投影与视图—知识讲解
投影的基本知识、三面投影与三视图
一、投影的概念
投影——空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。
投影法——在投影面上作出物体投影的方法称为投影法
二、投影法的种类
1．中心投影法：
特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。
同学观看图片：
结论：
从图中可以看出，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线．
难点
三视图的投影规律
教学对
象分析
课程的学习者是中职学校一年级学生，在前期的学习过程中已经具备了平面几何的相关知识，在中学初步了解了投影等基础知识，具备了一定的空间思维能力。通过学习《机械基础》等课程，掌握了机械零部件的结构、装配要求等知识。
教法学法
直观讲授、启发、小组讨论、任务驱动、练习
教学资源
人教版九年级下册数学《由三视图确定几何体的面积或体积》投影与视图研讨复习说课教学课件
6. 某一空间图形的三视图如图所示，其中主视图是半径为1的半圆以及高为 1
的矩形；左视图是半径为1 的四分之一圆以及高为1的矩形；俯视图是半径为
1
的圆，求此图形的体积
(参考公式：V球＝
4 3
πR3)．
解：由已知可得该几何体是一个下部为圆柱，上部为
1/4球的组合体．由三视图可得，下部圆柱的底面 半径为1，高为1，则V圆柱＝π，上部1/4球的半径 为1，则V1/4球＝π/3，故此几何体的体积为4π/3.
15
15
10 主视图
12 左视图
解：长方体，其体积为10×12×15=1800(cm3).
10 俯视图
新知讲解
例2：如图是一个几何体的三视图，根据所示数据，求该几何体的表面积和体积.
分析：由三视图可知该几何体是由圆柱、长方体组合而成.分别计算它们 的表面积和体积，然后相加即可.
新知讲解
解：该图形上、下部分分别是圆柱、长方体，根据图中数据得: 表面积为20×32π+30×40×2+25×40×2+25×30×2=(5 900+640π)(cm2), 体积为25×30×40+102×32π=(30 000+3 200π)(cm3).
学以致用
如图是一个几何体的三视图，试描绘出这个零件的形状，并求出此 三视图所描述的几何体的表面积.
解：该几何体的表面积为 π×22+2π×2×2+ 1/2×4×4π=20π
课堂小结
1.三种图形的转化：
三视图
立体图
展开图
2. 由三视图求立体图形的体积（或面积）的方法： （1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
第五章投影与视图单元(教案)
另外，小组讨论环节非常活跃，学生们能够积极思考并参与讨论。但在分享成果时，我发现有些小组的表达不够清晰，这可能是因为他们在讨论过程中的逻辑梳理不够。我打算在下次的小组活动中，提前给出一些指导性的问题，帮助他们更好地组织和表达自己的观点。
2.教学难点
-空间想象能力的培养，特别是对于复杂的几何体，如何从不同的角度进行观察和想象。
-投影变换的理解，包括如何将三维空间中的物体转换成二维平面上的视图。
-视图的精细绘制和尺寸标注，如何确保视图的准确性和清晰度。
-对透视图的理解，以及如何将透视图与实际物体对应起来。
-计算机辅助设计软件的使用，如何将传统视图绘制方法与现代化工具相结合。
第五章投影与视图单元（教案）
一、教学内容
第五章投影与视图
1.投影的基本概念与分类
-中心投影
-平行投影
-斜投影
2.三视图的形成及其特性
-主视图
-俯视图
-左视图
-等轴测图
3.视图绘制方法与步骤
-确定投影方向
-绘制主视图
-绘制俯视图Leabharlann 左视图-标注尺寸和细节4.空间几何体的视图识别与应用
-立方体
-球体
-圆柱体
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行投影和中心投影这两个重点。对于难点部分，如透视图的理解，我会通过实例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与视图相关的实际问题，如如何从给定的视图重建三维模型。
九年级数学《投影与视图》空间想象与绘图技巧教案
九年级数学《投影与视图》空间想象与绘图技巧教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解投影与视图的概念，能够准确描述物体的投影和视图；2. 掌握空间想象与绘图的基本技巧，能够运用这些技巧进行空间图形的绘制和分析；3. 培养学生的空间想象能力，提高解决数学问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：投影与视图的概念及绘图技巧；2. 教学难点：培养学生的空间思维和想象能力。
三、教学准备1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、教案、教学PPT等；2. 学生准备：课本、笔、作业本。
四、教学过程1. 导入通过引发学生对空间想象的思考，激发学生学习的兴趣。
2. 概念解释与讲解（在黑板上画投影与视图的示意图）投影是指三维空间中物体在不同平面上的投射结果，视图是指物体在某一特定方向上的投影结果。
通过透过物体和围绕物体的不同的视点，我们可以得到物体在各个平面上的投影和在不同方向上的视图。
3. 绘图技巧的讲解（在黑板上讲解并示范）a. 正投影：物体在垂直于底面的平面上的投影。
投影与实物图形的形状大小完全相同，但是方向相反。
b. 侧投影：物体在旁侧的一个平面上的投影。
通常是物体在水平方向的投影，所以不同物体的侧投影在同一平面上。
c. 俯视图：物体在上方一个平面上的投影。
