高级数据结构Fibonacci堆
斐波那契堆详解+摊还分析（附带注释C代码）
斐波那契堆详解+摊还分析（附带注释C代码）题注：此代码为浙江⼤学 ADS 课程使⽤，请勿抄袭作业。
斐波那契堆是⼀种可合并堆，⽀持以下5中操作：MAKE-HEAP() : 创建和返回⼀个新的不含任何元素的堆INSERT(H, x) : 将⼀个已填⼊关键字的元素 x 插⼊堆 H 中MINIMUM(H) : 返回⼀个指向堆 H 中具有最⼩关键字元素的指针EXTRACT-MIN(H) : 从堆 H 中删除最⼩关键字的元素，并返回⼀个指向该元素的指针UNION(H1, H2) : 创建并返回⼀个包含堆 H1 和 H2 所有元素的新堆。
堆 H1 和堆 H2 由这⼀操作 “销毁”除此之外，斐波那契堆还⽀持以下两种操作：DECREASE-KEY(H, x, k) : 将堆 H 中元素 x 的关键字赋予新值 k。
假定新值 k 不⼤于当前关键字DELETE(H, x) : 从堆 H 中删除元素 x1. 斐波那契堆结构⼀个斐波那契堆是具有最⼩堆序的有根树的集合。
每个有根树都具有最⼩堆的性质。
通过 H->min 来访问斐波那契堆 H。
该结点指向具有最⼩关键字的树的根节点。
在斐波那契堆中，所有树的根都⽤其 left 和 right 指针链成⼀个环形的双链表，该双链表称为斐波那契堆的根链表。
x 的孩⼦链表也是⽤环形链表存储的， x->child 指向随机的⼀个孩⼦，兄弟间顺序随意。
结点度数为孩⼦数。
typedef struct FibNode *HeapNode;typedef struct FibNode *Position;typedef struct FibHeap *FibQueue;struct FibHeap {// 指向堆中最⼩元素Position min;// 堆中的结点个数int NodeNum;};struct FibNode {// 环形链表，分别指向左右⼉⼦Position LeftSibling;Position RightSibling;// 指向双亲和其中⼀个⼉⼦Position Parent;Position FirstChild;// 结点标记bool Mark;// 元素值int Element;// 结点度数int Degree;};势函数为了之后的摊还分析，我们定义斐波那契堆 H 的势函数Φ(H)=t(H)+2m(H)t(H) 表⽰ H 中根链表中树的数⽬，m(H) 表⽰ H 中已标记的结点数⽬最⼤度数对于摊还分析，我们先假定， n 个结点的斐波那契堆任何结点度数的上界为D(n) , 其中D(n)=O(lgn)2.可合并堆操作创建新堆// 创建⼀个新的斐波那契堆FibQueue MAKE_HEAP(){FibQueue H = new FibHeap;H->min = NULL;H->NodeNum = 0;return H;}插⼊⼀个结点插⼊操作很⽅便，只需要在根链表中插⼊⼀个结点。
python实现二叉堆中的大顶堆（大根堆）
python实现⼆叉堆中的⼤顶堆（⼤根堆）堆（英语：heap)是计算机科学中⼀类特殊的数据结构的统称。
堆通常是⼀个可以被看做⼀棵树的数组对象。
堆总是满⾜下列性质：堆中某个节点的值总是不⼤于或不⼩于其⽗节点的值；堆总是⼀棵完全⼆叉树。
将根节点最⼤的堆叫做最⼤堆或⼤根堆，根节点最⼩的堆叫做最⼩堆或⼩根堆。
常见的堆有⼆叉堆、斐波那契堆等。
他们的时间复杂度如下：Operation find-max delete-max insert decrease-key mergeBinaryΘ(1)Θ(log n)O(log n)O(log n)Θ(n)FibonacciΘ(1)O(log n)Θ(1)Θ(1)Θ(1)class BigPq(object):def__init__(self, arr: list):self.arr = arrself.mark = 1while self.mark == 1:self.build()def build(self):self.mark = 0 # 先置为零，只要经过⼀次swap函数，就再次置为1index = len(self.arr) - 1for i in range(index):if i * 2 + 2 <= index: # 如果左右两个⼦节点都存在，去⽐较他们的⼤⼩self.tri(i, i * 2 + 1, i * 2 + 2)elif i * 2 + 1 <= index: # 如果只有左⼦节点存在，去⽐较他们的⼤⼩if self.arr[i] < self.arr[i * 2 + 1]:self.swap(i, i * 2 + 1)else:breakdef tri(self, head: int, left: int, right: int):if self.arr[head] < self.arr[left]:self.swap(head, left)if self.arr[head] < self.arr[right]:self.swap(head, right)def swap(self, index_1: int, index_2: int):self.mark = 1temp = self.arr[index_2]self.arr[index_2] = self.arr[index_1]self.arr[index_1] = tempdef show(self):print(self.arr)def pop(self) -> int:self.arr[0] = self.arr[-1]temp = self.arr.pop()self.mark = 1while self.mark == 1:self.build()return tempdef push(self, value: int):self.arr.append(value)self.mark = 1while self.mark == 1:self.build()。
