2005年高考数学试卷(详细解答)(广东卷)

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
第一部分选择题(共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
( 6 )函数 是减函数的区间为（）
A． B． C． D．（0，2）
【答案】D
解:∵
，故选D．
( 7 )给出下列关于互不相同的直线 、 、 和平面 、 ，的四个命题：
①若 ，点 ，则 与 不共面；
②若m、l是异面直线, ,且 ，则 ；
③若 , ，则 ；
④若 点 ， ，则 ．
其中为假命题的是
A．①B．②C．③D．④
( 1 )若集合 ，则M∩N （）
A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}
【答案】B
解:∵由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴M∩N ，故选B．
( 2 )若 ，其中a、b∈R，i是虚数单位，则 =（）
A．0B．2C． D．5
【答案】D
解:∵ ，∴ ，
， ，故选D．
( 3 ) =（）
A． B．0C． D．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解法一：
（Ⅰ）∵直线 的斜率显然存在，∴设直线 的方程为 ，
，依题意得
，①
∴ ，② ③
∵ ，∴ ，即 ，④
由③④得， ，∴
如图3所示，在四面体 中，已知 ，
． 是线段 上一点， ，点 在线段 上，且 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
【答案】
(Ⅰ)证明：在 中，∵
∴
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，
同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，
△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．
在 中，∵
∴ ∴
【答案】C
解：③是假命题，如右图所示
满足 , ，
但 ，故选C．
( 8 )先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子
朝上的面的点数分别为X、Y，则 的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
解：满足 的X、Y有(1,2)，(2,4)，(3,6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以 ，故选C．
绝密★启用前试卷类型：A
2005年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
(13)已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则
．
【答案】
解： 的通项为 ， ，
∴ 的展开式中 的系数是 ,
的通项为 ， ，
∴ 的展开式中 的系数是
∴ ， .
(14)设平面内有 条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 表示这 条直线交点的个数，则 =____________；当 时， ．（用 表示）
∵函数 和 的图像关于直线 对称，
∴ ，故选A．
(也可以用特殊点检验获得答案)
（10）已知数列 满足 ， ， ．若 ，则
A． B．3C．4D．5
【答案】B
解法一：特殊值法，当 时，
由此可推测 ，故选B．
解法二：∵ ，∴ ， ，
∴ 是以（ ）为首项，以 为公比6的等比数列，
令 ，则
…
…
∴ ，∴ ，故选B.
， ， ， ，
∵ 为平面ABC的法向量，
为平面ABC的法向量，
∴ ，
∴二面角B—CE—F的大小为 ．
(17)（本小题共14分）
在平面直角坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点 的两不同动点Ａ、Ｂ满足 （如图４所示）
（Ⅰ）求 得重心 （即三角形三条中线的交点）
的轨迹方程；
（Ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出
(9)在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像
关于直线 对称．现将 图像沿x轴向左平移２个单位，
再沿y轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线
（如图２所示），则函数 的表达式为
A． B．
C． D．
【答案】A
解：将图象沿y轴向下平移１个单位，再沿 轴向右平移２个单位得下图A，从而可以得到 的图象，故 ，
【答案】5，
解：由图B可得 ，
由 ， ， ，
，可推得
∵n每增加1，则交点增加 个，
∴
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
( 15 )（本小题满分12分）
化简 并求函数 的值域和最小正周期.
【答案】
解:
∴ ， ，
∴ 的值域是 ，最小正周期是 ．
( 16 )（本小题共14分）
解法三：∵ ，∴ ，
∴其特征方程为 ，
解得 ， ，
，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，以下同解法二．
第二部分非选择题(共100分)
二．填空题：本大题共4小题目，每小题5分，共20分．
(11)函数 的定义域是．
【答案】
解：使 有意义，ห้องสมุดไป่ตู้ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的定义域是 ．
(12)已知向量 ， ，且 ，则 ．
【答案】4
又∵
∴
（II）
解法一：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
∴CE⊥平面PAB，而EF 平面PAB，
∴EF⊥EC，
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角，
∵
∴ ，
∴二面角B—CE—F的大小为 ．
解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，
建立空间直角坐标系C－xyz，则
【答案】A
解: ，故选A．
( 4 )已知高为３的直棱锥 的底面是边长为１的正三角形
（如图１所示），则三棱锥 的体积为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
解:∵
∴ ．
故选D.
( 5 )若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则m=（）
A． B． C． D．
【答案】B
解:∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故选B．