通常是物体在垂直于底面的平面上的上视图，所以不同物体的侧投影在同一平面上。
4. 练习与巩固（布置练习题并讲解）通过布置一些投影与视图的练习题，让学生进行练习和巩固所学知识。
在讲解过程中，引导学生运用正确的绘图技巧，并注意投影和视图的对应关系。
5. 拓展与应用（提出拓展问题并讨论）引导学生运用所学知识，解决一些实际问题。
例如，根据给定的物体视图，通过绘制投影图找到物体的实际形状，并进行测量和计算。
6. 归纳与总结（归纳投影与视图的性质）通过学生的总结，归纳出投影与视图的一些性质，帮助他们更好地理解和记忆所学内容。
7. 课堂作业布置相关练习题作为课堂作业，要求学生运用所学知识完成。
5.1 投影 第1课时 数学北师大版九年级上册教案
第五章 投影与视图1 投影第1课时【教学目标】知识与技能:了解中心投影的含义,体会灯光下物体的影子在生活中的运用,体会灯光投影在生活中的实际价值.过程与方法:经历实践、探索的过程,能区别平行投影与中心投影条件下物体的投影.情感态度与价值观:通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.【重点难点】重点:了解中心投影的含义.难点:能根据灯光来辨别物体的影子,初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化.【教学过程】一、创设情境投影现象调查(提前一周布置)以4人合作小组为单位,开展调查活动:(1)尽所能收集生活中各类投影现象(用电子图片形式呈现).(2)小组长整理所收集的图片,统一规格要求,交给数学教师.二、探索归纳教师课前整理、选择学生资,多媒体展示,选3—4个小组代表简单介绍,分析投影的光线特点(讲解太阳光线可以看成是平行光线).给展示图片编号,要求学生根据一定的标准进行分类(学优生可以先设定标准,再分类;学困生可以先分类,再根据自己的分类尝试写出分类的标准),通过对分类及标准的过程性加工,使学生明晰投影光线可以看成是从同一个点发出的投影叫中心投影,投影光线可以看成是平行光线的投影叫平行投影.结合中心投影的特点,完成对点光确定方法的学习.例题:确定图中路灯灯泡所在的位置.待绝大多数学生正确完成灯泡位置的确定,大部分学生在思考原理及步骤,部分学生开始书写原理及步骤时(确保学生有资可以交流),教师适时打断,引导学生讨论确定灯泡位置方法的原理和具体操作的步骤,并要求小组派代表进行班级交流(确保学生真正参与交流),使全班同学掌握作图原理及操作步骤,明晰对应点的正确找取是确定灯泡位置的关键.三、交流反思今天我最大的收获是……(从数学知识,数学方法和数学思想方面引导学生思考)四、检测反馈1.如图,一个广告牌挡住了路灯的灯泡.(1)确定图中路灯灯泡所在的位置;(2)在图中画出表示小赵身高的线段.2.两棵小树在一盏路灯下的影子如图所示.(1)确定该路灯灯泡所在的位置.(2)画出图中表示婷婷影长的线段.五、布置作业课本P128 习题5.1 第2、3题六、板书设计投影1.探究2.归纳分类:3.应用练习:例题七、教学反思1.多媒体的合理应用,可极大地激发学生的学习兴趣,提高教学效果.在本节课的“综合调查”和“情境引入”教学环节中,通过学生收集和用多媒体展示的人影、皮影、手影等的精彩图片,给学生以视觉冲击,产生了视觉和心理的震撼,这样在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情,这十分有利于后面教学活动的开展,提高课堂教学效果.2.通过富有挑战性的“问题(或活动)”激发学生的探索欲望,培养创新精神,拓展思维能力.在本节课“合作学习,深入研究”“练习巩固,拓展提高”教学环节中活动设计,由简单的“模仿”到“创作设计”循序渐进、挑战性逐渐增大,不断激发学生的探索欲望,引人入胜,培养创新精神,提高拓展能力.关闭Word文档返回原板块。
投影及视图—知识讲解
投影与视图—知识解说【学习目标】1. 在察看、操作、想象等活动中加强对空间物体的掌握和理解能力；2. 经过实例认识中心投影与平行投影；3. 会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4. 能依据三种视图描绘简单的几何体.【重点梳理】重点一、投影1. 投影现象物体在光芒的照耀下，会在地面或其余平面上留下它的影子，这就是投影现象 . 影子所在的平面称为投影面 .2.中心投影手电筒、路灯和台灯的光芒能够当作是从一点发出的，这样的光芒照耀在物体上所形成的投影，称为中心投影 .相应地，我们会获得两个结论：(1) 等高的物体垂直地面搁置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面搁置时，如图2 所示 . 一般状况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体自己的长度还短.在中心投影的状况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边沿上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，依据此中两个点，就能够求出第三个点的地点.重点解说：光源和物体所处的地点及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子一直分别在物体的双侧.3. 平行投影1. 平行投影的定义太阳光芒可当作平行光芒，平行光芒所形成的投影称为平行投影 .相应地，我们会获得两个结论：①等高的物体垂直地面搁置时，如图 1 所示，在太阳光下，它们的影子同样长.②等长的物体平行于地面搁置时，如图 2 所示，它们在太阳光下的影子同样长，且影长等于物体自己的长度 .2.物高与影长的关系①在不一样时辰，同一物体的影子的方向和大小可能不一样. 