;8;7；∴使x1+1x2+1为负整数的实数a的整数值有12;9;8;7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0a、b、c是常数的二次项系数a≠0．29．2010 东莞已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．1若方程有两个实数根;求m的范围；2若方程的两个实数根为x1;x2;且x1+3x2=3;求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：1一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根;△≥0;把系数代入可求m的范围；2利用两根关系;已知x1+x2=2结合x1+3x2=3;先求x1、x2;再求m．解答：解：1∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根;∴△=﹣22﹣4m≥0;解得m≤1；2由两根关系可知;x1+x2=2;x1x2=m;解方程组;解得;∴m=x1 x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式;两根关系的运用;要求熟练掌握．30．2005 福州已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．1求实数m的取值范围；2如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22;且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：1方程有两个实数根;必须满足△=b2﹣4ac≥0;从而求出实数m的取值范围；2利用根与系数的关系;不等式7+4x1x2＞x12+x22;即x1+x22﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系;得x1+x2=1;x1x2=．代入整理后的不等式;即可求得m的值．解答：解：1∵a=2;b=﹣2;c=m+1．∴△=﹣22﹣4×2×m+1=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0;即m≤﹣时．方程有两个实数根．2整理不等式7+4x1x2＞x12+x22;得x1+x22﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系;得x1+x2=1;x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3m+1﹣7＜0;解得m＞﹣3．又∵m≤﹣;且m为整数．∴m的值为﹣2;﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0a;b;c为常数;且a≠0;b2﹣4ac≥0;根与系数的关系是：x1+x2=;x1x2=．。
一元二次方程根与系数的关系专项训练试题
一元二次方程根与系数的关系专项训练1、已知关于x 的方程0)32(22=+-+k x k x 有两个实数根x 1、x 2，且x 1+x 2 =x 1x 2，求k 的值2、已知：关于x 的方程x 2-kx-2=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1,x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求k 的取值范围。
3、已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-2a+2=0的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22=2,求a 的值.4、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(k+1)x+k 2-3=0.（1）若此方程有两人个实数根，求实数k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1、x 2满足321121-=+x x ，求实数k 的值。
5、已知关于x 的一元二次方程k 2x 2+(1-2k)x+1=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.求k 的取值范围；（2）当k 为何值时，│x 1+x 2│-2x 1x 2=-3.6、关于x 的方程04)1(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数与等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
7、已知：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x ；其中k 为实数，（1）求证：不论k 取什么实数，方程都用两个不同的实根；（2）设方程的两根为x 1，x 2，且满足2x 1+x 2=3，求实数k 的值8、已知关于x 的方程x 2+2(2-m )x +3-6m =0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根；(2) 如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值. 9、已知关于x 的方程012)14(2=-+++k x k x . （1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若x 1、x 2是两个实数根，且32)2)(2(21-=--k x x ，求k 的值10、已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。
初三数学根与系数的关系练习题
初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。
问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
因此，已证明了问题一中的两个关系式。
问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
根与系数关系专题练习
根与系数关系专题1．已知关于x的一元二次方程20+-=（k为常数）总有实数根．x k（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．4．关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k 的取值范围；（2）若方程两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，求k 的值．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5； （2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.29．已知关于x 的一元二次方程2x 5x 2m 0-+=有实数根．()1求m 的取值范围；()2当5m 2=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．31．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.32．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．33．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．34．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．35．（7分）已知关于x 的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．36．已知关于x的方程x2−kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)−8(2x1+x2)+15=0.（1）求证：n<0;（2）试用k的代数式表示x1;（3）当n=−3时,求k的值.37．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，227x3x04+-=，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．38．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．39．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．40．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0 ．（1）如果方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）如果()()122,,3,y y 是直线(3y m x =+上两点，比较1y 与2y 的大小．根与系数关系专题一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．【答案】（1）7k -；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值，将k 的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵方程总有实数根，240k ∴∆=+≥，解得：7k -；（2）∵方程有两个相等的实数根，240k ∴∆=+=，解得：7k =-，代入方程得：270x ++=，解得：12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”． 2．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．