数据结构与算法设计考试试题
数据结构与算法设计考试试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 下列哪种数据结构适合用于快速查找一个元素：A. 数组B. 栈C. 队列D. 哈希表2. 在二叉搜索树中，中序遍历可以得到一个有序的序列。
请问下列序列中哪个是中序遍历的结果：A. 2, 4, 6, 8, 10B. 10, 8, 6, 4, 2C. 2, 6, 4, 8, 10D. 6, 8, 4, 10, 23. 下面哪种排序算法的最好情况时间复杂度为O(nlogn)：A. 冒泡排序B. 插入排序C. 选择排序D. 归并排序4. 哈希表通过将关键字映射到数组下标的方式来实现快速访问和插入。
请问下列哪种冲突处理方法是哈希表常用的：A. 开放地址法B. 建立链表法C. 折叠法D. 哈希函数法5. 堆排序是一种利用堆这种数据结构进行排序的算法，请问堆排序的时间复杂度是：A. O(n)B. O(nlogn)C. O(n^2)D. O(logn)6. Dijkstra算法是解决什么问题的经典算法：A. 最短路径问题B. 最大流问题C. 最小生成树问题D. 最长公共子序列问题7. 在图的表示中，邻接矩阵适合适用于什么类型的图：A. 稠密图B. 稀疏图C. 有向图D. 无向图8. 下面哪种搜索算法适用于有权图：A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. Dijkstra算法D. A*算法9. 下面哪种数据结构不是线性结构：A. 数组B. 链表C. 栈D. 树10. 下列哪种数据结构可以实现先进先出的特性：A. 栈B. 队列C. 哈希表D. 树二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 平衡二叉树的左子树和右子树的高度差不超过____。
2. 快速排序算法的时间复杂度为O(____)。
3. 广度优先搜索算法可以用来求解最____路径问题。
4. 图的最小生成树采用____算法来实现。
5. 哈希表的查找操作的平均时间复杂度为O(____)。
三、问答题（共5题，每题10分，共50分）1. 什么是数据结构？请举例说明一种常见的数据结构。
堆排序与斐波那契查找
•
斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点
对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数
小1，及n=F(k)-1;
•
• 开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果
也分为三种：
1）相等，mid位置的元素即为所求
以把len设置成为全局变量
• • function buildMaxHeap(arr) { // 建立大顶堆 • len = arr.length; • for (var i = Math.floor(len/2); i >= 0; i--) { • heapify(arr, i); •} •}
• function heapify(arr, i) { // 堆调整
• var left = 2 * i + 1,
•
right = 2 * i + 2,
•
largest = i;
•
• if (left < len && arr[left] > arr[largest]) {
•
largest = left;
•}
•
• if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱， 继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。
然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第 二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
建立堆
• var len; // 因为声明的多个函数都需要数据长度，所
fibonacci法的算法步骤
fibonacci法的算法步骤Fibonacci法是一种基于斐波那契数列的搜索算法，可以用于解决一些优化问题，例如最小化费用的路径问题。
本文将介绍Fibonacci法的算法步骤。
一、斐波那契数列在介绍Fibonacci法之前，我们先来了解一下斐波那契数列。
斐波那契数列是一个以0和1开始，后面每一项都等于前两项之和的数列，如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...二、Fibonacci堆Fibonacci堆是一个基于斐波那契数列的数据结构，它具有以下特点：1. 每个节点有一个指向其父节点、左兄弟节点、右兄弟节点、子节点中最小节点的指针。
2. 每个节点还有一个度数表示其子树中包含多少个子节点。
3. 所有根节点构成一个双向循环链表。
4. 堆中包含最小值节点指针。
三、Fibonacci法算法步骤1. 初始化：创建一个空堆，并将所有顶点加入堆中。