不一样时辰，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从清晨到夜晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长 .②在同一时辰，不一样物体的物高与影长成正比率.即：.利用上边的关系式能够计算高大物体的高度，比方旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是丈量两物体在同一时辰的影长.重点解说：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光芒的照耀下产生的. 利用平行投影知识解题要分清不一样时辰和同一时辰.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光芒.4、正投影以下图，图(1) 中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线相互平行，形成平行投影；图 (2) 中，投影线斜着照耀投影面；图(3)中投影线垂直照耀投影面( 即投影线正对着投影面我们也称这类情况为投影线垂直于投影面. 像图 (3) 这样，当平行光芒与投影面垂直时，这类投影称为投影 . ) ，正重点解说：正投影是特别的平行投影，它不行能是中心投影.重点二、中心投影与平行投影的差别与联系1.差别：（1）太阳光芒是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比率；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不必定成比率 .（2）同一时辰，太阳光下影子的方向老是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不一样方向 .2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只可是平行投影是在平行光芒下所形成的投影，往常的平行光芒有太阳光芒、月光等，而中心投影是从一点发出的光芒所形成的投影，往常状况下，灯泡的光芒、手电筒的光芒等都可当作是从某一点发射出来的光芒.（ 2）在平行投影中，同一时辰改变物体的方向和地点，其投影也随着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的地点和方向，其投影也随着发生变化. 在中心投影中，固定物体的地点和方向，改变灯光的地点，物体投影的方向和地点也要发生变化.重点解说：在解决相关投影的问题时一定先判断正确是平行投影仍是中心投影，而后再依据它们的详细特色进一步解决问题 .重点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图 .（2）三视图在实质生活和工程中，人们经常从正面、左面和上边三个不一样方向察看一个物体，分别获得这个物体的三个视图. 往常我们把从正面获得的视图叫做主视图，从左面获得的视图叫做左视图，从上边获得的视图叫做俯视图 .主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2. 三视图之间的关系（ 1）地点关系一般地，把俯视图画在主视图下边，把左视图画在主视图右边，如图(1) 所示 .（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，按照主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2) 所示.重点解说：三视图把物体的长、宽、高三个方面反应到各个视图上，详细地说，主视图反应物体的长和高；俯视图反应物体的长和宽，左视图反应物体的高和宽，抓住这些特色能为画物体的三视图打下坚固的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面察看几何体，详细画法以下：(1)确立主视图的地点，画出主视图；(2) 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3) 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等” .几何体上被其余部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.重点解说：画一个几何体的三视图，重点是把从正面、上方、左边三个方向察看时所得的视图画出来，因此，第一要注意察看时视野与察看面垂直，即察看到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充足发挥想象，多实践，多与同学沟通商讨，多总结；最后，按三视图的地点和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，第一应分别依据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前方、上边和左边面，而后综合起来考虑整体图形.重点解说：由物体的三视图想象几何体的形状有必定的难度，能够从以下门路进行剖析：(1) 依据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前方、上边和左边面的形状以及几何体的长、宽、高；(2) 依据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3) 熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助； (4) 利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，频频练习，不停总结方法.