【答案】（1）m ≥23且m ≠1，（2）k ＝3 【分析】 （1）根据判别式即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0，∴()()21044120m m m m -≠⎧⎨=---≥⎩， 解得：m ≥23且m ≠1 （2）由（1）可知：m 是最小整数，∴m ＝2，∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0，解得：x ＝0或x ＝4，∵（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，∴当x ＝0时，此时k ﹣3＝0，k ＝3，当x ＝4时，16（k +1）+4+k -3＝0，∴k ＝﹣1，∵k +1≠0，∴k ＝﹣1舍去，综上所述，k ＝3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）m ＜43且m ≠0；（2）x 1=1，x 2=3 【分析】取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜4 3又m≠0，∴m＜43且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．4．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k的取值范围；（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．【详解】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，∴k≥﹣3且k≠1．②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，∴k＝1，综上，k≥﹣3时方程有实根；（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -， ∵x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，∴（x 1＋x 2）2﹣6x 1x 2＝1，∴（41k -）2＋61k -＝1， ∴()()2161160k k ----=，∴()()18120k k ---+=，∴90,10k k -=+=，解得：k ＝9或k ＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2；（2）m =0或m =83-．【分析】（1）根据k -2≠0且240b ac -＞求解即可；（2）k =3，求得240x x k -+=的两个根为121,3x x ==，分别代入210x mx +-=计算即可．【详解】（1）∵一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴k -2≠0且240b ac -＞，∴k -2≠0且2(4)4(2)20k --⨯-⨯＞，∴k ＜4且k ≠2；（2）∵k ＜4且k ≠2，且k 是最大整数，∴240x x k -+=变形为2430x x -+=，∴(1)(3)0x x --=∴121,3x x ==，当x =1是相同的实数根时，则21110m +⨯-=，解得m =0；当x =3是相同的实数根时，则23310m +⨯-=，解得m = 83-；综上所述，m =0或m =83-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∴△=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∴(x 1+x 2)2＝16+3x 1x 2，∴4（m -1）2=16+3（m 2-1），解得：m 1=-1，m 2=9，∵m ＜1，∴m 2=9舍去，即m =-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m 的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）m ≤2；（2）m =1；另一个根为5【分析】（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；（2）把x =1代入()26410x x m -++=求出m 的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）由题意，得36-4(4m +1) ≥0，解得m ≤2；（2）把x =1代入()26410x x m -++=，得 ()16410m -++=，解得m =1；设另一根为x 2，则1+ x 2=6，解得x 2=5，∴方程的另一个根为5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m <；（2）m=-1或m=0 【分析】 （1）根据根的判别式，可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用m 表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围，再求其值即可．【详解】解：（1）由题可得，2(4)4(23)48m m ∆=--+=-方程有两个不相等的实数根，0∴∆>即480m ->．解得12m < （2）由根与系数的关系可得124x x +=，1223x x m =+．22121213x x x x +-≤)21212(313x x x x ∴+-≤即243(23)13m -+≤，解得1m ≥-由（1）可得112m -≤<又m 为整数， 1m ∴=-或0m =【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．【答案】（1）4；（2）32【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值；（2）把已知等式两边平分可得到（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，则x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，继而可得：k +1＝0或△＝0，再分别求出k ，然后根据（1）中k 的取值范围即可求得k 的值【详解】解：（1）根据题意得△＝（k +1）2﹣4（14k 2+1）≥0，解得k ≥32， x 1+x 2＝k +1，x 1x 2＝14k 2+1， ∵x 1x 2＝5， ∴14k 2+1＝5，解得k ＝±4， ∵k ≥32， ∴k 的值为4；（2）∵|x 1|＝x 2，∴x 12＝x 22，∴（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，∴k +1＝0或△＝0，∴k ＝﹣1或k ＝32， ∴k 的值为32． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．【答案】（1）4m ≤；（2）3＜4m ≤．【分析】（1）由一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，得到△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，解不等式即可；（2）先利用根与系数关系定理，得1x +2x =6，1x 2x =2m +1，代入1212220x x x x ++>，求得m 的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．【详解】（1）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，∴△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，∴9-2m -1≥0，解得：4m ≤（2）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=的两个实数根为1x 、2x ，∴1x +2x =6，1x 2x =2m +1，∵1212220x x x x ++>，∴6+2（2m +1）＞20，解得m ＞3，∵4m ≤，∴m 的取值范围是3＜4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0【分析】（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑：当k +1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k +1≠0时，根的判别式△=（k -3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k ≠-1，利用求根公式求出x 1、x 2的值，由x 1=-1和x 2为整数以及k 为正整数，即可求出k 的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0， ∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭， 解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．【答案】（1）3m 4≥-；（2）m 3= 【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=， 解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【答案】（1）1k >-；（2）12x =-，20x =【分析】（1）根据方程根的情况可得24440b ac k ∆=-=+>，求解即可；（2）将k 的值代入，求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，24440b ac k ∴∆=-=+>，解得1k >-．k ∴的取值范围为1k >-；（2）k 为（1）中的最小整数0k ∴=∴方程为220x x +=解得：12x =-，20x =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24b ac ∆=-与一元二次方程根的情况是解题的关键．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【答案】（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴22x ±=，解得1211x x ==【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键． 16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=． （1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出()1221x x m +=-，2123x x m m =-，再由122x x -=得到122x x -==，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．