第五节 数字高通、带通和带阻滤波器的设计

T 若用双线性变换法： 若用双线性变换法：Ω= 2 tan 1ω) ( T 2
例：设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率 数字高通滤波器 通带衰减不大于3dB，阻带截止频率 s=0.44πrad,阻带衰减 ，通带衰减不大于 ，阻带截止频率ω 阻带衰减 不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 不小于 。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解： (1)数字高通的技术指标为 数字高通的技术指标为 ωp=0.8πrad, α p=3dB; ωs=0.44πrad, α s=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下： 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有 ， 1 Ω p = 2 tan ω p = 6.155rad / s, α p = 3dB 2 1 15dB Ω s = 2 tan ω s = 1.655rad / s, α s = 3dB 2
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下： 模拟带通滤波器技术指标如下： 设T=1，则有 ，
1 Ωu = 2 tan ω u = 1.453rad / s 2 1 Ωl = 2 tan ω l = 1.019 rad / s 2 1 Ω s 2 = 2 tan ω s 2 = 2 rad / s 2 1 Ω s1 = 2 tan ω s1 = 0.650rad / s 2 Ω0 = Ωu Ωl = 1.217rad / s (通带中心频率 通带中心频率) 通带中心频率 B = Ωu − Ωl = 0.434 rad / s (带宽 带宽) 带宽
H ( z ) = H a ( s)
1− z −1 s =2 1+ z −1
实际上(5)、 两步可合并成一步 两步可合并成一步， 实际上 、(6)两步可合并成一步，即
H(z) = G(s)
11+z−1 s= 21−z−1
0.106(1− z−1)2 0.0653(1− z−1)2 H(z) = = −1 −2 1.624+1.947z +0.566z 1+1.199z−1 +0.349z−2
将以上边界频率对带宽B归一化， 将以上边界频率对带宽 归一化，得到 归一化 ηu=3.348,ηl=2.348; ηs2=4.608,ηs1=1.498; η0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标： 模拟归一化低通滤波器技术指标： λp=1
2 2 ηs2 −η0 = 2.902 λs = ηs2
数字高通、 第五节 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟 滤波器的技术指标，转换公式为： 滤波器的技术指标，转换公式为： ω 若用脉冲响应不变法： 若用脉冲响应不变法： = Ω (3) 将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技 术指标。 术指标。 (4) 设计模拟低通滤波器。 设计模拟低通滤波器。 (5) 将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6) 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。
10 p − 1 k sp = = 0.1803 0.1α s 10 −1
N =2
查表得到归一化模拟低通传输函数G(p)为 为 查表得到归一化模拟低通传输函数
1 G( p) = 2 p + 2p +1
为去归一化， 为去归一化，将p=s/
代入上式得到： c代入上式得到：
2 Ωc G( s) = 2 2 s + 2Ω c s + Ω c
归一化， c归一化，这里
c=
p,
Ωs λ p = 1, λs = = 3.71 Ωp
(4) 设计归一化模拟低通滤波器 设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数 。 N计算如下： 计算如下： 计算如下
N =−
lg k sp lg λsp
0.1α
λs = 3.71 λsp = λp
N = 1.31,
1 − z −1 下面将(5)、 两步合成一步计算 两步合成一步计算： 下面将 、(6)两步合成一步计算： s = 2 1 + z −1
2 s2 + Ω0 5.48 − 4.5 z −1 + 7.481z −2 p= = −1 s ( Ω u − Ω l ) s = 2 1− z 0.868(1 − z − 2 ) 1+ z −1
1 G( p) = 2 p + 2p +1
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通： 将归一化模拟低通转换成模拟带通：
H a ( s ) = G ( p) p=
2 s2 +Ω0 s(Ω u −Ω l )
(6)通过双线性变换法将 a(s)转换成数字带通滤波器 通过双线性变换法将H 转换成数字带通滤波器 转换成数字带通滤波器H(z)。 通过双线性变换法将 。
例：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad 设计一个数字带通滤波器，通带范围为 数字带通滤波器 到 通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和 以下和0.5πrad以上为 ，通带内最大衰减为 ， 以下和 以上为 阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通 阻带，阻带内最小衰减为 。 滤波器。 滤波器。 解: (1)数字带通滤波器技术指标为 数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 ：ωu=0.4πrad 通带下截止频率 ：ωl=0.3πrad 阻带上截止频率 ：ωs2=0.5πrad 阻带下截止频率 ：ωs1=0.2πrad 通带内最大衰减α 通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB ，阻带内最小衰减α
(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成 ， 的变量换成1/s， 的变量换成 得到模拟高通H 得到模拟高通 a(s):
1 Ω2 s 2 H a ( s) = G( ) = 2 2 c s Ω c s + 2Ω c s + 1
(6) 用双线性变换法将模拟高通 (s)转换成数字高通 用双线性变换法将模拟高通H 转换成数字高通 转换成数字高通H(z)： ：
(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下： 模拟低通滤波器的技术指标计算如下： 模拟低通滤波器的技术指标计算如下
1 = 0.163rad / s, α p = 3dB 6.155 1 Ωs = = 0.604rad / s, α s = 15dB 1.655 Ωp =
将
p和
截止频率 s对3dB截止频率
αp=3dB, αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器
10 −1 = 0.127 k sp = 0.1α s 10 −1
0.1α p
λs λsp = = 2.902 λp
lg 0.127 N =− = 1.940, lg 2.902
N =2
查表得到归一化低通传输函数G(p)： ： 查表得到归一化低通传输函数
将上面的p等式代入 将上面的 等式代入G(p)中，得 等式代入 中
0.021(1 − 2 z −2 + z −4 ) H ( z) = −1 −2 −3 −4 1 − 1.491z + 2.848 z − 1.68 z + 1.273z
பைடு நூலகம்
IIR数字滤波器技术指标 数字滤波器技术指标 脉冲响应不变法 双线性变换法 模拟滤波器技术指标 原型变换 模拟低通原型滤波器技术指标 巴特沃斯逼近法 切比雪夫逼近法 设计模拟低通原型滤波器 原型变换 各经典类模拟滤波器 脉冲响应不变法 IIR数字滤波器 数字滤波器 双线性变换法 其他逼近法