【典型例题】种类一、投影的作图与计算1．怎样才能使以下图的两棵树在同一时辰的影长分别与它们的原长相等，试绘图说明．【答案与分析】(1)以下图．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)以下图，可在两树外侧不一样方向上画出与原长相等的影子，连接影子的极点与树的极点．订交于点 P．此时为中心投影， P 点即为光源地点．【总结升华】连接物体极点与其影长的极点，假如获得的是平行线，即为平行投影；假如获得订交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确立中心投影光源地点的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不行能同时与原长相等，因此点光源能够选在两树之间．特别提示：易错以为只有平行投影才能使两棵树在同一时辰的影长分别与它们的原长相等，进而遗漏上图这一情况．贯通融会：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前方的地面上有一盆花CD和一棵树AB．夜晚，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE 是路灯灯光直接形成的，以下图，你能确立此时路灯光源的地点吗 ?【答案】作法以下：①连接 FC并延伸交玻璃幕墙于O点；②过点 O作直线 OG垂直于玻璃幕墙面；③在 OC另一侧作∠ POG＝∠ FOG且交 EA延伸线于点P．P点即此时路灯光源地点，以下图．2. （ 2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光芒丈量旗杆的高度，身高 1.6m 的小明落在地面上的影长为BC=2.4m ．（ 1）请你在图中画出旗杆在同一时辰阳光照耀着落在地面上的影子EG；（ 2）若小明测得现在旗杆落在地面的影长EG=16m ，恳求出旗杆DE 的高度．【思路点拨】（ 1）连接 AC ，过 D 点作 DG∥AC 交 BC 于 G 点，则 GE 为所求；（ 2）先证明Rt△ ABC ∽ △ RtDGE ，而后利用相像比计算DE 的长．【答案与分析】解：（1）影子EG以下图；（ 2）∵ DG ∥AC ，∴ ∠G= ∠C，∴ Rt△ ABC ∽ △RtDGE ，∴=，即=，解得DE=，∴旗杆的高度为m．【总结升华】此题考察了平行投影，也考察了相像三角形的判断与性质．贯通融会：【变式】 如图，小亮利用所学的数学知识丈量某旗杆 AB 的高度．（ 1）请你依据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB 在阳光下的投影．（ 2）已知小亮的身高为 1.72m ，在同一时辰测得小亮和旗杆 AB 的投影长分别为 0.86m 和 6m ，求旗杆 AB 的高．【答案】 解：（1）以下图：（ 2）如图，由于 DE ， AB 都垂直于地面，且光芒 DF ∥ AC ，因此 Rt △DEF ∽ Rt △ABC ， 因此DEEF ，ABBC 即 1.720.86 ， AB6因此 AB=12（ m ）．答：旗杆 AB 的高为 12m ．种类二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上边察看该立体图形，能获得什么平面图形．【答案与分析】 从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上边看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】此题考察了几何体的三视图的判断．贯通融会：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（ 1）如图：（ 2）如图：（ 3）如图：（ 4）如图：4．（ 2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该地点小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有 3 列，每列小正方数形数量分别为2， 2， 3，左视图有 3 列，每列小正方形数量分别为1， 3， 2．据此可画出图形．【答案与分析】解：以下图：【总结升华】此题考察几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数同样，且每列小正方形数量为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数同样，且每列小正方形数量为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．种类三、三视图的相关计算5．某工厂要对一机器部件表面进行喷漆，设计者给出了该部件的三视图( 以下图 ) ，请你依据三视图确立其喷漆的面积．【思路点拨】第一要依据立体图形的三视图，想象出物体的实质形状，而后再计算表面积. 【答案与分析】解：长方体的表面积为(30 × 40+40× 25+25× 30) × 2＝ 5900(cm2) ，圆柱体的侧面积为2 3.14 × 20× 32＝ 2010(cm ) ，其喷漆的面积为5900+2010＝ 7910(cm2) ．【总结升华】由该机械部件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体构成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成． ( 圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分 ). 该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不可以以为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．贯通融会：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（ 1）依据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（ 2）依据圆柱的全面积公式可得，20π× 40+2×π× 10 2 =1000π．。