2. 循环直到堆为空或者找到目标顶点：（1）从堆中取出最小值顶点。
（2）如果该顶点是目标顶点，则结束循环。
（3）否则，将该顶点从堆中删除，并将其所有邻居的距离更新为“当前距离+边权”。
（4）对于每个邻居节点，如果其不在堆中，则将其加入堆中；否则，更新堆中该节点的值。
3. 返回结果：如果找到了目标顶点，则返回从起始顶点到目标顶点的最小距离；否则，返回无穷大。
四、Fibonacci法的优缺点1. 优点：（1）相比于Dijkstra算法和A*算法，Fibonacci法具有更快的运行速度和更低的空间复杂度。
（2）Fibonacci堆可以在常数时间内合并两个堆，因此可以用于处理动态图问题。
2. 缺点：（1）由于Fibonacci堆包含大量指针和链表操作，因此实现相对复杂。
（2）在稠密图上运行时，Fibonacci法可能会比Dijkstra算法慢。
斐波那契数列二叉树
斐波那契数列二叉树斐波那契数列是一种非常有趣的数列，它的每一项都是前两项的和。
例如，斐波那契数列的前几项是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……这个数列在数学和计算机科学中都有广泛的应用，其中一个应用就是构建斐波那契数列二叉树。
斐波那契数列二叉树是一种特殊的二叉树，它的每个节点都对应着斐波那契数列中的一个数。
具体来说，根节点对应着第n项斐波那契数，左子树对应着第n-1项斐波那契数，右子树对应着第n-2项斐波那契数。
这样，我们就可以通过斐波那契数列来构建一棵二叉树。
斐波那契数列二叉树的构建过程非常简单，我们可以使用递归的方式来实现。
具体来说，我们可以定义一个函数fibonacciTree(n)，它的返回值是一棵斐波那契数列二叉树，其中n表示根节点对应的斐波那契数列的下标。
函数的实现如下：```class TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef fibonacciTree(n):if n == 0:return TreeNode(0)elif n == 1:return TreeNode(1)else:left = fibonacciTree(n-1)right = fibonacciTree(n-2)return TreeNode(left.val + right.val, left, right)```在这个函数中，我们首先判断n的值，如果n为0或1，则直接返回一个只有根节点的二叉树。
否则，我们递归地构建左子树和右子树，然后将它们的值相加作为根节点的值，最后返回一棵完整的二叉树。
使用上面的代码，我们可以构建出斐波那契数列二叉树的任意一棵子树。
例如，如果我们想构建第5项斐波那契数列对应的子树，可以调用fibonacciTree(5)函数，得到如下的二叉树：```5/ \3 2/ \ / \2 1 1 1```这棵二叉树的根节点对应着第5项斐波那契数，左子树对应着第4项斐波那契数，右子树对应着第3项斐波那契数。
中国农业大学_821数据结构_《数据结构》实验笔记(1)
实验1 C语言基本算法练习
课程实验共安排8个难度各易的实验，训练重点在于掌握基本的数据结构，而不强调面面俱到。
通过实验，掌握抽象数据类型的概念和基本数据结构，掌握各种数据结构内在的逻辑关系，各种数据结构在计算机中的存储表示，基于各种数据结构上的基本运算、算法实现及算法分析。
●实验目的
(1) 熟悉在微型计算机上使用一种计算机高级语言的一般操作过程
(2) 掌握Turbo C 2.0上机调试程序的基本方法
●实验内容
(1) 完成1、2个递推程序，运行程序，观察程序运行的结果
(2) Fibonacci（斐波那契）数列：F n定义如下：F0 = 0，F1 = 1，F n = F n-1 + F n-2，其中n = 2，3，…。
求该数列的前40项。
(3) 猴子吃桃问题。
猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个；第二天早上又将剩下的桃子吃掉了一半，又多吃了一个；以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个，到第十天早上想再吃时，发现只剩下一个桃子了。
求第一天共摘了多少个桃子。
●实验要求
(1) 认真分析题目。
(2) 进行算法设计。
(3) 编写程序代码
(4) 上机调试程序。
(5) 保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析。
ds优化准则
ds优化准则
DS（Data Structure）优化是指针对数据结构在特定应用场景下的效率提升措施。
简而言之，DS优化准则是：
1. 根据数据访问模式选择合适的数据结构，如频繁查询时采用哈希表或有序集合。
2. 减少不必要的内存分配与拷贝，合理利用空间局部性。
3. 对于动态变化的数据集，使用自平衡二叉搜索树或跳跃表提高增删查效率。
4. 在图算法中，借助Fibonacci堆、Dijkstra算法结合pb_ds 等优化手段降低时间复杂度。
5. 使用缓存优化，如LRU缓存淘汰策略。
6. 对于数据库操作，合理创建索引并避免全表扫描。
7. 实时任务调度中，控制并发量，避免线程资源过度消耗。
总之，DS优化旨在提升程序执行速度和资源利用率，通过理论分析和实践调试，找到最适合业务场景的数据结构和算法实现。
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▪ O(n2) overall complexity.
