对数不等式解
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
指数、对数不等式的解法
log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10) 0
3 3
解：原不等式可以化为 log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10)
1 因为上不等式中所含的 以 为底的对数函数是减函 数， 3 所以以上不等式成立， 当且仅当 x 2 3 x 4 0 2 x 10 0 成立. x 2 3 x 4 2 x 10 解这个不等式组，得
2
2
Bu C 0
求使这个一元二次不等 式成立的u的范围，
使 loga x在这个范围的 x的值的集合 , 就是原不等式的解集。
指数式、对数式不等式的解法-----练习
解不等式： 1 ( 1) . 2
1 2
x 2 1
x 2 1
1 4
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
中考数学解题技巧如何解决含有指数和对数的不等式组题
中考数学解题技巧如何解决含有指数和对数的不等式组题不等式组是中考数学中常见的题型之一，而含有指数和对数的不等式组题则更加复杂和考验解题技巧。
本文将介绍一些解决这类题目的技巧和方法。
一、基础知识回顾在解决含有指数和对数的不等式组题之前，我们需要先回顾一些基础知识。
请注意，本文的重点是解题技巧而非对基础知识的讲解，因此只会进行简要回顾。
1. 指数规律- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$- $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$- $(a^m)^n = a^{mn}$- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$- $a^0 = 1$2. 对数规律- $\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$- $\log_a \left(\dfrac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$- $\log_a m^n = n \cdot \log_a m$- $\log_a 1 = 0$- $\log_a a = 1$二、解题技巧和方法当我们遇到含有指数和对数的不等式组题时，可以采用以下的解题技巧和方法。
1. 指数不等式组的解法对于形如 $a^x > b^x$ 或 $a^x < b^x$ 的指数不等式，我们可以利用取对数的方式来求解。
以 $a^x > b^x$ 为例，可以取对数得到 $\log_a(a^x) > \log_a(b^x)$，进一步化简为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。
根据指数函数和对数函数的单调性，我们可以得到解集为 $x > \dfrac{\log_a b}{\log_a a}$。
当指数不等式组中存在多个不等式时，我们可以将每个不等式都转化为以指数为底的对数去掉指数，然后进行比较得出结果。
2. 对数不等式组的解法对于形如 $\log_a(x) > \log_a(y)$ 或 $\log_a(x) < \log_a(y)$ 的对数不等式，我们可以利用对数函数的单调性和对数规律来求解。
指、对数不等式的解法
指、对数不等式的解法【知识要点】1． 化同底把指数不等式和对数不等式转化为代数不等式： （1）()()()()1()()01f xg x f x g x a aaf xg x a >>⎧>⇔⎨><<⎩；（2）当1a >时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩当01a <<时，()0log ()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩2． 通过换元法把指对数不等式转化为代数不等式： （1） 形如20x x Aa Ba C ++>的不等式可以换元x t a =。
（2） 形如2log log 0a a A x B x C ++>的不等式可以换元log a t x =。
3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，Na Na=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log Nlog M log N M log N log M log (MN)log a na a a a a a a Mn M【精选例题】例1．不等式组22|2|2log (1)1x x -<⎧⎨->⎩的解集为 ( )(A)； (B),2)； (C),4)； (D) (2,4)。
例2．解不等式 （1）2415210xx -+⋅-≤（2）2lg 4lg 30x x -+<。
例3．已知函数()log a f x x =满足2(3)(2)f a f a -<，求实数a 的取值范围。
【基础训练】1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=<，M N = （ ）.A ∅ .{|23}B x x << .{|02}C x x << .{|2}D x x <2．不等式2123139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______________。
指数不等式和对数不等式解法
对数不等式的解法 a>1时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
对数不等式的解法（0<a<1） 时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
河南省泌阳县职业教育中心 周祥松
指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代 数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
所以原不等式的解集为 x | 1 x 3
例2 ax22x ax4,(a 0且a 1)
解 (1)当a 1时，
(2)当 0 a 1时，
a x22x a x4
a x2 2x a x4
x2 2x x 4
x2 2x x 4
x2 3x 4 0
x2 3x 4 0
1
0
3x 2 x 1
x
2 3
x 1
x
3
2
2 x 3
3
2
所以原不等式的解集为：
x
|
2 3
x
3
2
例4 解不等式3x1 18 3x 29
解:原不等式可化为： 3 (3x )2 29 3x 18 0
(3x 9)(3 3x 2) 0
3x 9或 3x 2
3
x
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0
指数不等式、对数不等式的解法·例题.
