第四章第一节微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
§4.1 微分方程的基本概念
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法 设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
简明高等数学教程教材答案
简明高等数学教程教材答案第一章：函数与极限1. 函数在数学中，函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
2. 极限极限是描述函数在自变量趋近某个值时的性质。
记作lim(x->a)f(x)=L，表示当x趋近于a时，f(x)趋近于L。
极限有一些基本的运算规则，如极限的和差、常数乘以极限等。
3. 连续性函数在某个点上连续表示它在该点的函数值与极限值相等。
一个函数在某个区间上连续，则该函数在该区间内的每个点都连续。
4. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
微分是指函数在某点附近的变化量与自变量变化量的比值。
第二章：微分学1. 函数的导数函数的导数表示函数在某一点上的变化率，记作f'(x)或者dy/dx。
导数具有一系列的性质，如和差的导数、数乘的导数、乘法法则、除法法则等。
2. 高阶导数一个函数的高阶导数表示它的导数的导数。
记作f''(x)或者d^2y/dx^2。
高阶导数可以帮助我们研究函数的曲线特性。
3. 微分中值定理微分中值定理是微分学的重要定理之一，它描述了函数在某个区间内必然存在一个点，使得该点的导数等于该区间内的平均斜率。
4. 泰勒展开泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷个项的有限和来表示的方法。
泰勒展开可以用来近似计算函数的值。
第三章：积分学1. 定积分定积分是Riemann和的极限形式，表示函数在某个区间上的累积效应。
定积分可以用来计算曲线下面的面积或者描述某个变化量的累积。
2. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
不定积分的结果通常用∫f(x)dx表示。
3. 定积分的应用定积分在科学与工程中有广泛的应用，如计算物体的体积与质量、求解曲线长度与弧长、计算功与能量等。
4. 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是定积分与不定积分之间的基本联系，它指出了一个函数的不定积分与定积分之间的关系。
第四章 第一节微分方程的概念
2
2
dy dx
4x
0;
(4) cos(y) ln y x 1.
解 (1) 该方程是一阶线性微分方程, 因方程中含有的 dy 和 y 都是一次. dx
(2) 该方程是一阶非线性微分方程, 因方程中含有的 dy 的平方项. dx
(3) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有的 dy 的三次方. dx
根据题意, x x(t) 还需满足条件 x(0) 0, dx 0. dt t0
O m x=x(t)
x 图4-2
21
第四章 微分方程
例 6 试指出下列方程是什么方程, 并指出微分方程的阶数.
(1) dy x2 y; dx
(3)x
d2 y dx2
2
dy dx
3
5xy
0;
(2)x
dy dx
d2s dt 20Fra bibliotek4(称为二阶微分方程)
(4)
此外, 未知函数 s s(t) 还应满足下列条件:
t 0 时, s 0 , v ds 20 dt
简记为 s |t0 0 , s ' |t0 20 . (两个初始条件)
(5)
7
第四章 微分方程
例 2 列车在平直线路上以 20m/ s (相当于 72km/h )的速度行驶, 当制动时列
F (x,(x),(x),(x) , (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.
16
第四章 微分方程
3､微分方程的解: 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解). 一 般地, 微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 方程的通解是一类 解, 而不是指方程的“全部解”. 实际上, 我们在求解方程时得到一些解, 很难说 明这些解是否构成了方程的“全部解”, 这种工作有时会比求解方程本身还困难, 而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作, 因此我们将关注点放在求方程 的通解和特解上. 注 这里所说的相互独立的任意常数, 是指它们不能通过合并而使得通解 中的任意常数的个数减少.