• Min heap.
▪ O(nlog n + elog n) overall complexity.
• Fibonacci heap.
▪ O(nlog n + e) overall complexity.
Cascading Cut Example
1
7
3
2F
8
4T 5
9
6 T7 6
8
theNode
9
8
9
Decrease key by 2.
Cascading Cut Example
1
6
7
3
2F
9
8
8
4T 5
9
9
6 T7 6
Cascading Cut Example
1
6
7
7
3
2F
9
8
8
4T 5
9
9
6
12 16
6
8 33 74 5
6
1 10
4
25
4
3
7
14
Greedy Single Source All Destinations
• Known as Dijkstra’s algorithm. • Let d(i) be the length of a shortest one edge
extension of an already generated shortest path, the one edge extension ends at vertex i. • The next shortest path is to an as yet unreached vertex for which the d() value is least. • After the next shortest path is generated, some d() values are updated (decreased).
• theNode points to min element => do a remove min.
▪ In this case, complexity is the same as that for remove min.
Remove(theNode)
1
6
5
theNode
2
4
7
3
9
4
5
9
10
58
6
76
9
8
Remove theNode from its doubly linked sibling list.
Remove(theNode)
1
6
5
2
7
3
9
4
5
9
8 4
6
76
10 5
8
9
Combine top-level list and children of theNode.
10 5 9
Remove(theNode)
▪ Undefined for a root node.
Fibonacci Heap Representation A
2
1
4
4
5
9
7
3
6
76
8
8 5
5
6
9
9
• Parent and ChildCut field(theNode)
• theNode points to the Fibonacci heap node that contains the element that is to be removed.
Min Fibonacci Heap
• Collection of min trees. • The min trees need not be Binomial trees.
Node Structure
• Degree, Child, Data
• Left and Right Sibling
▪ Used for circular doubly linked list of siblings.
Operations On d()
• Remove min.
▪ Done O(n) times, where n is the number of vertices in the graph.
• Decrease d().
▪ Done O(e) times, where e is the number of edges in the graph.
doubly linked sibling list.
Insert into top-level list.
DecreaseKey(theNode, theAmount)
0
1
6
5
10 5
2
7
3
9
9
4
5
9
8
6
76
8
Cascading Cut
• When theNode is cut out of its sibling list in a remove or decrease key operation, follow path from parent of theNode to the root.
• Parent
▪ Pointer to parent node.
• ChildCut
▪ True if node has lost a child since it became a child of its current parent.
▪ Set to false by remove min, which is the only operation that makes one node a child of another.
• Encountered nodes (other than root) with ChildCut = true are cut from their sibling lists and inserted into top-level list.
• Stop at first node with ChildCut = false. • For this node, set ChildCut = true.
高级数据结构 ——Fibonacci堆 Fibonacci Heaps
Fibonacci Heaps
Insert
Actual O(1)
Remove min (or max) O(n)
Meld
O(1)
Remove
O(n)
Decrease key (or O(n) increase)
Amortized O(1) O(log n) O(1) O(log n) O(1)
• Array.
▪ O(n2) overall complexity.
• Min heap.
▪ O(nlog n + elog n) overall complexity.
• Fibonacci heap.
▪ O(nlog n + e) overall complexity.
Prim’s Min-Cost Spanning Tree Algorithm
6
Cascading Cut Example
1
6
7
4
7
3
2F
9
8
6
8
5
9
9
6
Cascading Cut Example
1
6
7
4
7
3
2T
9
8
6
8
5
9
9
6
Actual complexity of cascading cut is O(h) = O(n).
Single Source All Destinations Shortest Paths
1
6
5
2
7
3
9
4
5
9
8
6
76
8
DecreaseKey(theNode, theAmount)
1
6
5
theNode
2
4
7
3
9
4
5
9
10
58
6
76
9
If theNode is not a root and new key < parent
8
key, remove subtree rooted at theNode from its