指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。
解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。
[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。
注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。
解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t 2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。
注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。
解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。
这时也常常用到换元法。
例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。
解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。
指数不等式、对数不等式的解法·例题
指数不等式、对数不等式的解法·例题?例5-3-7? 解不等式：解? (1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为注? 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8? 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。
解? [法一]? 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。
[法二]? 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。
注? 解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。
解? 原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。
注? 解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。
解? 原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注? 解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。
这时也常常用到换元法。
例5-3-11? 设a＞0且a≠1，解不等式解? 原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注? 解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12? 设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。
一元对数不等式的解法
一元对数不等式的解法简介本文将讨论一元对数不等式的解法。
一元对数不等式是含有对数函数的不等式，解法相较于一元代数不等式稍有不同。
在解一元对数不等式时，我们需要注意对数的定义域以及其性质。
解法步骤以下是解一元对数不等式的一般步骤：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此需要确保不等式中对数的底数大于0且不等于1。
2. 转化不等式：根据不等式的形式，可能需要对不等式进行化简或转化，以便更好地处理对数。
3. 解转化后的不等式：根据不等式的形式，可以采用以下几种方法解转化后的不等式：- 将不等式转化为对数形式，然后利用对数性质进行简化和求解。
- 对不等式两边同时取对数，然后用代数法解方程。
- 根据对数的单调性和不等式的性质，直接确定不等式的解集。
4. 检验解的有效性：对于解集中的每个解，需要检验其在原始不等式中是否满足，并排除不符合条件的解。
示例以下是一个解一元对数不等式的示例：问题：解不等式 $\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解不等式$\log_2{(x-1)} > \log_2{(x+1)}$解法：1. 确定对数的定义域：对数函数的定义域为正实数集，因此要求 $x-1 > 0$，即 $x > 1$。
2. 转化不等式：将不等式两边同时取指数得到 $2^{\log_2{(x-1)}} > 2^{\log_2{(x+1)}}$。
3. 解转化后的不等式：由于对数函数和指数函数是互反函数，因此可以简化为 $(x-1) > (x+1)$。
4. 解简化后的不等式：将不等式化简为 $-1 > 1$，此不等式显然不成立，因此原始不等式无解。
检验解的有效性：由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。
由于原始不等式无解，不需要进行解的检验。
结论通过以上步骤，我们可以解一元对数不等式。
在解题过程中，我们需要充分理解对数的定义域和性质，以选择合适的解法和进行正确的运算。
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所以，a>1
原不等式同解于不等式组 2<x<5 x2-x-2>0
x2-x-2<3x+3
原不等式的解集为{x|2<x<5}.
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例3、解不等式： loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2 (a>0且a≠1)
解：原不等式即： loga(4+3x-x2)>loga2 (2x-1) 1 2x-1>0 <x<2 (1) a>1 时，有 2 4+3x-x2>2 (2x-1)
3 loga x 0 解：原不等式同解于 log x 1 0 a 2 loga x 1 3 loga x loga x 3 loga x 1 1 loga x 2 log x 2或 log x 5 a a
所以，当a>1时，原不等式的解集为{x|a≤x<a2};
(2)0<a<1时，有 4+3x-x2>0 4+3x-x2<2 (2x-1) 2<x<4
所以，原不等式的解集为：
Байду номын сангаас
1 (1)a>1时，{x| <x< 2} 2
(2)0<a<1时,{x|2<x<4}
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例4、解不等式
loga x 1 3 loga x(a 0且a 1)
logaMn= nlogaM
5、单调性：（1）a>1时，为 增
（2）0<a<1时，为 减
函数；
函数。
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对数不等式
log1 ( x 3x 4) log1 (2 x 10) 例1、解不等式：
2
解：因为函数y=log 1 x的定义域是（0，+ ∞）， 3 x2-3x-4>0 且在定义域内是减函数， 所以，原不等式同解于不等式组： 2x+10>0
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当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x ≤a}.
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底 数
不
确
定
型
logx0.8<1
logx 2 (x 2) 1
A {x | logx (5x 8x 3) 2}
2
B {x | x 2x 1 k 0}
2 4
如果A B, 求k范围
0<f(x)<g(x) 练习 解下列不等式：
(0<a<1)
(1) log 4 (x2-5x-6)>log 4 (2x+12)
5
5
(2) lg(x2-2x-15)<lg(x+13)
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例2、已知当x=3时，不等式loga(x2-x-2)<loga(3x+3) 成立，求此不等式的解集. 解：x=3时, x2-x-2=4，3x+3=12, 此时， loga4<loga12
对数不等式的解法
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复习巩固：
logaa =1. 2、运算法则：loga(MN)= logaM+logaN 1、loga 1 =0,
M loga N = logaM-logaN
1 log a M loga n M = n log b N (b 0且b 1) 3、换底公式：logaN= log b a 4、定义域： （0，+∞） 值域：R
3
3
x2-3x-4>0
①
x2-3x-4<2x+10
x2-3x-4<2x+10 ②
不等式①的解集是{x|x<-1或x>4}，
不等式 ②的解集是{x| -2 < x<7}，
所以，原不等式的解集是{x|-2<x<-1,或4<x<7}.
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结论：
logaf(x)>logag(x)
f(x)>g(x)>0 (a>1)
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需
要
转
化
的
类
型
loga x 1 3 loga x
log2 (2 1) log2 (2
x x 1
2) 2
x
loga x
a x (a 1)
4 3
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