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。
教学重点：微分方程的概念 通解的概念教学难点：区分特解与通解教学时数：2教学内容：一、 两个引例例1：一条曲线过点()0,1，且在该曲线任意点(,)M x y 处的切线斜率都为2x ，求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为()y f x =根据题意和导数的几何意义，得2dy x dx= 且当0x =时，1y =。
例2：一质量为m 的物体只受重力作用由距地面h 米处开始下落，试求物体下落的运动方程。
解 ：设物体下落距离s 与时间t 的关系为 ()s s t =依题意和二阶导数的物理意义，得g td s d 22=（其中g 为重力加速度） 且当0t =时,0s =且0v =。
以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
二、基本概念定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。
定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。
求微分方程解的过程叫做解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。
为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。
例如，例1的初始条件记为01x y ==；例2的初始条件记为000,0t t ds s dt ==== 评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是00x x y y ==；如果是二阶的，其初始条件是00x x y y ==，00x x y y =''=，其中0,0,0x y y '都是给定的值。
微分方程的基本概念
教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法
教学重点：可分离变量的微分方程的解法
教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容:
本节开始•我们讨论一阶微分方程
的一些解法.
一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：
P(x,
在方程(2)中，变与y对称，它既可以看作是以为才自变量、y为未知函数的方程
解设曲线方程为y=y(x).由导数的几何意义可知函数y=y(x)满足
^ = 2x(1)
dx
同时还满足以下条件：
x = l时,y= 2(2)
把(1)式两端积分，得
y=J2xdx即y = x2+C(3)
其中C是任意常数。
把条件(2)代入(3)式，得
C = l,
由此解出C并代入(3)式，得到所求曲线方程：
—=
y
两端积分=兀厶，
得hi|y| = x2+C|,
从而
又因为土e©仍是任意常数，把它记作C便得到方程(7)的通解
y
例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断 减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量“ 成正比。已知)=0时铀的含量为M。，求在衰变过程中含量M(/)随时间变化的规律。
教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程
教学内容：一、线性方程
1.定义 方程—+P(x)y=QM(1)称为一阶线性微分方程。dx
特点关于未知函数y及其导数卩是一次的。
若Q(X)=0，称(1)为齐次的；
若Q(x)0,称(1)为非齐次的。
如：
2、解法
当Q(X) =0时，方程(1)为可分离变量的微分方程。
微分方程基本概念
微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。
一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。
二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。
常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。
根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。
将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。
通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。
4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。
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第四章第一节微分方程的基本概念基本内容1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数)(xyy=称为微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。
习题选解1.试指出下列各微分方程的阶数（1）220 x dy y dx-=解：一阶（2）43()0 y y y y''''''-=解：二阶（3）220 d Q dQ QL Rdt Cdt++=解：二阶。
（4）(76)()0 x y dx x y dy-++=解：一阶（5）2sin ddρρθθ+=解：一阶（6）(5)20 y y y y''''-++=解：5阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1）30dy xy dx +=，3C y x = 解：因为343()dy C Cdxx x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C xy dx x x +=-+==右边，所以3C y x =是微分方程的解。
（2）222220d y dyx x y dx dx -+=， 223y x x =-解：因为2(23)26dy x x x dx '=-=-，22(26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边222222262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以223y x x =-是微分方程的解。