人教版九年级数学下册《第二十九章投影与视图》教案
人教版九年级数学下册《第二十九章投影与视图》教案一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第二十九章《投影与视图》是学生在学习了平面几何、立体几何的基础上，进一步研究三视图、投影等知识。
这一章节的内容既巩固了学生以前所学的几何知识，又为后续的立体几何学习打下基础。
本章主要包括以下几个知识点：1.投影的概念和分类2.正投影和斜投影3.视图的概念和分类4.一视图、二视图、三视图的画法5.几何体的三视图二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，对几何图形的认知有一定的基础。
但投影与视图的概念对于他们来说比较抽象，需要通过具体的实例和实践活动来理解和掌握。
另外，学生对于空间想象能力的培养还不够，需要在教学过程中加强训练。
三. 教学目标1.让学生理解投影的概念，掌握正投影和斜投影的性质。
2.让学生掌握视图的分类，学会画一视图、二视图、三视图。
3.培养学生空间想象能力，提高他们解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.投影的概念和分类2.正投影和斜投影的性质3.视图的画法4.空间想象能力的培养五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和模型展示投影与视图的概念和性质。
2.采用实践操作法，让学生动手画一视图、二视图、三视图，培养空间想象能力。
3.采用问题驱动法，引导学生思考和探讨，提高他们解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备投影仪、实物、模型等教学道具。
2.准备相关的练习题和测试题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示实物和模型，引导学生观察和思考，让学生初步认识投影和视图的概念。
2. 呈现（10分钟）教师通过投影仪展示PPT，详细讲解投影的分类、正投影和斜投影的性质，以及视图的分类和画法。
3. 操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个几何体，分别画出它的三视图。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4. 巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检查他们对于投影与视图知识的掌握程度。
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投影与视图—知识讲解【学习目标】1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行投影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.【要点梳理】要点一、投影1.投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.要点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.要点二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．【思路点拨】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt△ABC∽△RtDGE，然后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解：（1）影子EG如图所示；（2）∵DG∥AC，∴∠G=∠C，∴Rt△ABC∽△RtDGE，∴=，即=，解得DE=，∴旗杆的高度为m．【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB 的高．【答案】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以DE EF AB BC=，即1.720.866AB=，所以AB=12（m）．答：旗杆AB的高为12m．类型二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（1）如图：（2）如图：（3）如图：（4）如图：4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型三、三视图的有关计算5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.【答案与解析】解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×102=1000π．。