【详解】解：（1）∵方程222(1)30x m x m m --+-=有实数根，∴()224(1)4130m m m =--⨯⨯-≥△，解得：m≥-1；（2）∵12,x x 是方程的两个实数根，∴()1221x x m +=-，2123x x m m =-， ∵122x x -==， ∴()()2242143m m m --⎦-=⎡⎤⎣， 解得：m=0；（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=的一个解，把x=10代入方程得210020(1)30m m m --+-=，解得m 1=8，m 2=15，当m=8时，x 1+x 2=2（m-1）=14，解得x 2=4，则三角形周长为4+10+10=24； 当m=15时，x 1+x 2=2（m-1）=28，解得x 2=18，则三角形周长为10+10+18=38； 当10为等腰三角形的底边时，则x 1=x 2，所以m=-1，方程化为2440x x ++=，解得x 1=x 2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【答案】（1）m ＜54；（2）-1． 【分析】 （1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1， 利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根； （2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，3=.解得，m =﹣1（m ＜54） 故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值． 【答案】（1）见解析；（2）6b =-，8c =或12b =-，32c =．【分析】（1）求出该方程的两个根，判断两个根的关系即可．（2）根据20x bx c ++=是倍根方程，可知另一根为2或8．即可分类讨论求出该一元二次方程，即可求出b 、c ．【详解】（1）∵29180x x ++=， ()()360x x ++=，13x =-，26x =-．∵6-是3-的2倍，∴29180x x ++=是倍根方程；（2）∵20x bx c ++=是倍根方程，且有一个根为4，则另一根为2或8． ①当两根为4和2时，()()242680x x x x --=-+=，∴6b =-，8c =．②当两根为4和8时，()()24812320x x x x --=-+=，∴12b =-，32c =，综上所述：6b =-，8c =或12b =-，32c =． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据题干理解倍根方程的定义是解答本题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【答案】（1）14m ≥-；（2）14m =-.【分析】（1）根据判别式△=24b ac -≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． ∴△=22(21)4m m +-≥0, ∴14m ≥-; (2) ∵22120x x -=∴1212()()0x x x x -+=, ∴120x x -=或120x x +=, ∴△=0或2m+1=0, 解得14m =-或12m =-(舍去),∴14m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.21．关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值． 【答案】（1）34m <；（2）3- 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得()222340m m ∆=-->， 解得：34m <； （2）根据题意，得：()122332x x m m +=--=-，212x x m =∵12111x x +=，即12121·x xx x += ∴2321mm -= 解得：1m =或3m =- ∵34m <∴1m =舍去当3m =-时，20m ≠ ∴m 的值是3-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值． 【答案】（1）112m ≥-（2）2m =【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-； （2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值． 【答案】（1）k>-1；（2）1 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】 解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ， ∴111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 24．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值． 【答案】(1) 2k ≥；(2) =3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ， 解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥． 故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ， 由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ， 故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ， 整理得：2430k k -+=， 解得：12=3,1=k k ， 又由(1)中可知2k ≥， ∴k 的值为=3k ． 故答案为：=3k ． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 【答案】（1）k≤3；（2）3k =-． 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0， 解得：k≤3，故k 的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去）， 经检验，3k =-是原方程的根， 故3k =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴2(2)4(2)0k ∆=--+ 解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-， ∴1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，∴k = 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值． 【答案】(1)1k ≤；(2)k =. 【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥， ∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴()()221212122x x x x x x +-=⋅， ∴()()22222121k k --=-，解之，得：12k =，22k =-． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵1k ≤，∴k =． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．。
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一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1?x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1?x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a?3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a?b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a?b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a?b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣x12+4x2+7=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1（﹣2x2）=4x1?x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2 =3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．16．（2013?江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1?x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1?x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004?重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998?内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1?x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1?x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011?南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012?怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a ﹣6）?a≥0，且a ﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010?东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005?福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．。