（3）0222=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+=解：因为1212(cos sin )sin cos dSC t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+，22212122(sin cos )cos sin d SC t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos )d S dSC t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是微分方程的解。
（4）0)(=++xdy dx y x ，x x C y 22-=解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2)(2dx xy d -=，即xdx xdy ydx 2)(2-=+。
从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22-=是微分方程的解。
（5）02=-'xy y ，⎰-+=xt x x dteee y 0222解：因为22222222222()22221xxxx xt x xt x x x xt y e e e dt xe xe e dt e e xe xe e dt ----''=+=++=++⎰⎰⎰，代入方程，得到 左边22222222212()10xxx xt x x t y xy xe xe e dt x e ee dt --'=-=++-+=≠=⎰⎰右边，所以⎰-+=xt xx dte e e y 0222不是方程的解。
（6）y x y y x -='-2)2(，C y xy x =+-22解：方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得：022='+'--y y y x y x ，解得x y xy y --='22，代入微分方程，得：左边=y x -2=右边，所以C y xy x =+-22是方程的解。
3.在下列各题中，确定函数关系中的常数，使函数满足所给的初始条件（1）,1)1(22=--x C y 2-==x y解：将2,0-==y x 代入方程，得：14=-C ，所以3=C 。
函数为223(1)1y x --=。
（2）x e x C C y 221)(-+=，==x y ，10='=x y解：由xex C C y 221)(-+=，得：xe C y 22-='x e x C C 221)(2-+-，将0,0==y x 代入原微分方程，1,0='=y x ；代入x e C y 22-='xe x C C 221)(2-+-，得：⎩⎨⎧-==121210C C C ，所以1,021==C C 。
函数为x xe y 2-=。
（3）)sin(21C x C y -=，1==πx y，='=πx y ；解：将1,==y x π代入原方程，得：=1)sin(21C C -π，所以01≠C ，又='y )c o s (21C x C -将0,='=y x π代入，得：=0)cos(21C C -π，从而0)cos (2=-C π，22ππ=-C ，22π=C ，代入=1)sin(21C C -π，得：11=C 。
函数为)2sin(π-=x y ，即x y cos -=。
4.设函数)()1(2x u x y +=是方程2)1(12+=+-'x y x y 的通解，求)(x u 。
解：由)()1(2x u x y +=，得：++=')()1(2x u x y )()1(2x u x '+，代入微分方程，得： 左22222(1)()(1)()(1)()11y y x u x x u x x u x x x ''=-=+++-+++22(1)()(1)x u x x '=+=+=右，从而1)(='x u ，C x dx x u +==⎰1)(。
5.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y yx '-点，由题意，切点),(y x 是),0(y x y '-和)0,(y yx '-两点的中点，所以有：x y y x ='-)(21（或y y x y ='-)(21），即所求微分方程为0='+y x y（2）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意有：2x y x y ='-。
（3）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标与纵坐标的平均值；解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意，有：2yx y x y +='-。
（5）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1。
解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y y x '-点，由题意，有：1|()()|12yy xy x y '--='。
第四章第二节一阶微分方程 基本内容1. 可分离变量方程：如果一个一阶微分方程能写成dx x f dy y g )()(=的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
可分离变量方程求解方法为等式两边同时积分。
2. 齐次方程：如果一阶微分方程化为⎪⎭⎫⎝⎛=x y dxdy ϕ，则称此方程为齐次微分方程。
齐次方程求解方法为引入变量替换x yu =，代入齐次方程,到可分离变量方程。
3. 一阶线性方程：)()(x Q y x P dx dy=+称为一阶线性微分方程，如果 0)(≡x Q ，方程称为齐次的;如果)(x Q 不恒等于零，则方程称为非齐次的。
齐次线性方程求解公式为⎰-=dxx P Cey )(；非齐次的线性方程求解公式为[]dxe x Q C e y dx x P dxx P ⎰⎰-+⎰=)()()(。
4. 贝努利方程：形如()()ndyP x y Q x y dx +=(0,1)n ≠的方程称为贝努利方程。
当0=n 时,它是一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dx dy=+；当1=n 时,它是一阶线性齐次微分方程0)]()([=-+y x Q x P dx dy。
贝努利方程求解方法为等式两边同除以ny ，得到111()()()(1)()(1)()n nnn dy d y yP x y Q x n P x y n Q x dx dx----+=⇒+-⋅=-。
令n y z -=1 ，方程转化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+。
求出这方程的通解后,以代z ，便得到伯努利方程的通解。
习题选解1.求下列微分方程的通解 （1）0ln =-'y y y x解：原微分方程为0ln =-y y dx dy x，分离变量，得：x dx y y dy =ln ，两边积分⎰⎰=x dx y y dy ln ，得到1ln ||ln |ln |ln C x y +=，即|||ln |1x C y =，x C y 1ln ±=。